Esercizio 1 (Regola d'oro di Fermi) Determinare la probabilit ... - INFN

Esercizio 1 (Regola d’oro di Fermi) Determinare la probabilità di transizioneper unità di tempo da uno stato |a〉 ad uno stato |b〉 al primo ordineperturbativo di un sistema per cui si suppone di aver risolto l’equazione agliautovalori per l’hamiltoniana del sistema non perturbato, avente |a〉 e |b〉come autostati.Soluzione.I tipici problemi in cui bisogna valutare la probabilità di transizione per unitàdi tempo tra due stati sono quelli di scattering. Per descrivere un processo discattering, si considera una parte incidente (solitamente un fascio di particelleoppure un’onda elettromagnetica) che interagisce con un sistema “bersaglio”che viene diffuso. L’elemento base per la descrizione di processi di questo tipoè la probabilità di transizione dallo stato del sistema bersaglio prima dell’urtoa quello dopo l’urto. Poiché è possibile supporre che all’inizio del processo laparte incidente sia molto lontana dal bersaglio, allora l’hamiltoniana per taleparte incidente sarà quella libera nel continuo. Siccome inoltre gli stati inizialie finali sono nel continuo, bisognerebbe considerare dei pacchetti d’onde perdescrivere la diffusione. Per evitare le difficoltà di calcolo che questo metodoporterebbe, tuttavia, si utilizza l’estensione adiabatica della carica.Sia H 0 l’hamiltoniana del sistema imperturbato; supponiamo risolta l’equazioneagli autovaloriH 0 |E〉 = E|E〉 (1)e supponiamo che il sistema sia inizalmente nello stato |a〉. Tenendo contodell’interazione con la parte incidente, l’hamiltoniana del sistema diventaH = H 0 + V .L’estensione adiabatica della carica consiste nel porre 1V (t) ={ V ti ≤ t ≤ t f0 altrove(2)e nel far tendere t i → −∞ e t f → +∞ al risultato ottenuto. Questo porta alrisultato corretto (al primo ordine perturbativo), la Regola d’oro di Fermi.Calcoliamo la probabilità di transizione W a→b al primo ordine nelle perturbazioni.Questo significa che, nello sviluppo dell’operatore di evoluzionetemporale∞∑u(t, t 0 ) = u 0 (t, t 0 ) + u (n) (t, t 0 ) (3)1 si ometterà, per semplicità di notazione, di scrivere la dipendenza del potenziale dallecoordinate.1n=1

si considera solamente il primo termine:u (1) (t, t 0 ) = 1i∫ tdove t 0 ≤ t i ≤ t 1 ≤ t f ≤ t. Allora si deve calcolaret 0dt 1 u 0 (t, t 1 ) V (t 1 ) u 0 (t 1 , t 0 ) , (4)W a→b (t, t 0 ) = ∣ ∣ 〈b|u (1) (t, t 0 )|a〉 ∣ ∣ 2 ; (5)dal confronto di (4) e di (5) si osserva che bisogna calcolare la quantità〈b|u 0 (t, t 1 ) V (t 1 ) u 0 (t 1 , t 0 )|a〉 = 〈b|e −i (t−t 1 ) E bV (t 1 ) e −i (t 1 −t 0 ) E a|a〉 == e i t 0 E ae − i t E be −i (E b −Ea) t 1〈b|V |a〉con 〈b|V |a〉 ≠ 0 solo se t i ≤ t ≤ t f ; dunque l’integrale in (4) deve essereeseguito solamente tra t i e t f .Poniamo τ ≡ t f − t i eω ba ≡ E b − E aAllora possiamo scrivereW a→b (t, t 0 ) =1∣i e i t 0 E ae − i t E b∫ tft i. (6)dt 1 e −i (E b −Ea)= 1 2 |〈b|V |a〉|2 ∣ ∣∣∣ e −iω bat f − e−iω ba t i−2i ω ba2= 1 ∣ ∣∣∣ |〈b|V 2 |a〉|2 e −iω (t f +t i )ba 2= 1 2 |〈b|V |a〉|2 ∣ ∣∣∣∣e −iω ba(t f +t i )= 1 ( ) |〈b|V sin2 τω ba 2 |a〉|2 2( ωba2) 222t 1〈b|V |a〉∣ =2∣ =e iω ba τ 2 − e −iω ba τ 222i ω ba ∣ =2sin ( )2τω ba 2=∣Per calcolare la probabilità di transizione per unità di tempo w a→b , bisognaeseguire il limitet i → −∞ t f → +∞in modo da recuperare V costante ∀ t ∈ R (“spegniamo la carica”). Allora sihaW a→b (τ)w a→b = lim . (7)τ→∞ τ2ω ba2

Lemma 1sin˜S 2 (xτ)− lim = π δ(x) (8)τ→∞ x 2 τdove il limite si intende eseguito nel senso delle distribuzioni 2 .Dimostrazione.Per eseguire il limite nel senso delle distribuzioni, bisogna applicare unafunzione di prova f ∈ S a (8):∫limτ→∞dx sin2 (xτ)x 2 τf(x) (9)e bisogna mostrare che questo è uguale a π f(0). Posto y = xτ, l’espressioneprecedente diventa∫lim dy sin2 (y)( y)f = c f(0) (10)τ→∞ y 2 τperché nel limite il supporto di f diventa l’origine. Bisogna dunque calcolareil valore della costante ∫c = dy sin2 y. (11)y 2Per fare ciò, osserviamo chee analogamente∫ 1∫ 1−1−1di conseguenza∫dy sin2 y= 1 ∫ ∞y 2 4da cui c = π.dp 1 2 eipy = 1 (e iy − e −iy) = sin y2iyydq 1 2 e−iqy = − 1 (e −iy − e iy) = sin y2iyy= 1 4−∞∫ 1−1∫ 1dydp−1∫ 1−1= 1 4 · 2 · 2π = π2 Osserviamo che, nel nostro caso, x = ω ba /2∫ 1dp dq e −i(p−q)y =−1dq 2π δ(p − q) =3

□A questo punto possiamo scrivereossia, ricordando che δ ( ω ba2w a→b = π 2 |〈b|V |a〉|2 δ( ωba) (= δEb −E a)2 = 2 δ(Eb − E a ) 3 ,2)(12)w a→b = 2π |〈b|V |a〉|2 δ (E b − E a ) , (13)che è la Regola d’oro di Fermi. Osserviamo che la δ (E b − E a ) rappresenta ladensità della degenerazione in energia: nel limite τ → 0, per la conservazionedell’energia non possono avvenire transizioni se E b ≠ E a .Esempio 1 Supponiamo di avere una perturbazione armonica per un sistema:H = H 0 + V (t) (14)conV (t) = Be iωt + B † e −iωt (15)(si osserva che V = V † è hermitiano). Calcolare la probabilità di transizioneper unità di tempo tra lo stato iniziale |a〉 e lo stato |b〉.Soluzione.Supponiamo che V (t) agisca nell’intervallo di tempo 0 ≤ t ≤ T : ad esempioun’onda monocromatica che interagisce con il sistema nell’intervallo di tempotra 0 e T . In tal caso la probabilità di transizione dallo stato |a〉 allo stato|b〉 èW a→b ====∣ 〈b| 1 ∫ T(T −t)−idt e i 0∣ 〈b| 1 ∫ Tdt e i E b ti 0∫ 1T∣i 〈b|B|a〉 0( 1 ei(ω ∣i 〈b|B|a〉 ba +ω)T − 1 )∣EatE b −i ∣∣∣2V (t) e |a〉 =V (t) e−i Eat |a〉∣ ∣∣∣2=dt e i(ωba+ω)t + 1 ∫ Ti 〈b|B† |a〉2i (ω ba+ω)2+ 1i 〈b|B† |a〉3 una delle proprieta della δ di Dirac è che δ(ax) = 1|a| δ(x).42dt e i(ω ba−ω)t∣ =0(ei(ω ba −ω)T − 1 )2=∣2i (ω ba−ω)2□

= 1 ∣ ∣∣∣〈b|B|a〉e i(ω sin ( (ωba+ω) T ba + ω) T 2 22(ω ba +ω)2+〈b|B † |a〉e i(ω sin ( (ωba−ω) T ba − ω) T22(ω ba −ω)2Osserviamo che la funzione sin(ω′ T 2 )ωha un massimo pronunciato quando′2ω ′ = 0. Di conseguenza, nell’ultima espressione, il primo addendo costituisceil termine dominante quando ω ba + ω ≃ 0, ossia quando E b − E a + ω ≃ 0.Analogamente, il secondo addendo è il termine dominante quando ω ba −ω ≃ 0,ossia quando E b − E a − ω ≃ 0.Se V (t) rappresenta un’onda elettromagnetica, nel primo caso si ha l’emissionestimolata di un fotone di energia ω ≃ E a − E b , mentre nel secondo caso siparla di assorbimento di un fotone di energia ω ≃ E b −E a . Poiché le energiealle quali questi fenomeni avvengono con maggiore probabilità sono prossimea quelle del fotone assorbito od emesso, si parla, in questi casi, di formule dirisonanza.Siccome le due predominanze caratteristiche dei processi di assorbimentoe di emissione sono ben distinte, allora, in prima approssimazione, è possibiletrascurare i termini di interferenza per W a→b . Dunque l’espressione per laprobabilità di transizione per unità di tempo diventa))∣W a→b (T )w a→b = lim =T →0⎡T= 1 lim ⎢( ⎤)⎣|〈b|B|a〉| 2 sin2 (ω ba + ω) T 2 ⎥2 ) 2 ⎦ +Tossia= 2π T →0((ωba +ω)⎡+ 1 lim ⎢( ⎤)⎣|〈b|B † |a〉| 2 sin2 (ω ba − ω) T 2 ⎥2 ) 2 ⎦ =TT →02((ωba −ω)2(|〈b|B|a〉| 2 δ (E b − E a + ω) + |〈b|B † |a〉| 2 δ (E b − E a − ω) )2+w a→b = 2π (|〈b|B|a〉| 2 δ (E b − E a + ω) + |〈b|B † |a〉| 2 δ (E b − E a − ω) ) (16)che è la regola d’oro di Fermi. Infatti, siccome, a seconda della ω, è possibileconsiderare solamente emissione od assorbimento, allora la regola d’oro peremissione coincide con il primo addendo di (16), mentre la regola d’oro perl’assorbimento coincide con il secondo addendo di tale espressione.5

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