Fondamenti di Tenuta della Nave al Mare - Università degli Studi di ...

Fondamenti di
Tenuta della Nave al Mare
Radoslav NABERGOJ
Anno Accademico 2004-2005

Copyright c○ 2004 Radoslav NABERGOJ. All rights reserved.
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Indice
Prefazione ix
Nomenclatura xi
1 Generalità 1
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Nota storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I Onde Marine 9
2 Teoria delle onde 11
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Onde regolari piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Teoria potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Onde di piccola ampiezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 Acqua profonda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Acqua poco profonda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Caso intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Smorzamento delle onde progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Effetto Doppler 25
3.1 Angolo di rotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Frequenza d’incontro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Condizioni sfavorevoli per i moti nave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Onde oceaniche 35
4.1 Generazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Analisi statistica delle onde irregolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Analisi di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Spettro di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Momenti spettrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6 Spettri particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.7 Spettri teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.7.1 Spettro di Pierson-Moskowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.7.2 Spettro di Bretschneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.7.3 Spettro JONSWAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.8 Spettro delle pendenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii

4.9 Propagazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.10 Raccomandazioni ITTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Statistica delle onde oceaniche 65
5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Osservazioni visuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.1 Stato del mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.2 Altezza e periodo osservato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Atlanti delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.1 Ossevazioni visuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.2 Ricostruzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3.3 Osservazioni strumentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Raccomandazioni ITTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
II Moti Nave 75
6 Problema dinamico 77
6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Assi e definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 Angoli di Eulero navali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5 Forze agenti su una nave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.6 Equazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.7 Moti in acqua tranquilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.7.1 Forze idrostatiche di richiamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.7.2 Forze idrodinamiche in un fluido illimitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.7.3 Forze idrodinamiche in un fluido con superficie libera . . . . . . . . . . . . . 98
6.8 Moti in onde regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.9 Nave con simmetria laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7 Moti nave in acqua tranquilla 107
7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Equazioni dei moti disaccoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Oscillazioni libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3.1 Oscillazioni libere non smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3.2 Oscillazioni libere smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4 Formule approssimate per i momenti d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.4.1 Momento d’inerzia longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.4.2 Momento d’inerzia trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4.3 Momento d’inerzia centrifugo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.5 Formule approssimate per i periodi naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.5.1 Sussulto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.5.2 Beccheggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.5.3 Metodo di Tasai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.5.4 Rollio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
iv

8 Soluzione del problema idrodinamico 125
8.1 Strip theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2 Calcolo bi-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.3 Forme di Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.4 Coefficienti idrodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9 Moti nave in onde regolari 141
9.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2 Funzioni di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.3 Moti nave in onde regolari di prora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.4 Moti nave in onde regolari di poppa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.5 Moti piani verticali in onde regolari oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.6 Moti nave in onde regolari al traverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.7 Moti laterali in onde regolari oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.8 Moti assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.9 Moto relativo nave-onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.10 Velocità ed accelerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.11 Lateral Force Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.12 Nonlinearità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10 Moti nave in onde irregolari 171
10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.2 Spettro delle onde d’incontro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.3 Spettro di energia dei moti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.4 Metodi equivalenti per il calcolo dei moti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.5 Accoppiamento tra lo spettro dell’eccitazione e la funzione di trasferimento . . . . 179
10.6 Moti in mare a cresta corta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.7 Moti nonlineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11 Effetti indesiderati 185
11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11.2 Probabilità di occorrenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.3 Slamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.3.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.3.2 Prove di impatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
11.3.3 Prove su modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.3.4 Pressione di slamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11.4 Imbarco d’acqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
11.5 Superamento del bordo libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
11.6 Effetto delle forme di prora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12 Efficienza operativa 199
12.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.2 Area e stagione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.3 Velocità e rotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
12.4 Calcolo dell’efficienza operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
v

13 Seakeeping nel progetto 205
13.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.2 Carena madre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.3 Effetto delle dimensioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.4 Effetto della forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.4.1 Rapporto immersione/lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.4.2 Rapporto larghezza/lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
13.4.3 Coefficiente di pienezza del galleggiamento prodiero . . . . . . . . . . . . . 217
13.5 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
14 Resistenza addizionale per cattivo tempo 221
14.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
14.2 Resistenza addizionale in onde regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
14.3 Resistenza addizionale in onde irregolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
14.4 Metodi approssimati di previsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
15 Effetti dei moti nave sui passeggeri ed equipaggio 229
15.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
15.2 Motion Sickness Incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
15.3 Moto soggettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
15.4 Motion Induced Interruptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
16 Prove al vero 241
16.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
16.2 Misura delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
16.3 Misura dei moti nave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
16.4 Misura delle altre risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
16.5 Esecuzione delle prove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
17 Prove su modelli 249
17.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
17.2 Prove all’aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
17.3 Prove in laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
17.4 Ondogeni e spiagge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
17.4.1 Ondogeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
17.4.2 Spiagge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
17.5 Strumentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
17.5.1 Sussulto e beccheggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
17.5.2 Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
17.5.3 Moto relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
17.5.4 Imbarco d’acqua e slamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
17.6 Materiale di costruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
17.7 Allestimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
17.8 Prove in onde regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
17.9 Prove in onde irregolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
vi

III Appendici 265
A Elementi di probabilità e statistica 267
A.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
A.2 Analisi di una serie temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
A.3 Istogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
A.4 Funzione densità di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
A.5 Distribuzione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
A.6 Distribuzione di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
A.7 Statistica del moto ondoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
A.8 Probabilità congiunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
B Moti oscillatori 283
B.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
B.2 Moto armonico semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
B.3 Moto armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
B.4 Moto armonico forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
C Analisi dimensionale e similitudine dinamica 295
C.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
C.2 Grandezze fisiche e loro misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
C.3 Grandezze fondamentali e grandezze derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
C.4 Cambiamento di unità di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
C.5 Teorema Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
C.6 Similitudine dei moti fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
C.7 Modellazione del comportamento in mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
C.7.1 Similitudine del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
C.7.2 Similitudine delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
C.7.3 Similitudine delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
C.7.4 Moti in onde regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
C.7.5 Moti in onde irregolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Bibliografia 317
Elenco delle Figure 332
Elenco delle Tabelle 333
vii

viii

Prefazione
Il presente volume tratta gli argomenti di maggior interesse per gli studenti del Corso di Laurea in
Ingegneria Navale che frequentano il corso di Tenuta della Nave al Mare, tenuto dall’autore presso
la Facoltà di Ingegneria dell’Università di Trieste. Il libro può servire come sussidio didattico
per la formazione dei laureati iscritti al Dottorato di Ricerca che intendono specializzarsi nei
settori dell’Idrodinamica e della Progettazione Navale. Inoltre, esso deve intendersi come testo di
riferimento per tutti gli ingegneri navali che vogliono accrescere il loro bagaglio culturale su uno
degli argomenti più affascinanti ed impegnativi della loro professione, specialmente ai fini della
progettazione e dell’analisi specialistica di mezzi navali ad alto contenuto tecnologico.
Purtroppo, non è possibile spiegare la teoria dei moti nave senza far riferimento ai Principi della
Fluidodinamica e della Teoria dei Processi Stocastici. Infatti, nelle applicazioni di ingegneria navale
relative al comportamento della nave in mare ondoso, il problema dei moti e quello dell’operatività
del mezzo appaiono talmente connessi che è necessario affrontarli simultaneamente. Per questo,
a differenza dei sussidi didattici su specifici argomenti di Teoria della Nave, nel presente volume
vengono introdotti sia gli elementi fondamentali di teoria idrodinamica dei moti nave sia i principali
problemi connessi con la progettazione ottimale di navi operanti in condizioni meteomarine ostili.
La loro trattazione e la contemporanea volontà di mantenere limitata l’estensione del libro, hanno
comportato la necessità di condensare al massimo le spiegazioni di molti degli argomenti trattati,
essenzialmente con l’esclusione delle particolarità a carattere teorico.
È necessario osservare che la Teoria dei Moti Nave ha avuto, negli ultimi decenni, uno sviluppo
particolarmente intenso a dimostrazione delle aumentate esigenze del mercato industriale e quindi
necessariamente della maggiore sensibilità da parte dell’ingegnere progettista. Alcuni problemi
hanno ricevuto nuove soluzioni per mezzo di metodi più rigorosi e molto è stato fatto anche in campo
sperimentale. L’autore si è perciò preoccupato di presentare gli argomenti del testo utilizzando
soprattutto materiale consolidato, di significativo interesse applicativo. Tuttavia, questo intento
non sempre è riuscito nel migliore dei modi. Resta comunque al lettore la facoltà di esprimere il
giudizio finale e di formulare, laddove necessario, suggerimenti o consigli.
Così, il metodo perturbativo, che occupa ormai una posizione consolidata nella Teoria dei Moti
Nave per la soluzione dei problemi nonlineari, non ha trovato alcuna ripercussione sulle pagine del
libro. Alla luce dell’impossibilità di presentarlo con i necessari particolari, nel caso specifico ci si
è limitati soltanto ad un breve accenno. Nel libro non viene illustrata la teoria degli strumenti
impiegati per la sperimentazione su modelli o al vero in quanto ciò richiederebbe l’introduzione di
elementi di elettronica e di analisi dei segnali, senza tener conto del fatto che spesso si tratta di
strumentazione progettata ad hoc e quindi unica nel suo genere.
Nel capitolo sulla teoria dei moti viene utilizzata la suddivisione classica delle forze idrodinamiche,
ma non sono spiegati in dettaglio i metodi matematici per il loro calcolo. Analogamente
si è proceduto anche nella presentazione di molti altri problemi. In questi casi l’autore si è limitato
alla enunciazione delle ipotesi fondamentali indicando, laddove possibile, la tendenza degli sviluppi
futuri, ma senza entrare nei particolari. Come esempio è possibile ricordare la presentazione delle
problematiche sui moti nonlineari e sulla risonanza parametrica.
ix

Come riferimenti principali per la stesura del libro, visto che sugli argomenti trattati ben poco o
nulla è stato finora scritto in questo Paese a livello didattico, sono stati largamente utilizzati i principali
testi classici sui problemi di Tenuta della Nave al Mare, quali Blagoveˇsčenskij (1954), Korvin-
Kroukovsky (1961), Bhattacharrya (1978), Borodaj e Necvetaev (1982), Lloyd (1989). Quando
possibile, si è fatto riferimento anche ai risultati conseguiti da alcuni fra i numerosi studiosi che
si sono occupati del problema, le citazioni dei quali si trovano nel libro. Inoltre, è stata messa
a frutto l’esperienza acquisita dall’autore nella pluriennale attività di ricerca nel settore, svolta
a livello internazionale. Si vogliono perciò ricordare con piacere le molteplici permanenze presso
i laboratori del KSRI (Krylov Shipbuilding Research Institute) di St. Petersburg che, dopo la
caduta del muro, sono servite a conoscere e scoprire una realtà di persone e mezzi rimasti per
troppo tempo sconosciuti. A questi colleghi e amici, che molto hanno contribuito alla formazione
dell’autore, viene rivolto il più sincero ringraziamento.
x

Nomenclatura
a ampiezza dell’onda
aj, bj, cj coefficienti delle forze eccitanti delle onde
an, bn
ajk
an
at
ampiezze delle componenti armoniche
coefficiente sezionale di massa aggiunta
accelerazione normale
accelerazione tangenziale
A parametro dello spettro standard
Ajk
Ax
AW
coefficiente di massa aggiunta
area della sezione trasversale
area della figura di galleggiamento
B larghezza, centro di carena, parametro dello spettro standard
bjk
Bjk
Bx
B ∗ 44
coefficiente sezionale di smorzamento
coefficiente di smorzamento
larghezza della sezione trasversale
componente viscosa dello smorzamento di rollio
c velocità di propagazione dell’onda (velocità di fase o celerità)
Cjk
Cp
Cs
CB
CP
CV P
CW P
coefficiente di richiamo
coefficiente della pressione di slamming
coefficiente di swell-up
coefficiente di pienezza totale o di blocco
coefficiente di pienezza longitudinale o prismatico
coefficiente di pienezza verticale o prismatico verticale
coefficiente di pienezza della figura di galleggiamento
d profondità del fondale
D altezza di costruzione
Dk
immersione della chiglia
xi

Dp
immersione dell’estremità superiore della pala dell’elica
E energia dell’onda, energia dissipata per oscillazione
E densità di energia dell’onda
F bordo libero, centro di galleggiamento
Fj
F B j
F G j
F H j
F R j
F W j
risultante delle forze agenti
forze di spinta
forze peso
forze idrodinamiche
forze idrostatiche di richiamo
forze eccitanti delle onde
F n numero di Froude
g accelerazione di gravità
G centro di massa (baricentro)
Gxyz riferimento solidale centrale
Gξ1η1ζ1 riferimento ausiliario
GM L
GM T
altezza metacentrica longitudinale
altezza metacentrica trasversale
H altezza dell’onda, rapporto larghezza/immersione
Ha
H, Ha
Hv
H1/3
Ijk
IT , IL
altezza apparente
altezza media
altezza visuale media
altezza significativa
momento d’inerzia di massa
momento statico della figura di galleggiamento
k numero d’onda (frequenza di forma)
kxx, kyy raggio d’inerzia
K energia cinetica
KG altezza del centro di massa (baricentro) sulla linea di chiglia
L lunghezza
LFE Lateral Force Estimator
mi
mn
m0
massa
momento spettrale
varianza
M massa della nave
xii

Mj
Mjk
momento risultante delle forze agenti
matrice d’inerzia
N numero di osservazioni
Nds
Nke
Npe
Nsl
frequenza di immersione del ponte
frequenza di emersione della chiglia
frequenza di emersione dell’elica
frequenza di slamming
Oxyz riferimento assoluto per la descrizione del moto ondoso
Oξηζ riferimento mobile
O ′ x ′ y ′ z ′ riferimento solidale al mezzo
O 0 ξ 0 η 0 ζ 0 riferimento assoluto
p pressione, densità di probabilità
p0
pressione atmosferica
P probabilità
Pds
Pke
Ppe
Psl
probabilità di immersione del ponte
probabilità di emersione della chiglia
probabilità di emersione dell’elica
probabilità di slamming
r raggio della traiettoria della particella fluida, spostamento relativo
˙rc
rζ
RAW
velocità critica
ordinata del profilo dell’onda propria
resistenza addizionale
s spostamento assoluto, pendio dell’onda
S densità spettrale di energia
t tempo
T immersione, periodo dell’onda
Te
Tj
Tm, T0
Tn
Tx
TR
T−1
T∗
periodo d’incontro
periodo naturale del moto nave
periodo modale
periodo della componente armonica dell’onda
immersione della sezione trasversale
durata del record di registrazione
periodo medio dell’energia
immersione media della sezione trasversale
xiii

˜Tp
˜Tz
T , T1
T p
T v
T z, T2
periodo apparente fra picchi
periodo apparente fra zeri
periodo medio
periodo medio fra picchi
periodo visuale medio
periodo medio fra zeri
u, v, w componenti della velocità del fluido
ug
uj
velocità di gruppo
spostamento
U energia potenziale, velocità di avanzo
V volume di carena
VW
xF
x ′ B , y′ B , z′ B
x ′ G , y′ G , z′ G
velocità del vento,
ascissa del baricentro della superficie di galleggiamento
coordinate del centro di carena
coordinate del centro di massa (baricentro)
W fattore di peso
α massima pendenza dell’onda, parametro dello spettro standard
αe
αn
αw
pendenza effettiva dell’onda
pendenza della componente armonica
angolo della superficie dell’onda, pendenza dell’onda
β coefficiente di pienezza della sezione,angolo di alzata di madiere,
βj
parametro dello spettro standard
sfasamento tra spostamento ed eccitazione
γ parametro di sovraelongazione
γj
fase delle forze eccitanti delle onde
Γ funzione gamma
δj
fase dello spostamento
δω intervallo di frequenza
δν intervallo angolare
∆p pressione dinamica
ηg
scarroccio
χ angolo di rotta
λ lunghezza d’onda
λe
lunghezza effettiva dell’onda
xiv

λn
˜λp
˜λz
λp
λz
lunghezza d’onda della componente armonica
lunghezza d’onda apparente fra picchi
lunghezza d’onda apparente fra zeri
lunghezza d’onda media fra picchi
lunghezza d’onda media fra zeri
µ direzione principale delle onde
µe
coefficiente di smorzamento equivalente
ν coefficiente di viscosità cinematica, direzione secondaria delle onde
ω frequenza dell’onda, velocità angolare della nave
ωe
ωm
ωn
frequenza d’incontro
frequenza modale
frequenza della componente armonica
ω frequenza media
ψ imbardata
ϕ potenziale di velocità, rollio
φ potenziale di velocità complesso
ρ densità dell’acqua
σ larghezza di banda
σAW coefficiente di resistenza addizionale
σ0
deviazione standard (rms)
θ beccheggio
τe
costante di tempo
ε parametro di larghezza di banda
εn
ξg
ζa
ζn
ζw
ζg
fase della componente armonica
abbrivio
ampiezza apparente dell’onda
ampiezza della componente armonica
ordinata del profilo dell’onda
sussulto
ζ livello medio della superficie ondosa
ζ a
ζ 1/3
ampiezza media delle onde
ampiezza significativa delle onde
xv

xvi

Parte I
Onde Marine
9

Capitolo 2
Teoria delle onde
2.1 Introduzione
Come noto, i fluidi soggetti all’azione di perturbazioni esterne sono sede di moti ondosi. In relazione
al tipo di forze responsabili della formazione ondosa, è possibile suddividere le onde in gravitazionali,
capillari ed elastiche.
Le onde gravitazionali hanno origine in un liquido soggetto al campo della forza peso. Spostato
dalla sua posizione di equilibrio a causa di una perturbazione esterna, esso compie delle oscillazioni
che, successivamente, si propagano nel mezzo. Alle onde gravitazionali appartengono le onde
generate dal vento, le onde prodotte dal moto dei corpi, le onde interne, che si generano su superfici
di separazione fra zone di fluido con diversa densità oppure in fluidi non omogenei (stratificati), le
onde di tsunami, le onde di marea dovute all’attrazione della luna e del sole.
Le onde capillari sono determinate dall’azione delle forze di tensione superficiale ed hanno
l’aspetto di increspature, frutto dell’azione del vento o del moto dei corpi. Esse possono sussistere
contemporaneamente alle onde gravitazionali.
Le onde elastiche si formano in conseguenza della compressibilità del fluido. Ad esse appartengono
le onde acustiche e le onde d’urto.
Nell’ambito dell’Architettura Navale hanno significato pratico solo le onde gravitazionali, sia
sulla superficie libera che sulle superfici di separazione del mezzo. Una descrizione dettagliata della
teoria delle onde di superficie si trova in Wehausen and Laitone (1960).
2.2 Onde regolari piane
Si chiamano onde regolari le onde di superficie aventi caratteristiche che si ripetono periodicamente
nel tempo e nello spazio. In particolare, se la forma del moto ondoso è la stessa su piani fra loro
paralleli, allora le onde si dicono anche piane. Un esempio di onde regolari piane viene mostrato
schematicamente in Figura 2.1. Il profilo della superficie perturbata, ottenuto dall’intersezione
della superficie libera con un piano perpendicolare alle generatrici, è individuato in ogni punto ed
in ogni istante dall’ordinata ζw dell’onda. Esso viene descritto sinteticamente attraverso grandezze
fisiche caratteristiche quali la lunghezza λ, l’altezza H ed il periodo T . Le onde generate dal vento
e quelle create dal moto di una nave, a differenza delle onde piane, hanno carattere tridimensionale.
Con lunghezza d’onda (wave length) viene indicata la distanza fra due creste oppure due cavi
successivi. Dicesi invece altezza dell’onda (wave height) la differenza di quota tra una cresta ed
un cavo. La grandezza a = H/2 viene detta ampiezza dell’onda (wave amplitude). L’angolo αw,
individuato dalla tangente in un punto generico del profilo ed il piano orizzontale di equilibrio del
11

12 CAPITOLO 2. TEORIA DELLE ONDE
d
H=2a
y
z
0
ζ W
x
Crest
Trough
Figura 2.1: Caratteristiche delle onde regolari piane.
fluido (superficie di acqua tranquilla), viene chiamato angolo della superficie dell’onda, mentre la
sua tangente trigonometrica prende il nome di pendenza dell’onda (wave slope). Per le onde di
piccola ampiezza, il massimo valore dell’angolo che il profilo ondoso forma con l’orizzontale può
essere determinato con la relazione:
α ≈ tan α = πH
λ
= 2πa
λ
λ
. (2.1)
La relazione (2.1) esprime la massima pendenza dell’onda. Inoltre, dicesi pendio dell’onda (wave
steepness) il rapporto s = H/λ.
Viene chiamato periodo dell’onda (wave period) l’intervallo di tempo che intercorre fra il passaggio
di due creste o due cavi successivi per uno stesso punto fisso nello spazio. La grandezza
ω = 2π/T esprime la frequenza angolare dell’onda o pulsazione, detta impropriamente frequenza
dell’onda (wave frequency).
Le onde gravitazionali possono essere suddivise in progressive e stazionarie. Il profilo delle
onde progressive si sposta nello spazio con velocità c, detta velocità di propagazione, velocità di
fase o celerità dell’onda (wave celerity); per le onde regolari si ha c = λ/T . Alle onde progressive
appartengono le onde generate dal vento e quelle dovute al moto delle navi. Il profilo delle onde
stazionarie, invece, non si sposta e, in una prefissata regione di spazio, cambiano solo le sue ordinate;
tali onde possono insorgere, per esempio, come risultato della riflessione di onde progressive dalle
rive di un bacino chiuso o parzialmente aperto.
Le onde prodotte dal vento, quelle dovute ai corpi in moto nel fluido o all’azione degli impulsi
di pressione sulla sua superficie, vengono chiamate onde forzate. Accanto a queste possono essere
considerate anche le onde libere, le cui caratteristiche non cambiano nel tempo e la cui altezza
dipende dalle condizioni iniziali di generazione e dalla geometria del fondo; ad esse si approssimano
abbastanza bene le onde di mar morto (swell).
L’influenza della viscosità del fluido nel processo della formazione e dell’estinzione del fenomeno
ondoso è generalmente di poco conto, vedi Paragrafo 2.6. Per questo, la maggior parte della teoria
delle onde viene sviluppata supponendo il fluido non viscoso ed il suo moto di tipo potenziale.
2.3 Teoria potenziale
Saranno esaminati nel seguito alcuni aspetti fondamentali della teoria delle onde progressive. In
questo caso, nel sistema di coordinate assoluto Oxyz, avente l’origine sulla superficie libera di
α

2.4. ONDE DI PICCOLA AMPIEZZA 13
equilibrio e l’asse verticale positivo verso il basso, il potenziale di velocità ϕ(x, y, z, t) soddisfa
l’equazione di Laplace:
∆ϕ = 0 . (2.2)
SWL
y
O
z
x
cϕ
= 0
cz
z = ζ w (x,y,t)
∆ϕ = 0
Figura 2.2: Le condizioni al contorno nella teoria potenziale delle onde.
Sulla superficie libera z = ζw(x, y, t) esso verifica le condizioni al contorno cinematiche e dinamiche,
mentre sul fondo del bacino deve valere la condizione di non attraversamento. In altri
termini, si ha nell’ordine:
∂ϕ ∂ϕ ∂ζw ∂ϕ ∂ζw ∂ζw
= + + , per z = ζw(x, y, t)
∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂t
��∂ϕ �2 � �2 � � �
2
∂ϕ 1
∂ϕ ∂ϕ
+ + + − gζw = 0 , per z = ζw(x, y, t)
∂t 2 ∂x ∂y ∂z
∂ϕ
= 0 , per z = d (2.3)
∂z
essendo g l’accelerazione di gravità e d la profondità del fondale. Le precedenti condizioni al
contorno vengono mostrate schematicamente in Figura 2.2.
Il sistema di equazioni (2.3) viene impiegato nello sviluppo della teoria nonlineare delle onde
(Stoker, 1957). Le equazioni suddette si semplificano alquanto nel caso particolare di onde progressive
piane, quando il potenziale diviene più semplicemente ϕ(x, z, t) e la superficie libera risulta
ζw(x, t). Tuttavia, lo sviluppo della teoria nonlineare delle onde è legato a grandi difficoltà matematiche
in quanto le derivate parziali delle prime due condizioni (2.3) devono essere calcolate per
z = ζw(x, y, t) incognita. Poichè il problema non può essere risolto in forma chiusa, sono state
sviluppate diverse soluzioni approssimate. In Figura 2.3 sono illustrati i limiti di validità di alcune
teorie delle onde fra quelle più ricorrenti nelle applicazioni d’ingegneria.
2.4 Onde di piccola ampiezza
La più semplice teoria delle onde, nota con il nome di teoria lineare o teoria di Airy (Lamb, 1932),
è basata sull’ipotesi che le onde abbiano ampiezza relativamente piccola e che sia soddisfatta la
condizione:
� �3 λ H
d λ

14 CAPITOLO 2. TEORIA DELLE ONDE
H
gT 2
10 -2
5X10 -3
10 -3
5X10 -4
10 -4
5X10 -5
Shallow
Cnoidal
5X10 -4 10 -3
Breaking H/d=0.78
Stream Function
Intermediate
H/λ=1/7
5X10 -3 10 -2
d
2
gT
2
λH/d=26
H=H /4 B
Small Amplitude
5X10 -2
Deep
Stokes 5 nd
Stokes 2 nd
Figura 2.3: Limiti di validità delle diverse teorie per le onde regolari.
ζw = 1
g
∂ϕ
∂t
, per z = 0
∂ϕ
= 0
∂z
, per z = d . (2.5)
Al pari dell’equazione di Laplace, il sistema di equazioni (2.5) si presenta come un sistema di
equazioni differenziali lineari alle derivate parziali, e consente quindi l’applicazione del metodo di
sovrapposizione delle soluzioni.
Il potenziale di velocità delle onde progressive piane di ampiezza relativamente piccola, che si
propagano lungo la direzione positiva dell’asse delle x, ha la forma complessa:
φ = −
i ga
ω
oppure la forma reale:
ϕ = ℜ {φ} = ga
ω
cosh k(d − z)
cosh kd
e i(ωt−kx)
cosh k(d − z)
cosh kd
10 -1
, (2.6)
sin(ωt − kx) , (2.7)
dove k = 2π/λ è il numero d’onda (wave number) o frequenza di forma, che caratterizza il numero
delle onde presenti in un tratto dell’asse orizzontale avente lunghezza pari a 2π metri. Per la
seconda delle (2.5), il corrispondente profilo ondoso ζw(x, t) risulta perciò:
ζw = 1
g
∂ϕ
∂t
�
�
�
� z=0
= a cos(ωt − kx) . (2.8)
La pendenza delle onde è in prima approssimazione:
αw ≈ ∂ζw
�
�
�
∂x
= ka sin(ωt − kx) , (2.9)
e quindi
� z=0
αw = α sin(ωt − kx) , (2.10)

2.4. ONDE DI PICCOLA AMPIEZZA 15
con α = ka pari alla massima pendenza dell’onda.
La frequenza delle onde è legata alla loro lunghezza dalla relazione di dispersione:
ω = � gk tanh kd , (2.11)
mentre la velocità di propagazione risulta:
�
g
c = tanh kd
k
. (2.12)
Nelle Figure 2.4 e 2.5 sono mostrate le relazioni precedenti in funzione della lunghezza d’onda per
diverse profondità del bacino. La proprietà caratteristica delle onde di Airy si manifesta nel fatto
che per una data lunghezza d’onda, la frequenza e la velocità di propagazione non dipendono dalla
loro ampiezza.
Wave Frequency, ω (rad/s)
5
4
3
2
1
d = 1 m
0
1 10 100 1000
5 m
Wavelength, λ (m)
10 m
Infinite Depth
Figura 2.4: Frequenza di un’onda regolare in funzione della lunghezza per diverse profondità del
fondale.
Con onde di ampiezza relativamente piccola, la pressione nel fluido si calcola per mezzo della
relazione:
p = p0 + ρgz − ρ ∂ϕ
∂t
, (2.13)
essendo p0 la pressione atmosferica e ρ la densità. Ne segue che la pressione ad una prefissata
profondità oscilla attorno al valore stazionario della pressione idrostatica. La parte fluttuante
della pressione idrodinamica, chiamata pressione dinamica o effetto Smith, è data dalla relazione:
∆p = −ρ ∂ϕ
∂t
= −ρga cosh k(d − z)
cosh kd
cos(ωt − kx) . (2.14)
L’energia meccanica delle onde è data dalla somma dell’energia cinetica K e dell’energia potenziale
U. Nel caso delle onde di piccola ampiezza K = U e quindi, per un tratto di lunghezza pari
a λ e di larghezza unitaria, l’energia totale risulta:
E = K + U = 1
2 ρga2 λ . (2.15)

16 CAPITOLO 2. TEORIA DELLE ONDE
Celerity, c (m/s)
40
30
20
10
Infinite Depth
50 m
20 m
10 m
5 m
d = 1 m
100 m
0
1 10 100 1000
Wavelength, λ (m)
Figura 2.5: Celerità di un’onda regolare in funzione della lunghezza per diverse profondità del
fondale.
In particolare, per unità di superficie dell’onda, si ha una densità di energia:
E = 1
2 ρga2
. (2.16)
Il trasporto di energia ha luogo con la cosiddetta velocità di gruppo:
ug = c
2
�
1 + 2kd
�
sinh 2kd
. (2.17)
Nel caso più generale risulta ug < c.
Le particelle fluide si muovono nel piano verticale con velocità di componenti:
u = ∂ϕ
= −gka
∂x ω
w = ∂ϕ
∂z
= −gka
ω
cosh k(d − z)
cosh kd
cos(ωt − kx) ,
sinh k(d − z)
cosh kd
sin(ωt − kx) . (2.18)
Il campo di velocità nel fluido è mostrato in Figura 2.6.
c
Figura 2.6: Il campo di velocità di un’onda progressiva in acqua di profondità finita.
a
d

2.4. ONDE DI PICCOLA AMPIEZZA 17
Dalle relazioni precedenti segue che le particelle fluide descrivono traiettorie chiuse aventi forma
ellittica, di equazione:
⎡
⎤2
⎡
⎤2
⎣
x − x0 ⎦
cosh k(d − z0)
a
sinh kd
+ ⎣
z − z0 ⎦
sinh k(d − z0)
a
sinh kd
= 1 , (2.19)
essendo x0 e z0 le coordinate corrispondenti alla posizione di riposo.
2.4.1 Acqua profonda
Nel caso particolare di un fluido con profondità illimitata, cioè per d → ∞, il potenziale di velocità
(2.7) assume la forma:
ϕ = ga
ω e−kz sin(ωt − kx) . (2.20)
Allora, per le principali caratteristiche delle onde, si ha nell’ordine:
ω 2 = gk = 2πg
,
�
λ
2πλ
T =
g ≈ 0.80 √ λ ,
λ =
gT 2
2π
≈ 1.56 T 2
. (2.21)
Per la velocità di fase si ottiene:
�
gλ
c =
2π ≈ 1.25 √ λ , (2.22)
mentre per la velocità di gruppo risulta:
ug = c
2
. (2.23)
Si osservi che, nel semplificare le relazioni (2.21) e (2.22), tutte le grandezze sono state espresse in
unità del Sistema Internazionale.
In questo caso, la pressione dinamica è data dalla relazione:
∆p = −ρga e −kz cos(ωt − kx) . (2.24)
L’equazione del profilo della superficie libera e la formula per il calcolo dell’energia totale
dell’onda coincidono con le espressioni (2.8) e (2.15). Nel caso del fluido profondo le traiettorie
delle particelle hanno la forma di una circonferenza con equazione:
(x − x0) 2 + (z − z0) 2 = a 2 e −2kz0 . (2.25)
Il raggio r delle traiettorie decresce all’aumentare della profondità e vale:
r = a e −kz0 . (2.26)
La velocità delle particelle fluide, in moto lungo la generica traiettoria circolare, è data da:
v = 2πr
T
= 2πa
T e−kz0 . (2.27)
In particolare, per z0 = 0, si ha v/c = 2πa/λ e conseguentemente v

18 CAPITOLO 2. TEORIA DELLE ONDE
2.4.2 Acqua poco profonda
Nel secondo caso limite si ha d λ/2, la velocità di fase e la lunghezza d’onda sono sostanzialmente eguali ai corrispondenti
valori di profondità illimitata. È questo il limite che definisce il criterio di onde in acqua profonda.
Si noti che, nell’ambito della teoria lineare, l’ampiezza delle onde non può essere determinata
esplicitamente in funzione delle altre grandezze caratteristiche, quali ad esempio la lunghezza. In
pratica, essa viene calcolata con varie formule empiriche. Spesso, per questo scopo, è usata la
formula di Zimmermann:
a = 0.085 λ 3/4
essendo a e λ misurate in metri.
2.5 Onde stazionarie
, (2.30)
Un sistema di onde stazionarie può essere generato in un bacino chiuso o parzialmente aperto, come
nel caso di porti, laghi, vasche navali, contenitori di liquido, ecc. La teoria delle onde stazionarie
non trova perciò un’applicazione immediata nei moti nave, ma ne costituisce un elemento necessario
per lo studio di alcuni fenomeni particolari. Ne sono un esempio lo sloshing nelle cisterne delle
navi e la dinamica dell’ondogeno in una vasca navale.
Lo schema della generazione di un’onda stazionaria viene mostrato in Figura 2.8. Come si
può vedere, essa risulta dalla sovrapposizione di due onde progressive uguali, aventi cioè la stessa
ampiezza e la stessa frequenza, che si propagano in direzioni opposte.
In termini quantitativi, se:
e
ζ + w
1
= a cos(ωt − kx) , (2.31)
2
ζ − w = 1
a cos(ωt + kx) , (2.32)
2
indicano rispettivamente un’onda progressiva che si propaga nel verso positivo dell’asse delle ascisse
e quella che si propaga nel verso negativo, il profilo dell’onda stazionaria ottenuta dalla loro
sovrapposizione è dato dalla relazione:
ζw = ζ + w + ζ − w = a cos kx cos ωt . (2.33)
Dalla (2.33) segue che l’onda stazionaria risultante ha un’ampiezza doppia dell’ampiezza delle
singole componenti.

2.5. ONDE STAZIONARIE 19
SWL
SWL
SWL
Circular Orbits
Bottom
(u≠0, w=0)
(a) Alto fondale d 1
λ > 2
u = w
Elliptical Orbits u
Bottom
(u≠0, w=0)
(b) Profondit intermedia 1 d 1
20 < λ < 2
Elliptical Orbits
Bottom
(u≠0, w=0)
(c) Basso fondale d 1 < λ 20
Figura 2.7: Orbite e componenti della velocità delle particelle fluide secondo la teoria lineare delle
onde.
w
w
u

20 CAPITOLO 2. TEORIA DELLE ONDE
1 2 3 4 5
1 2
3
4
5
Figura 2.8: Modello di generazione delle onde stazionarie.
Ovviamente, come già visto per le onde progressive, anche per le onde stazionarie possono
essere scritte le relazioni che esprimono le grandezze cinematiche e dinamiche più importanti. Il
potenziale complesso ha la forma:
φ = ga
ω
cosh k(d − z)
cosh kd
sin ωt e ikx
mentre, per la parte reale, risulta:
5
4
3
2
1
, (2.34)
ϕ = ℜ {φ} = ga
ω
cosh k(d − z)
cosh kd
cos kx sin ωt . (2.35)
Le componenti orizzontale e verticale delle velocità delle particelle fluide sono nell’ordine:
u = ∂ϕ
= −gka
∂x ω
cosh k(d − z)
cosh kd
sin kx sin ωt ,
w = ∂ϕ
= −gka
∂z ω
cosh k(d − z)
cosh kd
cos kx sin ωt . (2.36)
La pressione dinamica nel punto generico è data dalla relazione:
∆p = −ρ ∂ϕ cosh k(d − z)
= −ρga cos kx cos ωt . (2.37)
∂t cosh kd
Da quanto sopra segue che in corrispondenza dei nodi di un’onda stazionaria, definiti dalla
relazione cos kx = 0, il profilo ondoso ha elevazione nulla in tutti gli istanti. Inoltre, sono ivi nulle
sia la velocità delle particelle fluide come pure la pressione dinamica.
Uno dei problemi più importanti legati alla presenza delle onde stazionarie riguarda la determinazione
delle caratteristiche delle oscillazioni libere in un bacino chiuso. In particolare, per una
vasca rettangolare di lunghezza L, le oscillazioni libere dell’n-esimo modo di oscillazione hanno
lunghezza d’onda:
λn = 2L
n
, n = 1, 2, . . . (2.38)
Il corrispondente periodo di oscillazione può essere calcolato dalla relazione di dispersione, che
rimane la stessa delle onde progressive. Ne segue:
�
2πλn
Tn =
g
� �
2πd
coth . (2.39)
λn

2.6. SMORZAMENTO DELLE ONDE PROGRESSIVE 21
Il problema ovviamente si complica nel caso di contenitori di forma qualsiasi.
2.6 Smorzamento delle onde progressive
Come risultato della dissipazione di energia attraverso l’azione di forze viscose, in un fluido di
profondità infinita l’ampiezza delle onde sinusoidali viene attenuata nel tempo secondo la legge
(Lamb, 1932):
a = a0e −2νk2 t
, (2.40)
dove a0 ed a sono le ampiezze delle onde rispettivamente al tempo iniziale t0 = 0 e al tempo t
generico, ν il coefficiente di viscosità cinematica e k = 2π/λ il numero d’onda. Poichè la (2.40) si
può scrivere nella forma alternativa:
a = a0e −µet
, (2.41)
con µe coefficiente di smorzamento equivalente, ne segue:
µe = 2νk 2 = 8π2 ν
λ 2
. (2.42)
Dalla relazione precedente, si ottiene per la costante di tempo:
τe = 1
µe
= λ2
8π 2 ν
, (2.43)
che rappresenta il tempo necessario affinchè l’ampiezza venga ridotta di un fattore pari ad e ∼ =
2.7183 volte il suo valore iniziale, cioè al 37% circa.
Per esempio, in acqua marina alla temperatura di 15 ◦ C (ν = 1.187 × 10 −6 m 2 /s) la (2.43)
implica τe = 1.067 × 10 4 λ 2 s, con λ espressa in metri. Ne segue che le forze viscose estinguono
le onde capillari con rapidità molto elevata; per un’onda di lunghezza λ = 1 cm si ha τe = 1.07 s
e dunque l’ampiezza decresce di un fattore circa tre durante un secondo. D’altronde, per onde di
lunghezza considerevole, l’attenuazione ha luogo molto lentamente. Se λ = 10 m, il valore di τe è
pari a circa 300 ore. Le osservazioni delle onde in mare aperto confermano questi risultati: dopo
il cessare del vento che le ha generate, continua a persistere per intervalli di tempo molto lunghi
un’onda residua, chiamata swell o onda di mar morto.
Il precedente metodo per la valutazione dell’effetto della viscosità sull’ampiezza delle onde libere
è basato sull’assunzione che il valore ωτe, con ω = � 2πg/λ frequenza dell’onda, sia sufficientemente
grande. Nei fluidi di debole viscosità, come per esempio l’acqua, questa condizione vale per tutte
le lunghezze d’onda escluse quelle eccezionalmente piccole.

22 CAPITOLO 2. TEORIA DELLE ONDE
Grandezza Funzione Relazione
Generale
ω T
k
λ
c
T ω
k
λ
c
k ω
T
λ
c
λ ω
T
k
c
c ω
T
k
λ
d
α ω
T
2π
T
√ gk tanh kd
� 2πg
λ
2π
ω
tanh 2πd
λ
√ 2π
gk tanh kd
�
2πλ
g tanh 2πd
λ
2π
λ
2π
k
� g
tanh kd
� k
gλ
2π
tanh 2πd
λ
Acqua Profonda
(d > 0.5λ)
2π
T
Acqua Poco Profonda
(d < 0.05λ)
2π
T
√ gk k √ gd
� 2πg
λ
g
c
2π
ω
√2π gk �
2πλ
g
2c
πg
ω 2
g
4π 2
gT 2
2π
λ
g
c 2
2πg
ω 2
gT 2
2π
2π
k
2πc 2
g
g
ω
gT
2π
� g
� k
gλ
2π
ω 2
g a
4π 2
gT 2 a
k ka ka ka
λ
c
2π
λ a
2π
λ a
g
c 2 a
√
2π gd
λ
2π
ω
√2π k gd
√λ gd
√ω gd
√2π T gd
2π
λ
√
2π gd
ω
T √ gd
2π
k
√ gd
√ω a
gd
T
√2π a
gd
2π
λ a
Tabella 2.1: Relazioni significative per le onde regolari (continua).

2.6. SMORZAMENTO DELLE ONDE PROGRESSIVE 23
Grandezza Funzione Relazione
Acqua Profonda
u/a ω
Generale
(d > 0.5λ)
�
ω exp − ω2 T
�
z
g
2π
T exp
�
− 4π2z gT 2
k
λ
√
gk cosh k(d−z)
√
sinh kd cosh kd
√ 2π(d−z)
2πg cosh
� λ
λ sinh
2πd
cosh
2πd
λ λ
�
√
gk exp {−kz}
�
2πg
λ exp � − 2πz
c
�
λ
g
c exp � − gz
c2 � g
c
Acqua Poco Profonda
(d < 0.05λ)
w/a
d
ω
�
ω exp − ω2 T
�
z
g
2π
T
ω(d−z)
d
exp
�
− 4π2z gT 2
k
λ
√
gk sinh k(d−z)
√
sinh kd cosh kd
√ 2π(d−z)
2πg sinh
� λ
λ sinh 2πd cosh
λ
�
√
gk exp {−kz}
2π(d−z)
T d
� g
k (d − z)
d 2πd
λ
�
2πg
λ exp � − 2πz
c
�
λ
g
c
�
2π g
(d − z)
λ d exp � − gz
c2 (x − x0)/a ω
�
�
exp − ω2 �
z
g
� �
�
1 g
ω d
T exp
cosh k(d−z)
sinh kd
cosh 2π(d−z)
λ
sinh 2πd
λ
− 4π2 z
gT
k
λ
exp {−kz}
exp � − 2πz
c
�
λ
exp � − gz
c2 (z − z0)/a ω
�
�
exp − ω2 �
z
g
� �
T exp
ug
sinh k(d−z)
sinh kd
sinh 2π(d−z)
λ
sinh 2πd
λ
− 4π2 z
gT
k
exp {−kz}
λ
exp � − 2πz
�
λ
c exp � − gz
c2 �
d
ω
T
k
λ
c
d
� g
g
2ω
gT
4π
� � g
�
gλ
4k tanh kd � 1 + 2kd
� sinh 2kd4k
�
gλ 2πd
8π tanh λ 1 +
4πd
λ sinh 4πd 8π
λ
c
2
�
Tabella 2.2: Continua/1.
� g
d
�
T g
2π d
1
kd
λ
2π
d−z
d
c
� gd
4