Corso di Risk Management

Concetti fondamentali di risk managementSi distinguono principalmente tre tipi di rischio finanziario.(i) Rischio di mercato. E’ il rischio di cambiamento di valore diuna posizione dovuto a cambiamenti di valore deisottostanti da cui la posizione dipende (prezzi di azioni odobbligazioni, tassi di cambio e di interesse, prezzi dicommodity, ecc.).(ii) Rischio di credito. E’ il rischio di: (i) non ricevere rimborsipromessi a fronte di investimenti già effettuati, quali prestitiod obbligazioni, a causa del fallimento (default) dellacontroparte; (ii) variazioni dei prezzi di strumenti finanziaricausati dalla variazione del merito di credito; (iii) perdita incaso di default.(iii) Rischio operativo. Rischio di perdite derivanti da processi osistemi interni inadeguati o non andati a buon fine, da erraticomportamenti di persone o da eventi esterni.Marco BeeCorso di Risk Management

Perché gestire il rischio finanziario?Perché gestire il rischio finanziario?Dal punto di vista della società civile: per assicurare unosviluppo stabile ed ordinato dell’economia e della società;questa motivazione ha portato soprattutto al massicciointervento delle autorità di vigilanza.Dal punto di vista degli azionisti: per incrementare il valoredella banca.Le sfide:(i) stimare valori estremi. From the point of view of the riskmanager, inappropriate use of the normal distribution canlead to an understatement of risk, which must be balancedagainst the significant advantage of simplification. [...]Improving the characterization of the distribution of extremevalues is of paramount importance. (A. Greenspan, 1995)Marco BeeCorso di Risk Management

Le sfide(ii) La natura multivariata del rischio.(iii) Gli aspetti computazionali.(iv) L’interdisciplinarità: sono richieste competenze“quantitative” (statistica, matematica finanziaria eattuariale, econometria finanzaria, economia finanziaria) e“non quantitative” (capacità di comunicare, conoscenza dipratiche di mercato e dettagli istituzionali).Marco BeeCorso di Risk Management

Fattori di rischio e distribuzione di perditaLa perdita del portafoglio per il periodo [s, s + ∆] è data daL [s,s+∆] = −(V s+∆ − V s ).La distribuzione di tale quantità è la distribuzione diperdita. La quantità −L [s,s+∆] è il Profit & Loss (P&L).Il valore del portafoglio V t è funzione del tempo e di unvettore aleatorio di fattori di rischio Z t = (Z t,1 , . . . , Z t,d ) ′ :V t = f (t, Z t ). (1)I fattori di rischio sono diversi a seconda del tipo di rischio:(i) nel rischio di mercato, sono di solito rendimenti di strumentifinanziari, tassi di cambio e tassi di interesse;(ii) nel rischio di credito sono la Probabilità di Default, la LossGiven Default e la Exposure at Default;La scelta di f e di Z t dipende da vari fattori: in particolare iltipo di portafoglio e la precisione desiderata.Marco BeeCorso di Risk Management

La distribuzione di perditaLa (1) è definita una mappatura dei rischi.Problema: bisogna assumere che la composizione delportafoglio sia costante nel tempo!La distribuzione di perdita può essere condizionata o noncondizionata.La distinzione è collegata all’orizzonte temporale diriferimento: su orizzonti temporali brevi è più utile ladistribuzione condizionata, per analisi di lungo periodo siricorre di solito alla distribuzione non condizionata.La distribuzione non condizionata si ottiene come mediadelle distribuzioni condizionate su un orizzonte temporalelungo.Se i rendimenti sono iid, le due distribuzioni coincidono.Marco BeeCorso di Risk Management

L’operatore perditaSia X t = Z t − Z t−1 la serie storica dei cambiamenti deifattori di rischio e F Xt+1|t la distribuzione condizionata di Xal tempo t + 1 data tutta l’informazione disponibile altempo t. La distribuzione condizionata di perdita è allora laperdita indotta dalla distribuzione F Xt+1|t .Esempio. Se si ipotizza che la varianza dei fattori di rischioevolva secondo il modello σt 2 = α + βrt−1 2 , la distribuzionedi perdita al tempo t + 1 è influenzata dal quadrato delrendimento al tempo t.L’operatore perdita è definito come:l t (x) = −(f (t + 1, Z t + x) − f (t, Z t )), x ∈ IR d .Si noti che L t+1 = l t (X t+1 ).Marco BeeCorso di Risk Management

La distribuzione di perditaSe f è derivabile, l’approssimazione del primo ordine dellaperdita e l’operatore di perdita linearizzato sono:)d∑L ∆ t+1(f = − t (t, Z t ) + f zi (t, Z t )X t+1,i ;l ∆ t(x) = −(f t (t, Z t ) +i=1)d∑f zi (t, Z t )x ,i=1dove i deponenti t e Z i indicano una derivata parziale.Esempi di mappatura dei rischi.Portafoglio azionario. Sia Z t,i = ln(S t,i ), dove S t,i è ilprezzo dell’azione. Allora X t+1,i = r t+1,i , cioè i rendimentilogaritmici. Sia λ i il numero di azioni del titolo i-esimo inportafoglio. Allora V t = ∑ di=1 λ ie Z t,i. Quindid∑L t+1 = −(V t+1 − V t ) = − λ i S t,i (e X t+1,i− 1).Marco Beei=1Corso di Risk Management

La perdita di un portafoglio azionarioLa perdita linearizzata è data da:L ∆ t+1 = −V td∑w t,i X t+1,i ,i=1dove w t,i = (λ i S t,i )/V t dà la percentuale del valore delportafoglio investita nel titolo i al tempo t.Infine, l’operatore di perdita linearizzata è dato dal ∆ t(x) = −V t∑ di=1 w t,ix i = −V t w ′ t x.Se E(X t ) = µ e cov(X t ) = Σ, abbiamoE(l ∆ t(x)) = −V t w ′ µ e var(l ∆ t) = V 2t w ′ Σw.A seconda che valore atteso e matrice di covarianza di Xsiano calcolati sulla base della distribuzione condizionata onon condizionata di X, si ottengono i primi due momentidella distribuzione di perdita condizionata o noncondizionata del portafoglio.Marco BeeCorso di Risk Management

La perdita di un portafoglio creditiSupponiamo che un portafoglio crediti contenga Ncontroparti, ognuna con esposizione η i . L’orizzontetemporale ∆ è tipicamente pari ad un anno. Per semplicità,supponiamo che tutti i prestiti siano rimborsati alla stessadata T . Sia{1 la controparte fallisce in [0, T ];L i =0 la controparte non fallisce in [0, T ].Come si tiene conto del rischio di default nel prezzare ilprestito? Scontandolo ad un tasso più alto dello yieldy(s, T ) relativo ad un bond zero-coupon risk-free:p(s, T ) = e −(T −t)y(t,T )+c i (t,T ) η i ,dove c i è il credit spread del bond e si ipotizza p(T , T ) = 1.Marco BeeCorso di Risk Management

La perdita di un portafoglio creditiIpotizziamo che c i (t, T ) = c(t, T ) ∀i = 1, . . . , N. Allora ilvalore del portafoglio èV t =N∑(1 − L t,i )e −(T −t)y(t,T )+c(t,T ) η i .i=1Quindi il vettore Z t in questo caso potrebbe essereZ t = (L t,1 , . . . , L t,N , y(t, T ), c(t, T )) ′ .Data la lunghezza dell’orizzonte temporale, le perditelinearizzate sono poco importanti. La principale difficoltà ètrovare la distribuzione congiunta delle v.c. L 1 , . . . , L N .Marco BeeCorso di Risk Management

La misurazione del rischioPerché si misura il rischio?Per determinare il capitale regolamentare (riserve).Per gestire l’ammontare complessivo di rischio di un’unitàall’interno dell’azienda.Per determinare premi assicurativi.Possibili approcci:Approccio dell’ammontare nozionale.Misure di sensitività rispetto ai fattori di rischio: derivateprime di funzioni di prezzo (es.: Greche, duration).Misure basate su distribuzioni di perdita. Sonodecisamente preferibili perché le distribuzioni di perdita:(i) sono il principale oggetto di studio del risk management;(ii) sono appropriate a qualsiasi livello di aggregazione;(iii) riflettono effetti di compensazione e diversificazione;(iv) possono essere stimate e paragonate su portafoglidiversi.Marco BeeCorso di Risk Management

Misure di rischioSia F L (l) la funzione di ripartizione della distribuzione diperdita. Possiamo definire varie misure di rischio basate sutale distribuzione: la più usata è il Value at Risk (VaR).Il VaR è la massima perdita a cui è soggetto un portafoglio,con probabilità data, su un orizzonte temporale predefinito.Definizione. Dato un livello di confidenza α ∈ (0, 1), il VaRal livello di confidenza α è il numero VaR α tale che laprobabilità che la perdita L ecceda VaR α sia uguale a(1 − α):VaR α = k ∈ IR : P(L > k) = 1 − α.In termini probabilistici, il VaR è un quantile di L. Nelrischio di mercato, α è di solito uguale a 0.95 o 0.99 el’orizzonte temporale è pari a 1 o 10 giorni; nel rischio dicredito e operativo α è per lo più uguale a 0.99 o 0.999, el’orizzonte temporale pari ad un anno.Marco BeeCorso di Risk Management

QuantiliDefinizione. Un numero x 0 ∈ IR è il quantile α delladistribuzione F se e solo se F(x 0 ) = P(X ≤ x 0 ) = α. Se Fè continua, si ha x 0 : ∫ x 0−∞f (x)dx = α.Come si calcolano i quantili?Per via analitica, cioè risolvendo analiticamente l’integrale.Per via numerica (deterministica), cioè risolvendol’integrale con tecniche di analisi numerica.Tramite simulazione Monte Carlo. In quest’ultimo caso, siprocede come segue:(i) si simulano B osservazioni da F ;(ii) si ordinano le osservazioni in senso crescente;(iii) si calcola il quantile empirico, che è l’osservazione simulatax ∗ 0 tale che α% delle osservazioni simulate è minore di x ∗ 0 e(1 − α)% è maggiore di x ∗ 0 .Marco BeeCorso di Risk Management

VaR e quantiliEsempio. Supponiamo X ∼ N(0, σ 2 ). Allora VaR α è taleche P(X ≤ VaR α ) = α. Sia Z = X/σ; alloraP(X ≤ VaR α ) = α ⇔ P(Z ≤ VaR α /σ) = α ⇔ VaR α /σ =z α , dove z α è il quantile α della normale standard. QuindiVaR α = σz α .Il VaR è semplice da calcolare e fornisce rapidamenteun’informazione di base sulla rischiosità delladistribuzione. Soffre tuttavia di almeno due difetti:(i) Siano L 1 e L 2 le distribuzioni di perdita di due portafogli. SiaL = L 1 + L 2 la distribuzione di perdita del portafoglioottenuto fondendoli. Non è sempre vero cheVaR α (L) ≤ VaR (L 1)α + VaR (L 2)α .(ii) Il VaR non ci dà alcuna informazione sull’entità delle perditeche eccedono il VaR.Marco BeeCorso di Risk Management

Expected ShortfallUna misura migliore è l’Expected Shortfall (ES).Definizione. Dato un livello di confidenza α ∈ (0, 1), ES allivello di confidenza α è il valore atteso delle perdite cheeccedono il VaR α :Se X ∼ N(µ, σ 2 ), si haES α = E(X|X ≥ VaR α ).ES α = µ + σ φ(Φ−1 (α))1 − α .Per calcolare ES tramite simulazione Monte Carlo siprocede come segue:(i) si simulano B osservazioni da F ;(ii) si ordinano le osservazioni in senso crescente;(iv) si calcola il VaR;(iii) si calcola la media delle osservazioni maggiori del VaR.Marco BeeCorso di Risk Management

VaR ed Expected ShortfallLe figure illustrano le seguenti due proposizioni. Date duev.c. X 1 ed X 2 con curtosi rispettivamente pari a k 1 e k 2 conk 1 > k 2 , si ha che:(1) se il livello di confidenza α è “sufficientemente alto”,VaR X 1α > VaR X 2α e ES X 1α > ES X 2α ;(2) può accadere, per livelli di confidenza “non troppo alti”, che(a) VaR X 1α < VaR X 2α e ES X 1α > ES X 2α o anche che(b) VaR X 1α < VaR X 2α e ES X 1α < ES X 2α .La prima figura illustra il caso (1), la seconda figura è unesempio del caso (2a), la terza un esempio del caso (2b).Marco BeeCorso di Risk Management

VaR ed Expected Shortfall0.4Valore a Rischio ed Expected Shortfall al 99% per la normale e la t di Student con 4 gradi di libertàNormale(0,2)0.35t 4VaR 0.99normaleVaR 0.99StudentES 0.99normale0.3ES 0.99Student0.250.20.150.10.050−6 −4 −2 0 2 4 6Marco BeeCorso di Risk Management

VaR ed Expected Shortfall0.4Valore a Rischio ed Expected Shortfall al 95% per la normale e la t di Student con 4 gradi di libertàNormale(0,2)0.35t 4VaR 0.95normaleVaR 0.95StudentES 0.95normale0.3ES 0.95Student0.250.20.150.10.050−6 −4 −2 0 2 4 6Marco BeeCorso di Risk Management

VaR ed Expected Shortfall0.4Valore a Rischio ed Expected Shortfall al 85% per la normale e la t di Student con 4 gradi di libertàNormale(0,2)0.35t 4VaR 0.85normaleVaR 0.85StudentES 0.85normale0.3ES 0.85Student0.250.20.150.10.050−6 −4 −2 0 2 4 6Marco BeeCorso di Risk Management

Metodi standard per il rischio di mercatoSono possibili fondamentalmente tre approcci al problema:(i) approccio parametrico;(ii) approccio non parametrico (simulazione storica);(iii) approccio Monte Carlo;Nell’approccio parametrico svolge un ruolo fondamentalel’ipotesi di normalità multivariata per i cambiamenti deifattori di rischio: X t ∼ N d (µ, Σ). La densità normalemultivariata è data da:f (x; µ, Σ) = (2π) −d/2 (det(Σ)) −1/2 e − 1 2 (x−µ)′ Σ −1 (x−µ) .Si tratta dell’estensione della normale univariata al casomultidimensionale. La proprietà fondamentale per i nostriscopi è la seguente: qualsiasi combinazione lineare deglielementi di X ha distribuzione normale univariata:Y = w ′ X = ∑ di=1 w iX i ∼ N(w ′ µ, w ′ Σw).Marco BeeCorso di Risk Management

L’approccio varianze-covarianzeSi ipotizza X t+1 ∼ N d (µ, Σ). Si ipotizza inoltre che laperdita linearizzata sia un’approssimazionesufficientemente accurata della distribuzione di perdita.L’operatore di perdita linearizzato ha la forma:l ∆ t(x) = −(c t + b ′ tx)per qualche costante c t e qualche vettore b t . Per esempio,nel caso del portafoglio azionario, c t = 0 e b t = w t , i pesidel portafoglio.Poiché una funzione lineare di un vettore normalemultivariato ha distribuzione normale univariata, ne segueche la perdita linearizzata L ∆ t+1ha distribuzione normaleunivariata:L ∆ t+1 = l∆ t (X t+1 ) ∼ N(−c t − b ′ tµ, b ′ tΣb t ).Marco BeeCorso di Risk Management

Il VaR di un BTPVogliamo misurare il VaR giornaliero al 99% di unaposizione su un BTP decennale con valore nominale di100000 Euro, duration modificata pari a 6 e prezzo pari a120 Euro, sapendo che la volatilità giornaliera del tassodecennale σ F è pari allo 0.15%. Si haVaR 0.99 = 2.326 · 120 · 6 · 0.0015 = 2.512.A rigore, nel caso dell’obbligazione con cedole, l’approccioparametrico (più accurato e complicato) prevede che lasingola posizione obbligazionaria venga scomposta nellerelative componenti elementari, ognuna delle quali èlegata, in termini di sensitività, alle variazioni di uno solodei fattori di mercato considerati.Il rischio della posizione è determinato sulla base dei rischidelle singole componenti, aggregati per mezzo dellecorrelazioni tra i rendimenti dei fattori di mercato coinvolti.Marco BeeCorso di Risk Management

Il VaR di un BTPLa posizione in BTP viene prima scomposta nei singoliflussi di cassa (cedole più valore di rimborso) per poterprendere in considerazione la volatilità dei nodi della termstructure.La modellizzazione utilizzata da RiskMetrics consiste nellascomposizione dello strumento in una serie di cash flow.Ogni cash flow è legato ad uno o più fattori di rischio. IlVaR dello strumento composto si può quindi calcolaretrattando i singoli cash flow come singoli strumenti.Considerando uno strumento finanziario che comporta duecash flow di valore attuale uguale rispettivamente a 100Euro dopo un mese e a 200 Euro due mesi dopo la data dicalcolo del VaR, il rendimento atteso dello strumentofinanziario composto (o del portafoglio) può esserecalcolato nel modo seguente:r = 1 3 r 1m + 2 3 r 2m,Marco BeeCorso di Risk Management

Il VaR di un BTPIl VaR dello strumento viene quindi calcolato come il VaRdel portafoglio composto da due strumenti diversi,corrispondenti ai due cash flow distinti. Si ottieneVaR = z α ·√19 σ2 1m + 4 9 σ2 2m + 4 9 σ 1mσ 2m ρ,dove ρ è la correlazione tra il tasso ad un mese ed il tassoa due mesi e α è il livello di confidenza scelto.Marco BeeCorso di Risk Management