1 Limiti di successioni - Dipartimento di Matematica

Esercitazioni di matematicaCorso di Istituzioni di Matematica 1BFacoltà di ArchitetturaAnno Accademico 2005/2006Anna Scaramuzza4 Novembre 20051 Limiti di successioniEsercizio 1.1. Servendosi della definizione di limite verificare cheSoluzione. Seallora vuol dire che:n 2 − 1limn→+∞ n 2 − 3 = 1n 2 − 1limn→+∞ n 2 − 3= 1∀ ε > 0 ∃n ε ∈ N tale che ∀n > n ε si abbia |a n − 1| < εNel nostro caso:∀ ε > 0 ∃n ε ∈ N tale che ∀n > n ε si abbian 2 ∣− 1 ∣∣∣∣n 2 + 3 − 1 < εDeterminiamo il valore di n ε sviluppando:n 2 − 1 − n 2 + 3∣ n 2 − 3 ∣ < ε2∣n 2 − 3∣ < εDall’ultima disuguaglianza otteniamo che per n ≥ 2 si ha: 2 ε < n2 −3 ovvero√ √che n 2 > 2 ε + 3. Allora basterà scegliere n < − 2ε + 3 oppure n > 2ε√+ 3.2Visto che n > 2 allora n >ε+ 3. (L’ipotesi n > 2 non è restrittiva perchéstiamo verificando il limite per n → +∞, quindi per n molto grande).Pertanto, √basta prendere n > n ε dove n ε è il primo numero intero minore o2uguale aε + 3. 1

Se ad esempio ε = 1200 allora n ε = [ √ 400 + 3] = 20. Quindi ∀n > 20abbiamo1 − 1200 < a n < 1 + 12002 Limiti di successioni e Teorema del confrontoEsercizio 2.1. Si verifichi chen 2 − 1limn→+∞ n 2 − 3= 1Soluzione. Per dimostrare la tesi procediamo nel seguente modo: cerchiamodi scrivere sia il numeratore che il denominatore come prodotto di duefattorin 2 − 1limn→+∞ n 2 − 3( )n 2 1 − 1 n 2= lim ( )n→+∞n 2 1 − 3 n 21 − 1 n= lim2n→+∞ 1 − 3 n 2Per ottenere la tesi dobbiamo calcolare il limite del rapporto di due successionie per farlo calcoliamo il limite del numeratore e del denominatore. Perconoscere tali limiti dobbiamo prima dimostrare chelimn→+∞1n 2 = 0Per calcolare tale limite utilizziamo il Teorema del confronto o dei carabinieri.Questo Teorema ci dice che:Teorema 1 (Teorema del confronto o dei carabinieri). Date tre successionia n , b n , c n tali che da un certo n in poi si abbia a n ≤ b n ≤ c n . Se a n e c nsono convergenti (divergenti) e ammettono lo stesso limite allora anche b nè convergente (divergente) e ha lo stesso limite, cioélim b n =n→+∞lim a n =n→+∞limn→+∞ c nOsserviamo che∀n ∈ N − {0}∀n ∈ N − {0}1n 2 ≥ 01n 2 ≤ 1 n2

Prendiamo come successione a n = 0 e come successione c n = 1 n. La primaè la successione costante nulla e la seconda è una successione convergente a0, quindi per il Teorema del confrontolimn→+∞1n 2 = 0Dimostrato ciò, possiamo dire che i limiti del numeratore e del denominatoresono entrambi sono pari a 1 e quindi il limite del rapporto è pari al rapportodei limiti, cioé 1.Osservazione. Utilizzando il Teorema del confronto si può dimostrare cheper d > 1.limn→+∞Esercizio 2.2. Calcolare il limite1n d = 0n sin(n)limn→+∞ n 2 + 1Soluzione. Per calcolare tale limite utilizzeremo il Teorema del confronto.Sappiamo che −1 ≤ sin(n) ≤ 1, quindin sin(n)n 2 + 1n sin(n)n 2 + 1≤≥nn 2 + 1−nn 2 + 1Consideriamo il limite della successione che determina la prima maggiorazione(3):limn→+∞nn 2 + 1= limn→+∞nn(n + 1 )n 21= limn→+∞ 1(n + 1 )n 2Il numeratore è dato dalla successione costante 1 e il denominatore da unasuccessione che diverge e quindilimn→+∞nn 2 + 1= 0Passiamo ora al limite della successione della minorazione (4):limn→+∞−nn 2 + 1= limn→+∞−nn(n + 1 )n 2−1= limn→+∞ 1(n + 1 )n 23♦(1)(2)

Il numeratore è dato dalla successione costante -1 e il denominatore da unasuccessione che diverge e quindilimn→+∞−nn 2 + 1= 0n−nn 2 +1Allora la successione è compresa tra due successioni a n =n 2 +1 , b n =convergenti allo stessso limite e quindi la successione converge e convergeallo stesso limite a cui convergono a n , b n cioé:Esercizio 2.3. Si calcoli il limiteSoluzione. Procediamo così:n sin(n)limn→+∞ n 2 + 1n 2 − nlimn→+∞ 4 − nA questo punto possiamo dire chen 2 − nlimn→+∞ 4 − n= 0n(n − 1)= limn→+∞ n( 4 n − 1)n(n − 1)n − 1limn→+∞ n( 4 n − 1) = limn→+∞ 4n − 1Ma per n → +∞ il numeratore tende a +∞ mentre il denominatore tendea −1 allora il rapporto tende a −∞ e quindin 2 − nlimn→+∞ 4 − nEsercizio 2.4. Si calcoli il limiteSoluzione. Procediamo così:limn→+∞3 − nn 2 + 1limn→+∞3 − nn 2 + 1= −∞n( 3 n= lim− 1)n→+∞ n(n + 1 n )Abbiamo scritto numeratore e denominatore come prodotto di due fattorie vale che per n → +∞ il numeratore tende a −1 mentre il denominatoretende a +∞ allora il rapporto tende a 0 e quindilimn→+∞3 − nn 2 + 1= 04

3 Limiti di a n + b n , a n − b n , a n · b n , a n /b nNegli esempi fatti in precedenza abbiamo utilizzato alcune regole sui limitidelle successioni. Vediamole.In generale date due successioni a n , b n rimangono definite le successionia n + b n a n − b n a n · b n a n /b ne possiamo calcolare i loro limiti conoscendo i limiti di a n , b n . Infatti abbiamo:a n b n a n + b nl 1 l 2 l 1 + l 2+∞ l 2 +∞−∞ l 2 −∞+∞ +∞ +∞−∞ −∞ −∞+∞ −∞ ?a n b n a n · b nl 1 l 2 l 1 · l 2+∞ l 2 > 0 +∞+∞ l 2 < 0 −∞−∞ l 2 > 0 −∞−∞ l 2 < 0 +∞+∞ +∞ +∞−∞ +∞ −∞±∞ 0 ?a n b n ≠ 0 a n /b nl 1 l 2 ≠ 0 l 1 /l 2l 1 > 0 b n → 0 +∞l 1 < 0 b n → 0 −∞+∞ l 2 > 0 +∞+∞ l 2 < 0 −∞−∞ l 2 > 0 −∞−∞ l 2 < 0 +∞±∞ ±∞ ?a n → 0 b n → 0 ?dove il ? sta ad indicare dei casi in cui la successione deve essere analizzataattentamente e in cui ogni limite deve essere calcolato in modo particolarea secondo della successione che si presenta.5

Esercizio 3.1. Si calcoli il limite√ √n + 1 − n − 1limn→+∞Soluzione. Siamo di fronte ad un caso particolare in cui√n + 1 → +∞− √ n − 1 → −∞Per eliminare questa situazione di incertezza moltiplichiamo la succesione√ n + 1 −√ n − 1 per 1 dove1 =√ n + 1 +√ n − 1√ n + 1 +√ n − 1allora quello che si ottiene è che il limite diventa√ √lim n + 1 − n − 1 = lim (√ n + 1 − √ √ √ n + 1 + n − 1n − 1) · √ √n→+∞n→+∞ n + 1 + n − 1( √ n + 1 − √ n − 1)( √ n + 1 + √ n − 1)= lim√ √n→+∞n + 1 + n − 1= limn→+∞= limn→+∞(n + 1 − n + 1)√ n + 1 +√ n − 12√ n + 1 +√ n − 1Poiché il numeratore è dato dalla successione costante 2, converge a 2 epoiché il denominatore è dato da una successione divergente allora√ √n + 1 − n − 1 = 0limn→+∞Esercizio 3.2. Si calcoli il limitelim n − √ nn→+∞Soluzione. Siamo di fronte ad un caso particolare in cuin → +∞− √ n → −∞Per eliminare questa situazione di incertezza moltiplichiamo la succesionen − √ n per 1 dove1 = n + √ nn + √ n6

allora quello che si ottiene è che il limite diventalim n − √ n = lim (n − √ n) · (n + √ n)n→+∞ n→+∞ n + √ n(n − √ n)(n + √ n)= limn→+∞ n + √ n(n 2 − n)= limn→+∞ n + √ nn(n − 1)= limn→+∞ n(1 + √ 1n)(n − 1)= limn→+∞ (1 + √ 1n)Poiché il numeratore è dato dalla successione n −1 che per n → +∞ divergea +∞, e poiché il denominatore è dato da una successione convergente a 1alloraEsercizio 3.3. Calcolare i limitilim n − √ n = +∞n→+∞limn→+∞limn→+∞1n1n 2 (3)1n 21nSoluzione. Consideriamo il limite (3). La successione di cui si deve calcolareil limite è data dal rapporto di due successioni ed entrambe convergonoa zero. Allora ci troviamo di fronte ad un caso particolare.Vale però:limn→+∞1n1n→+∞n 2 = lim= limn→+∞ n= +∞1n · n2Consideriamo il limite (4). La successione di cui si deve calcolare il limite èdata dal rapporto di due successioni gonvergenti a zero. Allora ci troviamodi fronte ad un caso particolare.Vale però:limn→+∞1n 21n1= limn→+∞ n 2 · n1= limn→+∞ n= 0(4)7

4 EserciziEsercizio 4.1. Verificare con la definizione di limite che:lim (3n + 1) = +∞n→+∞Esercizio 4.2. Verificare con la definizione di limite che:n + 1limn→+∞ 2n= 1 2Esercizio 4.3. Calcolare il limite√n 2 + 1 − nlimn→+∞Esercizio 4.4. Calcolare il limitelimn→+∞Esercizio 4.5. Calcolare il limitelimn→+∞3√n + 2 −3 √ nn + cos(n)n 3 + n 2 + 18