A1. La curva normale (o di Gauss) - Università degli Studi della ...

Università degli Studi di Basilicata – Facoltà di EconomiaCorso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013lezione n. 8 dell’11 aprile 2013- di Massimo Cristallo -A1. La curva normale (o di Gauss)La curva normale (o di Gauss) è la distribuzione continua maggiormente utilizzata in Statistica.Solitamente viene indicata con il simbolo:X ~ N( µ , σ ) .In pratica, misurando più volte una stessa grandezza è ovvio che ci saranno degli errori di osservazione,la cui distribuzione è ottenuta dall’espressione algebrica (dimostrata da Gauss) di seguito riportata:( x−µ) 2N −2 2y = e σσ 2πI parametri della curva normale sono la numerosità del collettivo, la media aritmetica e lo scaroquadratico medio: N, µ e σ .La curva di Gauss presenta, inoltre, le seguenti caratteristiche:- ha una forma campanulare;- è asintotica (presenta due rami asintotici all’asse delle ascisse);- è simmetrica intorno alla media aritmetica;- in corrispondenza dell’ascissa x = µ l’ordinata assume il suo massimo valore;- in corrispondenza dei punti di ascissa µ − σ e µ + σ ha i punti di flesso;- N indica l’area compresa tra la curva normale e l’asse delle ascisse;- al variare di µ la curva subisce traslazioni verso sinistra o destra, a seconda cheµ diminuisce o aumenta;- al variare di σ la curva diventa più schiacciata o aguzza, a seconda che σ aumenta odiminuisce.In definitiva, le curve normali, pur assumendo diversi aspetti al variare dei 3 parametri, mantengonosempre la forma a campana.E’ possibile ricondurre le infinite curve normali ad un’unica curva normale (detta standardizzata),ponendo:x − µz =σcioè, cambiando le unità di misura della variabile in unità di deviazioni standard dalla media.Considerando, poi, le frequenze relative (cioè dividendo per il totale dei casi esaminati N) e tenendoconto della precedente assunzione, si ricava la seguente espressione algebrica della curva normalestandardizzata:z2− 21y = e2πove ciascuno dei tre parametri assume sempre lo stesso valore:N = 1 (area totale); µ = 0; σ = 1.La curva normale standardizzata è ovviamente simmetrica intorno allo zero.1

Essendo i parametri costanti e z l’unica variabile (indipendente), è possibile far ricorso alle tabulazionipresenti in letteratura, che forniscono direttamente l’area “interessata” al di sotto della curva normale,senza ricorrere al calcolo degli integrali definiti.Si può verificare che per ogni distribuzione normale con media µ e deviazione standard σ , risulta:a. l’intervallo [ µ σ , µ σ ]b. l’intervallo [ µ 2 σ , µ 2σ]c. l’intervallo [ µ 3 σ , µ 3σ]− + comprende sempre il 68,3% delle osservazioni;− + comprende sempre il 95,4% delle osservazioni;− + comprende sempre il 99,7% delle osservazioni.Si noti che gli intervalli precedenti sono tutti simmetrici intorno alla media aritmetica.EsempioSe l’altezza di un gruppo di 100.000 persone si distribuisce secondo una curva normale X ~ N(180,5) ,si può affermare che:175,185a. il 68,3% degli individui in esame ha un’altezza contenuta nell’intervallo [ ]b. il 95,4% degli individui in esame ha un’altezza contenuta nell’intervallo [ 170,190 ]c. il 99,7% degli individui in esame ha un’altezza contenuta nell’intervallo [ 165,195 ] .In altri casi, occorre prima calcolare i valori di z corrispondenti all’ascissa x, sottraendo la mediaaritmetica e dividendo il risultato ottenuto per la deviazione standard, e poi utilizzare la tavola dellacurva normale standardizzata.Se risulta, ad esempio, X ~ N(10,4) , considerando l’ascissa x=8 si ha:8 −10z∗= = − 0,54Si deve, quindi, “rintracciare” sull’apposita tavola il valore 0,5, trattandosi come è noto di una curvasimmetrica intorno allo zero, e poi procedere a seconda del tipo di problema da risolvere.Se invece x è pari a 15, poiché risulta:15 −10z∗= = 1, 254il valore da cercare all’interno della tavola è proprio 1,25, in corrispondenza del quale compare il valore0,10565, il quale sta a significare che la percentuale dei casi in cui x è maggiore di 15 risulta pari a circa il10,56%.E’ possibile risolvere, sempre con l’uso della apposita tavola, tipologie diverse di applicazioni.Allegato: “tavola” area della curva normale standardizzata, consegnata durante la lezione.A2. Indici di asimmetria e di curtosiLa simmetria statistica indica l’assenza di specularità di una distribuzione rispetto al suo asse disimmetria. Disponendo di N osservazioni di un certo carattere quantitativo, si dice che queste sonosimmetriche rispetto ad un centro (valore medio) se le intensità ordinate x e x sono equidistanti( i ) ( N − i + 1)dal centro µ.La relazione di simmetria comporta che il primo e l’ultimo termine ordinato hanno uguale distanza dalcentro di simmetria. Nell’ipotesi di simmetria, il “centro” coincide con la Mediana, con la Mediaaritmetica e la Moda della distribuzione.2

Si pone allora il problema di misurare l’asimmetria. A tal fine, la costruzione dei corrispondenti indicideve essere tale da poter misurare di quanto la situazione rilevata si discosti da quella di simmetria, percui tali indici devono presentare le seguenti caratteristiche:1. devono assumere valore zero se e solo se esiste simmetria;2. devono avere valore assoluto tanto più grande quanto più la situazione rilevata si discosta dallasituazione di simmetria;3. devono assumere valore positivo o negativo, a seconda che la Mediana (Me) sia minore omaggiore della Media aritmetica µ.Si riportano di seguito una serie di indici di asimmetria, sia assoluti che relativi.INDICI ASSOLUTI DI ASIMMETRIAα = µ − Me1α = µ − Mo2Il primo indice misura la distanza della media aritmetica rispetto alla Mediana, mentre il secondo misurala distanza della media aritmetica rispetto alla Moda.Entrambi gli indici assumono valori nulli, positivi o negativi, a seconda che la distribuzione presenti,rispettivamente, simmetria, asimmetria positiva o negativa.Altra misura assoluta di asimmetria è:α = Q −Q − Q − Q( ) ( )3 3 2 2 1ove Q1e Q3indicano il primo ed il terzo quartile, mentre Q2coincide con la mediana.INDICI RELATIVI DI ASIMMETRIAIn considerazione dei difetti che presentano in generale le misure assolute, si ricorre al seguente indicedi asimmetria di Pearson:µ − Moαp=σ(è un numero puro)che presenta, però, i seguenti difetti:1. non è adatto per distribuzioni plurimodali (cioè con più valori modali);2. non varia tra limiti definiti;3. contiene la moda, che non è facilmente calcolabile quando i casi osservati sono limitati.Per distribuzioni moderatamente asimmetriche si utilizza pertanto il seguente indice:( µ − )3 Meα4= (numero puro, var ia tra − 3 e 3)σUn secondo indice di asimmetria proposto da Fisher, molto più usato del precedente, è il coefficientedi asimmetria:λ31 N⎛ xi− µ ⎞1= ∑ ⎜ ⎟i = 1N⎝σ⎠numero puroOSSERVAZIONESe esiste PERFETTA SIMMETRIA, allora gli indici precedenti sono nulli. Non vale, però, il contrario.3

Un altro aspetto che interessa considerare è quello della curtosi. Essa si riferisce alla maggiore o minoresporgenza di una curva in prossimità del suo massimo e alla maggiore o minore lunghezza delle code.La valutazione di questo aspetto di “forma” della curva si effettua attraverso il confronto con la curvanormale.INDICI DI CURTOSIPearson ha proposto il seguente indice:β41 N⎛ xi− µ ⎞2= ∑ ⎜ ⎟i = 1N⎝σ⎠numero puroche assume valore 3 per una curva normale, valore maggiore di 3 per una distribuzione leptocurtica (oipernormale, cioè più appuntita della curva normale), minore di 3 per una distribuzione platicurtica (oiponormale, cioè più piatta della curva normale).Fisher ha proposto invece l’ indice:λ2 = β2 − 3 numero puroche assume valore 0 per una curva normale, valore maggiore di 0 per una distribuzione leptocurtica,minore di 0 per una distribuzione platicurtica.Il coefficiente di asimmetria di Fisher e gli indici di curtosi riportati nel presente paragrafo sono riferitial caso di serie di dati. Per distribuzioni di distribuzioni di frequenze, è necessario procedere con lerelative ponderazioni.---------------------------------------------------------------------------------------------------------B) Curva normale, asimmetria e curtosi - Applicazioni1) Supponendo che il diametro di una serie di un lotto di sferette di acciaio sia normale, con media8.000 micron e scarto quadratico medio 50 micron, si determini la frequenza di sferetteprodotte che hanno un diametro compreso tra 7.930 e 8.080 micron.Fonte: G. Girone e T. Salvemini, Lezioni di statistica, Cacucci Editore, Bari, 2007SoluzioneSi proceda all’operazione di standardizzazione degli estremi dell’intervallo richiesto, cioè deivalori 7.930 e 8.080, e poi si faccia ricorso alla tavola dell’area della curva normalestandardizzata. Per ciascuno dei valori standardizzati trovati si trovi l’area corrispondentenell’apposita tavola (attenzione: essendo la curva normale standardizzata simmetrica intornoallo zero, il valore di z negativo deve “essere letto” come se fosse positivo). Si sommino, infine,le due aree rintracciate.2) Si vuole calcolare la frazione dei ventenni italiani, sottoposti alla visita di leva, di statura inferiorea 160 cm nell’ipotesi che la statura si distribuisca normalmente con media 172 cm e scartoquadratico medio 6 cm.Fonte: G. Girone e T. Salvemini, Lezioni di statistica, Cacucci Editore, Bari, 2007SoluzioneSi proceda all’operazione di standardizzazione del valore 160 e poi si faccia ricorso alla tavoladell’area della curva normale standardizzata, individuando la relativa area in corrispondenza delvalore di z (cambiato di segno), essendo z negativo nel caso in questione. Si calcoli l’area dellacoda sinistra della curva normale standardizzata, che coincide con quella della coda destra,4

sottraendo al valore 0,5 il valore dell’area rintracciata nella “tavola”, poiché quest’ultima fornisceil valore dell’area nell’intervallo [0,z].3) Ritenendo che la distribuzione degli investimenti di un gruppo di aziende omogenee sia normalecon media pari a 200 milioni e scarto quadratico medio (s.q.m.) pari a 50 milioni, si determini inquale intervallo simmetrico intorno alla media aritmetica è compreso l’80% delle aziende.Fonte: G. Girone e T. Salvemini, Lezioni di statistica, Cacucci Editore, Bari, 2007SoluzioneSi rintracci all’interno della tavola dell’area della curva normale standardizzata il valore di z “piùvicino” a 0,40 (cioè a 0,80/2, essendo la curva normale perfettamente simmetrica). Infine, alvalore medio si sottragga (per ottenere l’estremo inferiore) e si aggiunga (per ottenere l’estremosuperiore) il risultato del prodotto di z con s.q.m.4) Il peso netto delle scatole di un certo prodotto è rappresentabile mediante una distribuzionenormale con media uguale a 495 grammi. Sapendo che il 3% delle scatole viene scartato perchéha un peso inferiore a 480 grammi, si determini lo scarto quadratico medio della distribuzione.Fonte: A. Cerioli e M. A. Milioli, Esercizi di Statistica, parte II, UNI.NOVA, Parma, 2006SoluzioneSi rintracci all’interno della tavola dell’area della curva normale standardizzata il valore di z “piùvicino” a 0,47 (cioè a [0,50-0,03], essendo la curva normale perfettamente simmetrica). Poichésiamo collocati nella “coda sinistra” della curva normale, si consideri con il segno negativo ilvalore di z così trovato e si risolva l’equazione:x − µz =σla cui unica incognita è rappresentata dallo scarto quadratico medio.5) Il diametro delle arance di una certa varietà è distribuito secondo una curva normale con mediapari a 7,5 cm e varianza 1,44.I. Si determini la percentuale di arance scartate in quanto il loro diametro è inferiore a 6 cm;II. Sapendo che il 20% delle arance più grosse viene venduto con la denominazione “extra”, sidetermini il diametro minimo che consente di attribuire tale qualifica.Fonte: A. Cerioli e M. A. Milioli, Esercizi di Statistica, parte II, UNI.NOVA, Parma, 2006SoluzionePer il punto I, si proceda all’operazione di standardizzazione del valore 6 e poi si faccia ricorsoalla tavola dell’area della curva normale standardizzata, individuando la relativa area incorrispondenza del valore di z (cambiato di segno), essendo z negativo nel caso in questione; sicalcoli l’area della coda sinistra della curva normale standardizzata, che coincide con quella dellacoda destra, sottraendo al valore 0,5 il valore dell’area rintracciata nella “tavola”, poichéquest’ultima fornisce il valore dell’area nell’intervallo [0,z].Per il punto II, si rintracci all’interno della tavola dell’area della curva normale standardizzata ilvalore di z “più vicino” a 0,30 (cioè a [0,50-0,20]), poiché siamo collocati nella “codadestra”(arance più grosse) della curva normale. Si risolva l’equazione:x − µz =σove il segno di z è positivo e la cui unica incognita è rappresentata dal valore x (si facciaattenzione che lo s.q.m. non è noto ma si ottiene estraendo la radice quadrata della varianza).5

6) Si valuti l’asimmetria e la curtosi del “numero di riviste mensili” (X) venduti in una certacircoscrizione territoriale, avendo rilevato i seguenti dati:Mesi n° rivisteGennaio 4Febbraio 7Marzo 9Aprile 10Maggio 10Giugno 15Luglio 27Agosto 32Settembre 12Ottobre 11Novembre 11Dicembre 8SoluzioneSi utilizzino gli indici proposti da Fisher (nel caso di serie di dati) e si fornisca un interpretazione deirisultati ottenuti.Suggerimento. Dopo aver calcolato la media aritmetica semplice e lo scarto quadratico medio, sicreino ulteriori colonne, costituiti dagli scarti di ciascuna osservazione dalla media aritmetica, elevatialla potenza 3 (per l’asimmetria) e alla potenza 4 (per la curtosi), e si rapportino i totali di colonna alprodotto di N per lo scarto quadratico medio “al cubo” (per l’asimmetria) e “alla quarta” (per lacurtosi).6