1. Progettazione Strutturale

Anno Accademico 2004-2005Corso di COSTRUZIONE DI MACCHINE IINote su PROGETTO STRUTTURALE:SOLUZIONI NUMERICHE0. Procedure di discretizzazione p. 10.1. Modelli agli elementi finiti p. 10.1.1. Metodi d’analisi delle sollecitazioni p. 20.1.2. Impostazione degli argomenti p. 20.2. Schema nominale di soluzione p. 30.2.1. Metodi con spostamenti incogniti p. 30.2.2. Estensione delle soluzioni nominali p. 41. Elemento “asta” p. 51.1. Modello unidimensionale a sollecitazione uniforme p. 51.1.1. Derivazione della rigidezza locale a sollecitazione uniforme p. 51.1.2. Impostazione base dell’analisi matriciale delle sollecitazioni p. 61.2. Gradi di libertà di un modello ad elementi discreti p. 71.2.1. Costruzione di modelli ridotti (con minori gradi di libertà) p. 72. Strutture reticolari p. 82.1. Matrice di rigidezza: due aste allineate p. 82.2. Matrice di rigidezza: modello a N gradi di libertà p. 92.2.1. Assemblaggio diretto della matrice di rigidezza p. 92.2.2. Trasformazione delle matrici locali di rigidezza p. 102.2.3. Valutazione delle caratteristiche di sollecitazioni indotte p. 112.2.4. Estensioni: uso di carichi nodali equivalenti p. 112.2.5. Impostazione delle condizioni di vincolo p. 112.2.6. Introduzione approssimata di vincoli-contorno p. 122.2.7. Vincoli obliqui:rotazione dei referenziali nodali p. 122.3. Ruolo dei vincoli nella definizione dei modelli p. 132.4. Esempio illustrativo d’analisi strutturale p. 133. Elementi generici p. 153.1. Segmentazione in elementi discreti generici p. 163.1.1. Impostazione e notazione di riferimento p. 163.1.2. Continuità e procedure di interpolazione p. 163.1.3. Proprietà della funzione di forma p. 173.2. Modello bidimensionale a sollecitazione uniforme p. 183.2.1. Elementi generici bidimensionali p. 183.2.2. Elementi generici assialsimmetrici p. 193.3. Modello tridimensionale a sollecitazione uniforme p. 193.4. Modello tridimensionale a sollecitazione variabile p. 193.4.1. Proprietà della funzione di forma p. 203.4.2. Trasformazioni isoparametriche p. 203.4.3. Matrici delle trasformazioni discrete p. 214. Conservazione dell’energia e metodi variazionali p. 224.1. Soluzione variazionale con il metodo di Ritz p. 234.1.1. Passi risolutivi e principali proprietà p. 234.1.2. Esempio: mensola con carico uniforme p. 234.2. Soluzione variazionale con il metodo di Galerkin p. 244.2.1. Esempio: fune con peso proprio uniformemente distribuito p. 254.3. Conservazione dell’energia potenziale p. 264.3.1. Esempio: aste con rigidezze molto differenti p. 264.4. Il principio dei lavori virtuali per sistemi conservativi p. 275. Elementi speciali p. 285.1. Topologia “trave” rettilinea p. 285.1.1. Trave snella: flessione piana p. 285.1.2. Carichi nodali equivalenti per la trave inflessa p. 295.1.3. Barra di torsione a sezione circolare p. 295.1.4. Elemento trave con sollecitazione composta p. 305.2. Tipologia “involucro” assial-simmetrico p. 315.2.1. Elemento lastra assial-simmetrica inflessa p. 315.2.1. Elemento involucro assial-simmetrico inflesso p. 326. Esempi di statica delle costruzioni p. 346.1. Costruzioni a “telaio” p. 346.1.1. Sconnessioni nelle strutture a telaio p. 356.1.2. Esempio: analisi di telaio con una iperstatica p. 35

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE3affinare il reticolo, cioè, aumentare il numero degli elementi, con conseguenti vincoli di calcolo (peri tempi e per gli errori numerici propagati).Gli elementi finiti delle due classi generici o speciali hanno in comune l’intersezione dei sistemireticolari ad aste. I singoli elementi, aste caricate nei nodi, subiscono spostamenti nodali rettilinei etrasmettono forze normali; le tensioni e le deformazioni hanno distribuzione uniforme (è superfluospezzare l’asta in più elementi), con topologia unifilare 1D.Da qui, la classe degli elementi generici evolve, per comprendere:# elementi in linea, con distribuzioni uniformi, con distribuzioni approssimate da polinomi;# elementi 2D: piani di tensione/deformazione, assial-simmetrici;# elementi 3D, con funzione di forma del primo ordine o di ordine superiore.Quella degli elementi speciali:# elementi di linea retta: trave snella/tozza con carichi normali, di taglio, flettenti e torcenti; curva,trave con asse non rettilineo;# elementi di superficie piana: piastra caricata nel piano, lastra inflessa, ecc.; spaziale: membrana,involucro inflesso, ecc..La specializzazione dell’elemento consente di ridurre il numero delle suddivisioni, però l’interfaccefra gli elementi sono:- aree, per gli elementi di linea (le sezioni ortogonali agli assi), specificate da tre spostamenti linearidel centro e da tre spostamenti angolari attorno al centro; occorre considerare sei caratteristiche disollecitazione: N z , T x , T y , M x , M y , M z , ottenute mediando le tensioni (σ zz , σ zx , σ zy ) sulle sezioni;- spessori, per gli elementi di superficie (segmenti ortogonali alle superfici mediane), specificati inrelazione a centri di segmenti; occorre considerare otto caratteristiche: n x , n y , t xy , t x , t y , m x , m y , m xy ,ottenute mediando le tensioni (σ xx , σ yy , σ xy ) sugli spessori (di piastra o involucro.0. 1. 1. METODI DI ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI.Supponendo che le distribuzioni di tensioni σ ik e di deformazioni ε ik siano descrivibili con sistemi diequazioni differenziali (alle derivate parziali) lineari, sono garantite esistenza e unicità di soluzione,una volta assegnato il sistema carichi/vincoli. Spezzando il problema in sottoproblemi, uno per ognielemento, i vincoli della continuità fra gli elementi sono sostituiti da equivalenti azioni (iperstaticheinterne) esercitate scambievolmente. Questo sistema di azioni (forze, per gli elementi generici; forzee momenti, per gli elementi di linea; forze e momenti unitari, per quelli di superficie) ha risultantenulla rispetto all’esterno; le azioni hanno modi d’applicazione noti ed intensità (incognite) uguali edopposte fra elementi interfacciati; le intensità sono calcolate, imponendo la continuità geometricalocale dell’intero corpo.Anziché definire il sistema di forze iperstatiche ignote, è possibile introdurre la formulazione duale,basata sul sistema delle interconnessione ignote; il sistema degli spostamenti (traslazioni, rotazioni)interni deve essere scelto in modo che sia verificata la congruenza locale; le intensità sono, quindi,calcolate dalla imposizione dell’equilibrio per il sistema delle forze (esterne ed interne) agenti.Per sistemi conservativi, sono impostabili soluzioni energetiche, imponendo: - la congruenza deglispostamenti virtuali, per ricavare sistemi di iperstatiche equilibrati; ovvero: - l’equilibrio delle interazionivirtuali, per ricavare la continuità fra gli elementi interfacciati. I risultati così ottenuti hannovalore globale. Per sistemi non conservativi, la procedura può essere condotta nell’intorno di unaeffettiva traiettoria (salvo poi accertare la ragionevolezza della trasformazione ipotizzata).Fissati questi aspetti, il dimensionamento strutturale mediante metodi numerici agli elementi finiti èoggi perseguibile con programmi di agevole users’ friendly impiego. La principale difficoltà non stanel generare un modello, ma nel verificarne la rispondenza all’applicazione tecnica da affrontare, inquanto soluzioni sono generate anche quando i modelli non corrispondono a comportamenti fisiciragionevoli.0. 1. 2. IMPOSTAZIONE DEGLI ARGOMENTI.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE4Nella formulazione corrente, i metodi agli elementi finiti sono basati sul sistema degli spostamenti(generalizzati) incogniti, da valutare con le condizioni d’equilibrio del sistema delle forze (interneed esterne). Le procedure sono illustrate con ricorso ad esempi semplici. Si parte dall’elemento“asta”, intersezione fra le classi degli elementi generici e speciali, considerandolo dai due punti divista; sono, quindi, esaminate le strutture formate da aste (sistemi reticolari). I risultati sono estesiper altri elementi continui, con distribuzioni uniformi di sollecitazione e sono rivisti secondo gliapprocci energetici dei sistemi conservativi. Sono, poi, introdotti gli elementi generici di ordinesuperiore, specificando il ruolo delle funzioni di forma. La rassegna è completata dagli elementispeciali (trave, lastra e involucro) e dalle strutture a telaio (assemblaggi di elementi speciali). Achiusura, sono dati cenni per estensioni (situazioni non lineari, non conservative, ecc.).Gli argomenti sono presentati in modo da dare evidenza interpretativa agli sviluppi, affinché sia inogni momento evidente il tipo di ipotesi utilizzate. Le procedure numeriche hanno lo scopo di daresoluzioni approssimate, ed è fondamentale avere la percezione delle schematizzazioni introdotte, inmodo da valutare i margini di attendibilità dei risultati. Di seguito è accennato allo schema base disoluzione, utilizzato per tutti i successivi sviluppi, fatte salve le estensioni richiamate da ultimo.0. 2. SCHEMA NOMINALE DI SOLUZIONE.Gli elementi finiti si ritengono costituiti da porzioni di solidi elastici, omogenei ed isotropi con le ulteriorirestrizioni della proporzionalità fra tensioni e deformazioni e della indistinguibilità locale dei referenziali(sono infinitesimi sia gli spostamenti sia i relativi gradienti). I noti tensori (simmetrici) di tensione e dideformazione hanno (più sovente) le componenti raccolte in forma di vettore colonna:{σ} = {σ 11 , σ 22 , σ 33 , σ 12 , σ 23 , σ 31 } ; {ε} = {ε 11 , ε 22 , ε 33 , γ 12 , γ 23 , γ 31 } = {ε 11 , ε 22 , ε 33 , 2ε 12 , 2ε 23, 2ε 31} .Va ricordata l’anomalia nella definizione delle deformazioni angolari, che, consente il calcolo dei potenzialielastici con vettori di soli sei termini.Nell’ambito della proporzionalità, la relazione di legame è scritta: {σ} = [Λ] {ε} ; ove:[Λ] =⎡1-νν ν 0 0 0 ⎤⎢⎥⎢ ν 1-νν 0 0 0 ⎥⎢⎥E ⎢ν ν 1-ν0 0 0⎥1 -ν(1+2 ν) ⎢ 0 0 0 12 - ν 0 0⎢⎥⎢ 0 0 0 0 12 - ν 0 ⎥⎢0 0 0 0 0 12 - ν⎥⎣⎦⎥ ; ovvero: {ε} = [Λ]-1 {σ} , ove: [Λ] -1 =Nell’ambito della linearità, le relazioni di equilibrio e di congruenza sono:σ σ σ11,1 + 21,2 + 31,3 + 1 = 0⎡ 1 -ν-ν0 0 0 ⎤⎢⎥⎢-ν1 -ν0 0 0 ⎥⎢⎥1 ⎢-ν-ν1 0 0 0⎥E ⎢ 0 0 0 1+ ν 0 0 ⎥⎢⎥⎢ 0 0 0 0 1+ ν 0 ⎥⎢0 0 0 0 0 1+ ν⎥⎣⎦σ + σ + σ + f = 0 , con: σ n + σ n + σ n = p ; ε = u , γ = 2 ε = u + u , contorno su u .12,1 22,2 23,3 213,1 + 23,2 + 33,3 + f3= 0σ σ σfσ n σ n σ n p11 1 + 21 2 + 31 3 = 112 1 22 2 23 3 213n1 + 23n2 + 33n3 = p3σ σ σεu11 = 1,122 2,233 = u3,3εγεuu12 = 2 12 = 1,2 + 2,123 23 2,3 3,231 = 2 31 = u3,1 + u1,3γ εcon: condizioni alkovvero su u k,j .La linearità del modello assicura esistenza ed unicità di soluzione. In difetto di procedure analitiche, quellenumeriche sono utile prospettiva.0. 2. 1. METODI CON SPOSTAMENTI INCOGNITI.Per il solido elastico-lineare, i metodi tradizionali di analisi delle sollecitazioni possono ridurre le dimensionidel problema seguendo uno dei due approcci: del sistema delle forze iperstatiche ignote, ovvero: del sistemadelle interconnessioni ignote. Le procedure numeriche tipicamente seguono la seconda alternativa. Eseguitala discretizzazione in elementi finiti, è specificata la geometria delle interconnessioni (o nodi) fra di essi. Lecondizioni al contorno per ogni elemento prevedono, in conseguenza, spostamenti nodali incogniti {q}, lacui entità è calcolabile se sono scelti sistemi di carichi equilibrati e sono calcolate le matrici di rigidezza [K].La procedura cambia a seconda che si usino elementi generici o speciali; nel primo caso, le interconnessionisono puntuali e basterà raggiungere l’uguaglianza delle traslazioni dei nodi omologhi; nel secondo, si hannoelementi piani o rettilinei d’interconnessione, ed occorrerà assicurare l’uguaglianza di traslazioni e rotazioni(si parla, cioè, di spostamenti generalizzati, in corrispondenza alle caratteristiche prima richiamate).Il vantaggio del metodo in termini di spostamento discende dal fatto che si può ridurre l’ordine del modellomediante ricorso alle (cosiddette) funzioni di forma (o di spostamento) di tipo polinomiale. Queste funzioniA cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC.

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE5sono utilizzate per esprimere la deformazione locale degli elementi, in modo da raccordare gli spostamentinodali agli spostamenti subiti dagli altri punti del corpo. La classe dei polinomi è derivabile (cioè, si possonoesplicitare le componenti di {ε}, appena calcolati i gradienti) e consente di affinare la continuità aumentandoil grado del polinomio.Su siffatte premesse, la procedura risolutiva si sviluppa su sette passi: • Scelta dell’elemento e della funzioneinterpolante di forma. • Precisazione dello stato di sollecitazione e delle equazioni di legame. • Derivazionedella matrice di rigidezza locale. • Assemblaggio della matrice di rigidezza complessiva. • Applicazione dellecondizioni di carico e di vincolo. • Risoluzione numerica del sistema matriciale {Q} = [ K ] {q} ottenuto. •Valutazione delle caratteristiche di sollecitazione indotte.Nei paragrafi seguenti, la sequenza dei passi è ripetuta, per evidenziare le particolarità di elementi e funzionidi forma in relazione, anche, a matrici [Λ] particolari per distribuzioni uni- o bi-assiali di sollecitazione. I tresuccessivi punti consentono di apprezzare i margini di incertezza dei modelli fisici. Gli ultimi due sono piùconnessi ad aspetti numerici.0. 2. 2. ESTENSIONE DELLE SOLUZIONI NOMINALI.Le ipotesi assunte per potere arrivare a sistemi d’equazioni differenziali lineari in campo conservativo sono,a volte, restrittive per applicazioni di interesse tecnico. Poiché l’interesse è volto ai metodi numerici, di là daquelli analitici (eventualmente disponibili per alcune classi di problemi), è utile chiedersi come rilassare leipotesi, di volta in volta, critiche, ed ottenere ugualmente risultati entro limiti ragionevoli d’incertezza.Nella pratica, sono di interesse un certo numero di estensioni, quali:• non linearità geometriche (instabilità di forma): non è più vero che spostamenti e gradienti siano entrambiinfinitesimi, il tensore di deformazione {ε∗} non è più lineare nei gradienti e quello di tensione {σ∗}, datonel referenziale a deformazione avvenuta, deve includere gli effetti della geometria corrente;• scostamenti del materiale dalla linearità: in luogo della matrice con coefficienti costanti si ha una relazionedi legame [Λ(ε)] pre-definita (per esempio, andamento bi-lineare elasto-plastico), per cui occorre conoscere{ε} per potere valutare {σ}; i termini della matrice di rigidezza sono ottenibili per iterazione. ove costruitesuccessioni locali di matrici [Λ(ε h )];• scostamenti del materiale dall’isotropia: i tensori {ε} e {σ} hanno nove componenti distinte, occorrerannofunzioni di forma dipendenti dall’orientamento e matrici [Λ] opportunamente specializzate; le equazioni diequilibrio locale devono considerare traslazioni e rotazioni;• scostamenti del materiale dalla reversibilità: le estensioni lineari ricorrono a leggi visco-elastiche e legamidi proporzionalità in termini di velocità di deformazione; è possibile costruirsi funzionali da cui derivare lematrici di rigidezza con tecniche variazionali; queste approssimazioni hanno largo uso se occorrono analisidinamiche (per ottenere matrici di impedenza, con termini elastici, viscosi ed inerziali);• variabilità nel tempo delle relazioni di legame: intervengono fattori ambientali (per esempio la temperatura,nel caso di scorrimento a caldo) che inducono effetti visco-elastici, visco-plastici o anche più complessi acausa di legami non-lineari con la deformazione o la velocità di deformazione; la dipendenza esplicita daltempo appare sin dalla storia del carico;• non linearità al contorno (geometrie di contatto): le superfici all’interfaccia fra due corpi dipendono dalletopologie locali, e può non aversi proporzionalità fra gradienti di spostamento e tensioni; se gli effetti diattrito sono inclusi, si aggiungono non-linearità e irreversibilità che richiedono di operare nell’intorno disoluzioni pre-costituite;• vincoli non olonomi (geometrie d’urto): lo stato di sollecitazione, di là dai problemi di contatto, richiede dimodellare impedenze con contributi inerziali e coefficienti di trasmissione/riflessione/restituzione;• polarizzazioni per forze superficiali: se i potenziali di superficie risultano predominanti rispetto a quelli divolume, la schematizzazione con carichi nodali equivalenti induce distorsioni da verificare (soprattutto inpresenza di continui con deformabilità molto diverse); le incongruenze sono rese palesi nei recenti sviluppidelle nano-tecnologie.L’elenco è illustrativo delle molte estensioni a cui è fatto ricorso per la studio di problemi di interesse tecnicoed ha lo scopo di richiamare la corrente strategia: riduzione di storie non-lineari a sequenze locali lineari conperturbazioni additive. Dopo di che si instaura un processo iterativo, che (si spera) converga a soluzioni chemeglio approssimano le condizioni (di equilibrio e di congruenza) effettivamente presenti. Il processo puòincontrare punti singolari, con biforcazione fra soluzioni possibili (la non linearità non garantisce unicità disoluzione), per cui occorre sempre accertare la consistenza fisica di una soluzione numerica.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE6E’ bene siano tenute presenti queste osservazioni quando si usano le estensioni dei metodi numerici, restandointeso che la soluzione del modello lineare non è di per se stessa migliore, se il modello di partenza non eraidoneo a rappresentare il fenomeno allo studio.PROGETTO STRUTTURALE - SOLUZIONI NUMERICHE.1. ELEMENTO “ASTA”.Un’asta è, come detto, caso intersezione fra gli elementi speciali e generici: ha caratterizzazionegeometrica uni-dimensionale e presenta distribuzione uniforme di sollecitazione. Scegliendo glispostamenti quale variabile indipendente, la deformazione (e la tensione) sono derivabili da unafunzione di forma lineare.1. 1. MODELLO UNIDIMENSIONALE A SOLLECITAZIONE UNIFORME.L’elemento asta, di lunghezza l e sezione A, termina con due cerniere dette nodi. Gli spostamentinodali, q 1 e q 2 , avvengono sempre nella direzione dell’asse ξ dell’asta. Le forze nodali Q 1 e Q 2(uguali ed opposte) hanno anch’esse la direzione ξ; quella concorde con l’asse locale ξ è, perconvenzione, positiva, Fig. 1.1.Fig. 1.1. Elemento asta: spostamenti e forze nodali.La singola asta in equilibrio subisce allungamenti o accorciamenti (∆l>0, tirante; ∆l

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE7Il gradiente: d qdξ = q2-q1l= ε ζζ , definisce lo stato di deformazione (e di tensione) uniforme locale.lq2-q12L’energia elastica in funzione degli spostamenti nodali: Φ P =EA2 ∫ ( ) dξ=EA 2 2( - + )0 l2 l q2 q1 q2 q .1Il lavoro delle forze esterne è: L = Q 1 q 1 + Q 2 q 2 . L’energia totale: Φ T = (Φ P - L), che minimizzata rispetto a q 1 e∂ΦTa q 2 , porta alle relazioni:∂ q= E A ∂Φ( - 2 q + q ) -QT2 1 11 2 l= 0 ;∂ q=EA (2 q -q ) -Q2 1 22 2 l= 0.E si ritrova la matrice di rigidezza per legare localmente spostamenti e forze nodali.1. 1. 2. IMPOSTAZIONE-BASE DELL’ANALISI MATRICIALE DELLE SOLLECITAZIONI.La seconda derivazione si presta per dare una procedura applicabile, con generalità, secondo una sequenza asette passi: i primi tre per l’elemento singolo, i tre successivi per la struttura completa, l’ultimo per calcolarele quantità di interesse al di fuori dei nodi. Sono presentati aspetti, con formalismo idoneo a generalizzazioni.I • Scelta dell’elemento e della funzione interpolante di forma.Fissato l’elemento asta k e relativi nodi P k1 e P k2 nel referenziale locale P k1 [ξ k ], si ricorre alla funzione diforma (leggi d’interpolazione degli spostamenti) di tipo lineare q k (ξ k ), con le condizioni ai nodi ricordate,cioè: {q k } = [H k ] {c}, e si ricavano le costanti {c} = [H k ] -1 {q k }. Per l’asta: [H] = ⎡1 0⎤⎢⎣ 1 lk⎥⎦ .La scelta della coordinata ξ k lungo l’asta è conveniente quando è studiato un elemento singolo. Qualora lastruttura fosse composta da più aste fra loro incernierate, occorre ricorrere a un referenziale globale unicoO[x 1 x 2 x 3 ], e, quindi, le grandezze nodali dell’asta k sono utilmente raccolte nei vettori: {q k } = [{q k1 }{q k2 }],spostamenti, e: {Q k } = [{Q k1 }{Q k2 }], forze.Per esempio, per una struttura reticolare piana: q k1 = q kx1 cosθ k + q ky1 sinθ k , q k2 = q kx2 cosθ k + q ky2 sinθ k , e⎡⎤ ⎡qkx1⎤cosquindi: {c} = [H k ] -1 θksinθk0 0c{q k } , ovvero: ⎡ 1 ⎤ = ⎢⎥ ⎢qky1⎥ .⎢⎣c2⎥⎦⎢-cosθk -sinθk cosθk sinθk⎥ ⎢qkx2⎥⎣ lk lk lkl k ⎦ ⎣qky2⎦II • Precisazione dello stato di sollecitazione e delle equazioni di legame.La sollecitazione è uniforme; conviene che deformazioni (e tensioni) siano valutate nel referenziale globaleO[x 1 x 2 x 3 ], partendo dal gradiente degli spostamenti.⎡qkx1⎤Per la struttura piana dell’esempio precedente: {ε} = [B] {q k } = [1qky1[- cosθlk - sinθ k cosθ k sinθ k ]] ⎢ ⎥ .kqkx2⎢ ⎥⎣qky2⎦Dalla deformazione, è ricavata la tensione {σ} = [Λ] {ε} = [Λ][B] {q k } = E [B] {q k }, essendo [Λ] = E.III • Derivazione della matrice di rigidezza locale.La matrice di rigidezza è direttamente ottenibile dalle equazioni di equilibrio ai nodi: Q k2 = - Q k1 = Q k ;{Q k } = l k [B] T Q k = [- Q k cosθ k - Q k sinθ k Q k cosθ k Q k sinθ k ]. Ora, poiché: Q k = A k {σ}, si trova che:{Q k } = A k l k [B] T [Λ] [B] {q k } = [K k ] {q k } , ove: [K k ] = A k l k [B] T [Λ] [B] = A k l k E [B] T [B] , cioè:2 2⎡ cos θk cosθk sinθk - cos θk - cosθksinθk⎤AkE22k k k k k k[K k ] = ⎢ cosθ sinθ sin θ - cosθ sinθ - sin θ ⎥2 2, matrice simmetrica.lk- cos θk - cosθk sinθk cos θk cosθksinθk⎢2 2- cosθk sinθk - sin θk cosθk sinθk sin⎥⎣θk⎦La formulazione energetica può trattare anche elementi di ordine superiore. Nel presente caso:Φ T = Φ P - L = 1 lkT2 ∫{}{} σ ε Ak d ξ + {q k } T {Q k } = 1 lkT2([ ][B]{q k} ) ([B]{q k})kd0∫ΛA ξ + {q k } T {Q k } =0=12AklkT T∫{qk} ([B] E [B]){q k} dξ+ {q k } T {Q k } =k k0∂Φ1 T T2Al [{qk } ( [B] E [B] ){q k } ] + {qk} T {Q k } .TTOra, derivare∂ qcorrisponde a derivare la forma quadratica [{qk} {qk} ], ed ha come risultato 2 {qkk},quindi si ottiene il risultato già indicato.IV • Assemblaggio della matrice di rigidezza complessiva.Quando la struttura implica la presenza di una molteplicità di aste, questo passo consiste nel trasportare leA cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE8matrici di rigidezza locali {q k } nel medesimo referenziale globale in modo che le condizioni di equilibrio edi congruenza siano direttamente confrontabili.Si noti che l’asta considerata può essere parte di una struttura reticolare composta di più elementi asta. Inodi della struttura sono quindi i punti di giunzione (connessione) dei vari elementi. Le forze nodali {Q}sono le forze che ripristinano l’equilibrio del singolo elemento estratto dalla travatura reticolare di cui èparte. Se le forze esterne applicate nei nodi della struttura a cui era connesso l’elemento (ora “estratto”)sono di valore nullo, le forze nodali {Q} costituiscono delle forze interne, pari alla somma delle forzetrasmesse a quell’asta da tutti gli altri elementi a cui l’asta era collegata. Fino a che non vengono risolte leequazioni di equilibrio, congruenza e legame di tutta la struttura reticolare, le forze interne sono (in genere)incognite. L’operazione è esaminata nel prosieguo.V • Applicazione delle condizioni di carico e di vincolo.Se in un nodo della struttura reticolare è applicata la forza esterna di valore P, per l’equilibrio di quel nododeve essere: ΣQ = P; ossia: la somma algebrica delle forze interne di tutti gli elementi connessi a quelnodo deve equilibrare la forza esterna.Il modello con la matrice delle rigidezze assemblata incorpora, quindi, anche le condizioni di carico o divincolo assegnate. Queste, tipicamente, si presentano nella forma:- condizioni di carico: in un nodo è presente una forza di direzione ed intensità note;- condizioni di vincolo: ad un nodo è prescritto uno spostamento di direzione ed intensità note.Tali condizioni devono essere incorporate, mediante idonee procedure, esaminate nel seguito.VI • Risoluzione numerica del sistema matriciale ottenuto.La matrice di rigidezza, così costruita, è simmetrica e poco popolata. Esistono procedure di risoluzioneefficienti per il calcolo delle incognite (in questa formulazione, gli spostamenti nodali).VII • Valutazione delle caratteristiche di sollecitazione indotte.Trovati gli spostamenti nodali, si calcolano le deformazioni con le condizioni di congruenza e le tensionicon le relazioni costitutive. Si osserva che per il solido conservativo, le uniche incognite sono i gradienti dispostamento, poiché tensioni (e caratteristiche di sollecitazione) sono quantità implicite, per il principio delmassimo dell’energia potenziale.1. 2. GRADI DI LIBERTÀ DI UN MODELLO AD ELEMENTI DISCRETI.Gli elementi “asta” consentono di descrivere la deformabilità di una struttura discreta molto particolare, chesi discosta dal continuo solido, in quanto sia lecito prescindere dagli effetti incrociati fra le tensioni normali(un carico normale ha effetti anche nelle direzioni ortogonali a quella di applicazione, quindi genera sempretensioni con componenti normali e tangenziali).I gradi di libertà (alla deformazione) considerati consentono di studiare strutture reticolari con aste connesseda cerniere. Il numero di aste (e di cerniere) dipende dalle rigidezze relative di elementi o gruppi di elementiinterconnessi. A volte è possibile separare sotto-strutture che rappresentano blocchi sensibilmente più rigidi,rispetto a mutue connessioni relativamente più cedevoli. La notevole semplicità dei modelli ad aste consenteuna agevole visualizzazione per le relazioni di legame tra gradi di libertà.In un modello non labile, specificati i v vincoli, rimangono m = N - v equazioni di equilibrio per i gradi dilibertà suscettibilii di deformarsi. Se, per ipotesi, si considerano solo spostamenti assegnati di valore nullo{d v } = {0} risulta:{F L } (m) = [K LL ] (mxm) {d L } (m) .Si voglia evidenziare il legame esistente fra r gradi di libertà {d L }, scrivendo r relazioni del tipo:g 11 d L1 + g 12 d L2 + g 13 d L3 + … + g 1m d Lm = 0g 21 d L1 + g 22 d L2 + g 23 d L3 + … + g 2r d Lm = 0. . . . . . . . .g r1 d L1 + g r2 d L2 + g r3 d L3 + … + g rm d Lm = 0Ovvero, con notazione matriciale:[G] (rxm) {d L } (m) = {0} (r)(g ij sono costanti reali).Ogni legame elimina un grado di libertà, che diviene funzione degli s gradi di libertà conservati (s = m - r).A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE91. 2. 1. COSTRUZIONE DI MODELLI RIDOTTI (CON MINORI GRADI-DI-LIBERTÀ).Seguendo l’impostazione data, è possibile individuare una procedura per costruirsi, a partire da un modellodato, un modello ridotto, con un minore numero di elementi e, quindi, di variabili da trovare.Sia {d Le } (r) il sottovettore dei gradi di libertà eliminati e {d Lc } (s) il sottovettore dei gradi di libertà conservati.Il vettore {d L } può quindi essere ripartito: {d L } = { {d Le } | {d Lc } }.Anche la matrice [ G ] è ripartita, in conformità a {d L }, nelle due sottomatrici [G e ] (rxr) e [G c ] (rxs) .Per i gradi di libertà eliminati, in funzione di quelli conservati, si esplicita il prodotto [G] {d L } = {0} in:[G e ] {d Le } + [G c ] {d Lc } = {0} , da cui: {d Le } = - [G e ] -1 [G c ] {d Lc }.Quindi la riduzione, dagli m gradi di libertà {d L }, agli s gradi di libertà {d Lc }, conduce a:-1-1⎡{ dLe}⎤ ⎡[G e] [Gc]⎤⎡[G e] [Gc]⎤{d L } = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥{ d Lc } = [T*] {d Lc } , essendo: [T*] = ⎢ ⎥ .⎣{ dLc}⎦ ⎣ I ⎦⎣ I ⎦La riduzione è non singolare con idonea scelta di [G e ]. Esistono differenti criteri per procedere a costruire imodelli ridotti atti a rappresentare le proprietà originali del sistema; fra questi, spesso è usata la condizionedella conservazione dell’energia potenziale, come più oltre riportato al punto 4.3.PROGETTO STRUTTURALE - SOLUZIONI NUMERICHE.2. STRUTTURE RETICOLARI.Un modello strutturale è l’insieme degli elementi (aste) collegati agli estremi (nodi). In ogni nodo, ènecessario distinguere le grandezze (forze e spostamenti nel referenziale globale) del modello, dallemedesime riferite al singolo elemento (forze e spostamenti nei referenziali locali). Si distinguonomodelli lineari, piani e spaziali.2. 1. MATRICI DI RIGIDEZZA: DUE ASTE ALLINEATE.E’ considerato il modello elementare di una coppia di aste allineate. Sono definiti: il referenzialeglobale X ed i due referenziali locali x (1) e x (2) . La matrice di rigidezza della struttura collega ilsistema forze/vincoli {F}, che dall’esterno insiste sui nodi, con gli spostamenti nodali {d}:{d} = {d 1 ,d 2 ,d 3 } ; {F} = {F 1 ,F 2 ,F 3 } ; [ K ] =⎡K11 K12 K13⎤⎢⎥K21 K22 K23⎢⎥⎢⎣K31 K32 K33⎥⎦, matrice di rigidezza del modello.La numerazione dei nodi è arbitraria. Nel modello, Fig. 2.1, si scelgano, per esempio:d 1 = 0 (primo nodo vincolato); F 2 = 0 (secondo nodo scarico); F 3 = P (terzo nodo caricato).Sono incogniti: gli spostamenti nodali d 2 e d 3 ; e la forza nodale F 1 = R 1 , che è anche la reazione vincolare.Fig. 2.1. Coppia d’aste incatenate.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE10Si impongono le condizioni di congruenza e di equilibrio ai nodi:(1)(1) (2)(2)(1)(1) (2)(2)q1= d 1 ; q 2= q1= d2 ; q2= d3 ; F 1 = Q1= R1 ; F 2 = Q2+ Q1= 0 ; F3 = Q2= PSi scrivono separatamente le equazioni di equilibrio delle due aste:(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)(2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)Q1= k 11q 1+ k 12q 2; Q2= k 21q 1+ k 22q 2; Q1= k 11q 1+ k 12q 2; Q 2= k 21q 1+ k 22q 2Tenuto conto delle condizioni ai nodi, si hanno:(1) (1) (1)(1) (2) (1) (1) (2) (2)(2)(2) (2)F 1 =R 1 = = k d1+ k d2+0 d 3 ; F 2 = + = k d1+( + k )d2+ k d3 ; F 3 = Q = 0 d1+ k d2+ dQ 11112Q 2Q 121(2)k 11k 221112221(2)(2)k1233= k 22(1)(1)(1)(2)(2)quindi: K 11 = k ; K21= k ; K31=0 ; K 12 = k ; K22= + k ; K32= k ; K13=0 ; K 23 = ; K1121121221k223La matrice di rigidezza trovata è singolare, poiché la seconda equazione è la somma cambiata di segno dellealtre due. Prevede, inoltre, di includere la reazione vincolare R 1 , da calcolare. Per altro, anche gli spostamentinodali includono la condizione d 1 =0. Si procede, allora, alla ripartizione, per introdurre le condizioni alcontorno sugli spostamenti:⎡ R1 ⎤ ⎡K11 | K12 K13⎤⎡0⎤⎢−−−⎥ ⎢−− | −− −−⎥⎢−⎥R1= K11 0 + [K12K13] {d2d3}⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ; ⎡0⎤ ⎡K21⎤ ⎡K22 K23⎤⎡d2⎤.⎢ 0 ⎥ ⎢K21 | K22 K23⎥⎢d2⎥⎢ = 0+⎥⎢ ⎥P⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣K31⎦ ⎣K32 K33⎦⎣d3⎦⎢⎣ P ⎥⎦ ⎢⎣K31 | K32 K33⎥⎢⎦⎣d3⎥⎦Si nota che: - la matrice [K] è singolare perché include tutti i gradi di libertà del modello; ma la risultante deicarichi è uguale ed opposta alla risultante delle reazioni; di qui, la dipendenza nelle relazioni; - la proceduraper isolare gli spostamenti incogniti in funzione dei carichi noti riguarda il modello completo; questo, peraste allineate, è labile in direzione X, coincidente con x (1) e x (2) , unica possibilità di moto rigido del caso unifilare;la sola condizione d 1 =0 è idonea ad annullare la labilità del modello.Per caratterizzare la struttura: • il secondo sottosistema è risolto rispetto alle incognite d 2 e d 3 , poiché lamatrice è regolare (e i carichi esterni sono noti); • con gli spostamenti d 2 e d 3 ottenuti, la prima relazioneconsente il calcolo della reazione vincolare (per modelli isostatici la procedura è ridondante).2. 2. MATRICI DI RIGIDEZZA: MODELLO A N GRADI DI LIBERTÀ.La caratterizzazione di un modello ad N gradi di libertà è direttamente ottenibile generalizzando laprocedura delineata, cioè percorrendo i passi seguenti:A. ripartire il vettore {d} degli spostamenti nodali in due sottovettori {d V } e {d L }: vincolati e, rispettivamente,liberi: {d} = {d V |d L } ;B. distinguere, nel sistema delle azioni esterne {F}, i carichi noti {F n }, dalle reazioni vincolari {F r }; essendo,all’equilibrio: {F} = {F n } + {F r } = 0 ;nC. ripartire entrambi i contributi in due sottovettori, uno relativo agli spostamenti vincolati { F V} e {R}, enl’altro a quelli liberi { } e {0}; essendo: {Fn n n} = { | }, e: {Fr } = {R|0}.F LF VLe forze esterne (note) applicate a nodi vincolati non hanno effetto sulla deformazione della struttura, solomodificano l’entità delle reazioni vincolari (che devono, localmente, risultare equilibrate).La matrice delle rigidezze avrà una ripartizione corrispondente a quelle introdotte per i vettori delle forze edegli spostamenti:n⎡{ F V}⎤ ⎡{ R}⎤ ⎡[ KVV] [ KVL]⎤⎡{ d V}⎤⎢ n ⎥+ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢⎥ , ripartendo [ K ] nelle sottomatrici: [K⎢{ L}VV ], [K VL ], [K LV ], [K LL ].⎣ F ⎥⎦⎣{}0 ⎦ ⎣[ KLV] [ KLL]⎦⎣{ d L}⎦Con questa scrittura, si distinguono gli spostamenti nodali incogniti {d L }, da quelli assegnati {d V }; i carichinnesterni agenti su nodi liberi { F L}(attori della deformazione), da quelli agenti su nodi vincolati { FV}, e dallereazioni vincolari {R}, che hanno effetto sul modello. La sottomatrice [KVV] ha inversa se la ripartizione di[K] è avvenuta isolando un sottovettore di spostamenti assegnati sufficiente ad impedire ogni labilità delmodello. In questo caso la soluzione per {d L } esiste. Un modello non labile, può essere isostatico (e {R} èimmediatamente calcolabile), ovvero iperstatico. La formalizzazione della procedura non cambia (nelsecondo caso, le reazioni vincolari dipenderanno dalla deformazione del modello e sono solo calcolabili aA cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMECF L

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE11posteriori).2. 2. 1. ASSEMBLAGGIO DIRETTO DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA.L’utilità delle strutture reticolari (formate esclusivamente da elementi asta) appare quando si consideranoconfigurazioni 2D o 3D. In ogni caso, i riferimenti locali x (j) rimangono uni-dimensionali, mentre, per quelliglobali occorre fare riferimento alle coppie XY ovvero alle terne XYZ.L’assemblaggio della matrice di rigidezza del modello può avvenire, se tutte le matrici di rigidezza localisono espresse nel riferimento comune, “proiettando” sugli assi globali le equazioni di equilibrio locale, cioè,occorre trasformare i vettori {Q (j) } e {q (j) }, e la matrice [K (j) ], in modo da avere omogeneità di coordinate, percui: {Q (j) } = [K (j) ] {q (j) (G)(G) (G)}, sia trasformata nell’equivalente: { } = [ ] { }.(j)Il calcolo degli elementi della matrice [K] a partire da quelli delle singole aste [ K ] può essere fatto in modo(j)automatico, con l’avvertenza di tenere conto del passaggio dagli assi x , all’asse globale X. La struttura unifilareconduce ad un modello avente matrice di rigidezza diagonale simmetrica, con termini nulli oltre ladiagonale principale e quelle contigue. Se i nodi non fossero numerati in sequenza, la matrice non è più tridiagonale,ma sparsa, senza che cambi il numero di termini non nulli.La numerazione dei nodi non è più ovvia (come nel caso uni-assiale). E’ chiaro che le aste non collegate fraloro conducono a zeri nella matrice globale di rigidezza. Esistono criteri per migliorare la computabilità delmodello assemblato. Ad esempio, un modello piano rettangolare ha struttura diagonalizzata con semi-bandaminore, se si percorrono successivamente i nodi posti lungo la dimensione più corta, Fig. 2.2.Nei modelli piani, gli spostamenti nodali hanno due mobilità (k=1,2); in quelli spaziali, sono possibili tremobilità per i nodi (k=1,2,3). La trasformazione d’assi aumenta le dimensioni delle matrici di rigidezza diogni asta, che divengono 4x4 per modelli piani, e 6x6 per configurazioni spaziali. Nelle travature reticolari, lerotazioni dei nodi non sono gradi di libertà.Q kK jq kFig. 2.2. Travatura reticolare piana: numerazione preferenziale dei nodi.2. 2. 2. TRASFORMAZIONE DELLE MATRICE LOCALI DI RIGIDEZZA.Per una struttura reticolare, l’assemblaggio della matrice di rigidezza è preceduto dalla numerazione dei nodie dalla trasformazione delle matrici locali dai referenziali locali, a quello comune globale.Esistono algoritmi atti a ri-numerare i nodi, in modo da “migliorare” le proprietà della matrice assemblata.Fissata la numerazione, dalla geometria (piana o spaziale) si ottengono le matrici per le trasformazioni degliassi, come mostrato dal seguente esempio.Esempio.Si consideri un elemento asta di un modello bidimensionale, Fig. 2.3. Si hanno:{q (j) ()} = { j ()q j } , {Q(j) () j () j( G)( G)( G)( G)( G)( G)( G)( G)} = { } ; { q } = { q } , { Q } = { }.q 12Q 1Q 2(G)() jq 1X1Yq 2Xq 2YA cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC(G)() jQ 1XQ 1YQ 2XQ 2Y

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE12(G)(G)I vettori { } e { } riportano, nodo dopo nodo nella sequenza di numerazione adottata, le componenti diq()jQ()jspostamento e forza nodale nel referenziale globale XY (o XYZ, nel caso spaziale).Fig. 2.3. Travatura reticolare piana: trasformazione al riferimento globale.Per esplicitare le trasformazioni, si osservi che:()q j (= G )(j) ( G)(j) ()cos Xx + cos Yx , q j (= G )(j) ( G)cos Xx + q cos Yx1q 1Xq 1Y2q 2X2Y(j); ovvero: {q (j) j (G)} = [ ] { q }.jLa matrice di trasformazione: [ T G] ha dimensioni 2x4 e contiene i coseni direttori dell’asta, caratteristicianche per gli spostamenti dei nodi agli estremi. Inoltre, si osservi che:(G)Q = q (j) cos Xx (j) (G) (j), Q = q cos Yx (j) G; pertanto: { } = [ ] {Q(j) j} = [ T ]T {Q (j) } ; essendo:k jXk jY( G ) ()Q1X= j(j) (Q 1cos Xx , Q G ) ()= Q j(j) (1Y 1cos Yx , G ) ()Q = j(j) (2XQ 2cos Xx , Q G ) ()= Q j2Y 2cos YxLa matrice di trasformazione ha dimensioni 4x2 ed è la trasposta della precedente.(G)Da questi risultati, è direttamente deducibile la matrice [ ]. In effetti:{Q (j) } = [K (j) ] {q (j) } = [K (j) j (G)j] [ T ] { }. Pre-moltiplicando per [ T ]T , si ottiene:Gq()j(G)j{ } = [ T ]T {Q (j) j} = [ T ]T [K (j) j (G)(G)j] [ ] { q } ; cioè: [ ] = [ T ]T [K (j) jG] [ ] = [ ] [K(j) j] [ T ].Q()jGGT G() jOgni matrice di rigidezza locale è pre- e post-moltiplicata per le matrici di trasformazioni d’assi. La matriceglobale continua ad essere simmetrica. Ove esistano aste non interconnesse, una numerazione efficienteconsente la diagonalizzazione a banda.2. 2. 3. VALUTAZIONE DELLE CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONI INDOTTE.Risultato primario di un modello discreto è il calcolo degli spostamenti nodali e, quindi, delle reazioni (se ilmodello è iperstatico). E’ possibile valutare le tensioni (uni-assiali normali) e le deformazioni (tri-assialinormali), presenti in ogni asta. Si procede nel modo seguente: - ricavato {d L } dei nodi liberi, si completa con(G){d V } dei nodi vincolati e si ottiene {d}; - per ogni asta, si calcolano gli spostamenti nodali { q }, estraendo a(G)ritroso le [ ] dalla matrice assemblata; - si ritorna alle coordinate locali per gli spostamenti {q(j) }, le forzeK j{Q (j) } e le rigidezze [K (j) (i)]; - si valutano le tensioni: σ i = Q /A, e le deformazioni: εPer aste compresse (puntoni) è rilevante la verifica all’instabilità di forma.2. 2. 4. ESTENSIONI: USO DI CARICHI NODALI EQUIVALENTI.Q j(G)()K jGK jGT jGGT G(j).T G(i) (i)2 i = ( q2- q 1)/LT j() j() jGi nominali.In presenza di carichi distribuiti sull’elemento asta, occorre ricondurre ai nodi l’effetto della forzante esterna,poiché il modello sviluppato consente di imporre condizioni d’equilibrio solamente ai nodi del modello e lacongruenza considera unicamente allungamenti o accorciamenti degli elementi.Una procedura approssimata, che è a volte equivalente in senso tecnico, considera:a) L’equazione di equilibrio: {Q (j) } = [K (j) ] {q (j) (j)(j)} + { Q }, in cui { } sono forze nodali equivalenti aglieffetti distribuiti.b) L’equivalenza è stabilita in termini locali, considerando l’asta isolata con entrambi i nodi vincolati, e(j)valutando le reazioni necessarie per l’equilibrio, cioè: { } = {R(j) }.eqQ eqQ eqA cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE13c) Dopo di che, il modello è affrontato, tenuto conto dei carichi aggiuntivi equivalenti.Esempio. Forze nodali equivalenti alla differenza ∆θ di temperatura locale.Si vincolano i nodi dell’asta alla temperatura base e si induce la variazione termica assegnata. Quindi:(j)σ = E ε = E α ∆θ , R 1 = - R 2 = E A α ∆θ . In conseguenza: { } = E A α ∆θ { 1 -1}.Nota.Essendo valido il principio di sovrapposizione dei carichi, è sempre lecito scrivere: {F} = [K] {d} + {F eq } ,ove: {F eq } è assemblato con la medesima legge usata per la costruzione del modello globale.2. 2. 5. IMPOSIZIONE DELLE CONDIZIONI DI VINCOLO.La ripartizione di [ K ] nelle sottomatrici: [K VV ], [K VL ], [K LV ], [K LL ] presume la numerazione dei nodi coninizio dai nodi vincolati e, solo, successivamente, gli altri. Con ordini differenti, la procedura implica unpreventivo riposizionamento di righe e colonne.In alternativa, i vincoli possono essere fatti rientrare entro la matrice di rigidezza del modello, ampliando lamatrice [K VV ] non singolare. La procedura considera lo specifico vincolo, spostamento assegnato: d h = d h∗,applicato al grado di libertà h del modello. Se vi sono più vincoli, la procedura va ripetuta. Nel modello: {F}= [K] {d}, si compiono quattro passaggi:# si pone K = 1;hh# si pone K = K = 0,jh(j = 1,2, .., N) ;# si sostituisce F con d ;hhj∗h# si sostituiscono Fj con∗Fj- Kjhd h, (j = 1,2, .., N) .• è utilizzato il principio disovrapposizione degli effetti,assicurando la soluzione:∗d h =1∗d h, con la, quindi: :∗⎡ F1-K1hd⎤h⎢∗⎥⎢ F2-K2hdh⎥⎢ . ⎥⎢ ⎥∗⎢ 1∗d ⎥h⎢ ⎥⎢ . ⎥⎢∗FN-KNhd⎥⎣h ⎦=Q eq⎡ K .. 0 .. K ⎤11 1N⎢⎥⎢K .. 0 .. K21 2N ⎥⎢ .. .. .. .. .. ⎥⎢⎥⎢ 0 .. 1 .. 0 ⎥⎢ .. .. .. .. .. ⎥⎢⎥⎢⎣K .. 0 .. KN1NN⎥⎦⎡ d1⎤⎢ ⎥d 2⎢ ⎥⎢ . ⎥⎢ ⎥⎢dh ⎥⎢ . ⎥⎢ ⎥⎢⎣d N⎥⎦, Fig. 2.4. Imposizione vincoli.Note.1) La simmetria di [K * ] è mantenuta.2) Per calcolare la reazione vincolare R h , occorre ritornare alla [K]; in tale caso, la h esima relazione è appunto:R h = Σ h K hj d h .2. 2. 6. INTRODUZIONE APPROSSIMATA DI VINCOLI-CONTORNO.Un risultato approssimato, ma equivalente al precedente quando è da imporsi un vincolo con spostamentopressoché nullo, si ottiene procedendo con i seguenti passaggi:• si sostituisce K hh con K ∗ = 10m Khhhh , m = 3-5;• si sostituisce F h con K ∗ d ∗ .hhhLa h esima relazione diviene: K ∗ d ∗ = Σhh h h K hj d h , con: K ∗ >> Khh hh , e dominante rispetto agli altri coefficientidella stessa riga e colonna. Quindi: K ∗ d ∗ hh h≈ K ∗ dhh h , e: d ∗ h≈ d h .Il risultato, approssimato, migliora seK ∗hhè molto grande; ma valori eccessivi creano problemi numerici. Lascelta K ∗ è formale; Può essere utile per introdurre un vincolo-contorno di assegnata rigidezza ed operantehhnella direzione dh, dell’asta (fittizia). L’elemento vincolo-contorno si comporta come un’asta (con due nodi),senza doverne dare indicazioni geometriche (A ed L). L’interposizione di un vincolo-contorno è sfruttabileper assegnare vincoli aventi direzione differente da quelle degli assi globali XYZ: Il vincolo-contorno ha unnodo per bloccare la struttura nella direzione (obliqua) desiderata, mentre l’altro nodo è comunque vincolatoal terreno con congruenza al referenziale.Esempio. Asta con spostamenti assegnati.Siano: d 1 =0 e: d 2 =10. Le forze applicate R 1 ed R 2 sono ignote.⎡R1⎤⎢ ⎥=AE ⎡1 -1⎤ ⎡d1⎤∗⎣R2⎦L ⎢-1 1⎥ ⎢ ⎥ . Posto: K = K ∗ = 104 AE11 22⎣ ⎦ ⎣d2⎦L , si ha: 4⎡ 0 ⎤AE⎢ 5⎥= AE ⎡10−1⎤ ⎡d1⎤⎣10⎦ L L⎢ 4⎥ ⎢ ⎥⎣−1 10 ⎦ ⎣d2⎦quindi: d 1 = 10 -3 ≈ 0, e: d2 = 10 4 10 -3 ≈ 10 .2. 2. 7. VINCOLI OBLIQUI: ROTAZIONE DEI REFERENZIALI NODALI.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE14Per non dovere introdurre approssimazioni, occorre potere disporre, di là dal riferimento globale XYZ, diriferimenti nodali x * y * z * ad orientamento variabile.Forze e spostamenti nodali nella {F} = [K] {d}, infatti, sono sempre riferiti agli assi comuni e le terne deivincoli seguono automaticamente detti orientamenti globali. Se nel nodo h esimo vi è un vincolo con direzioneobliqua, occorre localmente garantire mobilità e carichi con l’orientamento precisato. Ciò implica modificarela matrice di rigidezza del modello, per includere l’orientamento effettivo, nodo per nodo.Quindi, considerato il nodo h esimo , e individuati i corrispondenti gradi di libertà cartesiani:d 2h-1 = d hx , d 2h = d hy , modello 2D ; ( d 3h-2 = d hx , d 3h-1 = d hy , d 3h = d hz , modello 3D),si dovranno fare apparire (modello 2D):= d hx cosXx * + d hy cosYx * , = dhx cosXy * + d hy cosYy * ,d ∗ hx∗hxd ∗ hy∗hyF = F hx cosXx * + F hy cosYx * , F = Fhx cosXy * + F hy cosYy * ,Per la modifica, è conveniente operare in due passi:a) sostituzione delle mobilità del vettore {d}:- al posto della colonna 2h-1 della matrice [K], è sostituita la combinazione lineare:[(colonna 2h-1) x cosXx * ] + [(colonna 2h) x cosYx * ],- al posto della colonna 2h della matrice [K], è sostituita la combinazione lineare:[(colonna 2h-1) x cosXy * ] + [(colonna 2h) x cosYy * ],∗- al posto di d hx e d hy si sostituiscono dhxe d ∗ hy.b) sostituzione delle forze del vettore {F}:∗- analoghe sostituzioni, riguardanti le righe 2h-1 e , 2h, fino a fare apparire F hxe F ∗hy.Nota.Al termine del primo passo, la matrice [K # ] non è più simmetrica, poiché le forze sono date nel referenzialeglobale, ruotato rispetto a quello rispetto a quello in cui sono espressi gli spostamenti.Al termine del secondo passo, la matrice [K * ] è nuovamente simmetrica, poiché anche le forze sono date nelreferenziale nodale x * y * z * .2. 3. RUOLO DEI VINCOLI NELLA DEFINIZIONE DEI MODELLI.Il concetto di “vincolo” permette l’assegnazione di un definito spostamento ad un sotto-insieme dinodi del modello. Ciò può:# corrispondere all’effettiva presenza di un fattore esterno che impone (o blocca) lo spostamento del nodo;# consentire l’introduzione di condizioni sugli spostamenti nodali utili alla correttezza della modellazione.La seconda opportunità conduce a vincoli impropri, con, per lo più, due finalità:ripristinare la congruenza di una struttura modellata solo parzialmente (in presenza di simmetrie, ecc.);consentire l’analisi di modelli labili, ma soggetti a carichi esterni auto-equilibrati.A) Vincoli di simmetria.Per una struttura, che abbia simmetria geometrica, di vincoli e di carico, è possibile studiare ilmodello di una metà, introducendo nei nodi del piano di simmetria i vincoli del caso (vincoli disimmetria). Il dimezzamento della struttura può essere ripetuto tante volte quanti sono i piani disimmetria.I vincoli devono impedire gli spostamenti dei nodi in direzione normale al piano di simmetria.N.B. Con elementi diversi dalle “aste”, i vincoli di simmetria possono imporre anche l’annullamento dellerotazioni.B) Vincoli anti-labilità.Un modello esternamente labile possiede matrice [K LL ] singolare; non è, quindi, analizzabile anchese il sistema carichi-vincoli avesse risultante e momento risultante nullo (modello auto-equilibrato).Per altro, è lecito prescindere dagli spostamenti nella direzione di labilità e risolvere il modello intermini di spostamenti relativi, differenze fra gli spostamenti assoluti e quello del punto nodaleA cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE15assunto a riferimento.Imponendo in detto nodo un vincolo anti-labilità, non mutano le relazioni forze-spostamenti: poichéle forze esterne hanno risultante nulla, in detto nodo non vi è reazione vincolare.Lo studio del moto rigido del modello, ovviamente, deve ritornare a considerare gli spostamentiassoluti (rimuovendo il vincolo anti-labilità).2. 4. ESEMPIO ILLUSTRATIVO DI ANALISI STRUTTURALE.Un esempio di travatura a quattro aste, connesse da cerniere prive d’attrito, è dato in Fig. 2.5. I nodi 1, 2 e 4sono solidali con l’esterno; al nodo 3, interno, è applicato un carico di direzione nota. Le aste 13 e 23abbiano sezione: A 1 = 250 mm 2 ; l’asta 34 abbia sezione: A 2 = 450 mm 2 .L’analisi segue la procedura data al punto 1.1.2., tenuto conto delle considerazioni sopra richiamate. Con iprimi due passi: è scelto l’elemento asta e la funzione di forma lineare (perché la sollecitazione è uniforme);quindi, sono definiti i referenziali globale e locali e la legge di stato del materiale con E = 207 GPa.a) MATRICI DI RIGIDEZZA DELLE ASTE.Asta 13: elemento 1 , nodi 1 e 3 , inclinazione 30 0 , lunghezza: 3 646 mm , area trasversale 250 mm 2 .⎡Q1x1⎤⎡ 11.205 6.469 - 11.205 - 6.469⎤⎡q1x1⎤Q1y1Relazione forze/spostamenti locali: ⎢ ⎥ 6= 10 ⎢6.469 3.735 - 6.469 - 3.735⎥⎢q1y1⎥ ,⎢Q1x3⎥- 11.205 - 6.469 11.205 6.469⎢⎥ ⎢q1x3⎥⎢⎣Q1y3⎥- 6.469 - 3.753 6.469 3.735⎦ ⎣⎦ ⎣q1y3⎦⎡Q1x1⎤⎢Q1y1⎥⎢Q1x2⎥1y2che, nel referenziale globale, diviene: ⎢Q⎥ = 10⎢Q1x3⎥⎢Q1y3⎥⎢Q1x4⎥⎣Q1y4⎦6⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣11.205 6.469 0 0 - 11.205 - 6.469 0 06.469 3.753 0 0 - 6.469 - 3.753 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0- 11.205 - 6.469 0 0 11.205 6.469 0 0- 6.469 - 3.753 0 0 6.469 3.753 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣qqqqqqqq1x11y11x21y21x31y31x41y4⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦.Fig. 2.5. Esempio di travatura reticolare piana.Asta 23: elemento 2 , nodi 2 e 3 , inclinazione 0 0 , lunghezza: 3 000 mm , area trasversale 250 mm 2 .⎡Q2x2⎤ ⎡ 17.25 0 - 17.25 0⎤⎡q2x2⎤Q2y2Relazione forze/spostamenti locali: ⎢ ⎥ 6= 10 ⎢0 0 0 0⎥⎢q2y2⎥ ,⎢Q2x3⎥- 17.25 0 17.25 0⎢⎥ ⎢q2x3⎥⎢⎣Q2y3⎥0 0 0 0⎦ ⎣⎦ ⎣q2y3⎦A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE16⎡Q2x1⎤⎢Q2y1⎥⎢Q2x2⎥2y2che, nel referenziale globale, diviene: ⎢Q⎥ = 10⎢Q2x3⎥⎢Q2y3⎥⎢Q2x4⎥⎣Q2y4⎦6⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 17.25 0 - 17.25 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 - 17.25 0 - 17.25 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣qqqqqqqq2x12y12x22y22x32y32x42y4⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦.Asta 34: elemento 3 , nodi 3 e 4 , inclinazione 0 0 , lunghezza: 4 000 mm , area trasversale 450 mm 2 .⎡Q3x3⎤⎡ 23.29 0 - 23.29 0⎤⎡q3x3⎤Q3y3Relazione forze/spostamenti locali: ⎢ ⎥ 6= 10 ⎢0 0 0 0⎥⎢q3y3⎥ ,⎢Q3x4⎥- 23.29 0 23.29 0⎢⎥ ⎢q3x4⎥⎢⎣Q3y4⎥0 0 0 0⎦ ⎣⎦ ⎣q3y4⎦⎡Q3x1⎤⎢Q3y1⎥⎢Q3x2⎥3y2che, nel referenziale globale, diviene: ⎢Q⎥ = 10⎢Q3x3⎥⎢Q3y3⎥⎢Q3x4⎥⎣Q3y4⎦b) ASSEMBLAGGIO DELLA MATRICE DI RIGIDEZZA.6⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 23.29 0 - 23.29 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 - 23.29 0 23.29 00 0 0 0 0 0 0 0⎡Qx1⎤ ⎡ 11.205 6.469 0 0 - 11.205 - 6.469 0 0⎤⎡qx1⎤⎢Qy1⎥ ⎢ 6.469 3.753 0 0 - 6.469 - 3.753 0 0⎥⎢qy1⎥⎢Qx2⎥ ⎢0 17.25 0 - 17.25 0 0 0 0⎥⎢qx2⎥Qy2Si sovrappongono i contributi: ⎢ ⎥ = 10 6 0 0 0 0 0 0 0 0⎢⎥ ⎢qy2⎥ .⎢Qx3⎥- 11.205 - 6.469 - 17.25 0 51.245 6.469 - 23.29 0⎢⎥ ⎢qx3⎥⎢Qy3- 6.469 - 3.753 0 0 6.469 3.753 0 0⎥q 3⎢⎥ ⎢y⎥⎢Q0 0 0 0 - 23.29 0 23.29 0x4⎥qx4⎢⎣Q0 0 0 0 0 0 0 0⎥⎢ ⎥y4⎦ ⎣⎦ ⎣qy4⎦Nel nodo 3 convergono tre aste (alcuni contributi sono nulli, poiché le aste 2 e 3 sono orizzontali). Occorreparticolarizzare la relazione globale trovata alle condizioni di carico e vincolo della struttura.c) APPLICAZIONE DELLE CONDIZIONI DI CARICO E VINCOLO.Le condizioni di vincolo impongono che siano nulli gli spostamenti (orizzontali e verticali) dei nodi 1, 2 e 4. Lecondizioni di carico sono: F x3 = 20 cos45° 10 3 N, F y3 = 20 sin45° 10 3 N. Si hanno quindi:{d} = {0 , 0 , 0 , 0 , d x3 , d y3 , 0 , 0} ; {F} = {0 , 0 , 0 , 0 , F x3 , F y3 , 0 , 0} .d) RISOLUZIONE E ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI.Applicando queste condizioni di carico e vincolo, ci si riduce alle:⎡20 cos45° ⎤ 6 ⎡51.745 6.469⎤⎡dx3⎤dx3=- 0.256 mm4.229 mm10 3 = 10 ⎢, quindi:⎢⎣20 sin45° ⎥⎦ ⎣ 6.469 3.735⎥.⎦ ⎢⎣dy3⎥⎦dy3=Con le ipotesi dell’elasticità lineare, si calcolano le tensioni nelle aste mediante la: {σ j } = E[B] j {q k } j .Elemento 1: {σ 1 } =6207 10⎡ 0 ⎤⎢ ⎥⎢ 0 ⎥⎢ ⎥⎢dx⎥⎢dy⎥⎣ 3 ⎦3 464 {- 0.866 , - 0.5 , 0.866 , 0.5} 3= 113.1 10 6 N/m .Elemento 2: {σ 2 } = - 17.6 10 6 N/m . Elemento 3: {σ 3 } = 13.2 10 6 N/m .Le reazioni ai vincoli 1, 2 e 4 sono immediatamente calcolate moltiplicando le tensioni per le aree.⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣qqqqqqqq3x13y13x23y23x33y33x43y4⎤⎥⎥⎥ .⎥⎥⎥⎦A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE17PROGETTO STRUTTURALE - SOLUZIONI NUMERICHE.3. ELEMENTI GENERICI.Un componente strutturale può essere scomposto in porzioni solide, che subiscono deformazionivolumetriche e distorsioni angolari, perché sottoposte a condizioni di carico/vincolo nello spazio.Nel continuo, tensioni e deformazioni sono quantità a due indici, per distinguere componenti edeffetti normali e tangenziali. Gli elementi generici considerano porzioni definite da punti: allineati,poiché geometria e carico consentono di riferirsi a proprietà medie su sezioni maestre; appartenentia piani o a superfici, poiché geometria e carico consentono di riferirsi a proprietà medie su spessoricorrenti; distribuiti nello spazio, se geometria e carico non consentono modellazioni che riducano ladimensionalità del problema. La descrizione del comportamento di elementi solidi con un numerofinito di punti è un’approssimazione, poiché le condizioni di equilibrio localizzate operano su forzee spostamenti lineari, e non su momenti e spostamenti angolari, solo implicitamente considerati peril reticolo globale della scomposizione in porzioni solide della struttura.3. 1. SEGMENTAZIONE IN ELEMENTI DISCRETI GENERICI.Il modello continuo è astrazione di comodo, ma la scelta di elementi discreti generici utilizza inpartenza detta astrazione, e sostituisce variabili continue nelle coordinate spaziali, con grandezzediscrete in numero convenientemente elevato, ma, comunque, finito. Gli elementi finiti scambianoforze solo in corrispondenza dei punti nodali o nodi del modello discreto, situati ai vertici o lungogli spigoli. Si dicono elementi del primo ordine, quelli che hanno i nodi solo ai vertici; elementi delsecondo ordine, quelli con un solo nodo sugli spigoli; l’ordine dell’elemento aumenta in relazioneal numero di nodi lungo gli spigoli. Per un elemento di ordine superiore, cresce il numero di nodi incorrispondenza dei quali vi è scambio di forze; tali nodi debbono sempre combaciare.Elementi tipici sono: tetraedro, esaedro, prisma triangolare, piramide a base quadrata, ecc,; sonoanche usati elementi piani: triangoli, quadrilateri, ecc., quando stati biassiali di tensione permettonodi prescindere dalle sollecitazioni nella terza direzione. Al contorno, la geometria del corpo può nonessere esatta, ma l’approssimazione non comporta grossi errori.L’analisi muove con il modello ad elementi finiti nella configurazione deformata di equilibrio. Ilsingolo elemento isolato è in equilibrio sottoposto a forze esterne (ricondotte ai nodi) ed interne (leinterazioni con gli elementi contigui). Le forze di volume devono essere integrate e suddivise fra inodi; le caratteristiche di superficie o di linea occorre siano riferite ai nodi (a differenza dei metoditradizionali operanti con gli elementi speciali). La riduzione delle forze a un numero finito di puntipermette di affrontare con coerenza l’analisi dei solidi elastici, nell’ipotesi dell’equivalenza tecnicadei risultati. Le convalide sono desunte in via fattuale.3. 1. 1. IMPOSTAZIONE E NOTAZIONI DI RIFERIMENTO.Ipotizzate le condizioni d’equilibrio, la soluzione è cercata imponendo le condizioni di congruenza.Si utilizza la seguente notazione (sono virtuali, gli spostamenti nodali compatibili con i vincoli):• N e - numero di elementi del modello;• M - numero totale di nodi del modello;• N - numero totale di gradi di libertà del modello;• n - numero totale di gradi di libertà di un elemento;• p - numero degli spostamenti virtuali (gradi di libertà) di ogni nodo;A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE18• m - numero dei nodi di ogni elemento;• (p* - numero degli spostamenti virtuali generalizzati (gradi di libertà) di ogni nodo).Risultano: n = m x p ; N = M x p (ma: M ≠ m x N e ).(Per gli elementi speciali, è fatto ricorso a spostamenti generalizzati: n = m x p* ; N = M x p*).Le equazioni d’equilibrio dell’elemento isolato sono: {Q} (n) = [k] (nxn) {q} (n) , in numero di n.L’equazioni d’equilibrio dell’intero modello sono: {F} (N) = [K] (NxN) {d} (N) , in numero di N.Finché non sono state risolte le equazioni: {F} = [K] {d} del modello completo, gli spostamentinodali {q} del generico elemento non sono noti.Il vettore {q} può essere ripartito in m sottovettori di spostamenti nodali (generalizzati), ciascunorelativo ad un singolo nodo: {q} = {q 1 .. q m-p q m-p+1 .. q m } = {q i ; q j } , distinguendo i sottovettori chehanno spostamenti vincolati {q} j(m-p) , da quelli che corrispondono ai gradi di libertà {q} i(p) .Analoga ripartizione può essere eseguita per il vettore delle forze nodali (generalizzate): {Q}.Queste ripartizioni servono per evidenziare le forze interne, che si scambiano fra loro gli elementicontigui.3. 1. 2. CONTINUITÀ E PROCEDURE D’INTERPOLAZIONE.Occorre propagare la sollecitazione al di fuori dei punti combacianti, nei quali sono verificate lecondizioni di equilibrio. Si definisce funzione di forma, o di spostamento, la relazione analitica chelega la distribuzione dello spostamento incognito {u} = {u(x,y,z)} all’interno di un elemento con glispostamenti nodali {q} di quell’elemento. La relazione è espressa in forma matriciale dalla:{u} (p) = [N] (pxn) {q} (n) ; [N] = [π ij (x,y,z;m)] , ove: π ij (x,y,z;m), polinomi di grado m.Ove la distribuzione degli spostamenti entro l’elemento fosse nota, la funzione di forma sarà data datale legge. Si veda il caso dell’elemento asta, con sollecitazione uniforme, gradiente di spostamentocostante e funzione di forma lineare. Così la trave inflessa (nel piano yz), con carichi agli estremi(nodi) ha linea elastica: η(z) = c 1 z 3 + c 2 z 2 + c 3 z+ c 4 . Le condizioni al contorno riguardano sia frecceche inclinazioni agli estremi: η(0) = q 1 , η’(0) = q 2 , η(l) = q 3 , η’(l) = q 4 . Quindi:η(z) = [1-3(z/l) 2 +2(z/l) 3 , z-2z 2 /l+z 3 /l 2 , 3(z/l) 2 -2(z/l) 3 , -z 2 /l+z 3 /l 2 ] {q 1 q 2 q 3 q 4 } ;è fatto, cioè, riferimento a spostamenti generalizzati (ed a elementi speciali, e solo con questa sceltaè possibile non affinare la discretizzazione).La scelta di funzioni di forma polinomiali consente interpolazioni esatte nei casi unidimensionali(asta o trave inflessa). Negli altri casi (bidimensionali: lastre, gusci, problemi assialsimmetrici, problemipiani; tridimensionali) la forma polinomiale conduce a rappresentazioni approssimate, che possonoessere migliorate aumentando il grado del polinomio; i coefficienti c k , delle forme polinomiali digrado superiore al primo, sono valutabili: - per gli elementi speciali, utilizzando spostamenti nodaligeneralizzati; - per gli elementi generici, utilizzando nodi intermedi sugli spigoli.Le relazioni: {u(x,y,z)} = [N(x,y,z)] {q}, consentono di interpolare gli spostamenti entro il volume delsingolo elemento, utilizzando le coordinate [x,y,z] del referenziale locale. L’approssimazione èmigliore, se si utilizzano piccoli elementi (poiché si limita l’intorno di propagazione dei risultati),ovvero se si aumenta il grado del polinomio (poiché si raccordano meglio le funzioni di forma, cheavranno all’interfaccia anche le derivate degli spostamenti in comune). Hanno:- elementi di tipo “d”, i modelli le cui funzioni di forma sono polinomi di grado prefissato;- elementi di tipo “p”, i modelli le cui funzioni di forma sono polinomi di grado variabile.Con gli elementi del primo tipo, si migliora l’approssimazione, aumentando il numero di elementiottenuti dalla discretizzazione del solido (e quindi riducendone le dimensioni); con quelli delsecondo tipo, l’approssimazione migliora innalzando (progressivamente) il grado dei polinomi.3. 1. 3. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI DI FORMA.La relazione: {u} (p) = [N] (pxn) {q} (n) , può equivalentemente essere scritta:A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE19{u} = Σ i [N] i {q} i , con: i = 1, .. , m ;ove il vettore {u} fosse ripartito in m sottovettori nodali {q} i , e la matrice [N] , nelle m sottomatricinodali [N] i . Questa scrittura consente di illustrare alcune proprietà delle funzioni di forma.Si supponga, per semplicità, di considerare elementi del primo ordine con distribuzione uniforme disollecitazione. Le sottomatrici di forma sono del tipo: [N] i = N i [I] i , ([I] matrice identità). Infatti:le componenti del vettore {u} dipendono ciascuna dalle omologhe componenti del vettore {q} i , enon dalle componenti secondo differenti direzioni;non c’è motivo di introdurre dipendenze incrociate, poiché sono usati modelli lineari nell’analisidelle sollecitazioni.E’ immediato verificare che: - la somma delle funzioni di forma deve essere unitaria; - le funzioni diforma devono valere 1 nel proprio nodo, 0 in tutti gli altri nodi. La prima proprietà segue notandoche, quando i sottovettori degli spostamenti nodali sono tra loro tutti uguali (cioè quando l’elementodescrive un moto rigido) il campo di spostamento {u} deve essere dappertutto costante, ed uguale aquello nodale {q*}: {q*} = {u} = Σ i [N] i {q} i = (Σ i [N] i ) {q*} . Quindi: (Σ i [N] i ) {q*} - {q*} = 0 ; e:(Σ i [N] i - [I]) {q*} = 0 . Per l’arbitrarietà degli spostamenti nodali: Σ i [N] i = [I] ; e: Σ i N i = 1 .Quanto alla seconda proprietà, il vettore {u(x,y,z)}, valutato nel nodo i-esimo (x = x i , y = y i , z = z i ),per rispettare le condizioni al contorno, deve condurre a: {u(x i ,y i ,z i )} = {q} i . Ciò si verifica se:[N(x i ,y i ,z i )] i = [I] , e se: [N(x i ,y i ,z i )] j = [ 0 ] , per: j ≠ i. L’ultima relazione può essere scritta, nellaforma duale equivalente: [N(x j ,y j ,z j )] i = [ 0 ] , per: j ≠ i.3. 2. MODELLO BIDIMENSIONALE A SOLLECITAZIONE UNIFORME.In alcuni casi, i componenti strutturali possono essere descritti con modelli 2D, poiché la terzadimensione è scarsamente influente. Si citano:• tensione piana, elementi strutturali sottili, per i quali: σ zz ≈ 0 , ma: ε zz ≠ 0 ;• deformazione piana, elementi strutturali spessi, per i quali: ε zz ≈ 0 , ma: σ zz ≠ 0 ;• elementi assial-simmetrici, con sollecitazioni in direzioni r e z, ma: σ θθ e ε θθ = cost .3. 2. 1. ELEMENTI GENERICI BIDIMENSIONALI A SOLLECITAZIONE UNIFORME.Sono definite le quantità: {q} = {q x , q y } ; {ε} = {ε xx , ε yy , 2 ε xy } ; {σ} = {σ xx , σ yy , σ xy } ; e si procede secondo ipassi elencati.Fig. 3.1. Elementi bidimensionali triangolari e quadrangolari.I • Scelta dell’elemento e della funzione interpolante di forma.E’ considerato l’elemento piano triangolare, Fig. 3.1, e, supposta sollecitazione uniforme, è scelta la funzionedi forma lineare: q x (ξ, η) = c 1 + c 2 ξ + c 3 η ; q y (ξ, η) = c 4 + c 5 ξ + c 6 η . Le coordinate dei nodi permettono diottenere le costanti c k :A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE20⎡ ⎤⎢q1x⎥⎢ ⎥⎢q⎥⎢ 1y ⎥⎢ ⎥⎢q2x⎥⎢ ⎥⎢q2y⎥⎢ ⎥⎥⎢ 3x ⎥⎢q⎥⎣ 3y ⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎣1 ξ1 η10 0 00 0 0 1 ξ1 η11 ξ2 η20 0 00 0 0 1 ξ2 η21 ξ3 η30 0 00 0 0 1 ξ3 η3⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡ ⎤⎢c1⎥⎢ ⎥⎢c2⎥⎢ ⎥⎢c3⎥⎢ ⎥⎢c4⎥⎢ ⎥⎢c5⎥⎢ c⎥⎣ 6 ⎦, ovvero: {q k } = [H k ] {c} , da cui: {c} = [H k ] -1 {q k } .II • Precisazione dello stato di sollecitazione e delle equazioni di legame.Dai gradienti di spostamento, si ricavano le deformazioni e da queste le tensioni, nei casi, rispettivamente, dideformazione e di tensione piana:⎡ 1⎤⎥⎥⎢⎣0 0 1 0 1 0⎥⎦⎢ε xx = u x,x = c 2 , ε yy = u y,y = c 6 , 2 ε xy = u x,y + u y,x = c 3 + c 5 , cioè: {ε} = [C]{c} , [C] = 0 0 0 0 0⎢0 0 0 0 0 1{σ} = [Λ] {ε} , ove: [Λ] = ( 2 )( + )⎡E1- ν ν 0 ⎤⎢⎥⎥⎢ 1-1- ν 1 νν ν 0⎢1-2⎥⎣ 0 0 ν⎦quindi: {σ k } = [Λ] [C] [H k ] -1 {q k } = [Λ] [B] {q k }, [B] = [C] [H k ] -1 ., deformazione piana ; [Λ] =E21-νIII • Derivazione della matrice di rigidezza locale.L’energia potenziale totale: Φ T = Φ P - L = 1 {}{}T2 ∫σ ε dV - {q k } T {Q k } = 1V2∂Φ∫ [B] B qTT∂ q= 0 = [ ][ ]{}dV - {QV⎡1ν 0 ⎤⎢ ⎥⎢ν1 0 ⎥⎢1-⎥⎣0 0 ν⎦T T{} {}∫q [B] [ ][ B] q dVVT∫ [B] [ Λ ][ B ]dVVΛ k} , quindi: {Q k } = [K k ] {q k }, con: [K k ] = .; ma:, tensione piana .Λ - {q k } T {Q k }IV • Assemblaggio della matrice di rigidezza complessiva.Per l’assemblaggio della matrice di rigidezza complessiva, vale la sovrapposizione degli effetti (poiché {q k }e {Q k } sono alle interfacce fra elementi), purché tutte le grandezze siano scritte in un referenziale comune. In∂ΦTTeffetti: [∂ q] globale = ∑ [ ∂Φk ∂q]k= 0; quindi: {Q k } globale = [K k ] globale {q k } globale .Il risultato è ottenibile anche direttamente, con equazioni di equilibrio. E’ da notare che nell’assemblaggio sisommano i contributi degli elementi che hanno nodi in comune. Alla fine, si ha una matrice sparsa, con moltitermini nulli.V • Applicazione delle condizioni di carico e di vincolo.Oltre che i carichi iperstatici {Q k }, anche quelli esterni {F k }, sono applicati unicamente ai nodi, e le relativecomponenti andranno espresse nel referenziale globale: {F kx , F ky } = {F cosθ, F sinθ} .Analogamente per i vincoli, ove fossero prescritti gli spostamenti nodali: {u kx , u ky } = {u cosθ, u sinθ} .VI • Risoluzione numerica del sistema matriciale ottenuto.E’ ottenuto un sistema di equazioni algebriche, per il quale sono disponibili procedure efficienti per estrarresotto-problemi condensati.VII • Valutazione delle caratteristiche di sollecitazione indotte.Ottenute le tensioni, si calcolano le altre variabili di interesse.3. 2. 2. ELEMENTI GENERICI ASSIAL-SIMMETRICI A SOLLECITAZIONE UNIFORME.Sono usate le quantità: {q} = {q r , q z } ; {ε} = {ε rr , ε zz , 2 ε rz } = {u r,r , u z,z , u r,z + u z,r } ; {σ} = {σ xx , σ yy , σ xy }.Chiaramente: ε θθ = u r /r.Fig. 3.2. Elementi assial-simmetrici ad anello.Sono seguiti i passi precedentemente richiamati, utilizzando la matrice [Λ] della deformazione piana. Glielementi sono anulari, Fig. 3.2, e, ovviamente, la simmetria assiale deve essere verificata anche per i carichi.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE213. 3. MODELLO TRIDIMENSIONALE A SOLLECITAZIONE UNIFORME.Possono essere utilizzati anche elementi tridimensionali (tetraedri a quattro nodi, esaedri a sei nodi, ecc.),caratterizzati al loro interno da distribuzioni uniformi delle sollecitazioni. Quest’ultima ipotesi autorizza lascelta di funzioni interpolanti di forma lineari:q x (ξ, η, ζ) = c 1 + c 2 ξ + c 3 η + c 4 ζ ; q y (ξ, η, ζ) = c 5 + c 6 ξ + c 7 η + c 8 ζ ; q z (ξ, η, ζ) = c 9 + c 10 ξ + c 11 η + c 12 ζQuindi la derivazione segue l’usuale procedura a sette passi, salvo che tutte le matrici per il caso 3D sono piùgrandi che per il caso 2D, avendosi:⎡1-ν ν ν 0 0 0 ⎤{ ε} = { εxx, εyy, εzz, 2εxy, 2εyz, 2εzx}⎢ ν 1-ν ν 0 0 0 ⎥{ σ} = { σxx, σyy, σzz, σxy, σyz, σzx}, ove: [Λ] =E ⎢ ν ν 1-ν0 0 0⎥( 1- 2 ν )( 1 + ν ).0 0 0 1-2ν0 0{ σ} = [ Λ]{ ε}⎢⎥0 0 0 0 1-2ν0⎢⎥⎣0 0 0 0 0 1-2ν⎦In questi problemi, il vettore degli spostamenti è assunto come incognita, ed individua i gradi di libertà delmodello. Nei modelli 2D, ogni nodo ha due gradi di libertà; nei modelli 3D, tre gradi di libertà.3. 4. MODELLO TRIDIMENSIONALE A SOLLECITAZIONE VARIABILE.L’approssimazione lineare per le funzioni interpolanti di forma è idonea se la sollecitazione in ogni elementoè costante (o poco variabile). In presenza di accentuate variazioni, perché l’ipotesi sia ragionevole, occorreun gran numero di elementi, di dimensioni sempre più piccole. Per migliorare l’approssimazione con minornumero di elementi, occorre scegliere funzioni che possano variare in ragione quadratica, cubica, ecc.. Incorrispondenza, bisognerà usare descrizioni più accurate e procedure numeriche più evolute. Sono dati cenniintroduttivi alle modalità cui si fa ricorso per generare elementi finiti di ordine superiore (al primo).3. 4. 1. PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI DI FORMA.Una funzione di forma ha finalità interpolanti, deve, cioè, consentire di propagare la continuità entro ognielemento, passando esattamente per i nodi. Nel caso unidimensionale (asta), due nodi:q(ξ) = c 1 + c 2 ξ ; in N 1 (ξ=0), q(0) = q 1 ; in N 2 (ξ=l), q(l) = u 2 ; c 1 = q 1 , c 2 = (q 2 - q 1 )/l .quindi: q(ξ) = (1 - ξ/l) q 1 + (ξ/l) q 2 ; ovvero: q(ξ) = N 1 (ξ)q 1 + N 2 (ξ)q 2 , ove: N 1 (ξ) = 1 - ξ/l , N 2 (ξ) = ξ/l .Le funzioni nodali lineari: N j (ξ) = δ jk , devono essere uguali a 1 in corrispondenza del nodo di riferimento,e nulle in ogni altro nodo; la somma: N 1 (ξ) + N 2 (ξ) deve essere unitaria per ogni ξ. Ciò porta a scrivere: N 1 (ξ)= a 1 + a 2 ξ , N 2 (ξ) = a 3 + a 4 ξ , da cui seguono esattamente i risultati già discussi.Il ricorso a funzioni nodali lineari è utilizzabile per elementi 2D e 3D. Ad esempio, in caso di elementi 2Dtriangolari: q x (ξ,η) = N 1 (ξ,η) q 1x + N 2 (ξ,η) q 2x + N 3 (ξ,η) q 3x , q y (ξ,η) = N 1 (ξ,η) q 1y + N 2 (ξ,η) q 2y + N 3 (ξ,η) q 3y ,ncioè, in generale: q k (ξ,η,ζ) = ∑ N ( ξηζ) qjk , ove: n, numero di nodi Nj (e numero di funzioni nodali N j dajjdefinire); k, spazio di definizione (1D, 2D o 3D); q jk = q k (j) , coordinate del nodo N j . In notazione matriciale,si scrive: {q(ξ,η,ζ)} = {N j (ξ,η,ζ)} T {q j } , ove le funzioni nodali lineari devono godere delle proprietà già dette.L’uso di funzioni nodali lineari è del tutto pleonastico. Il formalismo è utile quando si vuole fare ricorso afunzioni nodali di ordine superione e, conseguentemente, a funzioni interpolanti di forma di pari ordine. Leconsiderazioni presentate ai punti 3. 1. 2. e 3. 1. 3. si prestano ad essere ampliate per formulare le funzioninodali di ordine superione.3. 4. 2. TRASFORMAZIONI ISO-PARAMETRICHE.Per l’analisi della deformazione della deformazione, come noto, sono utilizzabili: il referenziale assolutoindeformato O o (x o , y o , z o ); il referenziale assoluto O(x, y, z) a deformazione avvenuta; il referenziale chepartecipa alla deformazione O(ξ, η, ζ), solitamente scelto in modo da coincidere con quello indeformatooriginale, ma traslato nel punto finale e non più rettilineo e trirettangolo. In caso di deformazione uniforme,se sono scelti assi principali, il referenziale O(ξ, η, ζ) rimane trirettangolo (e solo scalato). Lo stato locale diA cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE22sollecitazione (nell’ipotesi di elasticità lineare) è correttamente legato a quello della deformazione. Volendoprocedere ad analisi con modelli numerici, è noto che equazioni lineari alle differenze finite hanno integraliespressi da polinomi; quindi, funzioni di forma polinomiali del grado idoneo passano certamente dai nodi delreticolo deformato se questo è riferito a un referenziale O(ξ, η, ζ) anch’esso dedotto con rappresentazionepolinomiale di uguale grado. Questo modo di procedere conduce a modelli iso-parametrici, per i quali, cioè,la trasformazione locale O j (ξ, η, ζ) degli assi conduce a forme definite dalla medesima funzione di forma inuso per l’interpolazione dello stato di sollecitazione fra i nodi del modello.In sintesi, con i modelli iso-parametrici, la scelta dell’elemento e della funzione interpolante specifica anchela legge di trasformazione delle coordinate (Jacobiano della trasformazione). I due punti sono esemplificatidi seguito.# Generazione di elementi iso-parametrici.A titolo esemplificativo, è considerato, Fig. 3.3, un elemento piano, a otto nodi, con associato quadrilateroiso-parametrico quadratico. Si considerano assi baricentrici: O(x,y) e O(ξ,η), e sono introdotte funzioninodali quadratiche del tipo: N j (ξ,η) = [a 1 + a 2 ξ + a 3 η + a 4 ξ 2 + a 5 η 2 + a 6 ξ η + a 7 ξ 2 η + a 8 ξ η 2 ] j , i cuiparametri sono valutati imponendo, come sopra, la normalizzazione unitaria per le funzioni.Si ottengono le otto funzioni nodali: N 1 (ξ,η) = - 1 4 (1 - ξ) (1 - η) (1 + ξ + η) ; N 2(ξ,η) = 1 2 (1 - ξ2 ) (1 - η) ;N 3 (ξ,η) = - 1 4 (1 + ξ) (1 - η) (1 - ξ + η) ; N 4(ξ,η) = 1 2 (1 - ξ) (1 - η2 ) ; N 5 (ξ,η) = - 1 4(1 + ξ) (1 + η) (1 - ξ - η) ;N 6 (ξ,η) = 1 2 (1 - ξ2 ) (1 + η) ; N 7 (ξ,η) = - 1 4 (1 - ξ) (1 + η) (1 + ξ - η) ; N 8(ξ,η) = 1 2 (1 - ξ) (1 - η2 ) .Fig. 3.3. Elemento iso-parametrico quadratico piano.88Quindi le funzioni interpolanti di forma sono: q x (ξ,η) = ∑ Nj( ξη) q , qjjx y(ξ,η) = ∑ Nj( ξη) qjy, ove lejNj(ξ,η) sono le funzioni (quadratiche), precedentemente calcolate.La procedura si può estendere per ottenere funzioni interpolanti di forma di ordine qualunque e perelementi finiti 3D con più nodi. Per esempio, per approssimazioni del secondo ordine ed elementi a2020 nodi, la trasformazione iso-parametrica conduce alla: q k (ξ,η,ζ) = ∑ N ( ξηζ) q .# Matrici Jacobiane della trasformazione.L’uso del referenziale O k (ξ, η, ζ) semplifica la costruzione delle funzioni di forma mediante funzioni nodali,e questo è utile se la descrizione della sollecitazione è demandata a elementi di ordine elevato di ragionevoleestensione, pur mantenendo approssimazioni notevoli. Ne segue che, dovendo passare da descrizioni locali adescrizioni globali, bisognerà tenere conto delle trasformazioni: O k (ξ, η, ζ) O k (x, y, z), avvalendosi dellematrici Jacobiane. Nel caso 2D, per esempio:∂• ∂• ∂x∂•∂y= +∂ξ ∂ x ∂ξ ∂ y ∂ξ∂• ∂• ∂x∂•∂y= +∂η ∂ x ∂η ∂ y ∂η;⎡∂•⎤⎢ ⎥⎢∂ξ⎥⎢•⎥⎢∂⎥⎢⎣∂η⎥⎦=⎡∂x⎢⎢∂ξ⎢⎢∂x⎢⎣∂η∂y⎤⎥∂ξ ⎥∂y⎥⎥∂η⎥⎦⎡∂•⎤⎢ ⎥⎢∂x⎥⎢∂•⎥⎢⎣∂y ⎥⎦⎡ ∂•⎤⎢ ⎥⎥⎢ ∂•⎥⎢⎣∂y⎥⎦x= [J]⎢∂Si osservi che la normalizzazione porta a trovare: ∫ f (x,y) Adxdy =3. 4. 3. MATRICI DI RIGIDEZZA PER ELEMENTI DI ORDINE ELEVATO.⎡ ∂•⎤⎡ ∂•⎤⎢ ⎥x,⎢∂⎥⎢ • ⎥= [J] -1 ⎢ ⎥⎢ ∂ξ ⎥∂⎢ ⎥⎢∂•⎥⎢⎣∂y⎥⎦⎢⎣∂η⎥⎦1 1f ξη-1 -1∫ ∫( , ) det[ J] dξdη.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMECjj.jk

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE23La costruzione delle matrici di rigidezza anche per gli elementi generici di ordine elevato procede con i passigià elencati. Per esempio, considerato l’elemento piano di Fig. 3.3, si otterranno:∂Nε ξξ =8∂ξ q ∂q8ξ ;η ∂∂Nε ηη =8∂η q ∂q8η ;ξ2 ε ξξ =∂η + ∂ q η∂ξ = ( ∂N 1 ∂ovvero:∂q ξ∂ξ = ∂N 1∂ξ q 1ξ + .. +ε⎡ ⎤⎢ ξξ ⎥⎢εηη⎥⎢ ⎥⎢⎣εξη ⎥⎦=⎡∂N1 ∂N2∂N⎤8⎢ 0 0 .. .. 0∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎥⎢⎥⎢ ∂N0 1 ∂N0 2∂N.. .. 0 8 ⎥⎢ ∂η ∂η ∂η ⎥⎢∂N1 ∂N1 ∂N2 ∂N2∂N.. ..8 ∂N⎥⎢8⎥⎣ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ ⎦∂η = N 1∂η q 1η + .. +q⎡ 1ξ⎤⎢q⎥⎢ 1η⎥⎢q⎥2ξ⎢ ⎥⎢q2η⎥⎢ . ⎥⎢ ⎥⎢ . ⎥⎢ ⎥⎢q8ξ ⎥⎢q⎥⎣ 8η⎦,{ εk} = [ B] { qk} ,B{k} = [ ] [ ] {k} ,1 1T[ Kk] =∫∫[B] [ Λ][B] det[J] dξη d .-1 -1L’integrazione è, per esempio, eseguibile con la tecnica di quadratura gaussiana.3. 4. 3. MATRICI DELLE TRASFORMAZIONI DISCRETE.σΛq∂η q 1ξ + N 1∂ξ q 1η)+ .. ;La matrice [Λ] delle relazioni costitutive: {σ} = [Λ] {ε}, dell’elasticità lineare isotropa, lega fra loro il vettoredelle tensioni: {σ} = {σ x, σ y, σ z, τ xy, τ yz, τ zx} e quello delle deformazioni: {ε} = {ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ zx}.La matrice di elasticità [Λ] riassume il legame tensioni/deformazione, ma la legge di sovrapposizione deglieffetti può presumere deformazioni iniziali {ε ο } (ad esempio, indotte da incrementi di temperatura), nonchétensioni interne {σ ο } (ad esempio, auto-tensioni da lavorazioni tecnologiche, laminazione, saldatura, ecc.); siha allora: {σ} = [Λ] ({ε} - {ε ο }) + {σ ο } . Sono, così, distinti i contributi dovuti a carichi/vincoli applicati, daquelli indotti da altre cause: {ε Ε } = {ε} - {ε ο } ; {σ Ε } = {σ} - {σ ο } .La matrice [Λ] è simmetrica ed ha ordine 6x6. Nei problemi speciali, alcune componenti di {σ} o di {ε} sononulle e consentono di ricavare le relazioni fra le altre componenti, riducendo l’ordine di [Λ] a 3x3 o 4x4,come prima riportato.Il vettore di deformazioni {ε}, nell’analisi lineare, ha la consueta dipendenza dal gradiente di spostamento:ε x= u x,x , ε y= u y,y , ε z= u z,z , γ xy= 2ε xy= u xy +u yx , γ yz= 2ε yz= u y,z +u z,y , γ zx= 2ε zx= u z,x u x,z .La scelta di funzioni di forma polinomiali consente l’immediato calcolo dei gradienti, e, pertanto, anche lascrittura esplicita: {ε} = [A] {u} . Questa è particolarizzabile per il generico solido tridimensionale e per iproblemi speciali di meccanica dei solidi. Scritta in corrispondenza dei nodi, porta a estrarre i coefficienti deipolinomi: {ε} = [C] {c} , secondo le espressioni già incontrate.E’ usata la matrice di deformazione, [B], per legare vettore delle deformazioni {ε} e quello degli spostamentinodali {q}: {ε} = [B] {q} ; ovvero, con la ripartizione rispetto agli m nodi: {ε} = Σ i [B] i {q} i , (i = 1, .. , m).Per valutare [B], basta dapprima esplicitare le funzioni di forma con le condizioni ai nodi: {q k } = [H k ] {c}, dacui: {c} = [H k ] -1 {q k } . Si tiene, quindi, conto della: {ε} = [C] {c} , per avere: {ε} = [C] [H k ] -1 = [B] {q} .In via equivalente, nota la relazione: {ε} = [A] {u} , e posto: {u} = Σ i [N] i {q} i , si ottiene: [B] i = [L] [N] i , dalmomento che: {ε} = [A] Σ i [N] i {q} i = Σ i [A] [N] i {q} i .Collegando questi risultati, si ottiene che: {σ} = [Λ] {ε} = [Λ] [B] {q} . Si ha, così, un prodotto fra matriciche, integrato sul volume V h dell’elemento, conduce alla matrice di rigidezza [k h ] dell’elemento stesso, fraforze e spostamenti nodali. Valutata la [k h ] (e tenuto conto, eventualmente, del vettore {Q eq }), sono scritte leequazioni (algebriche) per l’equilibrio dell’elemento (estratto dal modello); queste, assemblate per l’insiemedegli elementi, forniscono una soluzione approssimata per l’equilibrio del corpo elastico.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE24PROGETTO STRUTTURALE - SOLUZIONI NUMERICHE.4. CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA E METODI VARIAZIONALI.Esigenza iniziale per l’analisi delle sollecitazioni presenti in un componente strutturale è modellarneil comportamento mediante uno schema relazionale quantitativo, associato con procedure di calcoloche producano risultanti con l’accuratezza idonea. La realizzazione di modelli tecnici richiede dueclassi di condizionamenti:• ipotesi di sistema (ad esempio, continuo deformabile secondo la teoria dell’elasticità);• codifica ed elaborazione delle informazioni (ad esempio, librerie di calcolo matriciale).Nella costruzione dei modelli, interesse pratico è dato alle formulazioni energetiche, poiché:- consentono derivazioni generali, operative su quantità scalari, più maneggevoli delle quantitàvettoriali (forze, spostamenti) o tensoriali (tensioni, deformazioni);- permettono di considerare componenti descritti con elementi differenti (generici o speciali) e didiverso ordine o topologia;- semplificano l’introduzione di effetti non-strutturali (fenomeni termici, ecc.);- assicurano efficienza alle formulazioni variazionali, dedotte per i modelli conservativi;- rendono trasparenti le formulazioni variazionali per modelli non conservativi, per i quali sia statopossibile costruire primitive funzionali;- forniscono criteri per descrivere le approssimazioni introdotte nei modelli e per specificare i livellidi accuratezza dei risultati finali.Sono di seguito richiamati alcuni concetti informativi a titolo metodologico per generare soluzionidi modelli governati da equazioni alle derivate parziali.Approccio comune è costruire un funzionale (funzione di funzioni), che costituisca in qualche modouna primitiva delle variabili di processo (integrale delle variabili di stato). Per sistemi conservativi,detto funzionale è fatto corrispondere all’energia potenziale totale, e la soluzione è ottenuta con ilprincipio del minimo (massimo del potenziale). Più in generale, il funzionale può non corrisponderead una energia, ma sono ottenibili soluzioni variazionali con procedimenti analoghi. In termini dimetodo, sono, richiamate due tipiche formulazioni.4. 1. SOLUZIONI VARIAZIONALI CON IL METODO DI RITZ.La procedura ipotizza che le equazioni differenziali alle derivate parziali posseggano soluzioni informa di sviluppi in serie, e che, pertanto, sia possibile creare un approccio iterativo che produca ladescrizione con l’ordine di approssimazione desiderato. In base alle considerazioni fin’ora svolte, lesoluzioni da generare sono espresse in termini di spostamenti, associati a un modello discretizzato,dato da equazioni lineari alle differenze finite. Questi modelli hanno soluzioni polinomiali; seguonoi passi: - scelta del grado dei polinomi (ordine dell’approssimazione; - valutazione dei coefficientiche definiscono i polinomi (con approccio variazionale, cioè, agendo su una quantità scalare, qualeè il funzionale).4. 1. 1. PASSI RISOLUTIVI E PRINCIPALI PROPRIETÀ.Sono considerati, nell’ordine: - la scelta delle soluzioni candidate; - la verifica delle condizioni alcontorno; - la valutazione dell’ordine di approssimazione.La costruzione delle soluzioni candidate è ottenuta in quattro passi:(1) scelta della famiglia polinomiale di tentativo, per esempio: u(x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 , che descrivagli spostamenti (incogniti);(2) costruzione del funzionale dell’energia potenziale totale: Φ T = ∫ f ( u) dx, in funzione della quantitàdi stato prescelta (per esempio: lo spostamento u(x));A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE25(3) minimizzazione del funzionale Φ T nei parametri (i coefficienti c j ) dell’ipotizzata soluzione, cioè,nell’esempio: ∂Φ / ∂c= ∂Φ / ∂ c = ∂Φ / ∂c= 0;T 1 T 2T 3(4) valutazione dei coefficienti, mediante soluzione del sistema di equazioni algebriche.L’unicità della soluzione per il problema richiede siano soddisfatte le condizioni al contorno; questesono di due tipi:geometriche, che assegnano gli spostamenti (generalizzati) dei punti vincolati;di carico, che specificano le forze (generalizzate) applicate dall’esterno nei nodi.Per sistemi conservativi, l’uso, come funzionale Φ T , dell’energia elastica totale equivale a soddisfarele equazioni di equilibrio (le variabili indipendenti del problema variazionale sono automaticamentedimezzate).Per la convergenza del metodo di Ritz, all’aumentare del grado del polinomio, la soluzione divieneesatta (per il modello lineare alle differenze finite); quindi sono verificati fatti, quali i seguenti:- la famiglia di funzioni candidate deve essere sufficientemente generale per includere quella esatta(grado adeguato, rispettare le simmetrie, ecc.);- ogni funzione deve dar luogo ad una condizione di minimo del funzionale Φ T ;- le funzioni devono rispettare la congruenza (rappresentare spostamenti virtuali, compatibili, cioè,con i vincoli);- le funzioni devono, singolarmente e globalmente rispettare, le condizioni geometriche al contorno;quelle di carico sono implicitamente soddisfatte (con l’approssimazione scelta), minimizzando Φ T .4. 1. 2. ESEMPIO: MENSOLA CON CARICO UNIFORME.Per illustrare il metodo di Ritz, è considerata una mensola con carico distribuito, ed è fatto ricorso afunzioni candidate di differente grado, per confrontarne gli ordini d’approssimazione.Le informazioni di riferimento comprendono, Fig. 4.1:Le condizioni geometriche al contorno: u = du/dx = 0, per: x = 0;Le condizioni di carico: M(0) = - 1 2 EJ pl2 ; T(0) = EJ p l ; M(l) = EJ (d 2 u/dx 2 ) = 0;L’energia elastica totale: Φ T =21 du 2∫ l [2 EJ( 2 ) -pu] dx.0 dxFig. 4.1. Mensola con carico distribuito.La più semplice funzione candidata congruente è: u(x) = c 1 (x/l) 2 ; sostituita in Φ T ed integrata, dà:Φ T = 2EJ ((c 1 ) 2 /l 3 ) - c 1 (p o l/3). Ponendo a zero la derivata: c 1 = p l 4 /12 EJ; quindi: u(x) = (p . l 2 /12EJ) x 2 .L’energia potenziale elastica totale vale: Φ T = - 0.0139 (p 2 l 5 /EJ); la condizione di carico all’estremo:M(l) = 0.167 (pl 2 ); nessuna delle due, nulla (la prima negativa !) in contrasto con i riferimenti.Si consideri una funzione candidata con due termini: u(x) = c 1 (x/l) 2 + c 2 (x/l) 3 . Procedendo al solito,si ottengono: c 1 = 5 p l 4 /24 EJ , e: c 2 = - p l 4 /12 EJ; quindi: u(x) = (p l 2 /24 EJ) (5x 2 - 2x 3 /l) . A verifica, sivalutano: Φ T = - 0.0243 (p 2 l 5 /EJ) , e: M(l) = - 0.0833 (pl 2 ) . Anche quest’ipotesi non soddisfa bene.Si passi alla funzione candidata con tre coefficienti: u(x) = c 1 (x/l) 2 + c 2 (x/l) 3 + c 3 (x/l) 4 . Si trovano:A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE26c 1 = p l 4 /4 EJ , c 2 = - p l 4 /6 EJ , c 3 = p l 4 /24 EJ . Pertanto: u(x) = (p l 2 /24 EJ) (6x 2 - 4x 3 /l + x 4 /l 2 ) . Dalle:Φ T = - 0.025 (p 2 l 5 /EJ) , e: M(l) = 0 , si vede che il secondo riferimento è verificato.Nel caso di Fig. 1, è nota l’espressione della linea elastica: u(x) = (p l 2 /24 EJ) [(1 - x/l) 4 + 4x/l - 1] , chedifferisce anche dall’ultima scelta (di qui lo scarto di Φ T ). Però, all’aumentare del grado, miglioral’approssimazione: le condizioni di carico sono verificate, ed è meglio scegliere funzioni candidateche garantiscano anche queste informazioni.Il metodo di Ritz non opera direttamente sul modello (differenziale), ma si rivolge ad un funzionale,Φ T , ad esso associato grazie al ricorso a opportune funzioni candidate. A volte, questo non è agevoleo neppure possibile, e sono più convenienti procedure dirette.4. 2. SOLUZIONI VARIAZIONALI CON IL METODO DI GALERKIN.La procedura tende a rendere minimi gli scarti, fra funzioni candidate e soluzioni delle equazionialle derivate parziali, senza costruire il funzionale. Ora, poiché dette funzioni sono note a meno di mparametri c h , occorre costruirsi m equazioni con le quali valutare i parametri. Esistono più criteri:• si fissano m punti (di precisione), per i quali gli scarti devono essere nulli;• si annullano gli scarti quadratici sull’intervallo di definizione di dette funzioni;• si annullano gli scarti pesati sull’intervallo di definizione di dette funzioni.Il metodo di Galerkin segue l’ultimo criterio: Γ(δ x|c ;ν x ) =[ (|c) x () x∫ lδ ν ] dx0= 0. Le funzioni peso, ν(x), inparticolare, possono utilizzare le funzioni candidate, u(x), del metodo di Ritz; e, costruite le relazionid’equilibrio, si scrive l’espressione integrale, Γ, con la quale annullare gli scarti pesati. Sono, cioè,definiti i quattro passi:(1) scelta della funzione di spostamento, per esempio: u(x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 , c h parametri incogniti;(2) costruzione della relazione differenziale per l’equilibrio locale: f(u) = 0;(3) esplicitazione dell’integrale degli scarti pesati da annullare: Γ =(4) applicare il criterio e ricavare i parametri incogniti.La procedura può essere illustrata con un semplice esempio.4. 2. 1. ESEMPIO: FUNE DI PESO PROPRIO UNIFORMEMENTE DISTRIBUITO.(|c) x ()d x∫ l f ν x = 00Nell’esempio, Fig. 2, la funzione candidata ν(x) deve soddisfare le condizioni geometriche: u = 0, perx=0 e per x=l; in mezzeria, x=l/2, inoltre, deve aversi: u & = 0; quindi: ν(x) = (1-x/l) x/l , la cui derivatasoddisfa alla condizione di mezzeria.dLa condizione per l’equilibrio locale è: n 2 u2 + p = 0 , ove n è la caratteristica normale. Quindi, conil polinomio scelto: u(x) = c 1 (1-x/l) x/l (grazie al quale:L’espressione integrale di Galerkin: Γ =dxdd2u=-2c 2x 1/l 2 ), si ha: (-2c 1 /l 2 ) n + p = 0.2 2 2(-2c / )+p / /∫ l [n l ] ( x l - x l ) d x = 0 , integrata ed eguagliata a zero10fa trovare: c 1 = pl 2 /2n . La soluzione secondo Galerkin è: u(x) = (pl 2 /2n) (1 - x/l)) (x/l) ; corrispondealla soluzione esatta, grazie alla scelta della funzione candidata (la corrispondenza potrebbe esseremeno buona, fossero state fatte altre scelte iniziali).I due approcci sono equivalenti, in quanto entrambi fondati sul principio dei lavori virtuali, che, per sistemiconservativi, garantisce l’identità fra lavori eseguiti ed energia potenziale immagazzinata.Infatti, secondo Ritz, per la fune in esempio, si ha: Φ T =21 du 2∫ l[2 2 -0 dx1 c1 2 2funzione candidata: Φ T =02 n ( 1∫ l [ - xc12l l)]dx- 1∫ l p [l( -l x ) x]dx=0valore trovato per il coefficiente c 1 .n( ) pu] dxn23lc -2 p1 2 11A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC. Presa la medesimal , che conduce al

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE27Fig. 4.2. Fune soggetta a carico distribuito.Dal confronto fra i due metodi, emerge, in particolare che la procedura di Galerkin: - direttamenteopera sul modello differenziale, senza costruire il funzionale; - l’ordine dell’equazione risolutiva èinferiore a quello dell’espressione variazionale; ciò corrisponde ad un vincolo meno stringente perla continuità fra gli elementi.La formulazione di modelli agli elementi finiti è eseguibile con l’uno o l’altro metodo. Per i citatiesempi (mensola e fune) è sufficiente applicare le tecniche all’intero corpo. In genere, occorreràdapprima segmentare il continuo in porzioni elementari.In ogni caso, si comincia con lo scegliere la famiglia delle funzioni candidate e costruire soluzioniapprossimate (in termini di spostamenti); queste devono assicurare descrizioni locali adeguate, conidoneo raccordo all’interfaccia verso gli elementi contigui. In assenza di particolari topologie (chesuggeriscano il ricorso ad elementi speciali), converrà indirizzarsi verso elementi piccoli e di formageometrica semplice; la continuità fra gli elementi contigui dovrà essere incorporata nelle funzionicandidate.4. 3. CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA POTENZIALE.Le proprietà dei sistemi conservativi consentono, come visto, di semplificare la caratterizzazione dei solidideformabili dal momento che il lavoro delle forze applicate è integralmente ritrovato in energia potenzialeelastica. Di fatto, un continuo ha accumuli di energia distribuiti con continuità entro il volume; passando amodelli agli elementi finiti, la deformabilità è interamente incorporata dai termini della matrice (globale) dirigidezza. Questi termini sono in numero finito, tanto minori se sono utilizzati pochi elementi; inoltre, se siricorre ad elementi generici, è fatto solo riferimento agli spostamenti (lineari) dei nodi, e, in particolare, nonesistono esplicitamente accumuli d’energia con gradi di libertà angolari. Il comportamento sotto carico di unmodello ridotto differisce certamente da quello del modello originale, per altro, a maggiore riduzione, si haminore numero di equazioni da risolvere. Obiettivo logico sarà la riduzione massima compatibile con il tassodi approssimazione desiderato. Ma come costruire il modello ridotto ?Finché si muove in ambito di sistemi conservativi, un criterio di equivalenza è fornito dell’energia trasferita.Perché nel modello si mantenga l’energia potenziale di deformazione elastica, le forze applicate sui gradi dilibertà eliminati devono essere trasferite nei gradi di libertà conservati, in modo che eseguano uguale lavoro.Il criterio è applicato con facilità dopo aver costruito la matrice di rigidezza, come è evidenziabile seguendogli sviluppi richiamati al punto 1. 2. 1. Riprendendo la medesima notazione, la conservazione dell’energia dideformazione elastica impone che: (1/2) {d L } T {F L } = (1/2) {d Lc } T {F Lc } , con L, gradi di libertà originari; L c ,conservati, e L e , eliminati. La riduzione avviene grazie alla: {d L } T = {d Lc } T [T*] T . Per trasferire la regola alleforze, si scrive: {d Lc } T [T*] T {F L } = {d Lc } T {F Lc } , ossia: {d Lc } T [ [T*] T {F L } - {F Lc } ] = {0}. Per l’arbitrarietà di{d Lc } T , si ottiene la riduzione delle forze: {F Lc } = [T*] T {F L } .Per la riduzione della matrice delle rigidezze, si comincia con: {F L } = [K LL ] {d L } = [K LL ] [T*] {d Lc } . QuindiA cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE28pre-moltiplicando per [T*] T si ha: {F Lc } = [T*] T {F L } = [T*] T ∗[K LL ] [T*] {d Lc } , ovvero: [K ] c= [T*]T [K LL ] [T*] .Il risultato esprime un legame lineare per la riduzione.4. 3. 1. ESEMPIO: ASTE CON RIGIDEZZE MOLTO DIFFERENTI.Nell’esempio, Fig. 4.3, si suppone il primo tronco molto rigido (d 1 ≈ d 2 ), e il blocco dell’ultimo nodo (d 4 =0).Quindi: K 11 d 1 + K 12 d 2 + K 13 d 3 = F 1 , K 21 d 1 + K 22 d 2 + K 23 d 3 = F 2 , K 31 d 1 + K 32 d 2 + K 33 d 3 = F 3 . La relazionedi legame: d 1 = d 2 , si scrive: (1) d 1 + (-1) d 2 + (0) d 3 = 0 . Eliminando con il procedimento del punto 1. 2. 1, ilgrado di libertà d 1 a favore di d 2 , si ottiene: [G] = [1 -1 0] ; [G e ] = [1] ; [G c ] = [-1 0] . Quindi:Fig. 4.3. Asta con tronchi in serie di rigidezza molto diversa.⎡1 0⎢ ⎥[T*]= ⎢1 0⎥; {FLc}= ⎢ 1 1 0⎢⎣0 1⎤⎥⎦⎡F⎤⎡ ⎤ ⎢ 1 ⎥⎥ ⎢F⎥⎢⎣0 0 1⎦⎥⎢ 2 ⎥F⎢⎣3 ⎥⎦⎡F+F1 2⎤= ⎢ ; [T*]⎣ F⎥T ⎡[K LL ]= ⎢ 1 1 0⎢⎣0 0 13 ⎦⎡K ⎤ 11 K12 K⎤⎢13 ⎥⎥ ⎢K ⎥ 21 K22 K ⎥⎢23⎥⎦K31 K32 K⎢⎣33 ⎥⎦⎡(K 11+K 21) (K12+K22) (K13+K 23)⎤= ⎢K31 K32 K⎥⎣33 ⎦(K∗11+K 21) (K12+K22) (K13+K 23)⎡⎡⎤ 1 0⎤⎢ ⎥ ⎡(K 11+K 21+K 12+K22) (K13+K23)⎤[Kc] = ⎢=K31 K32 K⎥⎢1 0⎥⎢⎣33 ⎦ ⎢⎣0 1⎥⎦(K31 K32) K⎥ . In definitiva:⎣ +33 ⎦⎡F+F1 2⎤⎡(K 11+K 21+K 12+K22) (K13+K23)⎤ ⎡d1⎤⎢F⎥ = ⎢⎣ 3 ⎦ (K31 + K32) K⎥ ⎢⎣33 ⎦ d⎥ , modello ridotto.⎣ 3⎦.Se nel modello: K 11 d 1 + K 12 d 2 + K 13 d 3 = F 1 , K 21 d 1 + K 22 d 2 + K 23 d 3 = F 2 , K 31 d 1 + K 32 d 2 + K 33 d 3 = F 3 , sisommano prima e seconda colonna di [K] (poiché è: d 1 =d 2 ) e poi si sommano prima e seconda equazione, siottiene l’equazione matriciale ricavata usando la procedura della relazioni di legame data dalla matrice [T*].La riduzione dei gradi di libertà, con conservazione del lavoro eseguito dai carichi esterni, è utile quando sihanno modelli di grandi dimensioni ed occorre individuare le parti critiche (tralasciando le altre). Lo schemadi procedura generale consente formalizzazioni con parametri standard.4. 4. IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI PER SISTEMI CONSERVATIVI.Dato un corpo deformabile, il sistema “carichi-tensioni” è equilibrato se forza e momento risultanti sononulli; un sistema “spostamenti-deformazioni” è congruente se compatibile con i vincoli applicati e tale daassicurarne la continuità. E’ possibile immaginare sistemi “spostamenti-deformazioni” congruenti senza unaassociazione a specificati sistemi “carichi-tensioni”; si parla, perciò, di sistemi “spostamenti-deformazioni”virtuali. Per un continuo elastico descritto da equazioni differenziali lineari si ha (esistenza ed) unicità disoluzione, quindi fra tutti i sistemi “spostamenti-deformazioni” virtuali, quello effettivo ha da corrispondereall’unico sistema “carichi-tensioni” equilibrato.La proprietà è esprimibile mediante il principio dei lavori virtuali. Sul corpo deformabile agiscono: forzeconcentrate {F}, forze di superficie {f} e le forze di volume {g}; il lavoro virtuale δL è dato da:δL * = {δq * } T {F} + ∫ Sf {δu * } T {f}dS f + ∫ V {δu * } T {g}dV , ove: {δu * } sono spostamenti compatibili con i vincoli.L’energia virtuale di deformazione vale: δU * = ∫ V {δε * } T {σ}dV, ove: {δε * } sono deformazioni congruenti.Muovendo da sistema “carichi-tensioni” equilibrato, si trova che: δL * - δU * ≥ 0, con: δL *- δU * = 0, solo incorrispondenza del sistema “spostamenti-deformazioni” effettivo. E’ possibile una formulazione duale delprincipio, muovendo da un sistema “spostamenti-deformazioni” compatibili.Quando il principio è applicato ad un elemento finito, il volume di integrazione V coincide con il volume V eldell’elemento, la superficie S f diventa la superficie S fel , le forze concentrate {F} sono le forze nodali {Q} e glispostamenti locali {q} sono ricondotti agli spostamenti nodali {q}; per le quantità distribuite, si utilizzano le:{u} = [N] {q} , {ε} = [B] {q} ; da cui: {δu * } T = {δq * } T [N] T , {δε * } T = {δq * } T [B] T , per le variazioni virtuali.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE29Quindi, la: {δq * } T {Q} + ∫ Vel {δu * } T {g}dV el + ∫ Sfel {δu * } T {f}dS fel - ∫ Vel {δε * } T {σ}dV el = 0 , assume la forma:{δq * } T {Q} + {δu * } T ∫ Vel [N] T {g}dV el + {δu * } T ∫ Sfel [N] T {f}dS fel - {δq * } T ∫ Vel [B] T {σ}dV el = 0 .Il campo di tensione generalizzato è dato da: {σ} = [Λ] ({ε} - {ε ο }) + {σ ο } , quindi l’ultimo integrale diviene:{δq * } T ∫ Vel [B] T {σ}dV el = {δq * } T ∫ Vel [B] T [Λ][B]{q}dV el - {δq * } T ∫ Vel [B] T [Λ]{ε ο }dV el + {δq * } T ∫ Vel [B] T {σ ο }dV el .Raccolto {δq * } T a fattore comune, e tenuto conto dell’arbitrarietà degli incrementi virtuali, deve annullarsi ilsecondo fattore del prodotto, quindi:{Q} = [K] {q} + {Q eq } , con: [K] = ∫ Vel [B] T [Λ] [B] dV el , e : {Q eq } = {Q eqσo } - {Q eqεo } - {Q eqg } - {Q eqf } , con:{Q eqσo } = ∫ Vel [B] T {σ ο }dV el , {Q eqεo } = ∫ Vel [B] T [Λ]{ε ο }dV el , {Q eqg } = ∫ Vel [N] T {g}dV el , {Q eqf } = ∫ Sfel [N] T {f}dS fel .Il calcolo della matrice [K] e del vettore {Q eq } presume la scelta di una relazione polinomiale per descriveregli spostamenti; ciò consente di sostituire le distribuzioni continue di {u(x,y,z)} e relativi gradienti, mediantequantità nodali discrete {q}. Ne segue che le espressioni integrali del principio dei lavori virtuali sono mutatein relazioni algebriche, secondo note procedure di assemblaggio, introduzione dei vincoli, ecc. .PROGETTO STRUTTURALE - SOLUZIONI NUMERICHE.5. ELEMENTI SPECIALI.Gli elementi speciali sono derivati dalle topologie affrontabili come problemi d’analisi dei continuielastici definiti in termini di caratteristiche di sollecitazione. Si distinguono due classi:• topologia trave, descritta da un’area A(l), il cui centro percorre la linea elastica, e la giacitura èortogonale a detta linea; il tensore delle tensioni è sostituito da forze e momenti per integrazione:N z = ∫ A σ zz dA , T x = ∫ A σ zx dA , T y = ∫ A σ zy dA , M z = ∫ A (σ zy - σ zx ) r dA , M x = ∫ A σ zz y dA , M y = ∫ A σ zz x dA .Caso particolare è la trave ad asse (indeformato) rettilineo;• topologia involucro, descritta da un segmento h(l,m), il cui centro percorre la superficie elastica,con direzione normale a detta superficie; le tensioni locali sono sostituite da integrazioni di linea:n x = ∫ h σ xx dz , n y = ∫ h σ yy dz , t xy = t yx = ∫ h σ xy dz , t x = ∫ h σ zx dz , t y = ∫ A σ zy dz , m x = ∫ h σ xx z dz , m y = ∫ h σ yy z dz ,m xy = m yx = ∫ A σ xy z dz , che originano forze e momenti per unità di lunghezza. Casi particolari sono:- con superficie media piana: lastra inflessa, con carichi trasversali, piastra, con carichi nel piano;- con superficie curva: membrana, con rigidezze flessionali e torsionali nulle, quindi solo soggettaa forze normali.Sono di seguito considerati alcuni elementi speciali, tenuto conto delle caratteristiche richiamate.5. 1. TOPOLOGIA “TRAVE” RETTILINEA.La trave è geometricamente definita da una sezione maestra A e da una lunghezza l. I nodi sono icentri delle facce terminali e sono presenti sei spostamenti generalizzati (tre lineari e tre angolari) esei caratteristiche di sollecitazione (una forza normale, due tagli, un momento torcente e duemomenti flettenti). Sono in uso due modelli: - trave snella, la deformazione del taglio (T x , T y ) ètrascurata; - trave tozza, la deformazione del taglio (T x , T y ) è considerata.5. 1. 1. TRAVE SNELLA: FLESSIONE PIANA.Si considera il caso di una trave caricata nel piano yz, di sezione costante A z , simmetrica rispetto all’asse x, etale che: λ = l/κ y (ove: κ y = √J x /A z ) sia grande. La linea elastica η(z) rimane piana (si ha flessione retta). PerA cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE30piccole deflessioni, si scrivono: φ(z) = dη/dz , pendenza, e: χ(z) = dφ/dz , curvatura (χ = 1/ρ y ).Ogni punto può avere due spostamenti generalizzati, quindi: # q 1 , traslazione del nodo 1 in direzione y, # q 2 ,rotazione del nodo 1 attorno a x, # q 3 , traslazione del nodo 2 secondo y, # q 4 : rotazione del nodo 2 attorno ax. In corrispondenza, si hanno le forze nodali generalizzate: # Q 1 : taglio T y nel nodo 1, # Q 2 : momento M xnel nodo 1, # Q 3 : taglio T y nel nodo 2, # Q 4 : momento M x nel nodo 2, Fig. 5.1.Quindi, fra i vettori nodali: {q} = {q 1 q 2 q 3 q 4 }, e: {Q} = {Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 }, in assenza di carichi nodali, esiste larelazione: {Q} = [k] {q} , [k], matrice 4x4, i cui elementi k ij possono essere calcolati in modi differenti.Fig. 5.1. Trave snella con flessione retta.a) Calcolo della matrice di rigidezza con funzioni di forma. Si scelga: u(z) = c 1 + c 2 z + c 3 z 2 + c 4 z 3 . Quindi:φ(z) = c 2 + c 3 z + c 4 z 2 . Per trovare i coefficienti c k , si usano le: u(0) = q 1 , φ(0) = q 2 ; u(l) = q 3 , φ(l) = q 4 . Segue:{q} = [H] {c}, o: {c} = [H] -1 {q}. Da cui: c 1 = q 1 , c 2 = q 2 , c 3 = 3(q 3 -q 1 )/l 2 - (q 4 +q 2 )/l, c 4 = (q 4 +q 2 )/l - 2(q 3 -q 1 )/l 2 .1L’energia potenziale elastica delle trave inflessa vale: Φ = ∫ l0 x (z) χ(z) dz , M x = EJ x χ(z) = EJ x (d 2 u/dz 2 ). Cioè:12Φ=2 EJx ∫ l(2c 0 3+ 6 c4z)dz = 1 2 EJ 2 2 2x( 4c l + 12c c l + 12cl 31) , ovvero: Φ=3 3 44 2 EJ x{c} T [D]{c} = 1 2 EJ x{q} T [H] -T [D][H] -1 {q} .Quindi: [k] = EJ x [H] -T [D][H] -1 =⎡12 6l-12 6l⎤⎢ 22⎥EJx⎢ 6l 4l -6l 2l⎥l3⎢-12 -6l12 -6l⎢⎥⎢ 2 26l 2l -6l 4l⎥⎣⎦2 M⎡0 ⎢0 0 0 ⎤⎥⎢0 0 0 0 ⎥⎢⎢0 0 4l6l⎥⎥⎢⎣0 026l3⎥12l⎦⎥ , essendo: [D] =2b) Calcolo della matrice di rigidezza per integrazione della linea elastica. I termini sono i reciproci deicoefficienti di influenza; ad esempio, k 11 è la forza di taglio T y nel primo nodo quando lo spostamento q 1 èunitario, essendo nulli gli altri spostamenti generalizzati q 2 , q 3 , q 4 ; analogamente per gli altri. Quindi la primacolonna di [k] si calcola, risolvendo l’equazione della linea elastica: EJ x (d 4 η/dx 4 ) = 0 (il secondo membro ènullo, poiché i carichi sono sempre riportati ai nodi), posto: η(0)= q 1 = 1 ; η’(0)= q 2 = η(l)= q 3 = η’(l)= q 4 = 0.Cambiando la condizione al contorno da porre unitaria, si calcolano le altre colonne. E’ ritrovato il risultatoprecedente.Si osserva che: - la matrice [k] è simmetrica: per il teorema di reciprocità, gli effetti incrociati sono uguali(forze indotte da rotazioni unitarie e momenti indotti da traslazioni unitarie); - la flessione retta nel piano zxè deducibile in modo analogo, sostituendo J x con J y , e cambiando i segni di k ji fuori diagonale (j ≠ i), poiché,per mantenere destrorsa la terna, cambia il verso positivo delle rotazioni (e dei momenti).c) Calcolo della matrice di rigidezza dalla manualistica. I manuali danno, ad esempio, nel caso di mensolaincastrata: η F (l)= F 2 l 3 /3EJ x , φ F (l)= F 2 l 2 /2EJ x con carico F 2 all’estremo 2; e: η M (l)= M 2 l 2 /2EJ x , φ M (l)= M 2 l/EJ xcon carico M 2 all’estremo 2; questi, posti F 2 =M 2 =1, sono noti come coefficienti di influenza.Per una deformata conforme alle condizioni al contorno q 1 = 1 ; q 2 = q 3 = q 4 = 0, sia nullo l’angolo α(l), causatoda F 2 , applicando nel nodo 1 un opportuno momento M 1 che, raddrizzando l’estremo libero della mensolainflessa da F 2 , produca un angolo φ(0) uguale (ed opposto) ad φ(l) : φ F (l)= F 2 l 2 /2EJ x = - M 1 l/EJ x = - φ M (0) , cioè:M 1 = - F 2 l/2 . Ma M 1 produce una freccia in verso opposto a quella di F 2 , per cui: η(l) = (F 2 l 3 /EJ x ) (1/3-1/4) =F 2 l 3 /12EJ x . In definiva: k 11 = F 2 /η(l) = 12EJ x /l 3 . E così di seguito per gli altri termini.5. 1. 2. CARICHI NODALI EQUIVALENTI PER LA TRAVE INFLESSA.Il modello agli elementi finiti richiede che tutti i carichi esterni siano ricondotti ai nodi. Per valutare il vettore{Q eq } è sufficiente considerare una struttura formata da un solo elemento con tutti i gradi di libertà vincolati;in tal caso risulta: {q} = {d} = {0}; e: {Q} = {F} = {R}; sostituendo questi dati nell’equazione di equilibrio:{Q} = [k] {q} + {Q eq }, risulta: {Q eq } = {R}, che impone l’equivalenza in termini d’equilibrio.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC.

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE31A scopo illustrativo, sono presentati alcuni esempi.Forze nodali equivalenti ad una distribuzione uniforme p(z) di forze per unità di lunghezza (nel piano yz). Lereazioni della trave incastrata sono: R 1 = R 3 = F y = - pl/2 , R 2 = - R 4 = M x = - pl 2 /12 .Pertanto: {Q eq } = {R 1 R 2 R 3 R 4 } = {-pl/2, -pl 2 /12, - pl/2, pl 2 /12} .A volte si danno le forze per unità di volume g; per ottenere carichi per unità di lunghezza, occorre integrarlesulla sezione corrente della trave: p(z) = gA(z).Forze nodali equivalenti ad una differenza di temperatura ∆T = T B - T A tra faccia superiore ed inferiore (nelpiano yz). La lunghezza della linea elastica non varia e non vi è carico in direzione y: R 1 = R 3 = 0. Le reazioni:R 2 , e: R 4 = - R 2 , sono calcolate utilizzando le equazioni di equilibrio, di congruenza e di legame. Ossia:Equilibrio: σ A = (σ z ) y= h/2 = - M x /W x = R 2 /W z , σ B = (σ z ) y= -h/2 = M x /W x = R 4 /W x ; ∆σ z = σ B - σ A = -2R 2 /W x .Congruenza: ε A = (ε z ) y=h/2 = -(χ y y) y=h/2 = -(h/2)(dφ x /dz) , ε B = (ε z ) y=-h/2 = -(χ y y) y= -h/2 = (h/2)(dφ x /dz) ; ∆ε z = h(dφ x /dz) .Legame: σ z = E(ε z - ε oz ) , ε ox = α T T , deformazione termica; ∆σ z = E(∆ε z - ∆ε oz ) , ove: ∆ε ox = α T (T B - T A )= α T ∆T .Quindi: R 2 = - EW x (h/2) (dφ x /dz) + EW x α T ∆T/2 ; R 2 z = - EW x (h/2) φ x + EW x α T (∆T/2) z + c .Risulta: φ x (0)= 0, quindi: c= 0 ; e: φ x (l)= 0, quindi: R 2 = EW x α T ∆T/2 .In definitiva: {Q eq } = {R 1 R 2 R 3 R 4 } = EW x α T ∆T/2 {0 1 0 -1} .5. 1. 3. BARRA DI TORSIONE A SEZIONE CIRCOLARE.Al pari dell’asta soggetta a carico normale, la barra di torsione ha un unico grado di libertà, Fig. 5.2: l’angoloθ di rotazione fra le sezioni nodali. Il referenziale locale sia l’asse della barra; si definiscano: rotazioni nodaliq 1 , q 2 , e momenti nodali Q 1 , Q 2 , positivi se di verso concorde con quello delle rotazioni positive. La relazionedi equilibrio è al solito: {Q} = [ k ] {q} . La matrice (simmetrica) di rigidezza è calcolata, supponendo che siavincolato un estremo della barra ed imponendo le condizioni d’equilibrio, di congruenza e di legame.Fig. 5.2. Barra di torsione a sezione circolare.Equilibrio: τ(r) = M o r/J o , J o = πR 4 /2 ; τ max = M o R/J o = M o /W o ;Congruenza: 2 ε θz (r) = γ θz (r) = r dθ/dz , ε max = R dθ/dz ; θ = (l/R) γ θz (R) ;Legame: τ(r) = 2G ε θz (r) ; τ max = 2G ε max .Cioè: M o = (GJ o /l) θ = k θ , k = GJ o /l ; θ = q 2 - q 1 . Quindi: - M o = Q 1 = k q 1 - k q 2 , M o = Q 2 = - k q 1 + k q 2 .Q⎢⎣Q⎡ 1 ⎤ ⎡ ⎤ 1Ovvero: = k ⎢ ⎥ =⎥2 ⎦1 -1 ⎡q⎤⎢ ⎥⎣-1 1 ⎦ ⎢⎣q2 ⎦⎥GJ ol⎡1 -1⎤⎡q⎤1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣-1 1 ⎦ ⎢⎣q2 ⎦⎥.Per travi con sezioni non circolari, la torsione ha effetti distorcenti (le sezioni si ingobbano). Formalmente siutilizzano analoghe espressioni, introducendo, in luogo di J o , i momenti quadratici torsionali d’area J τ = ς o J o ,da adattare a seconda delle forme geometriche (ς o , fattore di torsione, tabulato nei manuali).5. 1. 4. ELEMENTO “TRAVE” CON SOLLECITAZIONE COMPOSITA.Per modellare telai spaziali, si combinano gli effetti: - asta, con carico normale; - barra di torsione; - traveinflessa, con carichi nei due piani trasversali. Introdotta la terna cartesiana locale, si definiscono, Fig. 5.3:# q 1 , q 7 , Q 1 , Q 7 : spostamenti e forze nodali dell’elemento asta; # q 4 , q 10 , Q 4 , Q 10 : spostamenti e forze nodalidell’elemento barra di torsione; q 2 , q 6 , q 8 , q 12 , Q 2 , Q 6 , Q 8 , Q 12 : spostamenti e forze nodali della trave flessanel piano yz; # q 3 , q 5 , q 9 , q 11 , Q 3 , Q 5 , Q 9 , Q 11 : spostamenti e forze nodali della trave flessa nel piano zx.La matrice di rigidezza dell’elemento combinato è una matrice quadrata di dimensioni 12x12. Nella matricedi rigidezza sono nulli tutti gli elementi che si riferiscono a grandezze nodali che non sono reciprocamentelegate. Ad esempio, nel campo di validità della teoria lineare (piccoli spostamenti), il momento torcente noncausa accorciamenti, quindi devono essere nulli gli elementi: k 4,1 , k 4,7 , k 10,1 , k 10,7 , k 1,4 , k 7,4 , k 1,10 , k 7,10 . Parimentiuna trave, flessa solo da momenti e carichi trasversali, non si accorcia, perciò i relativi accoppiamenti nellaA cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE32matrice di rigidezza sono nulli.Il modello richiamato può richiedere aggiustamenti. Si è ricordata la necessità di ricorrere al momento polareJ τ adattato ogni volta che la torsione agisca su una trave con sezione non circolare. In via analoga, si procedenel caso della flessione deviata (travi flesse non in piani di simmetria) e tenere conto degli angoli fra gli assidi azione dei carichi e quelli delle deformazioni. Ulteriore adattamento è da introdurre nel caso di travi tozze(λ i = l/κ i ≤ 1 ,ove: κi = √J i /A z ); negli elementi della matrice [K # ], per tenere conto dell’effetto del taglio sulladeformazione, è fatto riferimento al parametro correttivo β i = 12E/Gς T λ i , essendo: ς T il fattore adimensionaledi taglio (tabellato per i più comuni tipi di sezione); λ i il fattore di snellezza.⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢[K # ⎢] = ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣EA 0 0 0 0 0 - EA 0 0 0 0 0 ⎤LL12EAJy6EJy- 12 y6EJy0 0EAJ⎥0 0 0 0 0 0L3 (1+ β2 32x) L(1+ βx) L (1+ βx)L(1+ βx) ⎥12 x- 6 x- 12 x - 60 0 EAJ 0EJ0 0 0 EAJ 0EJx0 ⎥L3 (1+ β2 32y) L(1+ βy) L (1+ βy)L(1+ βy)⎥0 0 0GJτ0 0 0 0 0- GJτ0 0 ⎥LL- 6EJx(4+ βy)EJx0 0 0 06EJx(2- βy)EJx⎥0 0 0 022L(1+ βy) L(1+ βy)L(1+ βy) L(1+ βy)⎥6 EJy (4+ βx) EJy - 6 EJy(2- βx)EJy⎥0 0 0 0 0 0 0 02 2L(1+ βx) L(1+ βx) L(1+ βx) L(1+ βx)⎥- EA 0 0 0 0 0 EA 0 0 0 0 0 ⎥LL-12EAJy- 6EJy12EAJy- 6EJy⎥0 0 0 0 0 0 0 0L3 (1+ β2 32x) L(1+ βx) L (1+ βx)L(1+ βx) ⎥0 0 - 12 EAJx6 xx60EJ0 0 0 12EAJ0EJx0 ⎥L3(1+ β2 32y) L(1+ βy) L (1+ βy)L(1+ βy)⎥0 0 0- GJτ0 0 0 0 0GJτ0 0 ⎥LL- 6EJx(2- βy) EJx 6EJx(4+ βy)EJ ⎥x0 0 0 0 0 0 0 0L(1+2β2y) L(1+ βy) L(1+ βy) L(1+ βy)⎥6 EJy (2- βx) EJy - 6EJy(4+ βx)EJy⎥0 0 0 0 0 0 0 0L(1+2β2x) L(1+ βx) L(1+ βx) L(1+ βx)⎥⎦Fig. 5.3. Trave soggetta a carichi normali, di torsione e di flessione.Per l’assemblaggio della matrice di rigidezza, occorre definire le matrici di trasformazione d’assi, da quellilocali, a quelli globali. In quelli locali, sono specificati i momenti quadratici J x , J y (e J o = J x +J y ) e bisogna chesiano localizzati come terna (destrorsa) univocamente definita.Nella scrittura della matrice corretta [K # ], si osservi che:- Per la torsione, è fatto apparire direttamente J τ , calcolato con il corrispondente ς o ;- Per la flessione, è preferito mantenere esplicita la dipendenza da: β x = 12E/Gς T λ x , ovvero: β y = 12E/Gς T λ y ,per evidenziare gli scostamenti dagli assi principali.Il fattore di torsione ς o e quello di taglio ς T sono tabulati per le principali sezioni. Il fattore adimensionale β i ,come ς T , dipende dalla direzione di T rispetto alle direzioni principali dell’area. Le correzioni fanno trovaremomenti quadratici di superficie modificati. Assunti trirettangoli gli assi lagrangiani: x, y, z, a deformazioneavvenuta, gli assi euleriani relativi: ζ, η, ξ, non sono trirettangoli e consentono di rappresentare lo stato ε-σlocale. Queste informazioni, per altro, non hanno interesse per ottenere i risultati dell’analisi matriciale conapprossimazione lineare (quando gli assi: ζ, η, ξ, sono confondibili con gli assi: x, y, z).5. 2. TOPOLOGIA “INVOLUCRO” ASSIAL-SIMMETRICA.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE33L’analisi delle topologie “involucro” richiede modelli in termini di equazioni alle derivate parziali, in generenon integrabili in forma compatta. Sono richiamati, a scopo illustrativo, situazioni ricondotte ad equazioniordinarie, grazie a simmetria assiale per geometria e carico.5. 2. 2. ELEMENTO “LASTRA INFLESSA”.Gli elementi lastra sono usati per analizzare parti strutturali piane di piccolo spessore, in assenza di cariconormale (occorre, naturalmente, verificare l’idoneità dell’ipotesi). Il modello è, per semplicità, dedotto nelcaso assial-simmetrico, Fig. 5.4: l’analisi flessionale della lastra circolare conduce ad equazioni ordinarie incoordinate cilindriche, con variabile indipendente la sola r. L’elemento base ha due nodi, rispettivamente alraggio r 1 , e al raggio r 2 . Le frecce della lastra sono scritte senza tenere conto della dipendenza da θ.Fig. 5.4. Elemento lastra: caso assial-simmetrico.Si sceglie la funzione di forma: u(r) = c 1 + c 2 r + c 3 r 2 + c 4 r 3 . Quindi: φ(r) = c 2 + c 3 r + c 4 r 2 . Seguono:⎧q⎫1 ⎪ ⎪⎪q2⎪⎨ ⎬⎪q3⎪⎪q⎪⎩ 4 ⎭⎡⎢12 3⎤⎥⎧1 1 1 1⎢20 1 r1 r ⎥⎪ ⎪ { q} = ⎡1 ⎪c= ⎢⎥ 2 ⎪⎣H⎤⎦{}c⎨ ⎬ , ; {ε}=⎢2 31 r2 r2 r ⎥ c⎢2 ⎪ 3 ⎪-1⎥ {} c =H ⎡ ⎤ { q}⎢⎣0 1r r r⎪22 r ⎥ c ⎪42 ⎦⎩ ⎭rc ⎫⎣⎦⎧ 2 ⎫du⎪ 2dr⎪⎨ ⎬⎪1du ⎪⎪⎩rd r ⎪⎭TL’energia elastica è: Φ= ∫ { m} { ε}dA , ove: {m} =Con la solita procedura: {m} = [elemento, si trova: [k] =AπEhν32212( 1- )3Ehν212( 1- )-1 T[H ]⎡= 0 0 2 6 r⎤⎢⎥⎢⎣0 1/ r 2 3r⎥⎦⎧c⎫1 ⎪ ⎪⎪c2⎪⎨ ⎬⎪c3⎪⎪c⎪⎩ 4 ⎭⎡= 0 0 2 6 r⎤⎢⎥⎢⎣0 1/ r 2 3r⎥⎦⎧ ⎫⎧ 2 ⎫⎪m r⎪ 3 ⎡1⎤du⎨ ⎬ =Eh ν ⎪ 2⎢ ⎥ dr⎪2 ⎨ ⎬m 12( 1-ν) ⎢⎣ν 1⎥⎦⎪ 1 du ⎪⎪⎩ϑ ⎭⎪⎩⎪r d r ⎭⎪r2T ⎡1ν⎤∫ [A] [A] 2 rdrr ⎢1 1⎥ π⎣ν⎦⎡00 0 0 ⎤⎢⎥⎢3 2 20 log( r + - r1 ) (1 + )( r 2 2 - r1) ⎥2/ r1) 2(1 ν)( r2ν⎢⎥2 2 3 3⎢0 2(1 + ν) ( r2 - r1 ) 4(1 + ν)( r2- r1 ) 6(1 + ν)( r2 - r1) ⎥⎢⎥3 2 23 3 5 2 2⎢⎣0 (1 + ν) ( r + - r 2 2 - r1 ) 6(1 ν)( r21 ) (1 + ν)( r 4 2 - r1) ⎥⎦Occorre, poi, assemblare la matrice globale per l’intero modello.=3 ⎡Eh 1 ν⎤⎢ ⎥212( 1-ν) ⎢⎣ν1⎦[H] -1 {q} = [A]{q}.⎥ [A]{q} .] {q} = [k] {q} . Eseguita l’integrazione per ogni[H -1 ] .L’assial-simmetria permette l’integrazione esplicita. In genere, la trattazione di una lastra inflessa conduce adequazioni alle derivate parziali, ed il calcolo della matrice [k] è effettuato per integrazione numerica.5. 2. 2. ELEMENTO “INVOLUCRO INFLESSO”.La descrizione degli involucri sottili inflessi può essere considerata estensione del caso precedente: - perchéla superficie mediana è curva; - perché è presente uno stato di sollecitazione membranale. Si utilizza ancora,Fig. 5.5, il caso assial-simmetrico (indipendenza da θ); oltre che le deflessioni trasversali (normali) e angolariu n e φ=(du n /ds) della superficie media , occorre considerare anche gli spostamenti entro detta superficie u t .A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE34Fig. 5.5. Elemento involucro: caso assial-simmetrico.Siano: u t (s) = c 1 + c 2 s , u n (s) = c 3 + c 4 s + c 5 s 2 + c 6 s 3 , φ(s) =du n /ds = c 4 + c 5 s + c 6 s 2 , usando: {q} = [H] {c},[H]=⎡1 0 0 0 0 0 ⎤⎢⎢0 0 1 0 0 0⎥⎥⎢0 0 0 1 0 0 ⎥⎢⎥⎢1 l 0 0 0 0 ⎥⎢⎢0 0 1 l2l3 ⎥l ⎥⎢⎣0 0 0 1 2l2 ⎥3l⎦; {ε}=du⎧t ⎫⎪ ds⎪⎪1r (utsin α+uncos α)⎪⎪⎪⎨ du2 t ⎬⎪ds2⎪⎪⎪1 du( nr sin )⎪α⎩ ds⎪⎭=⎡⎢⎢sin⎢⎢⎢⎢⎣⎧ 1 ⎫0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎪2 3 ⎥c⎪⎪ 2 ⎪α s sinα cosα s cosα s cosαs cosαr r r r r r ⎥⎪c3 ⎪⎥ ⎨ ⎬0 0 0 0 2 6 s ⎥ ⎪c4⎪2 3 20 0 0 sinαs sinαs sinα⎥ ⎪c⎪r r r ⎥ 5⎦ ⎪ ⎪⎩⎪c6⎭⎪c= [C]{c} , {c}= [H -1 ]{q} .1 TL’energia elastica è: Φ=2 ∫ { σ} { ε}dV , con: {σ}= [Λ]{ε}= [Λ][B]{q} ,e: {ε}= [B]{q} , poiché: [B]=[C][H -1 ] .VTQuindi: Φ= 2π∫ [B ][ Λ][B]r ds, fatto riferimento alla simmetria cilindrica ed integrando, con spessore: h=cost.,llungo il profilo l entro un piano θz.PROGETTO STRUTTURALE - SOLUZIONI NUMERICHE.6. ESEMPI DI STATICA DELLE COSTRUZIONI.Sono denominate costruzioni o strutture, i manufatti realizzati secondo specifiche tecniche, fissate aprogetto, al fine di assolvere a definiti scopi. In statica, si studia il comportamento della costruzionein configurazioni di riferimento fisse: nel caso di macchinari, può doversi ripetere lo studio per piùdi una configurazione, in dipendenza delle prescrizioni d’esercizio da convalidare.6. 1. COSTRUZIONI A “TELAIO”.Sono denominate “telai”, le strutture in cui sono individuabili elementi, connessi fra loro in vario modo, percui si hanno nei nodi, oltre che cerniere, anche incastri e pattini. Si è, cioè, in presenza di elementi specialiche scambiano ai nodi, oltre che forze, anche momenti (flettenti e torcenti); sono, pertanto, gradi di libertà lerotazioni (pendenze della linea elastica o della superficie elastica, ai nodi).Semplici travi rettilinee (flessione retta) hanno due gradi di libertà per nodo; in prima istanza, si aggiungonogli effetti di carico normale, torsione e flessione in quadratura. Le lastre possono essere considerate elementipiani (di piccolo spessore h), per i quali le azioni flessionali e normali sono indipendenti. Gli involucri hannoflessioni ed allungamenti sempre accoppiati, per la curvatura iniziale. Le travi curve presentano simile caso.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC

COSTRUZIONE DI MACCHINE IINOTE SU PROGETTAZIONE STRUTTURALE: SOLUZIONI NUMERICHE35La consuetudine di supporre separati gli effetti richiede accorgimenti (vedasi la flessione deviata); lo stato disollecitazione può essere valutato con idonei coefficienti (meno immediata, l’analisi delle deformazioni). Glielementi “involucro” hanno linee di connessione nodali (più che nodi); nel caso di simmetria cilindrica, talicollegamenti coincidono con circonferenze di raggio assegnato (per la non-dipendenza da θ). In difetto, lefunzioni di forma richiedono formulazioni sofisticate, che possono far perdere efficacia ai modelli ottenuticon elementi speciali.6. 1. 1. SCONNESSIONI NELLE STRUTTURE A TELAIO.L’assemblaggio di un modello di telaio, costruito con elementi speciali, richiede la specificazione del tipo diconnessione. Le relazioni di congruenza, basate sull’uguaglianza degli spostamenti nodali (generalizzati) pergli elementi che vi confluiscono, corrispondono a saldature. La cerniera impone uguaglianza di traslazioni(essendo libere le rotazioni); il pattino lascia libere le traslazioni secondo un’assegnata direzione.Un semplice modo di realizzare una sconnessione in un nodo condiviso da più elementi è quello di ricorrerealle pertinenti relazioni di legame o accoppiamento (in inglese: coupling o tying) tra gradi di libertà.Si voglia, in un telaio piano, per esempio, realizzare un “pattino” all’estremità nodale di un elemento A, checonfluisce nel nodo condiviso da altri due elementi B e C, tra loro allineati ed uniti tramite giunzione saldata.Occorrerà: - definire due nodi distinti (con diversa numerazione nodale), in modo che uno di essi (nodo h) siacondiviso dagli elementi B e C, mentre l’altro (nodo j) appartenga al solo elemento A; pur essendo identichele coordinate cartesiane dei nodi h e j, i due nodi sono tra loro indipendenti, perché non vi è alcun elementoche connette h con j; - assegnare la relazione di legame che impone l’uguaglianza tra la rotazione del nodo he quella del nodo j, nonché la relazione che impone l’uguaglianza tra gli spostamenti del nodo h e del nodo jin direzione normale a quella di scorrimento del pattino, senza accoppiare gli spostamenti dei due nodi nelladirezione di scorrimento autorizzata. Nella procedura bisogna che siano conservati i referenziali (utile scelta,un asse coincidente con la direzione di scorrimento del pattino) ed è sconsigliabile imporre ad uno dei nodicondizioni che interferiscano con i mutui legami.In via del tutto simile, si procede per realizzare una “cerniera”, bloccando spostamenti, ma non rotazioni.I telai, specialmente se costruiti da travi, sono convenientemente risolti usufruendo di elementi speciali. Perconsuetudine è spesso fatto ricorso, in luogo delle matrici di rigidezza, alle inverse matrici di cedevolezza, icui termini sono noti come coefficienti di influenza, η ik , che compaiono nella: {q} = [η]{Q} .6. 1. 2. ESEMPIO: ANALISI DI TELAIO CON UNA IPERSTATICA.Si consideri il semplice esempio di Fig. 6.3: in C, la mensola ha freccia vincolata allo spostamento verticaledel piedritto (può traslare e ruotare). Il telaio è una volta iperstatico; occorrerà una sconnessione, (meglio) inun incastro al contorno per semplificare le condizioni di vincolo geometrico. Si scelga di introdurre unpattino verticale in A, per cui il modello associato, con carico P, presenta le reazioni: H A , H B , V B , M B , el’iperstatica: V A = Q 1 , da trovare. Seguendo l’approccio tradizionale (equazioni di Müller-Breslau), si separala freccia del modello associato, da quella indotta dall’iperstatica: q 1 = η 1 = η 10 +η 11 Q 1 ; ove: η 10 = - (Pah/EJ)l+Ph/EA . Con carico unitario, si trova: η 11 = l 3 /3EJ+ lh/EJ+ h/EA. Imponendo la condizione: η 1 = 0, si ricava:Q 1 =- η 10 /η 11 , e, pertanto, le reazioni: V A = Q 1 , V B = P+ Q 1 , H A = H B = 0; si ha, inoltre: M B = Pa - V A l . Lospostamento in B vale la freccia di una mensola di lunghezza h, caricata da M B : q B = (h 2 /2EJ) (Pa - V A l).Fig. 6.3. Telaio piano: mensola con colonna di sostegno.A cura di R.C. Michelini, R.P. Razzoli – PMARlab - DIMEC