Esercitazioni di Calcolo Numerico in MATLAB® e Octave - Esercizi e ...

Annamaria MazziaEsercitazioni di CalcoloNumerico in MATLAB® eOctaveDipartimento di Ingegneria Civile Edile e AmbientaleUniversità degli Studi di PadovaCreative Commons Attribuzione- Non commerciale -Non opere derivate 3.0 Italia Licensea.a. 2012/2013

Indice3.4 Norme di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754 Metodi iterativi per sistemi lineari 794.1 Metodo di Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 Modificare jacobi.m per implementare gli altri metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.1 Metodo di Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.2 Metodo di rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 Problemi non lineari 875.1 Metodo di Newton per sistemi non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Minimi quadrati non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916 Formule di integrazione numerica 956.1 Formule di quadratura numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2 La formula dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3 La formula di Cavalieri-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007 Equazioni Differenziali Ordinarie 1037.1 Metodi per ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.1.1 Confronto tra i metodi sull’equazione test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2 I metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.3 Sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3.1 Function di MATLAB e Octave per ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3.2 L’oscillatore semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.3.3 Equazioni del moto di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111iii

CAPITOLO 1IntroduzioneL’universo non potrà essere lettofinché non avremo imparato illinguaggio ed avremo familiarizzatocon i caratteri con cui è scritto. Èscritto in linguaggio matematico, ele lettere sono triangoli, cerchi edaltre figure geometriche, senza lequali è umanamente impossibilecomprendere una singola parola.Galileo Galilei1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Avvio di MATLAB® e Octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Le variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Prima introduzione (breve) su matrici e vettori in MATLAB® . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Funzioni vettorizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.4 Sulle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Comandi utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Introduzione alla programmazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Problemi e Algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 MATLAB® come linguaggio di programmazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Primo script e prima function in MATLAB® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 I predicati elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9 Strutture e cicli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.1 Ciclo if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.2 Ciclo while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.9.3 Ciclo for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.9.4 Introduzione a file di scrittura dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.9.5 Modificare le function di punto fisso per creare nuove function . . . . . . . . . . . . . . . 391.1 IntroduzioneMATLAB® è un acronimo per MATrix LABoratory ed è uno strumento utile per il calcolo numerico e per lavisualizzazione. MATLAB® , infatti, può essere considerato un linguaggio di programmazione ad alto livelloe, allo stesso tempo, un ambiente interattivo per lo sviluppo di algoritmi, per la visualizzazione e l’analisi didati, e per il calcolo numerico.1

1. INTRODUZIONEQuindi, per imparare a usare bene MATLAB® , dobbiamo imparare le tecniche di programmazione (cosaè un programma, quali sono le strutture di un programma, come si scrive, come si esegue). Ma dobbiamo anchetenere in conto che MATLAB® ha le sue proprie funzioni (functions), che permettono di eseguire calcolimolto sofisticati, ed è capace di fare grafici e visualizzare i risultati in maniera diretta.Molto spesso la conoscenza di MATLAB® è un requisito richiesto per molte posizioni lavorative in ambitoingegneristico proprio per la sua implementazione in numerosi problemi (dall’ingegneria aerospaziale aquella chimica, alla meccanica ...).MATLAB® è un programma complesso (originariamente fu scritto in FORTRAN e successivamente riscrittoin linguaggio C) che va bene per risolvere programmi d’elaborazione numerica, per lavorare con matricie per la grafica. Questo software è un prodotto della The MathWorks : vedremo in particolare la versioneMATLAB® 8.0.0.783 (R2012b) lavorando in ambiente Linux.Un prodotto simile a MATLAB® ma open source è GNU Octave (si vada sul sito http://www.gnu.org/software/octave/). In queste dispense, faremo riferimento alla versione 3.6.2 di Octave.Nel seguito vedremo come si lavora in MATLAB® (e Octave) tenendo presente che quasi tutti i comandiche daremo in MATLAB® valgono alla stessa maniera anche per Octave con alcune differenze, comel’interfaccia grafico o altri comandi, che sottolineeremo.1.2 Avvio di MATLAB® e OctaveTralasciamo la parte relativa alla procedura di installazione di MATLAB® (e di Octave), che dipende dalcomputer e dal sistema operativo in uso, e diamo per scontato che il programma sia presente sul propriocomputer.In ambiente Linux, per avviare MATLAB® basta digitare il comando matlab da una finestra di terminale(analogamente, basta digitare octave per entrare in ambiente Octave). Una volta avviato MATLAB® , siaprirà un ambiente che contiene molte finestre (la Command Window, la Workspace, la Command History,la Current Folder). Il prompt dei comandi è dato dal simbolo >> (> in Octave) e comparirà il promptdei comandi in una finestra come quella mostrata in Figura 1.1 (si veda Figura 1.2 per l’analogo di Octave).Per uscire dall’ambiente si digita exit o quit dalla finestra dei comandi oppure dal menu File o ancoradall’icona di chiusura (x in alto a destra della finestra).Per imparare a usare MATLAB® , conviene prendere familiarità con la finestra dei comandi eseguendocalcoli come se fosse una calcolatrice. Vediamo che il risultato viene assegnato ad una variabile detta ans eche nella Workspace si trovano informazioni su di essa (si veda Figura 1.3).Le principali operazioni aritmetiche sono date da∧ elevamento a potenza∗ moltiplicazione/ divisione+ addizione− sottrazioneNel fare le operazioni aritmetiche, viene data la precedenza agli elevamenti a potenza, poi alle moltiplicazionie divisioni, infine alla sottrazione e addizione. Quando due operatori hanno la stessa prorità vengonoeseguite le operazioni partendo da sinistra e andando verso destra. Tuttavia, quando le espressioni sonoabbastanza complicate e c’è il rischio di non capire bene quali operazioni vanno fatte prima e quali dopo,conviene mettere sempre le parentesi.Le funzioni di base (quelle che troviamo anche su una calcolatrice) sono date da2

1.2. Avvio di MATLAB® e OctaveFigura 1.1: L’ambiente MATLAB consiste di una serie di finestre, alcune delle la Current Folder (la directorycorrente in cui si sta lavorando), la Workspace (lo spazio di lavoro) e la Command History (lafinestra con la storia dei comandi dati).Figura 1.2: Avvio di Octave: la finestra che si apre corrisponde alla Command Window di MATLAB® .3

1. INTRODUZIONEFigura 1.3: Primi calcoli in MATLAB® : osservare cosa succede nella Command Window, nella Workspacee nella Command History.Funzione MATLAB® (Octave)sin(x)cos(x)tan(x)asin(x)acos(x)atan(x)exp(x)log(x)log10(x)sqrt(x)abs(x)Significatosin(x)cos(x)tan(x)asi n(x)acos(x)at an(x)e xln(x)log(x) x|x|La cosa nuova, da sottolineare, è che ora queste operazioni si possono fare su matrici e vettori e che inMATLAB® (Octave) si lavora soprattutto su matrici e vettori.Per lavorare meglio, nel seguito introduciamo il concetto di variabile e, successivamente, le matrici e ivettori.1.2.1 Le variabiliAbbiamo visto che, se scriviamo nella finestra di lavoro, sin(10) il risultato è ans =-0.5440. Il risultatodella funzione viene assegnato ad una variabile che, di default, viene chiamata ans. Se cambiamo ilcalcolo, il risultato sarà del tipo ans = cui è associato il valore numerico del risultato. Tuttavia, noi possiamodecidere di assegnare il risultato di una certa operazione o di una funzione ad una variabile a cui noi stessiassegniamo un nome ben preciso. Per esempio, vogliamo che il risultato di sin(10) sia assegnato ad unavariabile che chiamiamo b. Per fare ciò, basta scrivere>> b=sin(10)4

1.2. Avvio di MATLAB® e OctaveFigura 1.4: Variabili nella Workspaceb =-0.5440In questo modo il valore della funzione non è più assegnato alla variabile ans ma alla variabile b. Anche10 può diventare il valore di una variabile, in cui poi valutare la funzione seno.>> a=10a =10>> b=sin(a)b =-0.5440Osserviamo che ora nella Workspace, troviamo il nome delle variabili introdotte e il loro valore (si vedafigura ??).1.2.2 Prima introduzione (breve) su matrici e vettori in MATLAB®Ciò che diremo ora su vettori e su matrici sarà qualcosa di breve, (quando parleremo di vettori e matricinel corso di Calcolo Numerico, li rivedremo sotto un’altra luce) utile per alcune semplici e prime applicazionidi MATLAB® (o Octave).I vettori si possono scrivere come vettori riga o vettori colonna.Per esempio:>>x=[1 2]>> x=[1 2]x =1 25

1. INTRODUZIONE>> y=[10 20]’y =1020Un vettore riga x viene scritto usando le parentesi quadre e scrivendo le componenti del vettore una dopol’altra. Un vettore colonna può essere creato facendo la trasposta di un vettore riga (mediante il simbolo ’ ),oppure mettendo un punto e virgola dopo ciascuna componente:>> y=[10;20]y =1020In MATLAB® i vettori altro non sono che un caso particolare di matrice a n righe e 1 colonna (vettorecolonna) o a 1 riga e n colonne (vettore riga). Quindi per scrivere una matrice si scrivono i valori della matriceriga per riga andando a capo con il punto e virgola:>> A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16]A =1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16Per indicare un valore della matrice A basta specificare l’indice di riga e di colonna: per esempio>> A(2,2)ans =6Per indicare gli elementi di tutta la colonna i si usa A(:,i), mentre A(i,:) indica gli elementi della rigai.>> A(:,2)ans =261014>> A(2,:)ans =5 6 7 86

1.2. Avvio di MATLAB® e OctaveL’operatore due punti può dunque essere usato per estrarre un’intera riga o colonna da una matrice oun’intera sottomatrice. Se vogliamo estrarre le ultime due righe e colonne della matrice A, si digita il comando>> M=A(3:4,3:4)M =11 1215 16In questo modo abbiamo creato la matrice M che ha come elementi quelli della sottomatrice di A con le ultimedue righe e colonne.Per scrivere una matrice vuota A, invece, si usa l’istruzione A=[ ].1.2.3 Funzioni vettorizzateLe funzioni che abbiamo visto prima si possono applicare direttamente su matrici e vettori, sono cioèvettorizzate. Cosa significa questo? Significa che se abbiamo un vettore, ad esempio x = [1,2,3,4] e valutiamosin(x), il risultato sarà un vettore che ha come componenti il valore della funzione nelle singole componentidel vettore, in questo caso [sin(1),sin(2),sin(3),sin(4)]. Stessa cosa vale per le matrici.Vediamo un esempio>> x=[2 4 6 8 10]x =2 4 6 8 10>> log(x)ans =0.6931 1.3863 1.7918 2.0794 2.3026>> A=[0.1 0.2 ; 0.3 0.4]A =0.1000 0.20000.3000 0.4000>> sin(A)ans =0.0998 0.19870.2955 0.3894Per quanto riguarda le operazioni aritmetiche, l’addizione e la sottrazione sono vettorizzate per definizione.Invece, le operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza vengono vettorizzate facendoprecendere il simbolo di moltiplicazione, divisione e elevamento a potenza dal simbolo del punto ( .*, ./,.ˆ ) permettendo, in tal modo, che le operazioni vengano fatte componente per componente delle matrici (odei vettori) su cui sono applicate.>> x=[2 4 6 8 10]x =2 4 6 8 107

1. INTRODUZIONE>> y=[1 3 5 7 9]y =1 3 5 7 9>> x.*yans =2 12 30 56 90Se facessimo semplicemente x*y avremmo un messaggio di errore perchè richiederemmo un’operazionedi prodotto tra due matrici che hanno n righe e 1 colonna ciascuna, e questa operazione non si può fare(vedremo in seguito che si può fare il prodotto tra due matrici A e B se il numero di colonne di A corrispondeal numero di righe di B). Vediamo un altro esempio>> A=[ 1 2; 3 4]A =1 23 4>> B=[2 4; 6 8]B =>> A*Bans =>> A.*Bans =2 46 814 2030 442 818 32Questa volta, abbiamo considerato due semplici matrici A B. Se facciamo A*B, abbiamo come risultatola matrice prodotto (la studieremo più avanti nel corso di Calcolo Numerico), se invece facciamo A.*B,abbiamo come risultato la matrice in cui ogni componente è dato dal prodotto dei corrispondenti elementisulle due matrici di partenza.1.2.4 Sulle variabiliNegli esempi precedenti, abbiamo dati a matrici e vettori un nome, x,y,A,B... Abbiamo quindiassegnato delle variabili.Una variabile ha, quindi, un significato simile a quello che conosciamo già nelle espressioni algebriche:nel nostro caso, però, ad una variabile è sempre associato un valore numerico, se si tratta di una variabilescalare, oppure più valori, se si tratta di vettori o di matrici. In figura 1.5 vediamo come nella Workspace,8

1.2. Avvio di MATLAB® e OctaveFigura 1.5: Workspace con diversi tipi di variabili.ciascuna variabile con cui si sta lavorando nella finestra dei comandi, sia elencata con il suo nome e con ilsuo valore (che è il valore che le è stato assegnato se si tratta di una variabile scalare, mentre è dichiarato iltipo di variabile se è di tipo matriciale). Dalla figura, possiamo osservare comeG ci sono due variabili, una chiamata A e una a: questo perchè MATLAB® (Octave) è sensibile alle lettereminuscole e maiuscole: una variabile chiamata A è diversa da a!G il valore per A è : vuol dire che si tratta di una matrice 10 × 10 i cui valori sonomemorizzati in doppia precisione (double)la matrice B, invece, è 10 × 10 in singola precisione (single)la matrice C è 4 × 4 ed è uint8 (che significa?, ora ci arriviamo)abbiamo poi due scalari, a e b.G ci sono due vettori, uno riga e uno colonna, in doppia precisioneCiascuna variabile, una volta che viene generata, è di un certo tipo e viene classificata di conseguenza. Didefault, ogni variabile (scalare o matriciale) viene considerata in doppia precisione (quindi di tipo double).Mediante apposite functions di MATLAB® (Octave) è possibile convertire il valore di una variabile in un altrotipo: se scriviamo A=single(A), la matrice A viene convertita in una matrice che ha lo stesso nome, i cuivalori però sono ora memorizzati in singola precisione. La function uint8 converte una variabile (che puòessere scalare o matriciale) in una variabile il cui valore è ora un intero a 8 bit senza segno (con valori chevanno da 0 a 255). Se la variabile è già di tipo intero con valori che si trovano in questo intervallo, non ci sonoproblemi, ma se la variabile assume valori al di fuori di questo intervallo, allora i valori sono arrotondati alpiù vicino valore dell’intervallo ammissibile. Questo tipo di dato ha senso quando si lavora con numeri interie per fare certi tipi di operazioni. Vediamo esempi semplici>> x=[0 1 2 3]x =0 1 2 3>> uint8(x)ans =9

1. INTRODUZIONE0 1 2 3>> x=[0 -1 -2 3]x =0 -1 -2 3>> x=uint8(x)x =0 0 0 3All’inizio il vettore x ha tutti valori positivi e uint8 non cambia i valori del vettore (viene generato unvettore ans identico a x). Nel secondo caso il vettore x ha elementi negativi che vengono trasformati in 0.Questa volta il risultato della funcion uint8 è assegnato alla stessa variabile x che viene quindi sovrascrittae il vettore non è più quello di prima.Se usiamo le function double e single non osserviamo nessun cambiamento a prima vista, ma inrealtà è lo spazio di memoria per la variabile che cambia.1.3 Comandi utiliPer lavorare meglio sia nella finestra dei comandi sia, successivamente, per scrivere ed eseguire dei veri epropri programmi, risultano utili le seguenti funzioni:G who – fornisce l’elenco di tutte le variabili presenti nella finestra dei comandi (lo si può vedere anchenella Workspace;G whos – fornisce l’elenco di tutte le variabili insieme allo spazio in memoria da esse occupato (con questocomando si può osservare come una stessa variabile, memorizzata come double o come single,occupa un diverso spazio di memoria);G help – può essere usato da solo o insieme al nome di una function propria di MATLAB® (Octave)o creata dall’utente, e mostra tutte le informazioni utili per capire come usare MATLAB® o quellafunction;G clear – se è usata da sola cancella tutte le variabili presenti nella finestra dei comandi, se invece èseguita da un elenco di variabili (messe una di seguito all’altra senza virgole) cancella tutte le variabilidell’elenco;G il punto e virgola “;” messo dopo un’istruzione non fa vedere il risultato dell’istruzione nella finestradei comandi;G il simbolo % è il simbolo per scrivere commenti:ciò che viene scritto dopo % rappresenta uncommento;G clc ha la funzione di pulire la Command Window e di portare il cursore di nuovo in alto a sinistra nellafinestra (la dove era nel momento in cui abbiamo avviato MATLAB® (Octave). Le variabili non vengonocancellate.G diary – permette di salvare, su un file che viene chiamato diary, il contenuto di ciò che viene scrittonella finestra dei comandi. Il file diary si trova nella directory corrente in cui si sta lavorando;diary off – chiude il file aperto mediante l’istruzione diary;G diary filediary – comando analogo a diary, ma il file non si chiamerà diary bensìfilediary, dove filediary rappresenta il nome del file definito dall’utente;G save filesave – salva tutte le variabili presenti nel Workspace, nel file filesave.mat confilesave nome scelto dall’utente, in modo da conservare tutte le variabili con cui si stava lavorando.Questo comando è utile se si deve chiudere la sessione di lavoro ma si vuole poi ripartire a lavorareproprio da quelle variabili;10

1.4. Introduzione alla programmazioneG load ’filesave’ – ripristina lo stato del Workspace, caricando tutte le variabili che erano statesalvate in filesave.mat in modo da poterci lavorare di nuovo. Si era chiusa la sessione di lavoro eora si può ripartire a lavorare con le stesse variabili di prima.C‘e una notevole differenza di significato tra i files generati dall’istruzione diary e quelli generati mediantesave. Ciò che salviamo con il comando diary è paragonabile a ciò che può essere scritto alla lavagnae di cui prendiamo appunti: scriviamo un file di testo che possiamo elaborare o da cui possiamo trarredei risultati per i nostri problemi. Al contrario, quello che viene salvato mediante il comando save è costituitoda una o più variabili, che possono essere riutilizzate nuovamente in MATLAB® (Octave) nella finestradei comandi, in sessioni successive a quella in cui sono state create, senza dover rieseguire tutti i comandiche hanno portato alla creazione delle variabili stesse. Infatti, quando si chiude MATLAB® (Octave), tutte levariabili e i dati vengono persi!Il comando save è utile anche per salvare singole matrici o una lista di matrici nella directory corrente.Ci soffermiamo sulla possibilità di salvare i dati in formato ASCII, in modo da poter utilizzare i dati che salviamonon solo in MATLAB® (Octave) ma anche in programmi scritti con altri linguaggi di programmazione.Supponiamo di avere una matrice A e di volerla salvare nel file matriceA.dat. Scriveremo il comandosave matriceA.dat A -asciiQuando vogliamo caricare in MATLAB® la matrice dal file useremo il comandoload(’matriceA.dat’)e in questo modo avremo la matrice nella variabile matriceA (il nome del file senza l’estensione dopo ilpunto).1.4 Introduzione alla programmazioneMATLAB® (e di conseguenza Octave, d’ora in poi quando parleremo di MATLAB® ometteremo di scrivereanche Octave, intendendo che il discorso vale anche per Octave e sottolineeremo solo le differenze importanti)si può intendere come un linguaggio di programmazione, anche se non rientra in nessuna delle duecategorie di base dei linguaggi di programmazione.Ci sono infatti due categorie di linguaggi per scrivere programmi:G linguaggi di alto livello (come FORTRAN, C, C++)G linguaggi di basso livello (come assembler).Il linguaggio macchina, invece, è il linguaggio specifico dell’elaboratore e consiste di cifre binarie 0 e 1 cheidentificano istruzioni elementari. Ogni elaboratore ha il suo linguaggio macchina.I linguaggi di basso e alto livello si possono tradurre in un qualsiasi linguaggio macchina e possono essereutilizzati su qualsiasi elaboratore (sono portabili). Con i linguaggi di basso livello, i codici binari (fatti da0 e 1) vengono sostituiti da opportune ”parole chiave” che permettono una corrispondenza uno-uno tra illinguaggio di basso livello e il linguaggio macchina.Con i linguaggi di alto livello, una singola istruzione può tradurre più istruzioni di linguaggio macchina.Inoltre un linguaggio di alto livello è facile da capire (nella sua sintassi, nelle sue regole, nel suo modo diessere utilizzato) da chi programma.Perciò, quando si programma con un linguaggio di alto livello, il programmatore deve conoscere e saperebene la grammatica, la sintassi, il vocabolario del linguaggio stesso. Uno volta scritto il programmain modo corretto, occorre fare capire al computer che c’è un programma da eseguire: bisogna quindi tradurrein linguaggio macchina il programma scritto con il linguaggio di alto livello: questo passaggio lo si famediante la compilazione: un comando particolare chiama un programma di compilazione che viene applicatoal programma scritto nel linguaggio di alto livello (che chiamamo programma sorgente) in un programmaequivalente scritto in linguaggio macchina e che potrà essere eseguito dal calcolatore, detto programmaeseguibile.In MATLAB® , noi scriveremo qualcosa di equivalente al programma sorgente ma non lo compileremoperchè ogni volta che lo vorremo eseguire, esso verrà “automaticamente” compilato ed eseguito.Abbiamo due tipi di files eseguibili:G lo script, che presenta una lista di comandi da eseguire in ambiente MATLAB® . Al suo interno cipuò essere la chiamata a functions proprie di MATLAB® o a functions definite dall’utente;11

1. INTRODUZIONEG le functions (di MATLAB® o definite dall’utente), che possono avere uno o più variabili di ingresso(dati di input) e una o più variabili in uscita (dati di output).Sia lo script sia le functions si scrivono su files chiamati M-files perché sono files che vanno salvaticon l’estensione .m (ad esempio prova.m, fun.m, . . . ). I files vanno scritti con l’editor di testo di MA-TLAB® (nella barra dei comandi di MATLAB® in alto a sinistra compare la scritta New Script o New) o conun altro editor di testo in formato ASCII (in Octave non c’è un editor e quindi i files vanno scritti con un altroeditor di testo come gedit, ad esempio).Per eseguire uno script salvato in nomefile.m basta scrivere il nome del programma (senza l’estensione.m) nella finestra dei comandi o mediante il comando run(’nomefile.m’) o run(’nomefile’)oppure posizionandosi con il mouse sul nome del programma nella lista che compare nella finestra di CurrentFolder e con il tasto destro del moouse andare sulla scritta run che compare sulla finestra che si apre (piùdifficile a scriversi che a farsi!).Ovviamente, sia lo script sia le function definite dall’utente devono trovarsi nella directory in cui si èaperto MATLAB® , altrimenti bisogna spostarsi nella directory con i files che servono (da MATLAB® lo si fadirettamente o tramite la Current Folder o utilizzando la riga che mostra la directory in cui ci si trova o con icomandi dell’ambiente Linux, vale a dire cd e il percorso da fare, invece, in Octave, ci si sposta di directorysolo con i comandi dell’ambiente Linux).Per quanto riguarda le function, possono essere eseguite o tramite uno script oppure direttamentenella finestra dei comandi, specificando le variabili di ingresso e di uscita.1.5 Problemi e AlgoritmiGli script e functions che scriveremo ed eseguiremo in ambiente MATLAB® serviranno a risolveredei problemi.Cosa intendiamo per problema? Se vediamo all’etimologia del nome, esso deriva dal verbo grevo “proballein”,dove pro significa davanti e ballein significa mettere: mettere davanti... problema ha il significatodi ostacolo, promontorio, impedimento. E difatti, se si ha un problema, la prima cosa che si pensa è comerisolvere il problema (come superare l’ostacolo!).Per risolvere un problema, bisogna conoscerlo e saperlo descrivere bene. A questo scopo, noi ci serviamodel linguaggio. Ma il linguaggio naturale va usato con cautela: lo stesso evento è descritto, infatti, in mododiverso da un bambino rispetto ad un adulto; e lo stesso evento viene descritto con un linguaggio diverso daun matematico, da un fisico, da un ingegnere e da un letterato.Accanto al linguaggio naturale c’è il linguaggio artificiale, che si presenta sotto forma di termini tecnici enotazioni (pensiamo a termini tecnici della fisica e della chimica o ai simboli matematici).A volte, però, le stesse parole possono essere usate per dire cose completamente diverse! Basti pensarea termini come temperatura, pressione, massa...: hanno significati ben diversi se usati in un’officina perriparare il motore di un’automobile o se usati in un ambulatorio medico nei confronti di un paziente...Una volta che, cono attenzione e precisione, si è capito il problema, si può passare alla fase di soluzione.Concentrando ora la nostra attenzione su problemi da risolvere con l’aiuto del calcolatore, dobbiamo farecapire al calcolatore quale è il problema da risolvere e come lo deve risolvere. Ma siamo noi che dobbiamodare precise istruzioni da eseguire, quindi dobbiamo sapere quale tecnica di soluzione dobbiamo applicare.Queste precise istruzioni da dare al calcolatore rappresentano quello che chiamiamo algoritmo.Un algoritmo è una sequenza di passi che permettono di risolvere tutto o parte di un problema. 1Un algoritmo si può paragonare ad una ricetta di cucina. La ricetta è fatta di due partiG la lista degli ingredienti da utilizzareG la sequenza dei passi da fare per realizzare la ricetta.1 La parola algoritmo è entrata in uso negli anni ’50 in sostituzione di algorismo, termine con cui si indicava il processo di calcoloutilizzando i numeri arabi. Il termine algoritmo deriva dal nome di “al-Khwarizmi”, importante matematico arabo del nono secolo grazieal quale l’Europa imparò ad usare i numeri arabi, oltre alla notazione in base 10. Le procedure che permettevano di effettuare calcoli innotazione decimale presero il nome di algorismi o algoritmi. Anche la parola algebra viene da questo matematico e, in particolare, dallasua opera “Al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa al-muqabala”.Nel medioevo (e forse anche per qualche studente di oggi!!!), si pensava che questa parola derivasse dal greco algiros (panico, dolore)e arithmos (numero).12

1.6. MATLAB® come linguaggio di programmazioneNel realizzare una ricetta si possono avere problemi nel cercare alcuni ingredienti. Una parte dell’esecuzionerichiederà poco tempo, altre parti richiederanno più tempo. Alcuni passi non richiedono che si segua uncerto ordine, altri passi richiedono che si mantenga l’ordine scritto sulla ricetta. . . Le stesse analogie troviamoin un algoritmo.1.6 MATLAB® come linguaggio di programmazionePer imparare a usare MATLAB® come uno strumento di programmazione, dobbiamo imparare ad usareil linguaggio che ci permetterà di scrivere script e function. E, come tutti i linguaggi, dovremo impararealcune regole ben precise.Un linguaggio di programmazione è costituito da dichiarazioni (statements):G descrizione dei dati: che genere di dati abbiamo? Se vogliamo scrivere un programma in cui perogni studente calcoliamo la media dei suoi voti, c’è differenza tra i nomi degli studenti (una stringadi caratteri) e la loro media (un numero). Si parla di tipo di dati. In MATLAB® non si dichiarano levariabili, come avviene invece per altri linguaggi di alto livello. Ciò facilita la programmazione ma ponepiù rischi (se ci si dimentica il tipo di una variabile!). Conviene, perciò, prestare sempre attenzione altipo di variabili utlizzate.G strutture di controllo. Un programma può essere visto come una sequenza di istruzioni per risolvereun certo problema. Alcune istruzioni vanno ripetute, altre vanno eseguite solo in determinatecondizioni. . .G lavorazione dei dati (data processing). In un programma occorre poter lavorare sui dati e poterli“manipolare” opportunamente.G dichiarazioni di ingresso e uscita (input e output). In genere, un programma è scritto in modo che idati su cui si lavora possano esistere fuori del programma stesso.1.7 Primo script e prima function in MATLAB®Con un editor di testo scriviamo finalmente il nostro primo script. Uno script è un programma (unaserie di istruzioni) che si differenzia dai programmi scritti con altri linguaggi di programmazione perchè nonsi devono dichiarare le variabili. Nel programma che scrivamo, introduciamo due vettori ma non dobbiamousare istruzioni che dichiarano il tipo di variabili (vettori, singola o doppia precisione o variabile di tipo intero,...).% questa e ’ una riga di commentox=[−1 , −0.5 , 0 , 0 . 5 , 1]y=sin ( x )disp (’ho eseguito il mio primo script’) %disp e ’ una function per la% visualizzazione% in questo caso la stringa% ’ ho eseguito i l mio primo s c r i p t ’Già da questo primo script impariamo cose nuove. Intanto per eseguirlo, dopo averlo salvato, scriviamoil nome con cui abbiamo salvato il file (in questo caso scegliamo il nome primoscript.m) sulla CommandWindow. Vediamo cosa succede>> primoscriptx =-1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000y =-0.8415 -0.4794 0 0.4794 0.841513

1.8. I predicati elementariistruzione, conviene mettere delle righe di commento per dire cosa fa questa function. Questo perchè, facendohelp nomefunction sulla Command Window, avremo disponibili tutte le informazioni che abbiamoscritto in quelle righe di commento e ci sarà utile per ricordare cosa fa quella determinata funzione.Una function termina con l’istruzione end.Una volta salvata, la funzione può essere chiamata direttamente nella Command Window, oppure all’internodi uno script. Se scriviamo semplicemente y=mysin(x), la function restituisce solo il primo vettoreche viene generato. Se invece scriviamo [y,b]=mysin(x), allora ci vengono restituiti i due vettori.Possiamo usare anche nomi diversi rispetto a y b.La function può essere richiamata anche all’interno di uno script. Modifichiamo lo script primoscriptin questo modo:% questa e ’ una riga di commentox=input (’ scrivi il vettore x ’ ) ;[ y , b]=mysin ( x )disp (’ho eseguito il mio secondo script’)Osserviamo che, in questo caso, non abbiamo messo il ; dopo la chiamata alla function, in modo davisualizzare subito il risultato.Dagli esempi che abbiamo visto, possiamo chiederci quando serve scrivere uno script piuttosto di unafunction. Vediamo, intanto, le principali differenze.G Le variabili usate all’interno di uno script non vengono cancellate a meno che non venga fatto tramitela funzione clear. In una function tutte le variabili usate al suo interno e che non compaiononella lista delle variabili di output vengono cancellate una volta che la function viene eseguita.G Una function può essere usata all’interno di uno script, per snellirne la sua struttura (se determinateistruzioni vanno ripetute più e più volte, la function ci permette di scriverle una volta sola e dirichiamarle con parametri di input diversi). In tal caso, la function agisce da sottoprogramma.1.8 I predicati elementariLe istruzioni che traducono algoritmi di soluzione di problemi numerici non sono sempre istruzionidi tipo sequenziale, cioè istruzioni da eseguire l’una dopo l’altra (fai questo, poi questo, poi questo ancora...esempioponi a=10, b=sin(a), c=a*b...). Molte volte alcune istruzioni vanno eseguite se sonovere determinate condizioni piuttosto che altre, o fino a quando è vera una determinata condizione...EsempioEsempio 1.8.1 Per calcolare le radici di un’equazione di secondo grado, ax 2 + bx + c = 0 sappiamo chedobbiamo calcolare il discriminante ∆ = b 4 − 4ac e se ∆ = 0 le due radici coincidono, se ∆ > 0 abbiamodue radici distinte, se invece ∆ < 0 le due radici non sono reali.Abbiamo una condizione su ∆ e, a seconda della condizione, facciamo una cosa piuttosto di un altra.I simboli =, >, < sono degli operatori logici. La proposizione ∆ < 0 può essere vera o falsa a seconda delvalore assunto dalla variabile ∆. Gli operatori logici, quindi, ci permettono di costruire dei predicati. Vediamoquali sono gli operatori logici che useremo15

1. INTRODUZIONEOperatore Significato Esempio Valore> maggiore (a >b) Vero se a > bFalso se a ≤ b>= maggiore o uguale (a>=b) Vero se a ≥ bFalso se a < b< minore (a a=12;>> b=5;>> (a> (a==b)ans =0>> (a>=b)ans =1Il predicato è esso stesso una variabile (si osservi che il risultato è associato alla variabile ans): vale 1 se èvero, 0 se falso.Un operatore logico può essere applicato anche a matrici e vettori: se A e B sono due matrici, il predicato(A>B) restituisce una matrice i cui elementi sono il risultato del confronto tra ciascun elemento della matriceA con il corrispondente elemento della B.>> A=[1 2; 8 9]A =1 28 9>> B=[ 1 4; 5 10]B =1 45 1016

1.8. I predicati elementari>> A>=Bans =1 01 0In molti algoritmi, tuttavia, non basta vedere se un singolo predicato sia vero o falso. A volte ci servonopiù predicati da mettere insieme per formare una proposizione logica.EsempioEsempio 1.8.2 Supponiamo di dover implementare un algoritmo in cui vanno eseguite alcune istruzionifintantochè è vero che (1) il numero di iterazioni, it, è minore di un numero massimo prefissato,itmax, e (2) il valore assoluto della differenza di due valori che sono generati dall’algoritmo (chiamiamoquesta quantità sc) è maggiore di una tolleranza prefissata, tol. Abbiamo una proposizione fattadi due predicati (it tol). I due predicati sono messi insieme tramite la congiunzionee. Fintantochè è vera tutta la proposizione (quindi sono veri tutti e due i predicati) allora cisaranno da eseguire determinate istruzioni, altrimenti non si eseguiranno. Quando la proposizione nonè più vera? Diventa falsa quando il primo o il secondo predicato diventano falsi, cioè quando le iterazionidiventano maggiori del massimo prefissato oppure quando la variabile sc diventa minore dellatolleranza.Vediamo allora gli operatori logici per unire due proposizioni:OperatoreSignificato&congiunzione di più predicati| disgiunzione di più predicati∼ negazione di un predicato o di una proposizioneEsempioEsempio 1.8.3 Riprendiamo i predicati di prima it < itmax e sc > tol. La proposizione (ittol) è un proposizione che è vera quando entrambi i predicati sono veri,diventa falsa quando uno dei due predicati è falso.La proposizione (it tol) è vera quando uno dei due predicati è vero (può essereuno vero e uno falso, la proposizione è comunque vera perchè | significa o, oppure). La proposizioneè falsa quando entrambi i predicati sono falsi.La proposizione (it = itmax. Quindi è vera se it >= itmax e sarà falsa se it

1. INTRODUZIONE1.9 Strutture e cicliVediamo, in generale, adesso come si possono eseguire alcuni tipi di istruzioni.1.9.1 Ciclo ifSupponiamo di voler calcolare la radice quadrata positiva di un numero reale : + x. Sappiamo che sel’argomento x è negativo, la funzione non dà un valore reale (si passa infatti nel campo dei numeri complessi:provare la function di MATLAB® sqrt con un numero negativo e vedere il risultato che dà). Proviamo alloraa scrivere una nostra function che calcoli la radice quadrata solo per valori positivi dell’argomento.function [ y ]= mysqrt ( x )% function [ y ]= mysqrt ( x )% input x% output y= s q r t ( x ) per x >=0% altrimenti s i ha un messaggio di e r r o r e% e y = [ ] v a r i a b i l e vuotai f ( x >=0)y=sqrt ( x ) ;elsedisp (’l’’argomento e’’ negativo’)y = [ ] ;endAbbiamo usato il cosiddetto ciclo if. Se (if) (x>0) allora fai una determinata cosa, altrimenti (else)fai un’altra cosa. Osserviamo che per visualizzare una stringa di caratteri in cui c’è l’apostrofo o l’accento,abbiamo usato due volte gli apici.Il ciclo if si può schematizzare nei seguenti modi a seconda che si abbia una o più condizione.Ciclo if con più condizioniCiclo if con una condizionei f ( espr . logica ){ istruzione 1a }{ istruzione 2a }{ . . . . }else{ istruzione 1b }{ istruzione 2b }{ . . . . }endi f ( espr . logica1 ){ istruzione 1a }{ istruzione 2a }{ . . . . }e l s e i f ( espr . logica2 ){ istruzione 1b }{ istruzione 2b }{ . . . . }. . . .else{ istruzione 1z }{ istruzione 2z }{ . . . . }endOsserviamo che in MATLAB® elseif va scritto tutto attaccato altrimenti si apre un altro ciclo if concatenatoal precedente.Se non c’è nessuna istruzione in alternativa alle condizioni poste, si omette l’else.Scriviamo uno script che risolve un’equazione di secondo grado ax 2 + bx + c = 0. Usiamo un ciclo if percontrollare il segno del discriminante ∆ = b 2 − 4ac e, di conseguenza, scrivere le radici.a=input (’valore di a ’ ) ;b=input (’ valore di b ’ ) ;c=input (’ valore di c ’ ) ;delta=sqrt (b^2 −4*a* c ) ;18

1.9. Strutture e ciclii f ( delta ==0)x1=−b/(2* a ) ;x2=x1 ;disp (’le radici sono coincidenti’)disp ( [ x1 x2 ] )e l s e i f ( delta >0)x1= (−b + delta ) / ( 2 * a ) ;x2= (−b − delta ) / ( 2 * a ) ;disp (’le radici sono’)disp ( [ x1 x2 ] )elsedisp (’non ci sono radici reali’)endSalviamo lo script con il nome radici.m. Per visualizzare su una sola riga il valore delle due radici abbiamocreato il vettore che ha come componenti x1 e x2 e lo abbiamo visualizzato mediante la function disp.Osserviamo che, quando eseguiamo questo script, dobbiamo dare noi in input i valori dei coefficienti dell’equaazione.Tutte le variabili che vengono generate nello script rimangono nella Workspace (a meno che nondecidiamo noi di cancellarle usando il comando clean). Per capire meglio la differenza tra script e function,scriviamo ora una function che fa la stessa cosa. Chiamiamo la function funradicieq2.m.function [ x1 , x2 ]= funradicieq2 ( a , b , c )% function [ x1 , x2 ]= radicieq2 ( a , b , c )% input : a , b , c v a r i a b i l i s c a l a r i dell ’ equazione di secondo grado% ax^2+bx+c=0% output : x1 e x2 , l e due r a d i c i dell ’ equazionedelta=sqrt (b^2 −4*a* c ) ;i f delta ==0x1=−b/(2* a ) ;x2=x1 ;e l s e i f delta >0x1= (−b + delta ) / ( 2 * a ) ;x2= (−b − delta ) / ( 2 * a ) ;elsedisp (’non ci sono radici reali’)x1 = [ ] ;x2 = [ ] ;endendI comandi sono quasi gli stessi dello script. Per avere sempre dei valori in uscita, abbiamo posto x1, x2uguali a due variabili vuote (l’uso delle parentesi quadre senza nessun valore all’interno []) insieme ad unmessaggio di spiegazione, per discriminanti negativi. Questa volta possiamo eseguire la function all’internodella Command Window o mediante uno script.>> [x1, x2]=funradicieq2(1,-2,1)x1 =1x2 =1Tutte le variabili che sono usate all’interno della function non sono salvate nella Workspace, ad eccezionedelle variabili di output.Sia nello script che nella function abbiamo visto un esempio di uso del ciclo if.19

1. INTRODUZIONEProviamo a complicare le cose, inserendo altri cicli if all’interno del ciclo if.Nello studiare la propagazione degli errori, abbiamo visto che, per effetto della cancellazione numerica,le due radici di un’equazione di secondo grado possono non essere arrotondate correttamente se b 2 >> 4ac.In tal caso, applicando la formula x 1 x 2 = c possiamo evitare il fenomeno della cancellazione. Consideriamoadue casi, assumendo x 1 = −b + b 2 − 4ace x 2 = −b − b 2 − 4ac:2a2aG b > 0: per effetto della cancellazione numerica è x 1 affetta da errore. In tal caso dobbiamo correggerex 1 mediante la formula x 1 = c/(x 2 a).G b < 0: ora è x 2 affetto da errore (−b è positivo e va sottratto ad una quantità molto vicina a b stesso).Correggiamo x 2 mediante la formula x 2 = c/(x 1 a).Andiamo a correggere la function (stessa cosa si può fare con lo script precedente).function [ x1 , x2 ]= funradicieq2nocanc ( a , b , c )% function [ x1 , x2 ]= radicieq2 ( a , b , c )% input : a , b , c v a r i a b i l i s c a l a r i dell ’ equazione di secondo grado% ax^2+bx+c=0% output : x1 e x2 , l e due r a d i c i dell ’ equazione% s i usa la formula per e v i t a r e la cancellazione numericadelta=sqrt (b^2 −4*a* c ) ;i f delta ==0x1=−b/(2* a ) ;x2=x1 ;e l s e i f delta >0i f b> [x1, x2]=funradicieq2(1,1e+6,0.1)x1 =-1.000007614493370e-07x2 =-9.999999999999000e+05>> x1*x2ans =20

1.9. Strutture e cicli0.100000761449327>> [x1, x2]=funradiceeq2nocanc(1,1e+6,0.1)x1 =-1.000000000000100e-07x2 =-9.999999999999000e+05>> x1*x2ans =0.100000000000000L’errore sul prodotto x 1 x 2 è dell’ordine di 7.6 · 10 −7 , ma l’errore sulla radice x 1 è comunque un erroremolto basso. Ciò è dovuto al fatto che le nostre variabili sono tutte in doppia precisione e MATLAB® eseguele operazioni con precisione di macchina.Se inseriamo i valori di a,b e c in singola precisione mediante la function single, si vede qualchedifferenza in più. Proviamo:>> a=single(1);>> b=single(1.e+6);>> c=single(0.1);>> [x1, x2]=funradicieq2(a,b,c)x1 =0x2 =-1000000>> x1*x2ans =0>> [x1, x2]=funradicieq2nocanc(a,b,c)x1 =-1.0000000e-07x2 =-1000000>> x1*x221

1. INTRODUZIONEans =0.1000000In questo caso la prima function ci dà x 1 = 0 al posto di x 1 = −1 · 10 −7 . L’errore è più alto rispetto al casoprecedente ma non è così appariscente.Proviamo allora a creare una function che ci permetta di lavorare solo con un certo numero di cifre decimali,come se avessimo una macchina in virgola mobile normalizzata a n cifre decimali, con n stabilitodall’utente (più piccolo è n, maggiore sarà il fenomeno di cancellazione numerica). Attenzione, però: leoperazioni che eseguiremo con MATLAB® saranno sempre eseguite in doppia precisione mentre il risultatodovrà essere convertito nella precisione che vogliamo noi.Per capire la function che scriveremo, partiamo con un esempio. Supponiamo di avere il numero x =−12.987654. Vogliamo rappresentare questo numero in una macchina in virgola mobile normalizzata conn = 4 cifre decimali. Quindi passeremo al numero x = 1.2988 · 10 1 .L’algoritmo che implementeremo si basa sui seguenti passiG considero il numero in valore assoluto, cioè 12.987654;G valuto log 10 del numero: in questo caso ottengo il valore 1.113530710205556, che, se viene arrotondatoall’intero più vicino per difetto, mi dà il valore 1, cioè proprio l’esponente della base (10 1 );G adesso divido il valore assoluto del numero per 10 1 in modo da avere la parte frazionaria del numerostesso (eventualmente, come in questo caso, in forma normalizzata): 12.987654/10 1 = 1.2987654;G moltiplico questo valore per 10 n , dove n è il numero di cifre decimali che ho deciso di avere nellarappresentazione finale, in questo caso 4: ottengo 1.2987654e + 04 (cioè 12987.654)G arrotondo il valore all’intero più vicino: ho 12988;G divido per 10 n : ricavo 1.2988;G ora prendo questo valore, lo moltiplico per il segno del numero di partenza e per 10 1 (l’esponenteche avevo trovato al secondo passo): arrivo al valore −12.988. Il numero non è espresso in formanormalizzata, ma in sostanza è il numero che andavo cercando (−12.988 = −1.2988 · 10 1 ).Per completare la function ci serve qualcosa che ci permetta di arrotondare all’intero più vicino per difettoe di arrotondare all’intero più vicino. Fortunatamente, in MATLAB® , esistono già due function che fannoqueste cose:G la function floor arrotonda all’intero più vicino per difetto;G la function round arrotonda all’intero più vicino con la regola dell’arrotondamento simmetrico.Queste function (come altre simili – ceil, fix – per la cui spiegazione rimandiamo all’help on line)possono essere applicate a variabili matriciali (vettori e scalari vengono visti come casi particolari di matrici).>> floor(2.5)ans =2>> round(2.5)ans =3>> floor(1.1)ans =1>> round(1.1)22

1.9. Strutture e ciclians =1Per avere il segno di una variabile, usiamo la function sign (che vale +1 o -1 a seconda di segno positivoo negativo). Ecco allora la function, che chiamiamo roundnormfunction y=roundnorm( x , n)% function y=roundnorm( x , n)% input x : puo ’ e s s e r e scalare , v e t t o r e o matrice% n : numero di c i f r e decimali in un sistema normalizzato% pensiamo i l numero s c r i t t o come a . b_1b_2b_3 . . . b_n x 10^p% con a ~= 0% output y : arrotondamento di x in un sistema normalizzato a n c i f r e decimali% di default , in MATLAB i l numero non viene v i s u a l i z z a t o in virgola% mobile normalizzata .%%% Esempi% x=sin (3)=0.141120008059867% n=4 % 4 c i f r e decimali% y=roundnorm( x , n)= 0.141120000000000% ( in virgola mobila normalizzata , y= 1.4112 10^(−1)%% x=exp(1)=2.718281828459046% y=roundnorm( x , n)= 2.718300000000000 (=2.7183 10^0)%% x=exp(10)=2.202646579480672 e+04% y=roundnorm( x , n)= 22026 (= 2.2026 10^4)%% s i possono avere c a s i p a r t i c o l a r i% x=55.981999999999999% in MATLAB y=roundnorm( x , n)= 55.981999999999999 (= 55.982)% in questo caso , i n f a t t i ,% f *10^e = 5.598200000000000*10=55.981999999999999% in Octave y=roundnorm( x , n)= 55.9820000000000xx = abs ( x ) ; % s i considera i l valore assoluto di xe = floor ( log10 ( xx ) ) ; %esponente di xf = xx . / 1 0 . ^ e ; %parte frazionaria di xf =round( f *10^n)/10^n ;y=sign ( x ) . * f .*10^ e ;endProviamo a vedere cosa succede se applichiamo questa function per risolvere un’equazione di secondogrado. Nelle due function precedenti sulla soluzione di un’equazione di secondo grado, dobbiamo andarea convertire le variabili delta, x1 e x2 applicando la function roundnorm: aggiungeremo delle istruzionidel tipo delta=roundnorm(delta,n); x1=roundnorm(x1,n); x2=roundnorm(x2,n);,23

1. INTRODUZIONEmentre l’intero n viene dato in input.Esercizio 1.9.1 Come esercizio si creino, dunque, due nuove function, una che risolve l’equazione di secondogrado senza andare a considerare la correzione del fenomeno di cancellazione numerica e l’altra,invece, che corregge la cancellazione numerica, in modo che, in input, oltre ai parametri a,b,c vengachiamato anche l’intero n. All’interno delle function si aggiungano le istruzioni di chiamata alla functionroundnorm.Si trovino, quindi, le radici delle equazioniG 0.1x 2 − 42x + 0.3 = 0G x 2 − 56x + 1 = 0G x 2 − 18x + 0.03 = 0Si confrontino i risultati tra le due function, lavorando con n = 4 cifre decimali e utilizzando anche lefunction che lavorano in doppia precisione.1.9.2 Ciclo whileUn’altra struttura molto importante è data dal ciclo while. Ci possono essere situazioni in cui determinateistruzioni sono da ripetere fintantochè è vera una determinata condizione. Prendiamo in esame lo schemadi bisezione: ad ogni passo del metodo si prende il punto medio dell’intervallo, si confronta il valore dellafunzione nel punto medio con il valore agli estremi e si prende, come nuovo sottointervallo, l’intervallo cheha come estremi il punto medio e uno dei estremi dell’intervallo precedente. Queste istruzioni vanno ripetutefino a quando l’ampiezza dell’intervallo su cui si lavora diventa molto piccola (minore di una certa tolleranzaprefissata) oppure siamo così fortunati che il punto medio è proprio la radice della funzione, oppure nonstiamo arrivando a convergenza ma abbiamo fatto un numero elevato di iterazioni.La struttura del cilclo while è fatta nel seguente modoCiclo whilewhile ( espressione logica ){ istruzione 1 }{ istruzione 2 }{ . . . }{ istruzione n }endLe istruzioni 1, 2, . . . , n vengono ripetute ciclicamente e non una sola volta come accade nel ciclo if: infattiogni volta che si esegue l’ultima istruzione all’interno del ciclo while, si torna poi all’espressione logica postasubito dopo la parola while e se è vera si eseguono di nuovo le istruzioni 1, 2, . . . , n, se è falsa, invece, si escedal ciclo. È importante, dunque, avere un’espressione logica che eviti di creare cicli infiniti, che farebberoentrare in stallo l’esecuzione di uno script o di una function!Vediamo un esempio di ciclo while, scrivendo una function che implementa lo schema delle bisezioni.Vedendo questa function, impareremo nuove potenzialità di MATLAB® .function [ c , i t e r , scarto ]= funbisez ( fun , a , b , t o l l , itmax )% function [ c , i t e r , scarto ]= funbisez ( fun , a , b , t o l l , itmax )% function che calcola una radice della funzione fun d e f i n i t a% nell ’ i n t e r v a l l o [ a , b ]% input : function fun : puo ’ e s s e r e una function inline , una% function .m ( in questo caso i l nome della function% va s c r i t t o tra apici ) oppure una function_handle% estremi dell ’ i n t e r v a l l o a e b24

1.9. Strutture e cicli% tolleranza t o l l% numero massimo di i t e r a z i o n i itmax% output : approssimazione della radice data dalla v a r i a b i l e c% numero di i t e r a z i o n i e f f e t t u a t e i t e r% scarto f i n a l e%% Esempi con i n l i n e function e handle function%% f = i n l i n e ( ’ 2 . * x−cos ( x ) + 1 ’ ) ;% a=−6; b=4; t o l l =1. e −10; itmax=100;% [ c , i t e r , scarto ]= funbisez ( f , a , b , t o l l , itmax )% r e s t i t u i s c e% c = −1.4552e−11% i t e r =36% scarto =7.2760e−11%% f = i n l i n e ( ’ x.^2− sin (3−x ) + 2 ’ ) ;% a=−2; b=1; t o l l =1. e −10; itmax=100;% [ c , i t e r , scarto ]= funbisez ( f , a , b , t o l l , itmax )% r e s t i t u i s c e% estremi d e l l o s t e s s o segno% c = [ ]% i t e r = [ ]% scarto = [ ]%%% a = 0 . ; b=3; t o l l =1. e −10; itmax=100;% [ c , i t e r , scarto ]= funbisez ( @cos , a , b , t o l l , itmax )% r e s t i t u i s c e% c =1.5708% i t e r =34% scarto =8.7311e−11%aux= f e v a l ( fun , a ) * f eval ( fun , b ) ; %aux= v a r i a b i l e d ’ appoggio per% c o n t r o l l a r e i l segno% della funzione a g l i estremi a e b%f e v a l e ’ una function che permette di valutare% i l valore della funzione fun nella v a r i a b i l e a% ( f e v a l ( fun , a ) ) oppure fun ( b ) in f e v a l ( fun , b ) )i f aux>=0disp (’estremi dello stesso segno’)c =[ ] ;i t e r =[ ] ;scarto =[ ] ;return % l ’ i s t r u z i o n e return interrompe l ’ esecuzione della function% se g l i estremi sono d e l l o s t e s s o segno non s i puo ’% applicare lo schema d e l l e b i s e z i o n iendi t e r =0; % i t e r e ’ la v a r i a b i l e intera che conta l e i t e r a z i o n i che vengono% e f f e t t u a t ec =(a+b ) * 0 . 5 ;scarto=abs (b−a ) * 0 . 5 ; % v a r i a b i l e che permette di c o n t r o l l a r e di quanto c i% s i sta avvicinando alla radicewhile i t e r t o l li t e r = i t e r +1;aux= f eval ( fun , a ) * f eval ( fun , c ) ;i f aux

1. INTRODUZIONEb=c ;elsea=c ;endc =(a+b ) * 0 . 5 ;scarto=abs (b−a ) * 0 . 5 ;endi f ( i t e r >itmax )disp (’raggiunto il numero massimo di iterazioni’)endOltre all’uso del ciclo while (e di un ciclo if all’interno del ciclo while), la novità nella function funbisez èdato dal fatto che, tra i parametri di input, compare la funzione di cui si vuole approssimare una radice. Inlinea di massima il nostro schema può essere applicato su una generica funzione f (x) (funzione reale di unasola variabile reale), al fine di poter approssimare (se esiste) una sua radice. Possiamo scrivere la funzione delnostro problema utilizzando una function (quindi scrivere un file e salvarlo con l’estensione .m). Esempiofunction y=fun ( x )% function y=fun ( x )% function da usare nel metodo di b i s e z i o n i% function di esempioy =2.* x−cos ( x)+1endQuesta function la salviamo come fun.m e la chiamiano tra i parametri di input della function funbiseztra apici [c, iter ,scarto]=funbisez(’fun’,a,b,toll,itmax) In tal modo, noi diamo il nome della function su cuiapplicheremo il metodo di bisezione. Potremmo chiamare la nostra function anche in modo diverso, nonfun.m ma, ad esempio, g.m: l’importante è mettere tra apici il nome della function. D’altra parte, non èimportante il nome dato alla variabile ma il significato di ciascuna variabile e l’ordine con cui compare.È corretto chiamare la function in questo modo [x, it ,sc]=funbisez(’fprova’,extra,extrb,toller,maxit) Ciòsignifica che fprova.m è la function di cui vogliamo calcolare lo zero, extra e extrb sono gli estremidell’intervallo, etc etc. Ogni variabile ha un nome diverso rispetto a quello che abbiamo scritto nella functionma il significato corrisponde.Non è corretto invece scrivere [c, iter ,scarto]=funbisez(a,b,’fun’,toll,itmax) perchè ora abbiamo lavariabile a come prima variabile e non la funzione su cui applicare il metodo!Ci sono anche altri modi per inserire una funzione tra i parametri di ingresso di una function. Se la funzioneè già predefinita si può scrivere il nome della function tra apici: per esempio, vogliamo calcolare gli zeridella funzione f (x) = cos(x): basta scrivere [c, iter ,scarto]=funbisez(’cos’,a,b,toll,itmax)Se la funzione è più complicata si può usare la cosiddetta inline function. Sulla Command Window (oall’interno di uno script che poi chiamerà la funbisez) scriviamo il seguente comando>> f=inline(’2.*x-cos(x)+1’)f =Inline function:f(x) = 2.*x-cos(x)+1La function di MATLAB® inline ci permette di creare una function che dipende da una o più variabili.Esempi:f=inline(’cos(x)-2’) (dipende da una sola variabile),f=inline(’cos(x)+sin(y)’) (dipende da due variabili).Rispetto alle function .m, questa function è caratterizzata da una sola istruzione (non possiamo costruirefunction che dipendono da cicli o da più righe di istruzioni). Una volta che chiudiamo la session diMATLAB® , perdiamo questa function (se ci serve in un’altra sessione dovremo riscriverla).26

1.9. Strutture e cicliUn altro modo per passare una funzione tra i parametri di una function è di usare una cosiddetta functionhandle: una function handle si costruisce mettendo il simbolo @ prima del nome della function già definita(ad esempio @sin, @cos) oppure definita dall’utente come M-file (ad esempio @myfun). Esempi:[c, iter ,scarto]=funbisez(@cos,a,b,toll,itmax)[c, iter ,scarto]=funbisez(@myfun,a,b,toll,itmax) ,dove myfun.m è una function che abbiamo definito noi. In maniera equivalente, si può assegnare ad unavariabile il nome di una function handle nella Command Window o in uno script. Esempio:>> f=@funf =@fun>> [c,iter,scarto]=funbisez(f,a,b,toll,itmax);Ora che abbiamo visto che una funzione può essere chiamata tra i parametri di input di una function,vediamo come valutarla al suo interno Nell’esempio che stiamo considerando, come valutare all’interno dellafunbisez la funzione fun (che può essere un M-file, una function inline o una function handle)? Si usa laseguente istruzione (che possiamo leggere nella function funbisez) feval(fun,a) dove fun è il nome che diamoalla funzione all’interno della function – nell’esempio, funbisez, mentre a è la variabile in cui dobbiamovalutare la fun. Quindi feval è una function di MATLAB® che permette di valutare il valore di una function:corrisponde a fun(a). Se la funzione è una funzione di più variabili, vanno messe tutte le variabili da cuidipende: feval(fun,x1,x2 ,...)Esercizio 1.9.2 Si applichi il metodo di bisezione per trovare gli zeri di funzione delle seguenti funzioni,imponendo una tolleranza pari a 10 −10 e fissando itmax=100:G f (x) = ln(x) + x 2 − x (ammette come radice ξ = 1)G f (x) = e 1−x2 − x sin(x) (ammette più di una radice)Se risolviamo l’esercizio precedente, ci accorgiamo che non è sempre facile trovare un intervallo in cui lafunzione assegnata abbia segno opposto agli estremi. È utile quindi avere un’idea del grafico della funzionestessa. In questo senso MATLAB® ci permette di visualizzare facilmente una funzione tramite la functionezplot. La function ezplot può avere uno o più argomenti di input. Si può dare solo la funzione (inline,m-file o function handle) da visualizzare, e il grafico viene fatto di default per x che varia in [−6,6] (se èdefinita per valori negativi) o in [0,6] se non è definita per valori negativi. Possiamo cambiare gli estremidell’intervallo, aggiungendo come variabile l’intervallo stesso.Esempiezplot(f) %f e’ una function inline o una function handleezplot(’f’) %f e’ una function M−file definita dall’utente o di MATLABezplot(f ,[ a,b]) %si visualizza il grafico della f per x in [a,b]Per visualizzare tutte gli usi della function ezplot si controlli mediante l’help sulla Commans Window.Del tutto simile a ezplot è la function fplot in cui, tuttavia, va specificato l’intervallo [a,b]. Vedremo,comunque, che ci sono altri modi per fare grafici.Ora, seguendo le stesse linee della function funbisez, scriviamo una function che applichi lo schema delpunto fisso. Chiamiamo questa function pfisso0.m (capiremo poi perché abbiamo scritto quello zero nelnome della function).Questa volta, per vedere se ci stiamo avvicinando a convergenza, controlliamo la differenza in valoreassoluto tra due approssimazioni successive. Quindi, la variabile scarto assume davvero il significato delnome (al contrario di quanto abbiamo fatto in funbisez). Nella function diamo anche una stima del fattoredi convergenza (o costante asintotica di convergenza) M tramite le variabili asint1 e asint2. Vediamoquesta function27

1. INTRODUZIONEfunction [ xkp1 , i t e r , scartokp1 , asint1 , asint2 ]= pfisso0 ( fun , dfun , x0 , t o l l , itmax )%function [ xkp1 , i t e r , scartokp1 , asint1 , asint2 ]= p f i s s o 0 ( fun , dfun , x0 , t o l l , itmax )% s i g n i f i c a t o d e l l e v a r i a b i l i% i t e r : i t e r a z i o n e del metodo del punto f i s s o% itmax : numero massimo di i t e r a z i o n i% t o l l : tolleranza p r e f i s s a t a per l ’ approssimazione del punto f i s s o% x0 : punto i n i z i a l e della successione% xk : approssimazione al passo k% xkp1 : approssimazione al passo k+1% scartok : scarto all ’ i t e r a t a precedente% scartokp1 : valore assoluto tra l ’ i t e r a t a corrente e quella al% passo precedente% asint1 : scartokp1 / scartok − approsimazione del f a t t o r e di convergenza M% asint2 : abs ( dfun ( xkp1 ) ) − approssimazione del f a t t o r e di convergenza M% fun : funzione di cui s i vuole c a l c o l a r e un ’ approssimazione del punto f i s s o% dfun : derivata della funzione fun%% Esempio% x0 = 0 . 1 ; t o l l =1. e −12; itmax=100;% dfun= i n l i n e ( ’ − sin ( x ) ’ ) ;% [ xkp1 , i t e r , scartokp1 , asint1 , asint2 ]= p f i s s o 0 ( @cos , dfun , x0 , t o l l , itmax )% r e s t i t u i s c e% xkp1=0.7391% i t e r =70% scartokp1 =9.4613e−13% asint1= 0.6735% asint2 =0.6736scartokp1 =2.0* t o l l ;scartok=scartokp1 ;i t e r = 0 ;xk=x0 ;while ( scartokp1 >= t o l l )&& ( i t e r itmax )disp (’raggiunto il numero massimo di iterazioni’)endendCon questa function implementiamo il metodo del punto fisso e conosciamo l’approssimazione finale delpunto fisso, il numero di iterazioni effettuate, lo scarto finale, una stima della costante asintotica. Con questafunction, tuttavia, non possiamo fare nessun grafico di convergenza perchè perdiamo tutte le informazioniintermedie (i valori delle approssimazioni, degli scarti, etc, ad ogni iterazione). In effetti, per alcune variabilipossiamo farci stampare su un file il loro valore in modo da sapere cosa è successo ad ogni passo di iterazione.Per altre, invece, è utile metterle in un grafico.Esaminiamo ciascuna variabile:G i valori x0,xk,xkp1 rappresentano i valori dell’approssimazione iniziale al passo 0, al passo precedenteiter e al nuovo passo di iterazione iter+1. Questi valori ci servono per calcolare lo scarto adogni iterazione e per approssimare il fattore di convergenza tramite la variabile asint2. Potremmo solostampare questi valori ad ogni passo oppure salvarceli in un vettore (e calcolare la variabile asint228

1.9. Strutture e ciclicome vettore applicando il valore assoluto della derivata della funzione di punto fisso al vettore delleapprossimazioni).G gli scarti scartok e scartokp1 servono per calcolare asint1 ma soprattutto se vogliamo fare ungrafico di convergenza! Quindi ci servono i valori degli scarti ad ogni iterazione. Possiamo creareun vettore in cui la componente i -sima corrisponde allo scarto al passo i . In tal modo potremo siacalcolare asint1 in modo vettoriale, sia fare un grafico semilogaritmico di convergenza.G la variabile iter è un contatore scalare. Quando occorre, creeremo il vettore che ha come componentigli interi 1,2,...,i ter dove i ter rappresenterà il numero finale delle iterazioni effettuate.Modifichiamo quindi la function lavorando su vettori (la possibilità di scrivere alcuni risultati su file lalasciamo per il seguito). Scriviamo il seguente file pfisso.m.function [ x , i t e r , scarto , asint1 , asint2 ]= pfisso ( fun , dfun , x0 , t o l l , itmax )%function [ x , i t e r , scarto , asint1 , asint2 ]= p f i s s o ( fun , dfun , x0 , t o l l , itmax )% s i g n i f i c a t o d e l l e v a r i a b i l i% i t e r : i t e r a z i o n e del metodo del punto f i s s o% itmax : numero massimo di i t e r a z i o n i% t o l l : tolleranza p r e f i s s a t a per l ’ approssimazione del punto f i s s o% x0 : punto i n i z i a l e della successione% x : v e t t o r e d e l l e approssimazioni del punto f i s s o% scarto : v e t t o r e d e g l i s c a r t i% asint1 : v e t t o r e che approssimazione i l f a t t o r e di convergenza M usando% i l v e t t o r e d e g l i s c a r t i% asint2 : v e t t o r e che approssima i l f a t t o r e di convergenza M usando% i l valore assoluto della derivata prima della funzione di punto% f i s s o% fun : funzione di cui s i vuole c a l c o l a r e un ’ approssimazione del punto f i s s o% dfun : derivata della funzione fun% Esempio% x0 = 0 . 1 ; t o l l =1. e −12; itmax=100;% dfun= i n l i n e ( ’ − sin ( x ) ’ ) ;% [ x , i t e r , scarto , asint1 , asint2 ]= p f i s s o ( @cos , dfun , x0 , t o l l , itmax )% r e s t i t u i s c e% i l v e t t o r e x di lunghezza 70% i t e r =70% i l v e t t o r e scarto% i l v e t t o r e asint1% i l v e t t o r e asint2% per f a r e i l g r a f i c o di convergenza semilogaritmico basta s c r i v e r e% semilogy ( [ 1 : 1 : i t e r ] , scarto )scarto =2* t o l l ;i t e r = 1 ;x=x0 ;while ( scarto ( i t e r )>= t o l l )&& ( i t e r itmax )disp (’raggiunto il numero massimo di iterazioni’)end29

1. INTRODUZIONEendOsserviamo in che modo abbiamo creato i due vettori asint1 e asint2.Per il vettore asint1 la generica componente i -sima deve essere uguale ascar to i. Supponiamoscar to i−1che il vettore scarto abbia queste componenti: scarto=[ 2 0.90 0.45 0.31 0.20 0.14] dovescarto(1) corrisponde al valore che si ha all’iterazione 0 (il valore che, nella function, abbiamo postouguale a 2*tol in modo da poter entrare nel ciclo while). Per approssimare il fattore di convergenza al primopasso di iterazione dobbiamo fare il rapporto tra lo scarto all’iterazione 1 e lo scarto all’iterazione 0, cioè0.90. Alla seconda iterazione dobbiamo fare il rapporto tra lo scarto corrente e lo scarto al passo precedente,2cioè 0.45 e così via. Nel vettore scarto abbiamo 6 componenti, la prima corrisponde all’iterazione 0, ciò vuol0.90dire che sono state effettuate 5 iterazioni. Dobbiamo fare dunque 5 rapporti per approssimare il fattore diconvergenza ad ogni iterazione:0.902 , 0.450.90 , 0.310.45 , 0.200.31 , 0.140.20 .A tal fine costruiamo il vettore (a cui ora per comodità diamo il nome sc1) che ha come componentiquelle del vettore scarto dalla seconda componente in poi, cioè sc1=[0.90 0.45 0.31 0.200.14]. Costruiamo poi il vettore (che chiamiamo sc2) che ha come componenti quelle del vettore scartodalla prima alla penultima componente, vale a dire sc2=[2 0.90 0.45 0.31 0.20]. Ora, se dividiamoi due vettori sc1 componente per componente, abbiamo proprio i rapporti che abbiamo scrittoprima. Questa operazione si può fare senza dover introdurre nuovi vettori. Possiamo scrivere, infatti,sc2asint1= scarto(2:iter )./scarto(1:iter−1);Per quanto riguarda asint2, abbiamo semplicemente valutato la funzione dfun nel vettore delleapprossimazioni x.Poi, poichè la prima componente che abbiamo dato al vettore scarto non ci interessa, la togliamoandando ad aggiornare il vettore scarto=scarto(2:iter);Questa istruzione ci permette di prendere il vettore che ha come componenti quelle del vettore scartodalla seconda componente in poi e di chiamare questo vettore di nuovo con la stessa variabile.Infine, aggiorniamo il numero delle iterazioni, togliendo un’unità perchè eravamo partiti dal contatoredelle iterazioni pari a uno in corrispondenza dell’iterazione 0.A questo punto, in uscita abbiamo dei vettori.Per fare il grafico di convergenza dello schema, ci serve fare un grafico semilogaritmico dove, sull’assedelle ascisse ci sono le iterazioni effettuate e sull’asse delle ordinate i logaritmi (in base 10) degli scarti.La function di MATLAB® che ci permette di fare grafici in scala semilogaritmica sull’asse delle ordinateprende il nome di semilogy. Nel nostro caso, basta creare il vettore delle ordinate, che deve avere i valori1, 2, 3,...,i ter e applicare questa function. Per creare un vettore che parte dal valore 1 e arriva al valore itercon passo unitario, basta scrivere it =[1:1: iter ];Perciò possiamo usare il comando semilogy(it, scarto), oppure, in modo equivalente,semilogy([1:1:iter], scarto) (si veda figura 1.6).Introduzione alla graficaAbbiamo visto le function ezplot, fplot, semilogy. Vediamo ora le altre function di base perpoter fare un grafico. Abbiamo semilogx (analogo di semilogy, il grafico è semilogaritmico sull’assedelle ascisse), loglog (il grafico è in scala logaritmica su entrambi gli assi) e infine plot.Le function plot, semilogx, semiloy e loglog hanno le stesse caratteristiche. Vediamo quindigli elementi principali di come si usa la function plot. In maniera analoga si usano le altre function cheabbiamo detto.plot(x,y) dove x e y sono dei vettori della stessa dimensione, produce il grafico in cui sull’asse delle ascissec’è il vettore x e sull’asse delle ordinate il vettore y.Esempio:30

1.9. Strutture e cicliFigura 1.6: Grafico generato dall’istruzione semilogy(it, scarto). per lo schema di punto fisso applicato allafunzione di punto fisso g (x) = cos(x), con x 0 = 0.1.>> x=[0, 0.1 , 0.2, 0.3, 0.4, 0.5];>> y=sin(x);>> plot(x,y)I comandi precedenti producono il grafico di figura 1.7Si può anche usare semplicemente l’istruzione plot(y) che produce il grafico del vettore in funzione degliindici delle componenti del vettore (quindi sull’asse delle ascisse ci saranno gli indici 1,2,...,n del vettore ymentre sull’asse delle ordinate le componenti del vettore y – di lunghezza n).Si possono fare più grafici sovrapposti in diversi modi. Uno di questi è di avere più coppie di vettorix1,y1, x2, y2 e così via e scrivere l’istruzione plot(x1,y1,x2,y2, ...) Un altro modo è di sovrascriverei grafici l’uno sull’altro mediante il comando hold on Abbinato è poi il comando hold off che chiude ilprocesso.Vediamo degli esempi>> x1=[0, 0.1 , 0.2, 0.3, 0.4, 0.5];>> y1=sin(x1);>> x2=[-0.5, -0.2 0.2 0.5];>> y2=cos(x2);>> plot(x1,y1,x2,y2)Si faccia poi>> plot(x1,y1) % il grafico precedente non c’e’ piu’ ma si crea questo>> hold on>> plot(x2,y2)>> hold offPer esercizio si provino i comandi precedenti. La figura generata nel primo caso mostra le due curve dicolore diverso, mentre nel secondo caso le curve hanno lo stesso colore.31

1. INTRODUZIONEFigura 1.7:y=sin(x).Esempio di uso della function plot con x=[0, 0.1 , 0.2, 0.3, 0.4, 0.5] ePer cambiare colore e tipo di linea della curva, oppure fare un grafico per punti, si possono fare le modifichedirettamente dal menu che si presenta sulla finestra del grafico oppure tramite comandi in linea.Vediamo questi ultimi (comuni ad Octave).L’istruzione plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2, ...) dove s1, s2, ... sono delle stringhe di caratteri (da scriveretra apici, quindi) permette di cambiare colore, linea o punto della curva.Esempi: plot(x,y,’g:’) produce il grafico in cui la curva è di colore verde (green) e la curva è a puntini.plot(x,y,’r-.’) dà come risultato una curva di colore rosso con linea fatta a tratteggio del tipo ’-.-.-.’.plot(x,y,’yo’) produce una curva dove i punti non sono legati tra loro mediante una linea ma è per punti,ciascuno dei quali ha la forma di un cerchietto (’o’) mentre il colore è giallo (yellow)plot(x,y,’c--*’) combina la linea di tipo tratteggio ’–’ con i punti a forma di asterisco ’*’ mentre il colore è ilceleste (cyan). Per vedere tutti i colori, punti e linee a disposizione basta fare help plot dalla CommandWindow.Altri comandi utili sonoG inserire un titolo al grafico, mediante la function title.Esempio: title (’grafico di prova’)G inserire una descrizione sull’asse delle x (e delle y) mediante la function xlabel (ylabel).Esempio: xlabel(’iterazioni’), ylabel(’scarti’);G Inserire una legenda mediante la function legend.Esempio: abbiamo fatto un grafico con l’istruzione plot(x,y1,x,y2) dove y1 corrisponde aduna certa funzione f mentre y2 corrisponde ad una certa funzione g . Con l’istruzionelegend(’funz f’, ’funz g’) sul grafico compare la legenda che abbiamo scritto unita al tipo di lineao punti associati a quel vettore.G inserire una griglia di fondo al grafico o toglierla, mediante il comando gridEsempio: grid on introduce linee di griglia; grid off le toglie.Per ciaascuno di queste function fare delle prove e controllare l’help in linea.Negli esempi fatti, tuttavia, abbiamo creato dei vettori di lunghezza molto ridotta. Se avevamo in mentedi fare il grafico della funzione sin(x) o cos(x), il risultato che abbiamo avuto è stato molto povero perchè32

1.9. Strutture e cicliavevamo pochi punti a disposizione. Potevamo certamente usare le function ezplot o fplot per questoscopo, ma poiché stiamo imparando ad usare MATLAB® ci conviene prendere spunto da questa occasioneper imparare qualcosa in più sui vettori.Nel fare il grafico semilogaritmico, abbiamo visto un modo per creare un vettore, mediante l’istruzione[1:1: iter ].L’istruzione x=[x0: incr: xf] produce un vettore che ha come valore iniziale x0 e come valore finale xfe le altre componenti sono date a partire da x0 con incremento dato dal valore incr: x0, x0+incr,x0+2incr, ...., xf. Con questa istruzione possiamo creare dei vettori che hanno molte componentisenza doverle scrivere a mano. Per vedere la lunghezza del vettore, basta scrivere il comando size(x) (chepuó essere applicato anche a matrici) : restituisce il numero di righe e di colonne della variabile x. Si puòanche usare l’istruzione length(x) che restituisce, invece, la lunghezza del vettore.>> x=[0:0.1:1]x =Columns 1 through 60 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000Columns 7 through 110.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000>> size(x)ans =1 11>> length(x)ans =11Un altro modo di creare vettori è dato dalla function linspace, il cui uso è il seguente: x=linspace(a,b);crea, di default, un vettore (in questo caso x) che ha 100 componenti,con valori equidistanti a partire da aper finire a b: quindi il vettore ha come prima componente a, poi a + (b-a)/99, ..., fino ad arrivare allacentesima componente che vale b. Si applica la formula x i = x 1 + (i − 1)h, per i = 2,3,...,100 , dove x 1 = a eh = b − a99 (in tal modo: x 2 = x 1 + h; x 3 = x 1 + 2h = x 2 + h, fino ad arrivare a x 100 = x 1 + 99h = a + (b − a) = b.Se vogliamo un vettore con un certo numero n di punti equidistanti tra a e b, si scrive l’istruzionex=linspace(a,b,n);A questo punto, vediamo anche un altro modo per creare dei vettori, utilizzando un ciclo che nonabbiamo visto fino ad ora, e che prende il nome di ciclo for.1.9.3 Ciclo forIl ciclo for è strutturato nel modo seguente33

1. INTRODUZIONECiclo forfor ind= v a l i n i z : incr : v a l f i n{ i s t r u z i o n i }endUn esempio di ciclo for per creare un vettore di 11 elementi con componenti equidistanti tra 0 e 1 puòessere il seguentex ( 1 ) = 0 ;for i =2:11x ( i )= x ( i −1)+0.1;endOsserviamo che usare un ciclo for per creare vettori non è conveniente nè ottimale. Questo non vuol direche non lo useremo mai e che possiamo dimenticarci che esiste! Dobbiamo solo prestare molta attenzionequando lo usiamo e usarlo solo quando effettivamente serve!!!!Vediamo un esempio, in cui misuriamo il tempo che impiega MATLAB® per creare un vettore di lunghezzan con n grande, usando la forma compatta x=[x0:incr:xn], la function linspace e il ciclofor.Per misurare il tempo che impiega ciascuno procedimento, applichiamo due functions di MATLAB® tice toc che sono da usare combinate insieme perché permettono di misurare il tempo per effettuare leistruzioni che si trovano nel mezzo.Scriviamo uno script allo scopo di creare un vettore x di lunghezza n=100001 tra a=0 e a=1 applicando1i diversi approcci che abbiamo visto. La distanza tra due componenti del vettore è data da h =100000 = 10−5 .cleart i cx = [ 0 : 1 . e − 5 : 1 ] ;tocdisp (’lunghezza vettore’)disp ( length ( x ) )clear xt i cx=linspace (0 ,1 ,100001);tocdisp (’lunghezza vettore’)disp ( length ( x ) )clear xt i cx ( 1 ) = 0 ;for i =2:100001x ( i )= x ( i −1)+1.e−5;endtocdisp (’lunghezza vettore’)disp ( length ( x ) )Eseguiamo questo script (salviamolo prima dandogli un nome con l’estesione .m,confrontotictoc.m). In MATLAB® otteniamo>> confrontotictocElapsed time is 0.000631 seconds.lunghezza vettore100001in questo caso34

1.9. Strutture e cicliElapsed time is 0.003618 seconds.lunghezza vettore100001Elapsed time is 0.058935 seconds.lunghezza vettore100001Vediamo cosa succede in ambiente Octave:octave:3> confrontotictocElapsed time is 2.90871e-05 seconds.lunghezza vettore100001Elapsed time is 0.001910925 seconds.lunghezza vettore100001Elapsed time is 1.404992 seconds.lunghezza vettore100001Come possiamo osservare dai risultati, il primo approccio per scrivere i vettori è quello che vadecisamente meglio.1.9.4 Introduzione a file di scrittura datiRiprendiamo a studiare lo schema di punto fisso e i risultati ottenuti. Immaginiamo di volerli stamparesu un file per poterli studiare ed esaminare con calma. La function pfisso ci ha dato dei vettori, noi abbiamofatto il grafico di convergenza. Ora vogliamo salvare, per ogni iterazione, i valori delle approssimazioni,degli scarti e delle stime asint1 e asint2 inserendoli in una tabella con una riga di intestazione in cuiscriviamo il significato della colonna corrispondente. Vediamo un modo compatto per fare tutto ciò. Creiamouna matrice in cui ciascuna riga corrisponde a ciò che vogliamo mettere in tabella: la prima riga avrà leiterazioni fatte, la seconda i valori approssimati, la terza gli scarti, la quarta le stime asint1 e la quinta lestime asint2. La matrice deve avere lo stesso numero di colonne, quindi dobbiamo stare attenti al fatto chealcuni vettori hanno come prima componente un valore che corrisponde all’iterazione 0.Per scrivere su un file di testo, dobbiamo aprire da MATLAB® un file e dare ad esso un nome: ciò vienefatto con la function fopen: questa function ha come parametri il nome del file su cui andremo a scriverei dati, scritto tra apici, e aggiungeremo poi dei permessi (ad esempio ’r’ per file di sola lettura, ’w’ per file discrittura,... si faccia help fopen). L’output della function è una variabile scalare di tipo intero, a cui diamonome fid (file identifier). Questa variabile sarà usata come identificatore del file su cui dobbiamo andarea scrivere mediante la function fprintf. Una volta che si è scritto, si chiude il file mediante la functionfclose, scrivendo semplicemnte fclose(fid).La function fprintf permette di scrivere su un file utilizzando un certo formato. Ciò che diciamo adessoserve in maniera analoga per la function sprintf che permette di scrivere con un certo tipo di formato sullaCommand Window.I dati di input di fprintf sono la variabile fid, alcune istruzioni che riguardano il formato, da scriveretra apici, e una o più matrici. Se, si pone fid=1 l’output sarà lo schermo della Command Window. Quindil’istruzione da dare è fprintf(fid, ’formato’, A, B, ...) con A,B matrici o array (un array puòessere un vettore o una matrice fatta di numeri o di stringhe di caratteri). Bisogna prestare attenzione al fattoche la scrittura avviene colonna per colonna, (vengono letti gli elementi della prima colonna, poi gli elementidella seconda colonna, ...).Il formato è una stringa di caratteri da scrivere tra apici che possono avere diversi significati: c’è il formatoassociato al tipo di rappresentazione della variabile (se in formato esponenziale, fisso, di tipo intero, di stringa35

1. INTRODUZIONEdi caratteri...) che si scrive nella forma %e (formato esponenziale) o %12.6e (formato esponenziale cui sonoriservati 12 spazi di cui 6 per la mantissa)...; ci sono i caratteri che hanno il significato di riga bianca, andarea capo, ... che sono preceduti dal simbolo \ ( \n, nuova linea, \r andare a capo,...); ci possono essere stringhedi caratteri. In tabella vediamo i principali simboli che ci interessano.formatoSignificato%s stringhe di caratteri%d formato intero%f formato decimale in virgola fissa%e formato esponenziale (del tipo 3.5e + 00)%E formato esponenziale (del tipo 3.5E + 00)%g formato che è una via di mezzo tra %f e %e senza gli zeri che non servono\ n nuova linea (il risultato è come schiacciare il tasto di invio)\ r per andare a capo\\ \” ’Il significato associato a \ n è molto importante, perchè permette di andare a capo ogni volta che è stataletta una riga, altrimenti viene scritta solo una riga sul file, lunghissima a seconda del contenuto da scrivere!Al formato che specifica il valore di una variabile numerica può essere aggiunto il numero dei caratteri dautilizzare per rappresentare la variabile: oltre all’esempio visto prima %12.6e, possiamo vedere %10d : sonoriservati 10 caratteri ad una variabile di tipo intero.Vediamo degli esempi per capire meglio. Scriviamo ed eseguiamo i seguenti script.f i d =fopen (’fileprova.txt’ , ’w’)x =10.5;f p r i n t f ( fid , ’Ho scritto questo numero %f’ , x ) ;s p r i n t f (’Ho scritto questo numero %f’ , x )f c l o s e ( f i d ) ;Se eseguiamo questo script, sulla Command Window, compare quanto richiesto dalla function sprintf,cioè Ho scritto questo numero 10.500000 (associato ad una variabile ans) mentre nella directoryin cui stiamo lavorando in MATLAB® , troveremo il file fileprova.txt. Se lo apriamo con un editordi testo troveremo Ho scritto questo numero 10.500000.Proviamo a voler stampare più elementi sulla stessa riga. Introduciamo un vettore.f i d =fopen (’fileprova.txt’ , ’w’)a=12;b=2;c=a*b ;f p r i n t f ( fid , ’il prodotto di %g per %g da’’ %g \n’ , [ a b c ] ) ;f c l o s e ( f i d )Questa volta sul file fileprova.txt troviamo (al posto della frase precedente, abbiamo sovrascritto!), lariga il prodotto di 12 per 2 da’ 24.Consideriamo ora sia un vettore sia una stringa di caratteri. Questa volta usiamo la function sprintf.stringa=’numeri reali’ ;vettore =[1.1 1.2 1.3 1 . 4 ] ;s p r i n t f (’%2g %2g %2g e %2g sono %s \n’ , vettore , stringa )Otteniamo: 0.1 0.2 0.3 e 0.4 sono reali.Se vogliamo visualizzare una matrice, dobbiamo tener conto del fatto che la lettura viene fatta sugli elementidi ogni colonna e, se andiamo a capo, questi elementi vengono disposti su riga. Perciò, se vogliamovisualizzare la matrice in modo corretto dobbiamo lavorare sulla sua trasposta e scrivere il formato per ciascunelemento di colonna della trasposta (o di riga della matrice di partenza). Vediamo con degli esempi(il primo uso di sprintf non è corretto perchè non abbiamo la matrice A che scriviamo, nel secondo caso ilrisultato è quello giusto).36

1.9. Strutture e cicli>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]A =1 2 34 5 67 8 9>> sprintf( ’ %g %g %g \n’, A)ans =1 4 72 5 83 6 9>> sprintf( ’ %g %g %g \n’, A’)ans =1 2 34 5 67 8 9Vediamo cosa succede con matrici rettangolari.>> A=[ 1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]A =1 2 3 45 6 7 89 10 11 12>> sprintf( ’ %2d %2d %2d %2d \n’, A’)ans =1 2 3 45 6 7 89 10 11 12In questo caso, dobbiamo visualizzare quattro elementi per riga, e difatti abbiamo scritto quattro formati(%2d). Se proviamo a scrivere togliendo delle informazioni sul formato o applicando la function alla matriceA e non alla sua trasposta, abbiamo risultati scorretti.>> sprintf( ’ %2d %2d %2d %2d \n’, A)ans =1 5 9 26 10 3 711 4 8 1237

1. INTRODUZIONE>> sprintf( ’ %2d %2d %2d \n’, A)ans =1 5 92 6 103 7 114 8 12>> sprintf( ’ %2d %2d %2d \n’, A’)ans =1 2 34 5 67 8 910 11 12Provare a fare altri esempi.Torniamo allora alla visualizzazione dei risultati dello schema di punto fisso. Ci interessano i dati dallaprima all’ultima iterazione, ma alcuni vettori hanno anche delle informazioni sull’iterazione zero. Inoltre,siccome noi vogliamo scrivere una tabellina, dove ciascuna colonna ha il significato di iterazioni, approssimazioni,scarto, etc.... conviene scrivere ciascuno di questi vettori come righe della matrice in modo che poi,senza fare la trasposta, la function fprintf ci mette quelle righe in colonna facendo la trasposta. In tal mododobbiamo scrivere il formato solo per il generico elemento di ciascuno vettore e non per tutti gli elementidei vettori (5 formati e non in numero che corrisponde al numero delle iterazioni).Lo script da eseguire dopo la function pfisso è il seguente (che abbiamo chiamato salvadati.m. Loscript tiene conto che i vettori in uscita dalla pfisso sono dei vettori riga.f i d =fopen (’rispfisso.txt’ ,’w’ ) ;f p r i n t f ( fid ,’%5s %12s %12s %12s %12s \n’ , ’iter’ , ’x’ , ’scarto’ ,’asint1’ ,’asint2’)f p r i n t f ( fid , ’\n%5d %12.8e ’ , [0 x ( 1 ) ] ) ; %stampiamo i l valore i n i z i a l e x0i t = [ 1 : 1 : i t e r ] ; %creo i l v e t t o r e d e l l e i t e r a z i o n iA=[ i t ; x ( 2 : length ( x ) ) ; scarto ; asint1 ; asint2 ( 2 : length ( asint2 ) ) ] ;% la prima riga e ’ data dal v e t t o r e i t% la seconda riga da x , . . .% non consideriamo la prima componente dei% v e t t o r e x e asint2 che corrispondono a x0f p r i n t f ( fid , ’\n%5d %12.8e %12.8e %12.8e %12.8e ’ , A ) ; %stampa la matrice A% in modo traspostof c l o s e ( f i d ) ;Applichiamo questo script una volta eseguita la function pfisso per approssimare il punto fisso dellafunzione g (x) = cos(x) partendo da x 0 = 0.1 con una tolleranza tol = 1.e − 10. Viene generato il filerispfisso.txt. Vediamo come è fatto (togliendo diverse righe centrali in modo da vedere l’inizio e lafine).iter x scarto asint1 asint20 1.00000000e-011 9.95004165e-01 8.95004165e-01 4.47502083e+09 8.38761234e-012 5.44499396e-01 4.50504769e-01 5.03354942e-01 5.17989945e-013 8.55386706e-01 3.10887310e-01 6.90086612e-01 7.54824623e-014 6.55926664e-01 1.99460042e-01 6.41583094e-01 6.09893870e-015 7.92483102e-01 1.36556438e-01 6.84630549e-01 7.12098800e-016 7.02079268e-01 9.04038340e-02 6.62025424e-01 6.45806605e-0138

1.9. Strutture e cicli7 7.63501034e-01 6.14217657e-02 6.79415496e-01 6.91454893e-018 7.22419636e-01 4.10813975e-02 6.68841037e-01 6.61201836e-01.............................................................53 7.39085134e-01 7.81694154e-10 6.73612013e-01 6.73612029e-0154 7.39085133e-01 5.26558575e-10 6.73612016e-01 6.73612029e-0155 7.39085133e-01 3.54696161e-10 6.73611975e-01 6.73612029e-0156 7.39085133e-01 2.38927544e-10 6.73611870e-01 6.73612029e-0157 7.39085133e-01 1.60944480e-10 6.73612079e-01 6.73612029e-0158 7.39085133e-01 1.08414167e-10 6.73612208e-01 6.73612029e-0159 7.39085133e-01 7.30291383e-11 6.73612505e-01 6.73612029e-01Attenzione! Osserviamo ancora due elementi sulle function di punto fisso che abbiamo scritto.G Nella function pfisso abbiamo operato con dei vettori. Il primo elemento del vettore x e delvettore scarto li abbiamo assegnati con l’istruzione x=x0; scarto=2*toll; Avremmo potuto anchescrivere x(1)=x0; scarto(1)=2*toll; Nel primo caso ( x=x0;) è come se partissimo da una variabilescalare e poi dicessimo ”creiamo un vettore“, anche se in realtà sappiamo che creeremo unvettore e che quella è la prima componente. Nel secondo caso diciamo in maniera esplicita chestiamo creando un vettore e che quella è la prima componente.G Le function di punto fisso che abbiamo scritto sono pensate per il caso generale di schema conordine di convergenza p = 1 (convergenza lineare). Se lo schema di punto fisso ha ordine diconvergenza maggiore, le stime delle costanti asintotiche non vanno più bene (che risultati cidaranno?). Dagli scarti, tuttavia, e dal grafico di convergenza otteniamo informazioni utili per laconvergenza.Esercizio 1.9.3 Applicare lo schema di punto fisso alle seguenti funzioni g (x). Per ciascun caso, fare ungrafico di convergenza semilogaritmico e stampare i risultati in un file. Dai risultati capire se c’è convergenzalineare oppure no. In caso contrario, cosa si può fare per stabilire l’ordine di convergenza? (1) sipossono considerare le derivate successive della g e valutarle nell’approssimazione di punto fisso ricavataall’ultima approssimazione – quali derivate e quando mi posso fermare in questo procedimento?; (2) si facciail rapporto tra gli scarti tra due iterazioni successive |x k+1 − x k |con p > 1 (cosa si deve osservare perp|x k − x k−1 |dire che un certo p è l’ordine di convergenza?).Ai fini dell’implementazione, ricordarsi di scrivere le function, in particolare la derivata prima, in formavettorizzata per poterle valutare su vettori – quindi .ˆ .* ./G g (x) = 3x + 22x + 3 , x 0 = 0.5, tol l = 1.e − 12, i tmax = 100.G g (x) = −ln(3 − x 2 ), x 0 = 0.1, tol l = 1.e − 12, i tmax = 100.G g (x) = x2 + 42x , x 0 = 0.5, tol l = 1.e − 12, i tmax = 100.1.9.5 Modificare le function di punto fisso per creare nuove functionLe function di punto fisso che abbiamo scritto possono essere usate come base per creare function in cuiapplichiamo altri metodi iterativi, come quello di Newton-Raphson e della secante variabile.39

1. INTRODUZIONEQuali saranno le differenze? Per lo schema di Newton-Raphson,x k+1 = x k − f (x k)f ′ (x k )abbiamo bisogno non solo della funzione f ma anche della sua derivata prima f ′ . Inoltre, per stimare lacostante asintotica di convergenza, nel caso generale di convergenza quadratica, dobbiamo ricordarci cheabbiamo due modi possibili da usare, il rapporto tra gli scarti d k+1d 2 (dove d k+1 = |x k+1 − x k |), e il rapportok| f ′′ (x k+1 )2f ′ (x k+1 ) |.Quindi, tra le variabili di input della function, dovremo inserire non solo la funzione f ma anche le suederivate prima e seconda.Il resto dello schema sarà simile a quello visto per il punto fisso. Al posto della formula iterativa dello schemadi punto fisso, metteremo la formula iterativa dello schema di Newton-Raphson. Al posto delle formuleusate per le variabili asint1 e asint2 useremo le analoghe formule dello schema di Newton-Raphson.Perciò, modificare le function pfisso0.m e pfisso.m per creare le newton0.m e newton.m noncomporta chissà quali difficoltà.Maggiore attenzione invece bisogna prestare per creare le function sul metodo della secante variabile.Infatti, oltre alla f , f ′ e f ′′ , (f ′ e f ′′ servono per stimare la costante asintotica) sappiamo che lo schema parteda due approssimazioni iniziali, x 0 e x 1 , quindi tra le variabili di input bisogna aggiungere anche x 1 .Lo schema della secante variabile e le stime della costante asintotica sono date mediante le formulex k+1 = x k − f (x k)(x k − x k−1 )f (x k ) − f (x k−1 )d k+1d 1.618kf ′′ (x k+1|2f ′ (x k+1 ) |0.618Nello schema da implementare, la difficoltà non si ha nelle formule per asint1 e asint2 quanto nellavorare usando le approssimazioni x k e x k−1 e aggiornarle nel modo corretto, quando si implementa laformula lavorando con variabili scalari (quindi nella function rfalsi0.m).Partiamo da due variabili x 0 e x 1 : al primo passo queste due variabili saranno per noi xkm e xk (l’approssimazionex k−1 e x k rispettivamente). La variabile iter non parte dal valore 0 ma da 1 avendo anchel’approssimazione x 1 . Alla variabile scartokp1 possiamo dare il valore giusto dello scarto (abs(x1-x0))mentre il valore da dare alla variabile scartok sarà, la prima volta, un valore fittizio (diverso da zero) cheserve per calcolare asint1 al primo passo.Quando dobbiamo applicare la formula del metodo, per semplificare le cose, conviene introdurre unavariabile di appoggio, che possiamo chiamare c, cui assegniamo il valore del rapporto incrementalec= ( f e v a l ( fun , xk)− f eval ( fun ,xkm) ) / ( xk−xkm ) ;xkp1= xk −f eval ( fun , xk ) / c ;Una volta valutato il nuovo scarto scartokp1, e fatta una stima della costante asintotica medianteasint1 e asint2, bisogna aggiornare le variabili da utilizzare al passo successivo.Qui bisogna fare attenzione:Iterazione x k−1 x k x k+11 x0 x12 x0 x1 xkp=x 23 x1 x 2 xkp=x 34 x 2 x 3 xkp=x 4....Quando dobbiamo passare dall’iterazione 2 all’iterazione 3, x1 non dovrà più avere il significato di x kma quello di x k−1 , mentre il valore che abbiamo appena ottenuto xkp=x 2 dovrà passare al significato di x k .40

1.9. Strutture e cicliL’aggiornamento delle variabili deve essere fatto sapendo quello che si fa, altrimenti c’è il rischio di perdere ilcontenuto di alcune variabili.Le istruzioni da fare per l’aggiornamento quali sono?xk=xkm;xk=xkp1 ;oppurexkm=xk ;xk=xkp1 ;oppurexk=xkp1 ;xkm=xk ;oppure .... ?Immaginiamo di avere tre variabili, a, b e c dove a = 1, b = 2 e c = 3. Vogliamo poi che sia a = 2e b = 3:come facciamo lavorando sulle variabili? Questo è quello che dobbiamo fare nella function rfalsi0.m.Osserviamo che in queste function in versione 0, la stima delle costanti asintotiche viene sempre sovrascrittae i valori intermedi vengono persi. Avrebbe più senso scriverli su un file di dati, in modo da non perderli,oppure valutarli solo alla fine. Tuttavia, poichè useremo quasi sempre le function con l’implementazionefatta con vettori, trascuriamo questo particolare.Nella function rfalsi.m, invece, l’implementazione del metodo è molto più semplice, perchè partiamoponendo x(1)=x0 e x(2)=x1 e appplicheremo la formula considerando i vettori. Qui il contatore delleiterazioni, partirà da iter=2, in modo da avere concordanza con i vettori che creiamo. Alla fine, torneremo alvettore degli scarti che parte dall’iterazione corrispondente a x 1 , e toglieremo al contatore un’unità (quelloche è stato fatto anche con lo schema di punto fisso) in modo da avere vettori con lo stesso significato rispettoa quanto fatto con lo schema di punto fisso e di Newton-Raphson.Una volta scritte queste function possiamo confrontare i metodi di Newton-Raphson e della secante variabile,facendo ad esempio un grafico di convergenza semilogaritmico (ovviamente sulla stessa equazionef (x) = 0). Conviene, a tal fine, eseguire le due function dando nomi diversi per le variabili di output e inparticolare per la variabile delle iterazioni e quella del vettore scarto. Supponiamo di chiamare con itnr escartonr le variabili corrispondenti a iter e scarto rispettivamente nello schema di Newton-Raphson,mentre chiamiamo con itrf e scartorf quelle relative allo schema della secante variabile.Possiamo fare il grafico semilogaritmico in questo modo.semilogy ( [ 1 : 1 : i t n r ] , scartonr , [ 1 : 1 : i t r f ] , s c a r t o r f )legend (’Newton-Raphson’ , ’Regula Falsi’)xlabel (’iterazioni’)ylabel (’scarti’)t i t l e (’Grafico di convergenza’)print −djpeg g r afico . jpgAll’interno dell’istruzione per fare il grafico semilogaritmico abbiamo creato i vettori [1:1:itnr] e[1:1:itrf]. La function legend permette di distinguere le due curve (a quale metodo si riferiscono);poi ci sono le etichette sui due assi e un titolo. Infine abbiamo usato un comando che permette direttamentedi salvare in formato .jpg la figura creata utilizzando la function print dopo abbiamo scritto -d seguito dajpg per specificare il tipo di file e infine il nome del file che vogliamo creare. Quest’ultimo comando è moltoutile in Octave oppure se vogliamo salvare delle figure tramite uno script o dalla Command Window.Supponiamo di voler fare diverse figure e di volerle vedere contemporaneamente senza sovrascriverle. Unmodo per risolvere questo problema è di creare più figure attraverso la function figure. Capiamo con unesempio a cosa serve:figure ( 1 )ezplot (@cos , [ 0 , 2 ] )x = 0 : 0 . 1 : 2 ;y=cos ( x ) ;41

1. INTRODUZIONEfigure ( 2 )plot ( x , y )Se vogliamo salvare le due figure dalla Command Window (o da uno script) si riattiva la figura da salvaremediante la function figure e si salva la figura.figure ( 1 )print −djpegfigure ( 2 )print −djpegf i g 1 . jpgf i g 2 . jpg42

CAPITOLO 2Su interpolazione e approssimazioneLo scienziato descrive ciò che esiste,l’ingegnere crea ciò che non era maistato.Theodore von Kármán (1881-1963)2.1 Interpolazione monomiale e con i polinomi di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2 Interpolazione con la tabella delle differenze divise di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3 Interpolazione lineare a tratti e spline cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.1 Interpolazione lineare a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4 Curve parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.4.1 Il ciclo switch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5 Approssimazione di dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5.1 Retta di regressione sugli scarti verticali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5.2 Modello potenza e modello esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.5.3 Caricare i dati di input da file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Per interpolare n + 1 coppie di punti (x i , y i ), in MATLAB® esiste una function, chiamata polyfit. Lafunction polyfit ha come dati di input tre variabili, il vettore x che contiene le ascisse dei dati da interpolare,il vettore y che contiene le ordinate dei dati da interpolare e infine l’intero n del grado del polinomio diinterpolazione. In output, si ottiene il vettore p, di lunghezza n+1, che contiene i coefficienti del polinomio digrado n, dal coefficiente corrispondente al grado n fino ad arrivare al coefficiente corrispondente al grado 0.Quindi p=(p n , p n−1 , p n−2 ,..., p 0 ), tale che il polinomio di interpolazione sia p n (x) = p 0 +p 1 x+p 2 x 2 +... p n x n .L’algoritmo della function polyval è basato su un procedimento ai minimi quadrati (che studieremo conl’approssimazione). Difatti, la function polyval ci servirà anche per approssimare dei dati. Nel casodell’interpolazione, la funzione genera la matrice di Vandermonde.Una volta ottenuto il vettore p dalla polyfit, per poter valutare il polinomio di interpolazione si puòusare un’altra function di MATLAB® chiamata polyval che ha come parametri di input il vettore p deicoefficienti del polinomio da valutare (in ordine decrescente) e il punto (o vettore o matrice) xval in cuivalutare il polinomio. La funzione, infatti, è vettoriale: può restituire il valore del polinomio valutato in unpunto o in un vettore o in una matrice.Vediamo un esempio. Siano date le coppie di punti da interpolare (0,1), (1,0) e (2,2). Costruiamo i vettorix=[0,1,2] e y=[ 1,0,2]. Il grado del polinomio di interpolazione è n = 2. Quindi>> x=[0 1 2];>> y=[1 0 2];>> p=polyfit(x,y,2)p =43

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE1.5000 -2.5000 1.0000Il vettore p che abbiamo ottenuto ci permette di dire che il polinomio di interpolazione è dato da p 2 (x) =1.5x 2 −2.5x−1 = 1−2.5x+1.5x 2 (lo abbiamo scritto in due modi equivalenti). Valutiamo ora questo polinomioproprio nelle ascisse di interpolazione, per verificare che la condizione di interpolazione è verificata. Usiamola function polyval.>> y1=polyval(p,x)y1 =1.0000 -0.0000 2.0000Se proviamo a vedere l’errore assoluto commesso,>> y-y1ans =1.0e-15 *0.222044604925031 0.444089209850063 0.222044604925031ci accorgiamo che l’errore è dell’ordine di 10 −15 . In questo caso non andiamo a vedere l’errore relativoperchè una delle ordinate di interpolazione vale 0.2.1 Interpolazione monomiale e con i polinomi di LagrangeProviamo ora a scrivere noi due function per interpolare n +1 coppie di dati. In particolare scriviamo unafunction che applica il procedimento di interpolazione con funzioni base monomiali: dovremo dunque risolvereun sistema di n +1 equazioni in n +1 incognite in cui la matrice del sistema è la matrice di Vandermonde(e chiederemo a MATLAB® di risolverci il sistema). Successivamente scriveremo una function che applica ilprocedimento di interpolazione di Lagrange.La prima function la chiamiamo interpmonom.m (per interpolazione monomiale). Eseguiremo iseguenti passaggi:G i due vettori x e y, che contengono, rispettivamente, le ascisse e le ordinate da interpolare, vogliamoche siano dei vettori colonna. In input, però, potrebbero essere dati come vettori riga. Quindi usiamoil comando x=x(:); e y=y(:); per renderli colonna. Se sono già vettori colonna, queste dueistruzioni non alterano i vettori;G controlliamo, con un ciclo if se i due vettori hanno la stessa lunghezza: se hanno lunghezza diversanon ha senso procedere con la function e si esce dando un messaggio di errore (si veda l’uso di error:stampa il messaggio di errore, che scriviamo noi, e interrompe l’esecuzione della function);G il grado del polinomio che dobbiamo costruire deve essere di grado n se in ingresso sono state daten + 1 coppie di punti. Poniamo perchiò pari a n il valore della lunghezza del vettore x meno uno;G inizializziamo la matrice di Vandermonde, V, come una matrice di tutti uno, usando la function diMATLAB® ones; la matrice di Vandermonde deve avere n + 1 righe e n + 1 colonne perchè sono n + 1 icoefficienti da determinare;44G A questo punto, ricordiamo come è fatta la matrice V .⎛1 x 0 x0 2 ... x n ⎞01 x 1 x1 2 ... x n 1V =1 x 2 x 2 2... x2n ⎜⎝...⎟. ⎠1 x n xn 2 ... xnn

2.1. Interpolazione monomiale e con i polinomi di LagrangeLa prima colonna ha tutti uno, la seconda colonna ha il vettore x, la terza colonna ha il vettore con lepotenze al quadrato di x e così via. Possiamo scrivere la matrice in modo ricorsivo tenendo presenteche ogni colonna è uguale alla precedente moltiplicata, componente per componente, per il vettore x.Ora, la prima colonna ha già gli elementi tutti uguali a uno, perciò applichiamo un ciclo for per scriverele colonne successive.for i : 2 : n+1V ( : , i )= x . * V ( : , i −1);endOgni colonna è il risultato del prodotto, componente per componente (.*) del vettore x con la colonnaprecedente;G una volta creata la matrice usiamo una function di MATLAB® che ci permette di risolvere il sistema diequazioni lineari in cui la matrice del sistema è V mentre il vettore dei termini noti è il vettore colonnay. L’istruzione p=V\y; ci permette di avere nel vettore p il vettore soluzione del sistema V p = y.G Il vettore ottenuto contiene i coefficienti del polinomio di interpolazione in ordine crescente, cioèp(1) corrisponde al coefficiente di grado 0 e p(n+1) corrisponde al coefficiente che moltiplica x n .Se, successivamente, vogliamo usare la function polyval per poter valutare il polinomio di interpolazione,conviene scrivere il vettore con i coefficienti in ordine decrescente. Facciamo questo con l’istruzionep=p(n+1:−1:1); che legge il vettore p dall’ultima alla prima componente, partendo dall’indicen+1 e andando indietro con passo -1, e riassegna il vettore dato in questo ordine alla stessa variabile.G La function ha come parametri di output sia il vettore p, sia la matrice di Vandermonde V. Se, tuttavia,scriviamo (in uno script o nella Command Window) p=interpmonom(x,y) in uscita abbiamosolo il vettore p. Impariamo, infatti, questa importante caratteristica delle function in MATLAB® . Seuna function ha più di una variabile di output – supponiamo m - e se eseguiamo la function con unalista di variabili di output inferiore a quella che c’è nella definizione della function, per esempio r ,MATLAB® restituisce solo le prime r variabili di output.Vediamo, dunque, la function interpmonom.mfunction [p , V]=interpmonom( x , y )% interpolazione monomiale% dati i v a l o r i x e y da interpolare s i c o s t r u i s c e i l v e t t o r e p% dei c o e f f i c i e n t i del polinomio di interpolazione% applicando i l metodo dei c o e f f i c i e n t i indeterminati% Esempio% x=[0 1 2 ] ;% y =[1 0 2 ] ;% [ p , V]=interpmonom ( x , y )% p =%% 1.5000% −2.5000% 1.0000%% V =%% 1 0 0% 1 1 1% 1 2 4%x=x ( : ) ; %con questo comando rendiamo i l v e t t o r e come v e t t o r e colonna%nel caso in cui s i a s t a t o gia ’ dato come v e t t o r e colonna%l ’ i s t r u z i o n e non cambia i l v e t t o r ey=y ( : ) ;i f length ( x)~= length ( y )error (’MATLAB:interpmonom’ ,’errori sui dati’ )end45

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONEn=length ( x ) −1; % i v e t t o r i x y hanno n+1 componenti e i l polinomio% di interpolazione sara ’ di grado nV=ones (n+1 ,n+ 1 ) ; %crea la matrice V di t u t t i uno%i n i z i a l i z z a z i o n e della matrice V% in questo modo la prima colonna ha gia ’% g l i elementi t u t t i uguali a unofor i =2:n+1V ( : , i )= x . * V ( : , i −1); %ogni colonna ha g l i elementi del tipo% x_j ^( i −1). Si possono vedere anche% come i l prodtto di x_j per i l corrispondente% elemento della colonna precedenteendp=V\y ;% i l v e t t o r e p contiene i c o e f f i c i e n t i del polinomio i n t e r p o l a t o r e% in ordine c r e s c e n t e − p0 p1 p2 . . .% se vogliamo usare la function del MATLAB polyval per valutare% t a l e polinomio in piu ’ punti , dobbiamo porre l e componenti% del v e t t o r e p in ordine decrescentep=p(n+1: −1:1);endOra possiamo provare a eseguire questa function e vedere cosa succede con l’esempio che abbiamo vistoprima>> x=[0 1 2];>> y=[1 0 2];>> [p, V]=interpmonom(x,y)p =1.5000-2.50001.0000V =1 0 01 1 11 2 4>> y1=polyval(p,x)y1 =>> y1-yans =1 0 20 0 0Anche questa volta, valutiamo il polinomio di interpolazione nei nodi di interpolazione e l’errore valeesattamente zero.46

2.1. Interpolazione monomiale e con i polinomi di LagrangePassiamo ora all’interpolazione di Lagrange. Il polinomio di Lagrange si scrive comep n (x) = L 0 (x)y 0 + L 1 (x)y 1 + ...L n (x)y ne ciascun polinomio di Lagrange è dato daL i (x) =n∏j =0j ≠ix − x jx i − x jRispetto al caso precedente, non abbiamo direttamente i coefficienti del polinomio di interpolazione,perchè la scrittura del polinomio è fatta in modo diverso (anche se equivalente nel senso che il polinomiofinale è lo stesso). Perciò dobbiamo pensare ad una function che ci permette di valutare direttamente ilpolinomio nei punti di interesse. A tal fine, dobbiamo essere capaci di valutare i polinomi di Lagrange (inmodo da avere i valori L 0 (x),L 1 (x),...) ,fare i prodotti L i (x)y i e sommare i vari contributi in modo da avere ilvalore del polinomio di interpolazione nel punto x. A tal fine ci serviremo di due function, una che permettedi valutare l’i -simo polinomio di Lagrange L i (x) e l’altra che ci permette di valutare il valore del polinomio diinterpolazione.Chiamiamo con lagrange.m la function che restituisce la funzione L i (x), a seconda dell’indice i assegnato.I dati di input saranno le ascisse di interpolazione, il punto (o il vettore) in cui andare a valutare ilpolinomio di Lagrange, e – da non trascurare – l’indice del polinomio di Lagrange. A tal proposito, consideriamoche, se nella teoria, parliamo di n+1 punti con indice da 0 fino a n (x 0 , x 1 , x 2 ,..., x n ), in MATLAB® l’indice0 corrisponde alla prima componente del vettore, per cui avremo gli indici che vanno da 1 a n + 1.La produttoria della formula del generico i -simo polinomio di Lagrange viene fatta con un ciclo for. Osserviamoche, per fare il prodotto, la variabile viene inizializzata a 1 in modo da poter applicare la formula inmodo ricorsivo.Vediamo un esempio: dobbiamo fare y = ∏ nj =1 (x − x j ). Inizializziamo y = 1; poi facciamo y = y(x − x 1 ) =(x − x 1 ), quindi y = y(x − x 2 ) = (x − x 1 )(x − x 2 ) e così via (mediante un ciclo for) fino all’indice n. Alla fine ysarà proprio il prodotto di tutti i termini indicati nella formula. Nel nostro caso, dobbiamo considerare chepossiamo valutare il polinomio di Lagrange non sono in un valore scalare ma anche in un vettore. Quindicome risultato possiamo avere un vettore. Vediamo dunque la function e leggiamo i commenti per capire ciòche viene fatto.function yval=lagrange ( xval , x , i )% function yval=lagrange ( xval , x , i )% function che calcola i l polinomio i−simo di Lagrange L_i ( xval )% valutandolo in xval ( xval puo ’ e s s e r e uno s c a l are o un v e t t o r e )% x e ’ i l v e t t o r e con i nodi di interpolazione% i e ’ l ’ indice del polinomio di Lagrange% yval=L_i ( xval )% Esempio%>> x=[0 1 2 ] ;%>> xval = 0 . 5 ;%>> yval=lagrange ( xval , x , 1 )% yval =% 0.375000000000000%>> yval=lagrange ( xval , x , 2 )% yval =% 0.750000000000000%>> yval=lagrange ( xval , x , 3 )% yval =% −0.125000000000000%%>> xval=x ;%>> yval=lagrange ( xval , x , 1 )%47

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE%yval =%% 1% 0% 0%xval=xval ( : ) ;m=length ( x ) ;yval=ones ( length ( xval ) , 1 ) ; %inizializziamo a uno l e componenti% di yval in modo da poter f are poi% i l prodotto in modo r i c o r s i v o% yval= ( xval−x0 ) ( xval−x1 ) . . . . . ( xval−xn ) / ( ( xi−x0 ) ( xi−x1 ) . . . . ( xi−xn ) )% dove , tra x0 , x1 , . . . , xn non va considerato xi% un modo c l a s s i c o e ’ usare i l c i c l o f o rfor j =1: i −1yval=yval . * ( xval−x ( j ) ) / ( x ( i ) −x ( j ) ) ;endforendendj = i +1:myval=yval . * ( xval−x ( j ) ) / ( x ( i ) −x ( j ) ) ;Osserviamo che questa function non dipende dalle ordinate dei nodi di interpolazione ma solo dalle ascisse.La function può essere utile, tra le altre cose, per fare il grafico di questi polinomi.Passiamo ora a scrivere la function per ottenere il valore del polinomio di interpolazione di Lagrangein un punto o in un vettore. Poichè il punto (variabile scalare) è un caso particolare di vettore di lunghezzauno, organizziamo la function in modo da valutare il polinomio su vettori. La function, che chiamiamointerlagrange.m è organizzata nel modo seguente:G innanzitutto controlla se le lunghezze dei vettori x e y sono uguali;G il vettore delle ordinate lo si pone come vettore colonna;G si pone uguale a n la lunghezza del vettore x (o y). Sappiamo che il polinomio ha grado di interpolazionen − 1 (ricordiamo la notazione n + 1 punti di interpolazione implica grado n; in questo caso n puntiimplica grado n − 1);G si calcola la lunghezza del vettore xval per vedere in quanti punti dobbiamo valutare il polinomio diinterpolazione;G si inizializza a zero una matrice, A, che ci servirà d’aiuto per costruire il polinomio: questa matrice avràun numero di righe pari alla lunghezza del vettore xval e un numero di colonne pari a n;G a ciascuna colonna di A assegniamo il valore dell’i -simo polinomio di Lagrange valutato nel vettore48xval (perciò n colonne). La matrice A sarà dunque del tipo⎛⎞L 0 (xval(1)) L 1 (xval(1)) ··· L n (xval(1))L 0 (xval(2)) L 1 (xval(2)) ··· L n (xval(2))A =L 0 (xval(3)) L 1 (xval(3)) ··· L n (xval(3))⎜⎝...⎟. ⎠L 0 (xval(m)) L 1 (xval(m)) ··· L n (xval(m))Se la matrice è scritta in questo modo, se facciamo il prodotto di ogni riga per i corrispondenti elementidel vettore y avremo⎛⎞L 0 (xval(1))y 0 + L 1 (xval(1))y 1 + ··· + L n (xval(1))y n⎛⎞L 0 (xval(2))y 0 + L 1 (xval(2))y 1 + ··· + L n (xval(2))y p n (xval(1)n⎜⎝⎟.⎠ = ⎜ p n (xval(2))⎟⎝ ... ⎠L 0 (xval(m))y 0 + L 1 (xval(m))y 1 + ··· + L n (xval(m))y p n n (xval(m))G perciò facciamo il prodotto della matrice A per il vettore y.

2.1. Interpolazione monomiale e con i polinomi di LagrangeVediamo la function.function yval=interplagrange ( xval , x , y )% function yval=interplagrange ( xval , x , y )% dati i v e t t o r i x e y da interpolare% la function fa l ’ interpolazione di Lagrange valutandola% in xval ( che puo ’ e s s e r e un v e t t o r e )% costruiamo la matrice A che ha come colonne g l i i−simi polinomi di Lagrange% v a l u t a t i nel v e t t o r e xval% ciascuna riga j di A contiene dunque L_1 ( xval ( j ) ) L_2 ( xval ( j ) . . . .% i l prodotto di ciascuna riga per i l v e t t o r e colonna y r e s t i t u i s c e quindi% i l valore del polinomio di Lagrange in yval ( j )% Per questo faremo i l prodotto matrice−v e t t o r e% Esempio% >> x = [ 0 , 1 , 2 ] ;% >> y =[1 0 2 ] ;% >> xval = 0 . 5 ;% >> yval=interplagrange ( xval , x , y )%% yval =%% 0.1250% >> yval=interplagrange ( x ( 1 ) , x , y )%% yval =%% 1%% >> yval=interplagrange ( x ( 2 ) , x , y )%% yval =%% 0%% >> yval=interplagrange ( x ( 3 ) , x , y )%% yval =%% 2%%i f length ( x)~= length ( y )error (’MATLAB:lagrange’ ,’x e y non hanno la stessa lunghezza’)endy=y ( : ) ;n=length ( x ) ;% n−1 e ’ i l grado del polinomiom=length ( xval ) ;A=zeros (m, n ) ;A( : , 1 ) = lagrange ( xval , x , 1 ) ;for i =2:nA ( : , i )= lagrange ( xval , x , i ) ;endyval=A* y ;end49

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONEEsercizio 2.1.1 Date le coppie di punti (0,−1), (0.5,0.1), (1,−0.3), (1.2,1.2) e (2,3), fare il grafico del polinomiodi interpolazione nell’intervallo [0,2]. Si faccia uno script in modo da poter scegliere, in input, se usarela function polyfit, o la interpmonom o la interplagrange associando la scelta ad una variabile(per esempio scelta : se scelta==1 applica l’approccio della polyfit, se scelta==2 si usa lainterpmonom, se scelta==3 si applica l’interpolazione di Lagrange). Si valuti il polinomio nel vettorexval=0:0.02:2 e se ne faccia il grafico.2.2 Interpolazione con la tabella delle differenze divise di NewtonProviamo ora a calcolare il polinomio di interpolazione utilizzando le differenze divise di Newton.Ricordiamo che, date n + 1 coppie di punti da interpolare, (x i , f (x i )), i = 0,1,...,n, la tabella delledifferenze divise si costruisce considerando la formulaf [x i ] = f (x i )f [x i ,..., x j ] = f [x i+1,... x j ] − f [x i ,..., x j −1 ]x j − x iPossiamo costruire una tabella nel modo seguente:x i f [·] f [·,·] f [·,·,·] f [·,·,·,·] f [·,·,·,·,·] ···x 0 f (x 0 )f (x 1 ) − f (x 0 )x 1 f (x 1 )x 1 − x 0f (x 2 ) − f (x 1 ) f [x 2 , x 1 ] − f [x 0 , x 1 ]x 2 f (x 2 )x 2 − x 1 x 2 − x 0f (x 3 ) − f (x 2 ) f [x 2 , x 3 ] − f [x 1 , x 2 ] f [x 1 , x 2 , x 3 ] − f [x 0 , x 1 , x 2 ]x 3 f (x 3 )x 3 − x 2 x 3 − x 1 x 3 − x 0f (x 4 ) − f (x 3 ) f [x 3 , x 4 ] − f [x 2 , x 3 ] f [x 2 , x 3 , x 4 ] − f [x 1 , x 2 , x 3 ] f [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] − f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ]x 4 f (x 4 )x 4 − x 3 x 4 − x 2 x 4 − x 1 x 4 − x 0...... ·Di questa tabella, ci serviranno, poi, i valori della diagonale principale presi a partire da f (x 0 ).Possiamo allora costruire, in MATLAB, una matrice in cui salviamo i valori a partire dalla colonna delleordinate.Nel caso di n + 1 = 5 coppie di punti, la matrice che andremo a costruire sarà:f (x 0 ) 0 0 0 0f (x 1 ) − f (x 0 )f (x 1 )0 0 0x 1 − x 0f (x 2 ) − f (x 1 ) f [x 2 , x 1 ] − f [x 0 , x 1 ]f (x 2 )0 0x 2 − x 1 x 2 − x 0f (x 3 ) − f (x 2 ) f [x 2 , x 3 ] − f [x 1 , x 2 ] f [x 1 , x 2 , x 3 ] − f [x 0 , x 1 , x 2 ]f (x 3 )0x 3 − x 2 x 3 − x 1 x 3 − x 0f (x 4 ) − f (x 3 ) f [x 3 , x 4 ] − f [x 2 , x 3 ] f [x 2 , x 3 , x 4 ] − f [x 1 , x 2 , x 3 ] f [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] − f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ]f (x 4 )x 4 − x 3 x 4 − x 2 x 4 − x 1 x 4 − x 050

2.2. Interpolazione con la tabella delle differenze divise di NewtonDi questa matrice, che chiamiamo A; ci serviranno, poi, i valoriA(1,1) = f (x 0 ),A(2,2) = f (x 1) − f (x 0 )x 1 − x 0,A(3,3) = f [x 2, x 1 ] − f [x 0 , x 1 ]x 2 − x 0,A(4,4) = f [x 1, x 2 , x 3 ] − f [x 0 , x 1 , x 2 ]x 3 − x 0,A(5,5) = f [x 1, x 2 , x 3 , x 4 ] − f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ]x 4 − x 0, cioè gli elementi della diagonale principale della matrice A (l’indice di riga è uguale all’indice di colonna).In particolare, A(2,2) = f [x 0 , x 1 ], A(3,3) = f [x 0 , x 1 , x 2 ], A(4,4) = f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] e A(5,5) =f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]. Questi sono i coefficienti del polinomio di interpolazione che va scritto comep 4 (x) = f (x 0 ) + f [x 0 , x 1 ](x − x 0 ) + f [x 0 , x 1 , x 2 ](x − x 0 )(x − x 1 ) + f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ](x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 )+f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ](x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 )Partiamo con il costruire una function che, date le ascisse e le ordinate dei punti da interpolare, cirestituisce questa tabella delle differenze divise. Chiamiamo questa function divdif.mfunction table= d i v d i f ( x , y )%function table=divdif ( x , y )% x − a s c i s s e dei dati da interpolare% y − ordinate dei dati da interpolare% table − t a b e l l a d e l l e d i f f e r e n z e d i v i s e% la t a b e l l a ha l e colonne disposte nel modo seguente% f f [ . , . ] f [ . , . , . ] f [ . , . , . , . ] f [ . , . , . , . , . ]% al f i n e di c o s t r u i r e i l polinomio di interpolazione , la% t a b e l l a parte dalla colonna d e l l e ordinate da interpolare%% Esempio% x=[0 0.5 1 1.2 2 ] ;% y=[−1 0.1 −0.3 1.2 2 ] ;% table=divdif ( x , y )%table =%% −1.0000 0 0 0 0% 0.1000 2.2000 0 0 0% −0.3000 −0.8000 −3.0000 0 0% 1.2000 7.5000 11.8571 12.3810 0% 2.0000 1.0000 −6.5000 −12.2381 −12.3095%x=x ( : ) ;y=y ( : ) ;n=length ( x ) ; % n numero t o t a l e di coppie di punti da interpolare% quindi i l grado del polinomio sara ’ n−1i f n~=length ( y )error (’MATLAB:differenze_divise’ , ’errore sui dati’)elsetable=zeros (n , n ) ; % la t a b e l l a deve arrivare a c a l c o l a r e la d i f f e r e n z a% divisa di ordine ntable ( : , 1 ) = y ; % la prima colonna ha l e ordinate d e l l e coppie di punti da interpolarefor j =2:nfor k =2: j51

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONEtable ( j , k)= ( table ( j , k−1) − table ( j −1,k−1) ) / ( x ( j ) − x ( j−k+1) ) ;endend% con la formula r i c o r s i v a usata nei due c i c l i f o r andiamo a c o s t r u i r e i% v a l o r i della t a b e l l a riga dopo riga% j =2 k=2 abbiamo solo table ( 2 , 2 ) che corrisponde alla prima d i f f e r e n z a% divisa tra x0 e x1% j =3 , k =2 ,3; ricaviamo table ( 3 , 2 ) e table ( 3 , 3 ) , dove table ( 3 , 2 )% corrisponde alla d i f f e r e n z a divisa del primo ordine tra x1 e x2% table ( 3 , 3 ) corrisponde alla d i f f e r e n z a divisa del secondo ordine% tra x0 , x1 e x2 . E cosi ’ via .endOsserviamo che abbiamo chiamato table la matrice che contiene i valori della tabella delle differenzedivise. I valori sono costruiti riga per riga.Di questa tabella, abbiamo detto, ci servono solo i valori della diagonale principale, in modo da potervalutare il polinomio di interpolazione.Per valutare il polinomio di interpolazione nel modo più efficiente, applichiamo l’algoritmo di Horner,che è un algoritmo molto semplice. Cerchiamo di capire con un esempio come funziona.Supponiamo di dover calcolare il polinomio p(x) = 2 + 3(x − 1) + 4(x − 1)(x − 2) + 10(x − 1)(x − 2)(x − 3).Se facciamo i calcoli così come leggiamo la formula dobbiamo fare somme e prodotti e, in particolare, dobbiamofare 3(x − 1) (una moltiplicazione) 4(x − 1)(x − 2) (due moltiplicazioni) e 10(x − 1)(x − 2)(x − 3) (tremoltiplicazioni). Riscriviamo la formula nel modo seguentep(x) = 2 + (x − 1)(3 + 4(x − 2) + 10(x − 2)(x − 3))p(x) = 2 + (x − 1)(3 + (x − 2)(4 + 10(x − 3)))Abbiamo messo in evidenza i termini (x − 1) e poi (x − 2). Ora dobbiamo fare 10(x − 3) (una moltiplicazione),poi sommiamo 4 e moltiplichiamo il tutto per (x − 2) (un’altra moltiplicazione), sommiamo 3 emoltiplichiamo per (x − 1) (un’altra moltiplicazione). Rispetto alle 6 moltiplicazioni di prima ora ne facciamosolo 3. L’algoritmo di Horner si può scrivere nel modo seguente, per calcolare il polinomio p(x) =a 0 + a 1 (x − x 0 ) + a 2 (x − x 0 )(x − x 1 ) + a 3 (x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 ) + ... a n (x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 )···(x − x n−1 ):p = a np = p(x − x n−1 ) + a n−1= a n (x − x n−1 ) + a n−1p = p(x − x n−2 ) + a n−2.= a n (x − x n−1 )(x − x n−2 ) + a n−1 (x − x n−2 ) + a n−2p = p(x − x 0 ) + a 0= a n (x − x n−1 )(x − x n−2 )...(x − x 1 )(x − x 0 ) + ... + a 1 (x − x 1 )(x − x 0 ) + a 0= a 0 + a 1 (x − x 0 )(x − x 1 ) + ... + a n (x − x 0 )(x − x 1 )...(x − x n−2 )(x − x n−1 )Se a è il vettore che contiene i coefficienti del polinomio (in questo caso sarà un vettore di lunghezza n+1), sex è il vettore delle ascisse e xval il punto in cui valutare il polinomio p, le istruzioni precedenti si scriverannoin MATLAB comep=a (n+ 1 ) ;for i =n: −1:1p=p* ( xval−x ( j ) ) + a ( j ) ;endScriviamo dunque la function interpdivdif.m (teniamo conto del fatto che, nella function n è la lunghezzadel vettore x, quindi il grado del polinomio è n − 1). Poichè possiamo valutare il polinomio sia in52

2.2. Interpolazione con la tabella delle differenze divise di Newtonuno scalare sia in un vettore, dobbiamo tenere conto anche di questo fatto quando andiamo ad applicarel’algoritmo di Horner: si veda l’istruzione yval=table(n,n)*ones(length(xval),1); e l’uso del .∗ all’interno del ciclofor.function yval= i n t e r p d i v d i f ( xval , x , table )% function yval= i n t e r p d i v d i f ( xval , x , table )% x − a s c i s s e dei dati da interpolare% table − t a b e l l a d e l l e d i f f e r e n z e divise , ottenuta dalla function d i v d i f% xval − array di v a l o r i in cui c a l c o l a r e i l polinomio i n t e r p o l a t o r e% puo ’ e s s e r e un singolo punto o un insieme di punti% yval − valore ( o v a l o r i ) del polinomio i n t e r p o l a t o r e valutato in xval% nel calcolo del polinomio interpolatore ,% s i parte dalla f i n e e s i applica l ’ algoritmo di Horner ( s i veda dispensa% per la spiegazione sull ’ algoritmo di Horner )% Esempio% x=[0 0.5 1 1.2 2 ] ;% y=[−1 0.1 −0.3 1.2 2 ] ;% table=divdif ( x , y ) ;% xval = [ 0 : 0 . 1 : 2 ] ;% yval= i n t e r p d i v d i f ( xval , x , table ) ;% plot ( x , y , ’ o ’ , xval , yval )xval=xval ( : ) ;x=x ( : ) ;n=length ( x ) ; % n lunghezza del v e t t o r e x , quindi n−1 e ’ i l grado del% polinomio di interpolazioneyval=table (n , n) * ones ( length ( xval ) , 1 ) ;for j =n−1:−1:1yval=yval . * ( xval−x ( j ) ) + table ( j , j ) ;endendUn altro modo per costruire il polinomio di interpolazione di Newton può essere quello di richiamare lafunction che genera la tabella delle differenze divise all’interno della stessa function che valuta il polinomio diinterpolazione. In MATLAB, infatti, una function può richiamare al suo interno un’altra function e questa puòessere scritta in forma concatenata alla prima, cioè all’interno della function che la richiama! Si parla di nestedfunctions. Ciò si può fare se la function interna non è chiamata all’interno di un ciclo come if, for,while, .... Osserviamo che la function interna deve necessariamente essere chiusa con l’istruzione end.In questo modo, al posto di usare due functions, ne usiamo solo una. Se ci interessa conoscere la tabelladelle differenze divise, possiamo metterla tra i parametri di output. Scriviamo allora la function chechiamiamo intdivdif1.mfunction [ yval , table ]= i n t d i v d i f 1 ( x , y , xval )% function yval= i n t d i v d i f 1 ( xval , x , y )% x − a s c i s s e dei dati da interpolare% y − ordinate dei dati da interpolare% xval − array di v a l o r i in cui c a l c o l a r e i l polinomio i n t e r p o l a t o r e% puo ’ e s s e r e un singolo punto o un v e t t o r e% yval − valore ( o v a l o r i ) del polinomio i n t e r p o l a t o r e valutato in xval% nel calcolo del polinomio interpolatore ,% s i parte dalla f i n e e s i applica l ’ algoritmo di Horner% all ’ interno di questa function s i richiama un ’ a l t r a function che% calcola la t a b e l l a d e l l e d i f f e r e n z e d i v i s etable=tab ( x , y ) ;%%%%%%%%%%%%% function chiamata e s c r i t t a all ’ interno della function %%%function table=tab ( x , y )%function table=divdif ( x , y )% x − a s c i s s e dei dati da interpolare53

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE% y − ordinate dei dati da interpolare% table − t a b e l l a d e l l e d i f f e r e n z e d i v i s ex=x ( : ) ;y=y ( : ) ;n=length ( x ) ;m=length ( y ) ;i f n~=merror (’MATLAB:differenze_divise’ , ’errore sui dati’)elsetable=zeros (n , n ) ;table ( : , 1 ) = y ;for j =2:nfor k =2: jtable ( j , k)= ( table ( j , k−1) − table ( j −1,k−1) ) / ( x ( j ) − x ( j−k+1) ) ;endendendend%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% f i n e function tab%%xval=xval ( : ) ;x=x ( : ) ;n=length ( x ) ;yval=table (n , n) * ones ( length ( xval ) , 1 ) ;for j =n−1:−1:1yval=yval . * ( xval−x ( j ) ) + table ( j , j ) ;endendEsercizio 2.2.1 Si riprendano i dati (0,−1), (0.5,0.1), (1,−0.3), (1.2,1.2) e (2,3), e si applichi il procedimentodi interpolazione delle differenze divise di Newton per calcolare il polinomio di interpolazione. Lo si valutinei punti del vettore xval=0:0.01:2. Si faccia il grafico del polinomio.2.3 Interpolazione lineare a tratti e spline cubica2.3.1 Interpolazione lineare a trattiAbbiamo visto, nella teoria, che, date m coppie di punti (x i , y i ) possiamo costruire il polinomio di interpolazionelineare su ciascun intervallo [x i , x i+1 ]. In questo caso è importante che le ascisse da interpolare,oltre ad essere distinte tra loro, siano ordinate in senso crescente, in modo da poter considerare gli intervalliindicati [x i , x i+1 ]. Il polinomio di interpolazione si può scrivere come v(x) tale chev(x) = y i + f [x i , x i+1 ](x − x i ), x i ≤ x ≤ x i+1 , i = 1,2,...,m − 1.Dato un punto x bisogna capire a quale intervallo appartiene per poter applicare la formula di interpolazionelineare corretta.Come scrivere una function in MATLAB che faccia tutto questo?Dato il vettore che contiene le ascisse dei punti da interpolare, x=(x(1), x(2), ..., x(m)) e assegnato unpunto xval, il valore del polinomio di interpolazione lineare a tratti si calcola in due passaggi:54

2.3. Interpolazione lineare a tratti e spline cubica1. si individua l’intervallo [x(i ), x(i + 1)] a cui appartiene xval;2. si calcola, quindi il valore del polinomio applicando la formula per quell’intervallo.Per scrivere una function che faccia tutto questo, useremo due strumenti di MATLAB:G Visto che, una volta individuato l’intervallo in cui valutare la funzione lineare a tratti, ci serve la differenzadivisa del primo ordine (che altro non è che la pendenza del segmento di retta), consideriamoun vettore con le differenze divise del primo ordine. Usiamo la function di MATLAB diff che calcolale differenze delle componenti del vettore dato in input. Quindi, se x è un vettore di lunghezza m,diff(x) è un vettore che ha come componenti x(2)-x(1), x(3)-x(1), ..., x(m) -x(m-1).Il vettore diff(x) ha lunghezza m-1. Possiamo costruirci due vettori, diff(x) e diff(y). Dividendoquesti due vettori, componente per componente (usando quindi il comando ./) avremo ilvettore delle differenze divise del primo ordine. Chiamiamo p questo vettore (che sarà dunque dato dap=diff(y)./diff(x);G La cosa più difficile è individuare l’intervallo in cui si trova ciascuna componente del vettore u in cuiandare a valutare il polinomio di interpolazione lineare a tratti. Nel caso di una sola componente,potremmo pensare a qualcosa del generefor i =1: m−1i f x ( i )

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONEx =[0 1 2 3 4 ] ;u=[1.5 2 . 4 ] ;k=ones ( 2 , 1 ) ;for i : 1 : lenght ( x)−1k ( x ( i )

2.3. Interpolazione lineare a tratti e spline cubicax =[0 0.5 1 1.2 2 ] ;y=[−1 0.2 −0.2 0.3 1 . 5 ] ;pp=spline ( x , y ) ;u = 0 : 0 . 0 1 : 2 ;v=ppval (pp , u ) ;Oppure, più semplicemente, proviamo a scriverex =[0 0.5 1 1.2 2 ] ;y=[−1 0.2 −0.2 0.3 1 . 5 ] ;u = 0 : 0 . 0 1 : 2 ;v=spline ( x , y , u ) ;Dopo facciamo il grafico plot(x,y,’o’, u,v).Proviamo adesso a scrivere noi una function che costruisca la spline cubica. Noi abbiamo studiato in tuttii passaggi come si arriva alla costruzione della spline cubica naturale ed è proprio una function che generaquesto tipo di spline che andremo a costruire.Ricordiamo che l’algoritmo per arrivare alla spline cubica naturale prevede la soluzione di un sistemalineare. La spline cubica ha la formav(x) = s i (x) = a i + b i (x − x i ) + c i (x − x i ) 2 + d i (x − x i ) 3 , x i ≤ x ≤ x i+1 , i = 1,2,...m − 1I coefficienti c i sono ricavati risolvendo il sistema Ac = β, con A e β dati da,⎛⎞2(h 1 + h 2 ) h 2 0 ··· 0h 2 2(h 2 + h 3 ) h 3 0.0 h 3 2(h 3 + h 4 ) h 4 ...A =. 0.. . .. . .. 0⎜⎝⎟. h m−3 2(h m−3 + h m−2 ) h m−2⎠0 ··· 0 h m−2 2(h m−2 + h m−1 )⎛⎞3(f [x 2 , x 3 ] − f [x 1 , x 2 ])3(f [x 3 , x 4 ] − f [x 2 , x 3 ])ψ =⎜⎝⎟.⎠3(f [x m−1 , x m ] − f [x m−2 , x m−1 ])dove h 1 , h 2 , ...,h m−1 sono le ampiezze dei singoli sottointervalli.I passi da seguire (per i dettagli, si controlli la dispensa del corso) sono:1. risolvere il sistema Ac = ψ che, risolto, fornisce i coefficienti c 2 ,c 3 ,...,c m−1 delle spline;2. aggiungere al vettore c, i valori c 1 = c m = 03. applicare, per i = 1,...,m − 1 le relazionia i = y ib i = f [x i , x i+1 ] − (2c i + c i+1 )h i3d i = c i+1 − c i3h iOsserviamo che la matrice A ha elementi tutti uguali a zero tranne che gli elementi della diagonale principale(i valori A i i ) e gli elementi che si trovano sulla diagonale immediatamente sopra e sotto la diagonaleprincipale. Per costruire questa matrice in MATLAB usiamo la function diag che costruisce matrici diagonalio estrae diagonali da una matrice. Vediamo come si usa: supponiamo di avere un vettore d=[1 2 3],se scrivamo diag(d) il risultato è la matrice57

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE1 0 00 2 00 0 3La matrice ha tutti zeri, tranne sulla diagonale principale in cui ci sono gli elementi del vettore d. La matriceha dunque la dimensione del vettore: in questo caso, 3 righe e 3 colonne Se invece scriviamo il comandodiag(d,1) abbiamo0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0La matrice ha gli elementi del vettore d sulla diagonale che si trova sopra la diagonale principale. Ora la matriceè 4×4 perchè il vettore d deve riempire tutta la diagonale considerata. Quindi, se scriviamo diag(d,-1)la matrice sarà con gli elementi del vettore d sulla sottodiagonale principale0 0 0 01 0 0 00 2 0 00 0 3 0In genere l’istruzione diag(d,n) crea una matrice che ha tutti zeri tranne quelli che si trovano sulladiagonale spostata di n rispetto alla diagonale principale, in cui ci sono gli elementi del vettore d. La matriceè di dimensione uguale alla lunghezza del vettore d + il valore assoluto di n. La diagonale principale è comese avesse il valore n = 0, quindi ci spostiamo di n sopra o sotto la diagonale principale a seconda che nsia positivo o negativo. La function diag si può applicare anche a matrici (si consulti l’help in linea perapprofondire).A noi interessa questa function perché, grazie ad essa, possiamo scrivere la matrice del sistema chedobbiamo risolvere:h= d i f f ( x ) ;n=length ( x ) −1;a= 2*(h ( 1 : n−1)+h ( 2 : n ) ) ;bi= h ( 2 : n−1);A=diag ( a ) + diag ( bi , 1 ) + diag ( bi , −1);Infatti diag(a) ci dà la matrice con tutti zero tranne che sulla diagonale principale e questi elementi corrispondonoproprio a quelli che vogliamo noi sulla matrice A. Se osserviamo poi come è fatta la matrice A glielementi sulla sovra e sotto diagonale sono gli stessi. Perciò usiamo il vettore b e creiamo altre due matrici.Con un operazione di somma, mettiamo insieme i vari contributi e otteniamo la matrice A. Il vettore terminenoto fa uso delle differenze divise del primo ordine. Scriviamo ora la function e osserviamo bene l’uso degliindici nei vettori per i vari coefficienti b, c,d.function v=splinecubiche ( x , y , u)% function v=splinecubiche ( x , y , u)% costruzione della spline cubica naturale a t r a t t i% x − v e t t o r e d e l l e a s c i s s e da interpolare% y − v e t t o r e d e l l e ordinate da interpolare% u − v e t t o r e in cui andare a c a l c o l a r e la spline cubica naturale% v − v e t t o r e della spline cubica naturale valutata nel v e t t o r e u% Esempio% x=[0 0.5 1 1.2 2 ] ;% y=[−1 0.2 −0.2 0.3 1 . 5 ] ;% u = [ 0 : 0 . 0 1 : 2 ] ;% v=splinecubiche ( x , y , u ) ;58

2.4. Curve parametriche% plot ( x , y , ’ o ’ , u , v )x=x ( : ) ;y=y ( : ) ;u=u ( : ) ;h= d i f f ( x ) ; % v e t t o r e che da ’ l e ampiezze dei s i n g o l i s o t t o i n t e r v a l l ip= d i f f ( y ) . / h ; % v e t t o r e d e l l e d i f f e r e n z e d i v i s e del primo ordinen=length ( x ) −1;a= 2*(h ( 1 : n−1)+h ( 2 : n ) ) ;bi= h ( 2 : n−1);A=diag ( a ) + diag ( bi , 1 ) + diag ( bi , −1);psi= 3*(p ( 2 : n) −p ( 1 : n−1));c=A\ psi ;c = [ 0 ; c ; 0 ] ; % c o e f f i c i e n t i cd=( c ( 2 : n+1)−c ( 1 : n ) ) . / ( 3 * h ) ; % c o e f f i c i e n t i db=p−h . / 3 . * ( 2 . * c ( 1 : n)+ c ( 2 : n+ 1 ) ) ; % c o e f f i c i e n t i bk=ones ( length (u ) , 1 ) ;for i =1:nk ( x ( i )

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONEche si aprirà dopo aver schiacchiato il tasto di invio. Se invece scriviamo [x,y]=ginput prendiamo un numerodi punti a piacere fino a che non schiacchiamo il tasto di invio. Subito dopo, sia nel primo che nel secondocaso, troveremo le coordinate dei punti nei vettori x e y. Infine, si può usare ginput mediante l’istruzione[x,y,but]=ginput(n) che dà in output anche una terza variabile, but, che contiene un vettore di interi chespecificano quale tasto del mouse è stato usato (1, 2 o 3 a partire da sinistra).Useremo questa soluzione per scegliere i punti. Porremo but=1, che è associato al tasto sinistro delmouse e prenderemo i punti con il tasto sinistro del mouse. Per scegliere l’ultimo punto, lo scegliamo conil tasto destro (eventualmente anche con il tasto centrale), in modo tale da cambiare il valore della variabilebut.Una volta ottenuti i punti scegliamo il tipo di interpolazione. Approfittiamo dell’occasione per imparareun altro ciclo che si può usare in MATLAB, il ciclo switch.2.4.1 Il ciclo switchIl ciclo switch si usa in questo modo:Ciclo switchswitch ( espressione ) % ( l ’ espressione puo ’ e s s e r e uno s c alare o una stringa )case { valore1 } % eseguita se l ’ espressione e ’ valutata al valore1 ){ i s t r u z i o n i }{ . . . }case { valore2 } % ( eseguita se l ’ espressione e ’ valutata al valore2 ){ i s t r u z i o n i }{ . . . }otherwise{ i s t r u z i o n i }{ . . . }endIl ciclo con switch confronta i valori dati nell’espressione che si trova subito dopo switch, con ciascunvalore assegnato a case ed esegue le istruzioni relative al case in cui valore ed espressione coincidono.Vediamo un semplice esempio dove l’espressione da confrontare è una stringa:s c e l t a =’test1’ ;switch s c e l t acase {’test1’}x0= 0 . 1 ;x1= 0 . 2 ;case {’test2’}x0= 0 . 0 ;x1= 1 . 0 ;otherwisedisp (’nessun caso test scelto’)endA seconda del caso cambiano i valori x0,x1.Oltre al ciclo switch, per scegliere il tipo di interpolazione usiamo un’altra function, di MATLAB, chiamatamenu. La function menu genera un menu che permette di fare delle scelte, ognuna associata adun numero. Questo menu, in MATLAB compare come una finestra separata dalle altre finestre di MA-TLAB. In Octave, invece, il menu rimane nella finestra di lavoro. In genere la function si usa in questo modoscelta= menu(’titolo del menu’, scelta1,scelta2,scelta3,...) dove scelta1,scelta2,... sono dellestringhe che dicono la possibile scelta da fare. Il valore della variabile scelta corrisponde al numero checorrisponde alla stringa della scelta fatta.Vediamo un esempio60

2.4. Curve parametricheFigura 2.1: Esempio di menu in MATLABs c e l t a =menu(’scegli un metodo’ , ’bisezioni’ , ’punto fisso’ , ’Newton-Raphson’ ,’Regula Falsi’)In MATLAB vedremo qualcosa come mostrato in figura 2.1. Con il mouse sceglieremo quale metodoapplicare e la variabile scelta sarà 1, 2, 3 o 4 a seconda del metodo.In Octave invece, vediamo questo:scegli un metodo[ 1] bisezioni[ 2] punto fisso[ 3] Newton-Raphson[ 4] Regula Falsipick a number, any number:Vediamo dunque lo script per le curve parametrice, che chiamiamo curveparam.m% questo e ’ uno s c r i p t per f are g r a f i c i di curve parametriche , potendo% s c e g l i e r e di f a r l e utilizzando un polinomio di interpolazione l i n e a r e% a t r a t t i oppure una spline cubica di tipo naturale o not−a−knot% i punti della curva vengono s c e l t i dall ’ utente mediante la function% ginput :close a l l % chiude t u t t e l e eventuali f i g u r e e s i s t e n t idisp (’**************** CURVE PARAMETRICHE*************’)disp (’Usa il tasto sinistro del mouse per scegliere i punti.’)disp (’Per l’’ultimo punto usare il tasto destro del mouse’)disp (’Scegli dal menu il tipo di interpolazione’)s c e l t a =menu(’tipo di interpolazione a tratti’ , ’lineare’ , ’spline naturale’ , . . .’spline not-a-knot’ ) ;figure ( 1 ) % apre una figuraaxis ( [ 0 1 0 1 ] ) % posiziona l ’ asse d e l l e a s c i s s e e d e l l e ordinate tra 0 e 1% Scegliamo i punti s u l l a f i n e s t r a della figura che s i e ’ aperta% con punti nell ’ i n t e r v a l l o [ 0 , 1 ] x [ 0 , 1 ]hold on % i g r a f i c i verranno t u t t i s o v r a s c r i t t ix = zeros ( 2 0 , 1 ) ; % inizializziamo a zero i v e t t o r i x e yy = zeros ( 2 0 , 1 ) ; % se saranno p r e s i piu ’ di 20 punti , i v e t t o r i% aumenteranno la loro lunghezzan = 0 ;but = 1 ; % but e ’ una v a r i a b i l e che serve per la function ginput61

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONEwhile but == 1n=n+1;[ x (n) , y (n) , but ] = ginput ( 1 ) ; % ginput serve per acquisire i punti% s u l l a f i n e s t r a della figura% a nostro piacereplot ( x (n) , y (n) ,’g*’ ,’markersize’ , 6 )% t e x t ( xi +0.01 , y i +0.01 , i n t 2 s t r (n ) ) % questo comando serve se vogliamo% v i s u a l i z z a r e l ’ ordine con cui sono% s c e l t i i nodiendx=x ( 1 : n ) ;y=y ( 1 : n ) ;t =0:1/(n−1):1; % facciamo variare i l parametro t tra 0 e 1 , con passo h= 1 / (n−1)xx=linspace ( 0 , 1 ) ; % prendiamo 100 punti e q u i d i s t a n t i nell ’ i n t e r v a l l o in cui varia tswitch s c e l t acase 1u= a t r a t t i ( t , x , xx ) ;v= a t r a t t i ( t , y , xx ) ;stringa=’interpolazione lineare a tratti’ ;case 2u=splinecubiche ( t , x , xx ) ;v=splinecubiche ( t , y , xx ) ;stringa=’spline cubica naturale’ ;case 3u=spline ( t , x , xx ) ;v=spline ( t , y , xx ) ;stringa=’spline cubica not-a-knot’ ;endplot (u , v ,’linewidth’ , 2 )t i t l e ( stringa )hold o f f % i g r a f i c i s u c c e s s i v i non verranno s o v r a s c r i t t iE ora divertiamoci a prendere punti e a costruire curve parametriche che passano per essi.2.5 Approssimazione di dati2.5.1 Retta di regressione sugli scarti verticaliAbbiamo visto, nella teorica, che i coefficienti della retta di regressione sugli scarti verticali si trovanorisolvendo il sistema di equazioni{(n + 1)a0 + a 1∑ ni=0 x i = ∑ ni=0 y ia 0∑ ni=0 x i + a 1∑ ni=0 (x i ) 2 = ∑ ni=0 x i y iL’ipotesi da cui partiamo è che abbiamo n + 1 coppie di punti (x i , y i ) i = 0,1,...,n. La retta che troviamo puòessere scritta come y = a 0 + a 1 x.Lo stesso sistema di equazioni si può scrivere in forma matriciale comeAa = bdoveA =( ∑ n + 1 ni=0 x )i∑ ni=0 x ∑ ni i=0 (x i ) 2( ∑ nb = i=0 y )i∑ ni=0 x i y iVogliamo risolvere in MATLAB questo problema. Come fare? La risposta immediata ce la fornisce MA-TLAB con la function che abbiamo già incontrato nell’interpolazione e, precisamente, la function polyfit.62

2.5. Approssimazione di datiRicordiamo che i dati di input che abbiamo usato per la polyfit sono i vettori x e y e il grado del polinomiodi interpolazione (quindi length(x)-1). In generale, la polyfit ha, come dati di input, oltre ai vettori xe y, un numero intero minore o uguale a length(x)-1: per valori minori di length(x)-1, la functionpolyfit restituisce i coefficienti del polinomio di migliore approssimazione del grado che abbiamo datonoi in input. Perciò, se vogliamo una retta di approssimazione, basta scrivere p=polyfit(x,y,1) e nel vettore ptroveremo i coefficienti a 1 e a 0 della retta di approssimazione. Usando la polyval potremo fare il graficodella retta.L’algoritmo che costruisce la retta di approssimazione è molto semplice. Perché non fare una nostrafunction MATLAB? Approfittiamo dell’occasione per imparare qualche altra function. In particolare, introduciamola function sum che, applicata a un vettore, fornisce come risultato la somma delle componenti delvettore. Vediamo degli esempi:>> x=[-1 -0.4 0.2 0.8 1];>> sum(x)ans =0.6000>> x=[0 1 2 3 4 5 6 ];>> a=sum(x)a =21>> b=sum(x.^2)b =91Le prime due istruzioni che abbiamo dato, ci hanno restituito, in ans e in a, la somma delle componentidel vettore x. Nel primo caso, sum(x) è stata la stessa cosa dell’operazione: −1 − 0.4 + 0.2 + 0.8 + 1 = 0.6.Nel secondo caso, a = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Infine abbiamo fatto b=sum(x. 2 ), vale a dire, abbiamoprima elevato al quadrato ogni componente del vettore x ottenendo come risultato un vettore, e di questovettore abbiamo fatto la somma delle componenti. b = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 91. A cosa ci servela function sum? A costruire in maniera immediata e diretta la matrice del sistema e il vettore termine noto.Infatti, considerando m la lunghezza dei vettori dei dati da approssimare, possiamo scrivereA=[m sum( x ) ; sum( x ) sum( x . ^ 2 ) ] ;b=[sum( y ) ; sum( x . * y ) ] ;Nel vettore b, la seconda componente si ha costruendo prima il vettore x.*y che fa il prodotto componenteper componente tra i due vettori, e poi facendo la somma delle componenti.La function che possiamo scrivere è dunque la seguente:function [p , A , b]= funapprox ( x , y )% function p=funapprox ( x , y )% x −− a s c i s s e dei dati da approssimare% y −− ordinate dei dati da approssimare% p=[a1 a0 ] −− v e t t o r e dei c o e f f i c i e n t i della r e t t a% di r e g r e s s i o n e l i n e a r e s u g l i s c a r t i v e r t i c a l i% y=a0+a1x% i c o e f f i c i e n t i sono in ordine decrescente% per p o t e r l i usare in combinazione con la% function polyval% A −− matrice del sistema da r i s o l v e r e63

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE% b −− v e t t o r e termine noto del sistema% Esempio% x=[−1 −0.6 0 0.6 1 ] ;% y =[1.194 0.430 0.052 0.422 1 . 0 3 4 ] ;% [ p , A , b]= funapprox ( x , y )% r e s t i t u i s c e% p =% −0.0606% 0.6264%% A =% 5.0000 0% 0 2.7200%% b =% 3.1320% −0.1648%% s i g n i f i c a che la r e t t a e ’ y=−0.1648 +3.1320xm=length ( x ) ;i f m~=length ( y )error (’MATLAB:funapprox’ , ’errore sui dati’)end% costruiamo la matrice del sistema% A=[ m somma_ascisse ;% somma_ascisse somma_( a s c i s s e ^2)]% i l v e t t o r e termine noto e ’% b= [ somma_ordinate ; somma_ascisseperordinate ]% per f are la somma d e l l e componenti di un v e t t o r e usiamo la function% sum che permette di f a r e la somma d e l l e componenti di un v e t t o r e% facendo sum( x . ^ 2 ) prima eseguiamo i quadrati d e l l e componenti% del v e t t o r e x e poi facciamo la somma dei v a l o r i r i c a v a t iA=[m sum( x ) ; sum( x ) sum( x . ^ 2 ) ] ;b=[sum( y ) ; sum( x . * y ) ] ;p=A\b ;% In p la prima componente corrisponde ad a0 e la seconda ad a1% invertiamo l ’ ordine del v e t t o r ep=p( 2 : − 1 : 1 ) ;Data questa function, possiamo (invertendo il ruolo delle ascisse e delle ordinate nei dati di input),calcolare i coefficienti della retta di regressione sugli scarti orizzontali.2.5.2 Modello potenza e modello esponenzialePossiamo scrivere una function che richiami questa che abbiamo appena creato, al fine di calcolare icoefficienti delle funzioni di approssimazione, modello esponenziale e modello potenza.Per il modello potenza diamo, ora, delle linee da seguire per costruire una function che restituisca i coefficientia e b della funzione del modello potenza, e successivamente, per fare un grafico della funzione stessa.Nel modello potenza cerchiamo i coefficienti a b della funzione di approssimazione y = ax b . I passi da faresono i seguenti:G x e y siano i vettori con le ascisse e le ordinate dei dati da interpolare;G costruiamo due nuovi vettori, X e Y (possiamo usare le lettere maiuscole) tali che X=log(x); Y=log(y); (abbiamousato il logaritmo naturale (in MATLAB log è il logaritmo naturale mentre log10 è il logaritmoin base 10);G chiamiamo la function funapprox che ci restituisce p,A,b ; p(1) e p(2) sono i coefficienti dellaretta, di grado decrescente;64

2.5. Approssimazione di datiG sappiamo che, per il modello potenza, si ha la relazione p(2)=log(a) e p(1)=b, da cuia=exp(p(2)); b=p(1)G una volta ricavati questi coefficienti, se vogliamo fare il grafico, dobbiamo ricondurci alla funzionepotenza, quindixval=x ( 1 ) : h : x (end ) ; % con h passo di d i s c r e t i z z a z i o n e opportuno% per esempio s i puo ’ d e f i n i r e , prima% di questa i s t r u z i o n e% h=(x ( end)−x ( 1 ) ) / 1 0 0 ;% x ( end ) porta direttamente all ’ ultima% componente del v e t t o r eyval=a* xval .^b ;plot ( x , y ,’o,xval,yval)Istruzioni analoghe a queste si possono dare per il modello esponenziale.Esercizio 2.5.1 Si costruiscano due function, da chiamare, rispettivamente, modpotenza.m emodesponenziale.m in cui i dati di input siano i vettori x e y dei dati da approssimare e in outputdiano i coefficienti a e b rispettivamente del modello potenza e del modello esponenziale.2.5.3 Caricare i dati di input da fileA volte, i dati da utilizzare per risolvere determinati problemi, possono essere vettori o matrici didimensione elevata. Scrivere i dati dalla Command Window diventa oneroso.Immaginiamo di dover approssimare i seguenti dati:x iy i0.0 0.00.2 3.220.39 6.610.59 9.690.78 13.220.99 16.401.08 18.011.18 19.701.28 21.331.37 22.75In questo esempio abbiamo 10 coppie di punti. Se dobbiamo scrivere tutti questi dati dalla Command Windowe scriviamo male anche uno solo dei dati, se ce ne accorgiamo dobbiamo riscrivere o correggere il vettoree rieseguire lo script o la function. Se non ce ne accorgiamo, avremo i risultati decisamente scorretti. Se poidobbiamo, dopo qualche giorno, ripetere lo stesso esempio, dobbiamo riscrivere di nuovo il vettore sperandodi non sbagliare i dati. Questo solo con 10 coppie di punti. Pensiamo se abbiamo 20, 100, 1000, .... dati.Molte volte i dati, proprio perché tanti, sono in un file di dati... Come procedere in questi casi? La cosa piùsemplice è di salvare i dati di input in un file esterno (non in uno script o in una function) e di caricare questidati quando occorre. Tutto questo si fa nel modo seguente.Con un editor di testo scriviamo un file in cui mettiamo i dati (in questo caso i valori delle ascisse e delleordinate da approssimare) esattamente come nella tabellina che abbiamo scritto prima:0.0 0.00.2 3.220.39 6.610.59 9.6965

2. SU INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE0.78 13.220.99 16.401.08 18.011.18 19.701.28 21.331.37 22.75Salviamo questo file (in formato testo, o ASCII) con un nome, ad esempio xy.txt o xy.dat. Ora inMATLAB, dalla Command Window, carichiamo questi dati in una matrice, dopodichè, salviamo la primacolonna nel vettore x e la seconda colonna nel vettore y che ci servono per fare l’approssimazione dei datistessi.A=load (’xy.txt’ ) ;x=A ( : , 1 ) ;y=A ( : , 2 ) ;In questo modo, scriviamo i dati solo una volta nel file xy.txt e li carichiamo ogni volta che serve. Inquesto caso la matrice A ha due colonne, una che rappresenta il vettore x e una il vettore y.Potremmo anche scrivere la matrice con due righe: in tal caso dovremmo prendere la prima riga e salvarlacome vettore x e la seconda riga e salvarla come vettore y.Nel caso di molti dati, comunque, conviene salvare i dati come colonne (anche per facilità di lettura diessi).Esercizio 2.5.2 Scrivere il file di dati xy.txt con i dati dell’esempio precedente. Utilizzare poi la functionfunapprox.m per approssimare i dati, sia costruendo la retta di regressione lineare sugli scarti verticalisia costruendo la retta di regressione lineare sugli scarti orizzontali. Fare il grafico delle due rette.Un altro modo per caricare dati da file esterni è abbinare la function input con la function load. Dapprimadiamo ad una variabile il nome del file di dati da caricare (dando quindi una stringa di caratteri), poicarichiamo il file che ha quel nome. Vediamo con l’esempio precedente come fare.>> stringa=input(’scrivi il file ’, ’s’)scrivi il file dati.txtstringa =dati.txt>> A=load(stringa)A =>>0 00.2000 3.22000.3900 6.61000.5900 9.69000.7800 13.22000.9900 16.40001.0800 18.01001.1800 19.70001.2800 21.33001.3700 22.7500All’interno di input abbiamo scritto la frase scrivi il file e poi, dopo la virgola, abbiamo scritto’s’. Questa istruzione – ’s’ – dice che quanto scriveremo in risposta alla function input sarà una stringa66

2.5. Approssimazione di datidi caratteri che verrà assegnata alla variabile stringa. Successivamente, noi carichiamo il file, messo nellastringa dando alla matrice il nome A. L’importante è scrivere il nome del file senza apici e senza lasciare spazibianchi prima di iniziare a scrivere il nome (altrimenti avremmo un messaggio di errore).67

CAPITOLO 3Metodi diretti per sistemi lineariParte della disumanità del computersta nel fatto che, una voltaprogrammato e messo in funzione,si comporta in manieraperfettamente onesta.Isaac Asimov3.1 Prodotti matrice-vettore, matrice-matrice, scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Metodi di sostituzione all’indietro e in avanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3 Metodi diretti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4 Norme di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Nello studiare i metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari, entriamo pienamente ad usare matrici evettori.MATLAB lavora con matrici e vettori e ha già molte function predefinite che ci permettono di risolveresemplicemente problemi dell’algebra lineare.Fino ad ora, abbiamo visto che, se abbiamo un sistema lineare Ax = b e lo vogliamo risolvere, bastascrivere in MATLAB x=A\b per risolvere il sistema (l’importante è che il vettore b sia una vettore colonna).Abbiamo anche già visto le function:G zeros che agisce nel modo seguente:zeros(n) crea una matrice quadrata di dimensione nzeros(m,n) crea una matrice rettangolare di dimensione m×n (abbiamo usato questo comando percreare vettori riga o colonna)G size dice la dimensione della matrice o di un vettoresize(A) restituisce un vettore in cui la prima componente dice il numero di righe e la secondacomponente il numero di colonne della matrice AG length restituisce la lunghezza di un vettoreG diag crea matrici diagonaliAbbiamo usato questa function per creare la matrice del sistema da risolvere per ottenere le splinenaturali.Vediamo degli esempi di uso di questa function per poter prendere maggiore pratica.>> v=[1 2 3];>> A=diag(v)A =1 0 00 2 069

3. METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARI0 0 3>> A=diag(v,1)A =0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0>> A=diag(v,-1)A =0 0 0 01 0 0 00 2 0 00 0 3 0>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];>> b=diag(A)b =159>> a=diag(diag(A))a =1 0 00 5 00 0 9Altre function e comandi utili già esistenti in MATLAB sono (non esauriamo tutto l’elenco delle functiona disposizione ma diamo solo le principali!!!):G ones : analogamente a zeros crea matrici con elementi tutti uguali a 1.G eye : crea la matrice identità.A=eye(n) crea la matrice identità di dimensione nA=eye(m, n) crea la matrice identità di dimensione m × nSe abbiamo già una matrice (per esempio A): B=eye(size(A)) crea una matrice identità della stessadimensione di A.G det : applicato ad una matrice quadrata, restituisce il determinante della matrice (esempio: d=det(A) )G inv : applicato ad una matrice quadrata, restituisce la matrice inversa. (Se la matrice è quasi singolareo singolare, si ha un messaggio di errore).G tril e triu : applicate ad una matrice estraggono la parte triangolare inferiore (o bassa) e superiore (oalta) rispettivamente. Se, tra i parametri di input, oltre alla matrice, aggiungiamo uno scalare, k, alloraviene estratta la parte triangolare (inferiore o superiore) a partire dalla diagonale che si trova in alto o inbasso (a seconda che k abbia segno positivo o negativo) di k volte sulla diagonale principale. Vediamoqualche esempio.>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];>> L=tril(A)L =701 0 0

3.1. Prodotti matrice-vettore, matrice-matrice, scalari4 5 07 8 9>> U=triu(A)U =1 2 30 5 60 0 9>> L1=tril(A,1)L1 =1 2 04 5 67 8 9>> L_1=tril(A,-1)L_1 =0 0 04 0 07 8 0>> U=triu(A,1)U =0 2 30 0 60 0 0>> U=triu(A,-1)U =1 2 34 5 60 8 9Si provi a fare qualche altro esempio, con matrici 4 × 4 o 5 × 5.3.1 Prodotti matrice-vettore, matrice-matrice, scalariOra, se vogliamo fare il prodotto matrice-vettore, con altri linguaggi di programmazione dobbiamo farequalcosa del genere (scriviamo ora una function matrprod.m)function y=matrprod (A , x )% supponiamo che A s i a quadrata di dimensione n e che x s i a un v e t t o r e% di lunghezza n . Se non siamo s i c u r i , dobbiamo f a r e un c o n t r o l l o% s u l l e dimensioni% calcoliamo y=Axn=length ( x ) ;y=zeros (n , 1 ) ; % inizializziamo i l v e t t o r e y% y_i= sum_( j =1)^n A_ ( i j ) x_j % per f a r e questa somma usiamo un c i c l o f o rfor i =1:nfor j =1:ny ( i )=y ( i )+A( i , j ) * x ( j ) ;71

3. METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARIendend% ora abbiamo t u t t e l e componenti del v e t t o r e yendIn MATLAB, al posto di dover fare qualcosa del genere (osservare il doppio ciclo for), basta scrivere y=A*x eviene generato il vettore x: bisogna solo avere l’accortezza di scrivere x come vettore colonna.Se dobbiamo fare un prodotto tra matrici, anche qui MATLAB ci evita di scrivere righe e righe di codice(che ora vediamo per capire cosa dovremmo fare e non facciamo) e ci permette di usare l’operazione di moltiplicazioneanche per fare il prodotto tra matrici. (Attenzione, quindi al prodotto .* da usare per fare prodotticomponente per componente e al prodotto * che ci permette di fare queste altre operazioni). Se abbiamo duematrici A e B e dobbiamo scrivere la matrice prodotto C = AB, dalla teoria sappiamo che:c i j =n∑a i k b k j = a i 1 b 1j + a i 2 b 2j + ... + a i n b n jk=1per i = 1,2,...,n e j = 1,2,...,n.Tutto questo si può tradurre mediante le righe di codice (supponiamo per semplicità che le due matrici Ae B siano quadrate e di dimensione n).C=zeros (n , n ) ;for i =1:nfor j =1:nfor k =1:nC( i , j )= C( i , j ) + A( i , k ) *B( k , j ) ;endendendIn MATLAB, scriviamo semplicemente C=A*B e abbiamo la matrice prodotto (evitando di fare un triplociclo for).Se dobbiamo fare il prodotto scalare tra due vettori α = x T y = ∑ ni=1 x i y i , possiamo vederlo come il prodottotra due matrici (il vettore riga x per il vettore colonna y). Se vogliamo vedere in codice cosa fareabbiamoa l f a =0;for i =1:na l f a = a l f a +x ( i ) * y ( i )endIn MATLAB, però, proprio perché il prodotto scalare si può vedere come caso particolare di prodotto tramatrici, usiamo la forma alfa=x*y se x è un vettore riga e y è un vettore colonna. Se i vettori sono entrambicolonna, si scrive alfa= x’*y (facciamo cioè il trasposto del primo vettore in modo da poterlo avere come riga).Bisogna quindi stare attenti a come sono stati definiti i vettori di cui fare il prodotto scalare.3.2 Metodi di sostituzione all’indietro e in avantiNello studiare il metodo di eliminazione di Gauss, abbiamo visto che, dal sistema di partenza Ax = b si arrivaal sistema LU x = b (supponiamo che sia verificato il teorema LDU e che abbiamo usato la fattorizzazionedi Crout o di Doolittle). Per risolvere gli esercizi, risolveremo due sistemi:1. Poniamo U x = y da cui il sistema diventa Ly = b. Risolviamo quindi il sistema Ly = b mediantesostituzione in avanti.2. Una volta ricavato y risolviamo il sistema U x = y mediante sostituzione all’indietro.Scriviamo allora due function che applichino il metodo di sostituzione in avanti e di sostituzione all’indietro(possono tornarci utili per verificare gli esercizi che dobbiamo fare per prepararci all’esame scritto...)72

3.2. Metodi di sostituzione all’indietro e in avantiL’algoritmo per risolvere il sistema Ax = b dove A è adesso una matrice triangolare triangolare inferiore è:per i = 1 fino a i = n, procedendo in avanti con passo 1x i =b i − ∑ i−1j =1 a i j x ja i iScriviamo una function che traduce questo algoritmo, ricordando che in MATLAB dobbiamo cercare di vettorizzareil più possibile le operazioni tra matrici e tra matrici e vettori. In questo caso, cerchiamo di fare ilmeno possibile i cicli for. E, infatti, evitiamo di farlo per la somma ∑ i−1j =1 a i j x j . Vediamo come (nella functionfacciamo anche un controllo sulle dimensioni della matrice e del vettore termine noto).function x = sostavanti (A , b)% function x = sostavanti (A , b )% A e ’ una matrice triangolare i n f e r i o r e di dimensione n% b e ’ un v e t t o r e di lunghezza n% applichiamo i l metodo di s o s t i t u z i o n e in avanti per poter% r i s o l v e r e i l sistema Ax=b% Esempio% A= A=[1 0 0 ; 2 1 0 ; 1 2 3 ] ;% b = [ 1 ; 2 ; 3 ] ;% x=sostavanti (A , b )%%x =%% 1.0000% 0% 0.6667% Se scriviamo x=A\b abbiamo la s t e s s a r i s p o s t am= s i z e (A ) ;i f m( 1 ) ~= m( 2 )error (’MATLAB:sostavanti’ ,’matrice rettangolare’)endn=length (b ) ;i f m( 1 ) ~= nerror (’MATLAB:sostavanti’ , ’matrice e vettori di lunghezze diverse’)endx=zeros (n , 1 ) ;x (1)=b( 1 ) /A ( 1 , 1 ) ;for i =2:nx ( i )= (b( i ) − A( i , 1 : i −1)*x ( 1 : i −1) ) /A( i , i ) ;endendCome si vede dal listato, per calcolare ciascuna componente del vettore x, la somma ∑ i−1j =1 a i j x j viene fattacome prodotto tra la sottomatrice di A che considera la riga i -sima e tutti gli elementi di colonna che vannodalla prima colonna fino a quella i − 1 (quindi questa sottomatrice è un vettore riga) per il vettore x con lecomponenti dalla prima alla i − 1 (e x è stato inizializzato come un vettore colonna). Quindi il risultato cheotteniamo è uno scalare (in pratica stiamo facendo il prodotto scalare tra due vettori). C’è da dire, inoltre, chela prima componente del vettore x è stata già definita prima di entrare nel ciclo for quindi, quando i=2 nelciclo for, dobbiamo considerare solo la prima componente di x che già abbiamo.È naturale ora pensare ad una function che traduca in modo simile l’algoritmo di sostituzione all’indietro:per i = n fino a i = 1, procedendo all’indietro con passo −1x i =b i − ∑ nj =i+1 a i j x ja i iIn MATLAB scriviamo73

3. METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARIfunction x = s o s t i ndietro (A , b)% function x = s o s t i n d i e t r o (A , b )% A e ’ una matrice triangolare superiore di dimensione n% b e ’ un v e t t o r e di lunghezza n% applichiamo i l metodo di s o s t i t u z i o n e all ’ i n d i e t r o per poter% r i s o l v e r e i l sistema Ax=b% Esempio% A=[1 2 3 ; 0 2 1 ; 0 0 1 ] ;% b = [ 1 ; 2 ; 3]% >> x= s o s t i n d i e t r o (A , b )%% x =%% −7.0000% −0.5000% 3.0000% Se scriviamo x=A\b abbiamo la s t e s s a r i s p o s t am= s i z e (A ) ;i f m( 1 ) ~= m( 2 )error (’MATLAB:sostindietro’ ,’matrice rettangolare’)endn=length (b ) ;i f m( 1 ) ~= nerror (’MATLAB:sostindietro’ , ’matrice e vettori di lunghezze diverse’)endx=zeros (n , 1 ) ;x (n)=b(n) /A(n , n ) ;for i =n−1:−1:1x ( i )= (b( i ) − A( i , i +1:n) * x ( i +1:n) ) /A( i , i ) ;endendOsserviamo che queste function sono pensate esclusivamente per matrici che siano o triangolari inferiorio triagolari superiore.3.3 Metodi direttiPer risolvere sistemi lineari mediante metodi diretti, abbiamo visto la fattorizzazione LU e, per matricisimmetriche definite positive, la fattorizzazione di Cholesky.In MATLAB ci sono già delle function che permettono di fare queste fattorizzazioni.C’è infatti la function lu che fa la fattorizzazione LU, nel senso di Doolittle e mediante una matrice dipermutazione: si fa la fattorizzazione mediante una matrice di permutazione P per cui otteniamo PA = LU .Gli usi più semplici sono[L,U]= lu(A) dà in output la matrice U triangolare superiore e L che è il prodotto di P −1 per la matrice Ldella fattorizzazione (quindi possiamo anche non avere come matrice una triangolare inferiore!).Se vogliamo capire chi sia questa matrice di permutazione, basta scrivere [L,U,P]=lu(A)Per quanto riguarda la fattorizzazione di Cholesky, dalla teoria, abbiamo visto che, se esiste la fattorizzazione,possiamo scrivere A = LL T . Se invece di considerare L triangolare inferiore, pensiamo in termini diU = L T , abbiamo A = U T U .In MATLAB c’è la function chol che, di default, restituisce la matrice triangolare superiore U .Se vogliamo avere la L, dobbiamo aggiungere una stringa tra i parametri di input.In particolareU=chol(A) restituisce la matrice triangolare superiore tale che U T U = AL=chol(A,’lower’) restituisce la matrice triangolare inferiore tale che LL T = A.Se la matrice di input non è definita positiva si ha un messaggio di errore.74

3.4. Norme di vettoriEsercizio 3.3.1 Si provi a risolvere qualche esercizio di quelli proposti nei temi d’esame degli anni passati,implementando le function proposte (lu e chol) unitamente alle due function per la sostituzione in avantie all’indietro per risolvere i sistemi lineari degli esercizi proposti.3.4 Norme di vettoriDato un vettore x abbiamo visto che è possibile ”misurare“ in un certo modo il vettore (estendendo ilconcetto del valore assoluto di un numero) attraverso una misura chiamata norma.In particolare abbiamo visto tre norme:G Norma assoluta (o norma l 1 ), indicata con ‖ · ‖ 1 : ‖x‖ 1 = ∑ ni=1 |x i |G Norma massima (o norma infinito, l ∞ ), indicata con ‖ · ‖ ∞ : ‖x‖ ∞ = max 1≤i≤n |x i |G Norma euclidea (o norma l 2 ), indicata con ‖ · ‖ 2 : ‖x‖ 2 = √ ∑nx T x =i=1 |x i | 2Come implementare queste norme in MATLAB?Per la norma 1, ricordiamoci della function cum già utilizzata e consideriamo come norma 1 di un vettorela variabile norma data danorma=cum( abs ( x ) ) ;Per la norma infinito dobbiamo calcolare il massimo in valore assoluto delle componenti del vettore x.In MATLAB la function max calcola il massimo della variabile (scalare o vettoriale) data in input 1 , perciò lanorma infinito è data danorma=max( abs ( x ) ) ;Per la norma 2, la formula si può scrivere comenorma=sqrt (cum( x . ^ 2 ) ) ;oppure comenorma=sqrt ( x ’ * x ) ; % con x dato come v e t t o r e colonnaC’è tuttavia una function di MATLAB che fa già tutto questo e si chiama normG alfa=norm(x,1) restituisce la norma 1G alfa=norm(x) restituisce la norma 2 (potremmo anche scrivere alfa=norm(x,2) )G alfa=norm(x,inf) restituisce la norma infinito (al posto di inf possiamo anche scrivere Inf).Questa function ci tornerà utile anche per le norme su matrici.Per maggiori dettagli su questa e su tutte le altre function che abbiamo incontrato si rimanda all’helponline di MATLAB (o Octave).In molte occasioni ci serviranno vettori di norma unitaria (cioè la cui norma vale 1).Eseguiamo allora uno script per visualizzare graficamente, nello spazio R 2 , i vettori di norma unitarianelle varie norme 1, infinito e 2.Se un vettore x dello spazio R 2 , di componenti (x, y), ha norma unitaria in norma 1 vuol dire che |x|+|y| =1. Quindi, se facciamo variare la componente x nell’intervallo [−1,1], sarà |y| = 1 − |x|. In questo mododelimitiamo la regione dei vettori unitari di norma 1.Per la norma infinito, deve essere max(|x|,|y|) = 1: quindi se x ∈ [−1,1], vuol dire che se non vale |x| = 1sarà |y| = 1.Infine, per la norma 2, dovendo essere √ x 2 + y 2 = 1, si ha x 2 + y 2 = 1 da cui y = ± 1 − x 2 .1 Se l’argomento di input è una matrice, in output max restituisce il valore massimo di ogni colonna.75

3. METODI DIRETTI PER SISTEMI LINEARIQuindi consideriamo il vettore delle ascisse, in cui facciamo variare x nell’intervallo [−1,1] (non possiamoprendere ascisse al di fuori di questo intervallo perché poi, qualunque valore prendessimo per y, la norma di(x, y) sarebbe maggiore di 1 mentre noi vogliamo identificare i vettori di norma unitaria).A seconda del tipo di norma scelto, andremo a costruire il vettore delle corrispondenti ordinate, in mododa avere vettori di componenti (x i , y i ) in norma unitaria.Per fare il grafico dei risultati che otterremo procederemo seguendo due strade: intanto faremo un’unicafigura suddivisa in tre grafici che mostreranno la regione individuata dai vettori di norma unitaria per ciascunadelle tre norme considerate. A ciascuno di questi grafici faremo vedere un ”campione“ dei vettori dinorma unitaria.Per fare un’unica figura suddivisa in più grafici, usiamo il comando subplot che funziona così: immaginiamodi scomporre la figura in un certo numero di caselle disposte su m righe e n colonne, in modo dadover poi fare m × n grafici. I grafici vengono contati a partire dalla casella (1,1), riga dopo riga. Eseguiremole seguenti istruzioni:subplot (m, n , 1 ) %dobbiamo creare i l primo g r a f i c o nella prima% c a s e l l a in alto a s i n i s t r aplot ( x1 , y1 ) % i l g r a f i c o viene f a t t o s u l l a c a s e l l a ( 1 , 1 )subplot (m, n , 2 ) % attiviamo la seconda c a s e l l a ( 1 , 2 )plot ( x2 , y2 ) % facciamo i l secondo g r a f i c osubplot (m, n , 3 ) % attiviamo la seconda c a s e l l a ( 1 , 3 )plot ( x3 , y3 ) % facciamo i l secondo g r a f i c o...Per tornare a fare grafici nel modo solito (un unico grafico su un’unica figura) possiamo chiudere la figuracorrente, con il comando close(1) (se la figura è la figura 1) oppure close all (e chiudiamo tutte le figure).Oppure possiamo scrivere subplot(1,1,1) e poi fare il nuovo plot.Per poter poi visualizzare in due dimensioni dei vettori (come siamo abituati dalla fisica), useremo la functioncompass: compass(x,y) fa il grafico dei vettori di componenti [x(i), y(i)] come frecce che partonodall’origine del sistema di assi cartesiani.Ecco allora lo script (come nome possiamo dargli normeunitarie.m 2% s c r i p t per vedere n e l l e norme 1 , i n f i n i t o e 2 e nello spazio R^2% i v e t t o r i di norma unitaria .x=linspace ( −1 ,1);% norma1= | x | + | y |% norma1=1 −−> | y |= 1−|x |y1=1−abs ( x ) ;y2=−y1 ;subplot ( 3 , 1 , 1 ) % abbiamo suddiviso la figura in 3 righe e 1 colonna% quindi i g r a f i c i saranno incolonnati uno dopo l ’ a l t r oplot ( x , y1 ,’r’ ,’linewidth’ , 3)hold onplot ( x , y2 ,’r’ ,’linewidth’ , 3 )axis ([−1 1 −1 1 ] )axis (’square’)compass( x ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) , y1 ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) ) % non consideriamo t u t t i e 100 i v e t t o r i% ma solo alcuni , di 15 in 15.compass( x ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) , y2 ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) )legend (’norma 1’ ,’location’ ,’eastoutside’) % ’ location ’ , ’ eastoutside ’% pone la legenda al di f u o r i% del grafico , a e s thold o f f3).2 Abbiamo usato, all’interno di plot le istruzioni ’linewidth’,3 per aumentare lo spessore delle linee (in questo caso di misura76

3.4. Norme di vettori% normainf = max( | x | , | y | )% normainf =1 −−−> max( | x | , | y | ) = 1% se | x | ~= 1 −−> | y | ==1y1=zeros ( 1 0 0 , 1 ) ;y2=y1 ;for i =1:100i f ( abs ( x ( i ) ) ~= 1)y1 ( i ) = 1 ;y2 ( i )=−1;endendsubplot ( 3 , 1 , 2 )plot ( x , y1 ,’b’ , ’linewidth’ , 3)hold onplot ( x , y2 ,’b’ ,’linewidth’ , 3)axis ([−1 1 −1 1 ] )axis (’square’)compass( x ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) , y1 ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) )compass( x ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) , y2 ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) )legend (’norma inf’ ,’location’ ,’eastoutside’)hold o f f% norma2 = s q r t ( x^2+y ^2)% norma2 =1 −−−> s q r t ( x^2+y^2)= 1% −−−> x^2 +y^2 =1 −−> y^2= 1−x^2y1=sqrt(1−x . ^ 2 ) ;y2=−y1 ;subplot ( 3 , 1 , 3 )plot ( x , y1 ,’g’ ,’linewidth’ , 3)hold onplot ( x , y2 ,’g’ ,’linewidth’ , 3)compass( x ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) , y1 ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) )compass( x ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) , y2 ( 1 : 1 5 : 1 0 0 ) )axis ([−1 1 −1 1 ] )axis (’square’)legend (’norma 2’ ,’location’ ,’eastoutside’)hold o f f77

CAPITOLO 4Metodi iterativi per sistemi lineariUna macchina è in grado di lavorarecome cinquanta uomini comuni,ma nessuna macchina può svolgereil lavoro di un uomo straordinario.Elbert Hubbard4.1 Metodo di Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 Modificare jacobi.m per implementare gli altri metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.1 Metodo di Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.2 Metodo di rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Continuiamo la nostra rassegna di function di MATLAB utili per lavorare con matrici e vettori.G la function norm serve anche per calcolare la norma di matrici. In particolare– norm(A) o norm(A,2) restituisce la norma 2 della matrice A;– norm(A,1) restituisce la norma 1 della matrice A;– norm(A,inf) restituisce la norma infinito della matrice A;– norm(A,’fro’) restituisce la norma di Frobenius o euclidea della matrice A;G la function eig applicata ad una matrice A restituisce un vettore con gli autovalori della matrice. Applicatanel modo [V,D]=eig(A) restituisce in V la matrice con gli autovettori della matrice, corrispondentiagli autovalori che si trovano sulla diagonale della matrice diagonale D.Possiamo vedere ora nei dettagli i metodi iterativi per sistemi lineari. Abbiamo visto che la matrice delsistema lineare Ax = b si può scomporre come A = L + D + U dove L è la matrice triangolare inferiore, Dla diagonale e U la triangolare superiore i cui elementi sono i corrispondenti di A. In MATLAB potremmodefinire queste matrici con le seguenti righe di comandiL= t r i l (A, −1);D=diag ( diag (A ) ) ;U= t r i u (A, + 1 ) ;Questa scomposizione può essere utile per avere, a priori, informazioni sui metodi che andremo a usare, manon per la loro implementazione. Vediamo nei dettagli come implementare il metodo di Jacobi4.1 Metodo di JacobiNel metodo di Jacobi, la matrice di iterazione vale E J = I − D −1 A = I − D −1 (L + D +U ) = −D −1 (L +U ).Lo schema è dato dax (k+1) = E J x (k) + D −1 bx (k+1) = −D −1 (L +U )x (k) + D −1 b79

4. METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARIComponente per componente abbiamox (k+1)i=(D −1 ) i i1a i i⇑⎡⎢⎣ b i −(Lx (k) ) ii−1∑j =1a i j x (k)j⇑−n∑(U x (k) ) ij =i+1⇑⎤a i j x (k)⎥j ⎦per i = 1,...,nQuello che faremo per implementare il metodo di Jacobi sarà proprio usare quest’ultima formula. Ciascunacomponente del nuovo vettore x (k+1) sarà scritto come x(i)= (b(i) − sum1 −sum2)/A(i,i) dove sum1corrisponde a ∑ i−1j =1 a i j x (k) e sum2 a ∑ njj =i+1 a i j x (k) .jLo schema iterativo si basa sempre su un ciclo while e si procederà con le iterazioni fintantochè le iterazionifatte sono minori di un numero massimo prefissato e (attenzione!) la norma del vettore scarto saràmaggiore di una tolleranza prefissata. Stiamo lavorando su vettori e quindi lo scarto, visto come la differenzatra le approssimazioni a due passi successivi è un vettore! Per controllare che lo scarto sia minore di una certatolleranza, utilizziamo una misura globale, vale a dire una norma vettoriale (in genere useremo la normaeuclidea su vettori). In modo del tutto analogo a quanto fatto per gli schemi iterativi per gli zeri di funzione,facciamo un’approssimazione della costante asintotica del metodo (che, ricordiamo, è il raggio spettrale dellamatrice di iterazione), mediante il rapporto tra le norme degli scarti a due iterazioni successive. Useremoquesto valore, per avere una stima della velocità asintotica di convergenza R = −log 10 (ρ(E)).Vediamo, allora, la function, in modo da capire bene cosa facciamo, cosa diamo in input e cosa ci facciamodare in output.function [xnew , i t e r , scarto ]= jacobi (A , b , itmax , tol , x0 , stringa )% function [xnew , i t e r , scarto ]= jacobi (A , b , itmax , tol , x0 , stringa )% implementazione del metodo di Jacobi per r i s o l v e r e i l sistema l i n e a r e% Ax=b% dati di input% A : matrice quadrata del sistema l i n e a r e% b : v e t t o r e termine noto% itmax : numero massimo di i t e r a z i o n i da e f f e t t u a r e% t o l : tolleranza s u l l a soluzione% x0 : v e t t o r e di approssimazione i n i z i a l e% stringa : nome del f i l e di r i s u l t a t i , da s c r i v e r e come stringa di c a r a t t e r i% esempio : stringa = ’ r i s j a c o b i . r i s ’% la v a r i a b i l e stringa puo ’ anche e s s e r e omessa e , in t a l caso ,% non viene generato nessun f i l e di r i s u l t a t i% Esempio% A=[10 3 4 ; 2 8 5 ; 7 6 1 5 ] ;% b =[17; 15; 2 8 ] ;% itmax=200; t o l =1. e −10;% x0=zeros ( 3 , 1 ) ;% [xnew , i t e r , scarto ]= jacobi (A , b , itmax , tol , x0 )% s i ricava% xnew=% 1.0000% 1.0000% 1.0000% i t e r = 121% e i l v e t t o r e scarto di 121 componenti%% aggiungiamo la v a r i a b i l e% stringa = ’ r i s j a c o b i . r i s ’ ;% [xnew , i t e r , scarto ]= jacobi (A , b , itmax , tol , x0 , stringa )% o l t r e ai dati di prima , viene generato i l f i l e r i s j a c o b i . r i s% da cui s i puo ’ vedere come la stima del raggio s p e t t r a l e% s i a 8.17131760e−01 e per la velocita ’ di convergenza s i ha% 8.77079092e−0280

4.1. Metodo di Jacobim= s i z e (A ) ;i f m(1)~=m( 2 )error (’MATLAB:jacobi’ ,’matrice A rettangolare’)endn=length (b ) ;i f m(1)~=nerror (’MATLAB:jacobi’ ,’matrice e termine noto: diverse dimensioni’)endi t e r =1;scarto=ones ( itmax , 1 ) ;x0=x0 ( : ) ;xold=x0 ;xnew=zeros (n , 1 ) ; % i n i z i a l i z z a z i o n e del v e t t o r e xnew per% rendere piu ’ e f f i c i e n t e l ’ implementazionewhile i t e r = t o li t e r = i t e r +1;for i =1:nsom1=A( i , 1 : i −1)* xold ( 1 : i −1);som2=A( i , i +1:n) * xold ( i +1:n ) ;xnew( i ) = (b( i )−som1−som2) /A( i , i ) ;endsc=xnew − xold ;scarto ( i t e r )=norm( sc , 2 ) ;xold=xnew ;endi f nargin==6asint=scarto ( 2 : i t e r ) . / scarto ( 1 : i t e r −1);vel_conv=−log10 ( asint ) ;scarto=scarto ( 2 : i t e r ) ;i t e r = i t e r −1;% scarto , asint e vel_conv sono v e t t o r i colonna , percio ’ l i mettiamo% come v e t t o r i riga nella matrice A che c i serve per la stampaA= [ [ 1 : i t e r ] ; scarto ’ ; asint ’ ; vel_conv ’ ] ;f i d =fopen ( stringa ,’w’ ) ;f p r i n t f ( fid , ’%5s %12s %12s %12s’ , ’iter’ , ’norma scarto’ , ’M’ , ’R’ ) ;f p r i n t f ( fid , ’\n%5d %12.8e %12.8e %12.8e’ , A ) ;f p r i n t f ( fid , ’\n \r’ ) ;f c l o s e ( f i d ) ;elsescarto=scarto ( 2 : i t e r ) ;i t e r = i t e r −1;endendI dati di input (rispetto alle function che abbiamo visto fino ad ora) possono variare: sono contemplati duecasiG Nel primo caso i dati di input sono la matrice del sistema A, il vettore termine noto b, il numeromassimo di iterazioni itmax, la tolleranza tol, l’approssimazione iniziale x0.G Nel secondo caso, aggiungiamo, ai dati precendenti una stringa che corrisponde al nome di un file dirisultati.La function viene definita con il numero massimo di dati di input possibile. Ci accorgiamo che è possibileusare l’uno o l’altro caso andando sulla parte finale della function dove c’è un ciclo if che controlla una variabilechiamata nargin. Questa variabile, però, non è definita all’interno della function come accade periter, xold o altre variabili. Infatti nargin è una function di MATLAB che, usata all’interno di una function,dice il numero delle variabili di input della function stessa. In questo caso diciamo: se i parametri di inputsono 6 (la matrice, il termine noto, itmax, tol, x0, stringa) allora andiamo a calcolare le stime della costan-81

4. METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARIte asintotica e della velocità asintotica di convergenza e questi dati, insieme alle iterazioni e alla norma degliscarti, li salviamo su un file (il file chiamato stringa). In caso contrario (avremo quindi solo le prime 5 variabilidi input) non andremo a salvare questi dati su un file di output.Avere o meno la sesta variabile, comporta la scrittura o meno di un file di risultati. Invece, in outputabbiamo il vettore finale che approssima la soluzione del sistema lineare, il numero effettivo delle iterazionieffettuate e il vettore con le norme del vettore scarto. La stima della costante asintotica e della velocità diconvergenza viene stampata, se si vuole, solo sul file di risultati (e le stime sono per ogni iterazione effettuata).La function è strutturata nel modo seguente:G controlla che la matrice del sistema sia quadrata;G controlla che la dimensione della matrice sia uguale alla lunghezza del vettore termine notoG inizializza a uno, un vettore chiamato scarto in cui andremo a salvare la norma euclidea del vettoresc. Il vettore sc rappresenta il vettore scarto tra il vettore che approssima la soluzione all’iterazionecorrente meno il vettore approssimazione all’iterazione precedente. Facciamo questa inizializzazioneper una maggiore efficienza dell’esecuzione della function. In questo modo, la prima componente delvettore (come le altre) vale uno, valore maggiore della tolleranza data in input;G inizializziamo a 1 la variabile che conta le iterazioni (con la convenzione che iter=1 corrisponde all’iterazione0: questo ci serve per poter dire che scarto(iter) corrisponde, formalmente, all’iterazioneiter-1;G rendiamo il vettore x0, l’approssimazione iniziale, come vettore colonna (nel caso non fosse già vettorecolonna);G introduciamo la variabile xold e la poniamo uguale a x0.xold ha il significato di vettoreapprossimazione al passo precedente;G inizializziamo a zero il vettore approssimazione al passo corrente, che chiamiamo xnew (operazione,questa, fatta per ragioni di efficienza);G parte il ciclo while con il controllo sul numero delle iterazioni e sul vettore scarto: all’interno delciclo while...– ... si aggiorna la variabile iter– si aggiorna la variabile xnew andando a salvare in sum1 e sum2 le somme che abbiamo scrittoprima: queste somme possono essere fatte in forma compatta, come vediamo dall’istruzionescritta– si scrive la formula per la componente i-sima di xnew.– si scrive il vettore scarto sc– si calcola la norma del vettore scarto, salvando il valore nella componente di posto iter delvettore scartoG si controlla se abbiamo 6 variabili di input per fare una stima della costante asintotica ρ(E j ) e di R,usando il vettore degli scarti (si hanno le due variabili asint e vel_conv). Se c’è da fare la stampa, sistampano sul file anche le iterazioni e le norme degli scarti. Si sistema il vettore scarto considerando ivalori effettivi degli scarti (scarto=scarto(2:iter)) e si aggiorna iter sottraendo ad esso un’unità (in questomodo non abbiamo più quella traslazione fatta all’inizio);G se invece le variabili di input non sono 6, allora sistemiamo solo il vettore scarto e la variabile iterIn uscita abbiamo quindi l’ultimo vettore xnew che è stato approssimato (quindi il vettore che approssima ilvettore soluzione del sistema da risolvere), il numero delle effettive iterazioni, e il vettore delle norme euclideedegli scarti. In questo modo possiamo anche fare un grafico semilogaritmico di convergenza.82

4.2. Modificare jacobi.m per implementare gli altri metodiEsercizio 4.1.1 Si provi ad implementare la function jacobi.m per risolvere il sistema Ax = b dove⎛⎞ ⎛ ⎞4 −1 0 −1 0 0 0 0 02−1 4 −1 0 −1 0 0 0 010 −1 4 0 0 −1 0 0 02−1 0 0 4 −1 0 −1 0 01A =0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0b =00 0 −1 0 −1 4 0 0 −11⎜0 0 0 −1 0 0 4 −1 0⎟ ⎜2⎟⎝ 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1⎠⎝1⎠0 0 0 0 0 −1 0 −1 42La matrice viene dalla discretizzazione di un’equazione alle derivate parziali che si incontra spesso in diverseapplicazioni (l’equazione di Poisson − ∂2 u∂x 2 − ∂2 u= g (x, y)) mentre il termine noto è stato scelto sommandogli elementi sulle righe di A in modo che la soluzione del sistema lineare sia esattamente il vettore∂y2di tutti uno.Si ponga il vettore iniziale x0 come il vettore di tutti zero, itmax=100, tol=1.e-10.Si provi ad eseguire la function la prima volta senza inserire tra gli input la variabile stringa e la secondavolta inserendo come stringa, il nome di un file di risultati (per esempio stringa=’jacobi.ris’ e si chiamala function come [xnew,iter,scarto]=jacobi(A,b,itmax,tol,x0,stringa) oppure direttamente si chiami la functioncome [xnew,iter,scarto]=jacobi(A,b,itmax,tol,x0,’jacobi.ris’)) Si faccia poi il grafico di convergenza semilogaritmico.Si verifichi che il vettore xnew approssima correttamente la soluzione esatta (per esempio sicalcoli la norma euclidea dell’errore).Esercizio 4.1.2 Considerando il sistema lineare dell’esercizio precedente e usando le function di MATLAB,si provi a scrivere la matrice di iterazione del metodo di Jacobi, si calcoli il suo raggio spettrale e si confrontiil valore ottenuto con quello stimato dalla function jacobi.m4.2 Modificare jacobi.m per implementare gli altri metodiA questo punto siamo pronti a implementare anche il metodo di Gauss-Seidel e di rilassamento.4.2.1 Metodo di Gauss-SeidelCopiamo la function jacobi.m dando il nome seidel.m (facciamo cp jacobi.m seidel.m dauna finestra di terminale).La function che abbiamo scritta va modificata in modo da avere l’algoritmo di Gauss-Seidel. Cosa cambia?Scriviamo la formula per la componente i -sima del vettore che approssima la soluzione al nuovo passoiterativo (per i dettagli si rimanda alla dispensa):[x (k+1) = 1ia i ii−1 ∑b i −j =1a i j x (k+1)j−n∑j =i+1a i j x (k)j]per i = 1,...,nCosa cambia rispetto alla formula scritta per Jacobi?implementa Gauss-Seidel?Cosa va modificato, quindi nell’algoritmo che83

4. METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARIViene lasciato per esercizio, modificare la function di Jacobi per implementare in modo corretto il metododi Gauss-Seidel. Non va cambiato niente a parte UNA riga della function! (oltre a cambiare il nome dellafunction, e la scrittura jacobi con seidel dove occorre).Esercizio 4.2.1 Si esegua la function seidel.m per risolvere l’esercizio precedente.4.2.2 Metodo di rilassamentoQuesta volta copiamo la function seidel.m dando il nome del file copiato come sor.m orilassamento.m.Tra i dati di input, va aggiunto il parametro ω. Quindi questa volta i dati di input saranno o 6 o 7:ciò significa che nel ciclo if dove si fa il controllo sul numero delle variabili di input (nargin) va fatta unacorrezione!Scriviamo la formula per la componente i -sima del vettore che approssima la soluzione al passo k + 1:x (k+1) = (1 − ω)x (k)i+ ω i−1 ∑[bi i −a i ij =1a i j x (k+1)j−n∑j =i+1a i j x (k)jCosa va modificato adesso, nella formula da implementare?]per i = 1,...,nEsercizio 4.2.2 Si risolva l’esercizio precedente per diversi valori di ω. Si confrontino, per vari valori di ω ilnumero delle iterazioni effettuate per arrivare a convergenza.Esercizio 4.2.3 Si provi a scrivere uno script che implementa il metodo sor per diversi valori di ω. Comeesempio da implementare si consideri sempre il sistema lineare considerato fino ad ora, mentre si facciavariare ω tra 1 e 1.5 con incremento 0.1. La function di rilassamento va dunque chiamata all’interno di unciclo for o di un ciclo while. Quale dei due cicli è preferibile?Suggerimenti sulla soluzione: Si provi a implementare un ciclo for, nei modi seguenti (equivalenti)for omega= 1 : 0 . 1 : 1 . 5omegaendPoi si controlli che l’ultimo valore di omega sia effettivamente corretto. omega

4.2. Modificare jacobi.m per implementare gli altri metodiVa tutto bene. Proviamo ora a scrivere un ciclo whileomega=1;while omega

4. METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARIGli altri dati (le norme degli scarti, le stime della costante asintotica, e della velocità di convergenza)vengono stampati sul file di risultati generato all’interno della function sor: basta aprire un file di risultatiin cui i dati vengano appesi e non sovrascritti. L’importante è stampare anche il valore di omega per lasimulazione effettuata. Quindi nella function sor.m le righe relative alla stampa dei dati possono essere leseguentif i d =fopen ( stringa ,’a’ ) ;f p r i n t f ( fid ,’%12s %12.8g’ , ’omega = ’ , omega ) ;f p r i n t f ( fid , ’\n \r’ ) ;f p r i n t f ( fid , ’%5s %12s %12s %12s’ , ’iter’ , ’norma scarto’ , ’M’ , ’R’ ) ;f p r i n t f ( fid , ’\n%5d %12.8e %12.8e %12.8e’ , A ) ;f p r i n t f ( fid , ’\n \r’ ) ;f c l o s e ( f i d ) ;Come si può osservare, per la stampa dei dati fatta internamente alla function, rispetto alla function di Jacobiabbiamo cambiato ben poco.86

CAPITOLO 5Problemi non lineariUn computer è quasi umano, a parteil fatto che non attribuisce i proprierrori a un altro computer.Anonimo5.1 Metodo di Newton per sistemi non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Minimi quadrati non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.1 Metodo di Newton per sistemi non lineariAffrontiamo in questa sezione l’algoritmo per risolvere sistemi di due equazioni non lineari in dueincognite, utilizzando il metodo di Newton (per la parte che riguarda la teoria si vedano le dispense).Abbiamo un sistema di due equazioni in due incognite. In genere scriviamo il sistema comef (x, y) = 0g (x, y) = 0dove f e g sono due funzioni che dipendono dalle variabili x e y (x e y variabili scalari).Per introdurre il metodo e implementarlo, facciamo un cambio di notazione e pensiamo a vettori.Pensiamo ad un punto (o vettore) nello spazio R 2 le cui componenti sono x e y: chiamiamo queste componenticome x 1 e x 2 e il punto (o vettore) come x. Quindi x ha coordinate x 1 e x 2 e può essere visto come unvettore di componenti x 1 e x 2 .Mettiamo insieme le due funzioni e abbiamo una funzione vettoriale le cui componenti sono le due funzionistesse. Chiamiamo, cambiando notazione, f 1 e f 2 le due funzioni che dipendono quindi da x 1 e x 2 .Possiamo scrivere f 1 (x 1 , x 2 ) o f 1 (x) (e analogamente possiamo fare per f 2 ). Quindi introduciamo la funzionevettoriale f le cui componenti sono f 1 e f 2 . Quindi f = (f 1 , f 2 ) e f(x 1 , x 2 ) = f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)).Riprendiamo l’esempio visto nella teoria:{9x21+ 4x 2 2 − 36 = 0x 2 1 − x 2 − 1 = 0In questo caso abbiamo f 1 (x 1 , x 2 ) = 9x 2 1 + 4x2 2 − 36 e f 2(x 1 , x 2 ) = x 2 1 − x 2 − 1. La funzione f ha dunque questedue componenti e x è il vettore di componenti x 1 , x 2 .Possiamo visualizzare graficamente il sistema da risolvere, utilizzando in MATLAB la function ezplot.Creiamo prima le function inline che ci danno f 1 e f 2 come funzioni di due variabili (si può fare), poi usiamola function ezplot che, in questo caso, ci visualizzerà, nel piano [−2π,2π] × [−2π,2π] tutti i punti in cui lafunzione che ha come argomento vale zero.87

5. PROBLEMI NON LINEARIf = i n l i n e (’9.*x1.^2+4*x2.^2-36’)g= i n l i n e (’x1.^2-x2-1’)ezplot ( f )hold onezplot ( g )hold o f fPer implementare l’algoritmo, tuttavia, non abbiamo bisogno solo delle due funzioni del sistema darisolvere, ma abbiamo bisogno anche della matrice Jacobiana che, valutata in un punto x (0) si scrive come⎛J(x (0) ) = ⎜⎝∂f 1 (x (0)1 , x(0) 2 )∂f 1 (x (0)∂x 1 ∂x 2∂f 2 (x (0)∂x 1∂f 2 (x (0)1 , x(0) 2 )1 , x(0) 2 )1 , x(0) 2 )∂x 2⎞⎟⎠Il metodo di Newton da implementare è sintetizzato nel modo seguente:G Partire da un’approssimazione iniziale x (0)G Per k = 0,1,2,... fino a convergenza– Risolvere il sistema J(x (k) )p (k) = −f(x (k) )– Porre la nuova approssimazione x (k+1) = x (k) + p (k)Rivedendo l’algoritmo ci accorgiamo che, ad ogni passo, ci serve sia f(x (k) ) sia J(x (k) ). Allora, ci convienescrivere una function come M-file, che in input abbia il vettore di due componenti x e che in output ci dia siala funzione vettoriale f(x) sia la matrice Jacobiana.Vediamo come scrivere la funzione vettoriale e la matrice Jacobiana dell’esempio che stiamo considerando.Chiamiamo la function fun2comp.m per sottolineare che stiamo lavorando su una funzione vettorialeche ha due funzioni componenti e due incognite.function [ f , J f ]=fun2comp( x )% in input x v e t t o r e di due componenti , la prima corrisponde a x1 ,% la seconda a x2% in output v e t t o r e della funzione v e t t o r i a l e valutata in x% quindi f e ’ un v e t t o r e di due componenti ,% la prima componente corrisponde a f1 ( x1 , x2 )% la seconda componente corrisponde a f2 ( x1 , x2 )% J f e ’ la matrice jacobiana valutata in x% l e componenti corrispondono a l l e derivate p a r z i a l i% di f1 e f2% J f =[ f1_x f1_y ; f2_x f2_y ]% Esempio% x=[1 2 ] ; % va bene anche x = [ 1 ; 2 ] ;% [ f , J f ]=fun2comp ( x )% f =%% −11% −2%%% J f =%% 18 16% 2 −1%f = [ 9 . * x ( 1 ) . ^ 2 + 4 . * x (2).^2 −36.; x (1).^2 − x ( 2 ) − 1 . ] ;J f =[ 18.* x ( 1 ) , 8 . * x ( 2 ) ; 2 . * x ( 1 ) , −1. ] ;end88

5.1. Metodo di Newton per sistemi non lineariOsserviamo come f sia un vettore di componenti f 1 (x) e f 2 (x), mentre Jf rappresenta la matrice Jacobiana.Per implementare il metodo di Newton, si tratta ora di estendere le nostre conoscenze sul metodo diNewton-Raphson e la sua implementazione nel caso scalare.Dal listato che ora vedremo, noteremo qualche differenza non solo sul fatto di usare ora dei vettori maanche sulle variabili usate.G Lavoriamo solo una variabile (vettore) che chiamiamo x e non su due variabili xold e xnew: questoperchè aggiorniamo ogni volta il vettore x mediante la formula x = x+p dove pG La soluzione del sistema lineare, dove la matrice del sistema è la matrice Jacobiana, viene risolto usandola function di MATLAB implementata tramite il simbolo \. è il vettore soluzione del sistema linearecon la matrice Jacobiana che corrisponde al vettore scarto (oltrechè alla nuova direzione del vettoreapprossimazione).G Il ciclo while controlla non solo le iterazioni e la norma del vettore scarto, ma anche la norma dellafunzione vettoriale calcolata nella nuova approssimazione (un controllo in più per vedere se ci stiamoavvicinando a convergenza). Usiamo la norma perchè la funzione è vettoriale e ha due componenti.G La stampa dei valori intermedi viene fatta su un file di risultati che viene scritto all’interno del ciclowhile (questo per evitare di salvare ogni volta il vettore x – andrebbe salvato su una matrice – e lanorma della funzione vettoriale – che non ci serve successivamente. Salviamo su vettore solo la normadel vettore p (cioè la norma del vettore scarto), in modo da poter successivamente fare il grafico diconvergenza semilogaritmico.Viste le principali differenze/aggiunte/cambiamenti rispetto a quello che era lo schema di Newton-Raphsonper funzioni scalari, vediamo la function (che chiamiano nonlinsis2.m per dire che stiamo risolvendosistemi di due equazioni non lineari).function [ x , i t e r , scarto ]= nonlinsis2 ( f , x0 , tol , itmax , stringa )%function [ x , i t e r , scarto ]= nonlinsis2 ( f , x0 , tol , itmax )%% dati di input : funzione v e t t o r i a l e che f o r n i s c e in output s i a la% funzione v e t t o r i a l e del sistema da r i s o l v e r e , s i a% la matrice Jacobiana legata al sistema s t e s s o% Questa function va s c r i t t a come m−f i l e e dato in input% scrivendo i l nome della function tra apici% x0 v e t t o r e approssimazione i n i z i a l e , di due componenti% t o l tolleranza% itmax numero massimo di i t e r a z i o n i% stringa stringa con i l nome del f i l e di r i s u l t a t i% dati di output : x v e t t o r e che approssima la soluzione del sistema% i t e r numero di i t e r a z i o n i e f f e t t u a t e% scarto v e t t o r e d e l l e norme euclidee del v e t t o r e scarto% u t i l e per f are i l g r a f i c o di convergenza% Esempio% utilizzando la function fun2comp .m ( vedasi dispensa ) d e f i n i t a come% function [ f , J f ]=fun2comp ( x )% f = [ 9 . * x ( 1 ) . ^ 2 + 4 . * x (2).^2 −36.; x(1).^2 −x ( 2 ) − 1 . ] ;% J f =[ 18.* x ( 1 ) , 8 . * x ( 2 ) ; 2 . * x ( 1 ) , −1. ] ;% end% dalla Command Window o da uno s c r i p t , s i eseguono l e seguenti i s t r u z i o n i% x0=[1 1 ] ;% t o l =1. e −12; itmax=100;% stringa = ’ s i s n o n l i n e a r i . r i s ’ ;% [ x , i t e r , scarto ]= nonlinsis2 ( ’ fun2comp ’ , x0 , tol , itmax , stringa )% s i ricava% x =%% 1.645049516952767% 1.706187913226531%89

5. PROBLEMI NON LINEARI%% i t e r =%% 6%%% scarto =%% 1.228623445541495% 0.272914827357931% 0.019246539508239% 0.000111222483488% 0.000000003759668% 0.000000000000000%% viene generato i l f i l e di r i s u l t a t i ed e ’ p o s s i b i l e f are i l g r a f i c o% di convergenzax0=x0 ( : ) ; % scriviamo i l v e t t o r e come v e t t o r e colonna per poter% f a r e la visualizzazione dei r i s u l t a t i nel f i l e di r i s u l t a t if i d =fopen ( stringa ,’w’ ) ;f p r i n t f ( fid , ’%3s %12s %12s %18s %18s \n’ , ’iter’ ,’norma scarto’ , ’||f(x_k)||’ , ’x1’ , ’x2’ ) ;scarto=zeros ( itmax , 1 ) ;scarto ( 1 ) = 2 . * t o l ;i t e r =1;x=x0 ;[ fx , Jx ]= f eval ( f , x ) ;f p r i n t f ( fid , ’%3d %12.6e %12.5e %18.16f %18.16f \n’ , [ i t e r scarto ( i t e r ) norm( f x ) x0 ’ ] ’ ) ;% s i o s s e r v i in f p r i n t f che abbiamo s c r i t t o i l v e t t o r e x0 traspostowhile i t e r t o l && norm( f x ) >eps% s i o s s e r v i l ’ u l t e r i o r e c o n t r o l l o s u l l a norma della funzione v e t t o r i a l ei t e r = i t e r +1;p= −Jx \ f x ;x=x +p ;scarto ( i t e r )=norm(p ) ;[ fx , Jx ]= f eval ( f , x ) ;f p r i n t f ( fid , ’%3d %12.6e %12.5e %18.16f %18.16f \n’ , [ i t e r −1 scarto ( i t e r ) norm( f x ) x ’ ] ’ ) ;endscarto=scarto ( 2 : i t e r ) ;i t e r = i t e r −1;endA questo punto possiamo risolvere il sistema proposto, eseguendo (tramite script o sulla Command Window)le istruzioni che troviamo nell’help della function nonlinsis2. E possiamo risolvere tanti altri problemi,scrivendo semplicemente la function che fornisce in output la funzione vettoriale delle equazioni del sistemae la matrice jacobiana. Se chiamiamo questa function (per esempio) fun2.m poi andremo a chiamarla nellanonlinsis2 inserendola come ’fun2’ (tra apici).90

5.2. Minimi quadrati non lineariEsercizio 5.1.1 Si consideri il sistemax 2 1 − 2x 1 − x 2 − 1 = 0x 2 1 + x2 2 − 1 = 0Si faccia il grafico delle due equazioni del sistema per capire, graficamente, la/le soluzioni del sistema stesso.Si scriva una function dal nome funes.m da utilizzare come function di input per la nonlinsis2 perrisolvere numericamente il sistema di equazioni. Si consideri tol=1.e-12, itmax=50 e x0=[1, 1] esuccessivamente x0=[-1,1]. Per ogni simulazione si veda la soluzione che si ricava e si faccia un graficodi convergenza semilogaritmico.5.2 Minimi quadrati non lineariIn questa sezione affrontiamo il problema di risolvere il problema ai minimi quadrati non lineare chesi incontra nell’ambito dell’individuazione delle coordinate di una posizione tramite il sistema GPS. Sonodate n misure d i tra un punto incognito P 0 di coordinate (x 0 , y 0 ) (il ricevitore) ed n punti noti P i (x i , y i ) (isatelliti GPS). La distanza osservata è affetta da errore e, per trovare le coordinate di P 0 si minimizza unacerta funzione (simile a quella incontrata per calcolare la retta di approssimazione ai minimi quadrati).Poichè la funzione da minimizzare è non lineare, si opera una linearizzazione tramite la formula di Taylorutilizzando un valore provvisorio di coordinate note, denotate come (x, y).I passaggi principali da considerare sono (per le formule complete si rimanda alla dispensa di teoria):G La funzione da minimizzare èn∑ √S(x 0 , y 0 ) = (d i − (x i − x 0 ) 2 + (y i − y 0 ) 2 ) 2i=1non lineare in x 0 , y 0 .G Si introduce la funzione δ i (x, y) = √ (x i − x) 2 + (y i − y) 2 , per i = 1,2,...,n in modo che d i = δ i (x 0 , y 0 )+ɛ i(ɛ i è l’errore della misura rilevata).G Si applica la formula di Taylor a ciascuna funzione δ i con centro nel punto provvisorio x, y).G In questo modo abbiamoδ i (x 0 , y 0 ) = δ i (x, y) + ∂δ i (x, y)∂x(x 0 − x) + ∂δ i (x, y)(y 0 − y)∂yG Introduciamo il vettore b di componenti b i = d i − δ i (x, y) (dipende dalle derivate parziali di δ i ). Si ha∂δ(x, y) ∂δ(x, y)b i = (x 0 − x) + (y 0 − y) + ɛ i .∂x∂yG Introduciamo il vettore ɛ = (ɛ 1 ,ɛ 2 ,...,ɛ n ) T e la matrice A di n righe e 2 colonne data da⎛⎞ ⎛∂δ 1 (x, y) ∂δ 1 (x, y)∂x ∂y− (x 1 − x)− (y ⎞1 − y)δ 1 (x, y) δ 1 (x, y)∂δ 2 (x, y) ∂δ 2 (x, y)− (x 2 − x)− (y 2 − y)A =∂x ∂y=δ 2 (x, y) δ 2 (x, y)....⎜⎟ ⎜⎝ ∂δ n (x, y) ∂δ n (x, y) ⎠ ⎝− (x n − x)− (y ⎟n − y) ⎠∂x ∂y δ n (x, y) δ n (x, y)91

5. PROBLEMI NON LINEARIG In base alle formule scritte prima, esiste una relazione tra A, i vettori b e ɛ: infatti, ponendo ξ = (x 0 −x, y 0 − y) T si haoAξ + ɛ = bɛ = b − AξTornando alla funzione da minimizzare, si può vedere che vale S(x 0 , y 0 ) = ∑ ni=1 ɛ2 i = ɛT ɛPoichè ɛ dipende da ξ, si può anche scrivere, in forma matriciale, (saltiamo tutti i passaggi intermedi)S(ξ) = b T b − b T Aξ = −ξ T A T b + ξ T A T AξPer trovare per quale valore di ξ la S è minima, si deve imporre uguale a zero la derivata di S rispetto al vettoreξ, vale a dire rispetto a ciascuna componente di ξ. Si ricava:A T Aξ = A T bRisolvendo questo sistema si trova ξ che minimizza S. E una volta ricavato ξ, possiamo ricavare i valori x 0 ey 0 , ricordando che ξ = (x 0 − x, y 0 − y) T .Fatta questa breve premessa, vediamo cosa dobbiamo fare in MATLAB per risolvere il problema. I datia disposizione saranno: le distanze osservate d i , le ascisse e le ordinate dei satelliti (per semplicità stiamolavorando in uno spazio bidimensionale), le coordinate del valore di riferimento provvisorio (x, y).Vediamo la functionfunction [ x0 , A]= lsn ( doss , xsat , ysat , pprov ) ;% function [ coord , A]= lsn ( doss , xsat , ysat , pprov )% dati di input% doss : v e t t o r e d e l l e distanze o s s e r vate% xsat : v e t t o r e d e l l e a s c i s s e dei s a t e l l i t i% ysat : v e t t o r e d e l l e corrispondenti ordinate dei s a t e l l i t i% pprov : punto provvisorio di riferimento di due componenti% ( a s c i s s a e ordinata del valore di riferimento )% dati di output% x0 : v e t t o r e che contiene l ’ a s c i s s a e l ’ ordinata del% punto incognito% A : matrice A della formula ( con l e derivate p a r z i a l i )% A^T A xi = A^T b con b=doss−distanza_rispetto_pprov% xi = A^A A / A^T b% x0= xi+pprov% Esempio% xsat =[7 2 1 10 −5 −20]% ysat =[ 9 7 4 15 8 −15]% pprov =[4.04 4 . 9 6 ]% doss =[5 2.83 3.16 11.66 9.48 31.24]% [ x0 , A]= lsn ( doss , xsat , ysat , pprov )% r e s t i t u i s c e% x0=% 3.997633885126340% 5.001312558881406% A=% −0.591017363980430 −0.806658834621938% 0.707106781186548 −0.707106781186548% 0.953582665134142 0.301131367937097% −0.510459597546841 −0.859901738149376% 0.947841163176306 −0.318743046023890% 0.769374270742105 0.63879827138154892

5.2. Minimi quadrati non linearixsat=xsat ( : ) ;ysat=ysat ( : ) ;doss=doss ( : ) ;pprov=pprov ( : ) ;x=xsat−pprov ( 1 ) ;y=ysat−pprov ( 2 ) ;dcalc= sqrt ( x .^2 + y . ^ 2 ) ;A=[ −x . / dcalc −y . / dcalc ] ;tn=A ’ * ( doss−dcalc ) ; %termine notoB=A’ * A ; % matrice del sistemasol=B\ tn ; %soluzione del sistemax0=sol +pprov ;endCome esercizio si provi a verificare l’esempio fornito nella function stessa.93

CAPITOLO 6Formule di integrazione numericaL’esperienza è la madre dellascienza.Henry George Bohn (1796-1884)6.1 Formule di quadratura numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2 La formula dei trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3 La formula di Cavalieri-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.1 Formule di quadratura numericaSia dato il problema di risolvere l’integrale di una funzione f (x) nell’intervallo [a,b]:∫ bI = f (x)d xaIn MATLAB ci sono già delle function predefinite che servono per il calcolo di un integrale. Ricordiamo lefunction quad e integral per il calcolo di integrali di funzioni scalari e rimandiamo all’help on line di MATLABper capire come funzionano.Noi però vogliamo imparare a scrivere le nostre function per calcolare numericamente l’integrale di unafunzione usando i metodi che abbiamo conosciuto dalla teoria e, in particolare, applicando il metodo deitrapezi e di Cavalieri-Simpson.Le formule dei trapezi e di Cavalieri-Simpson sono state applicate su tutto l’intervallo di integrazione:in questo caso abbiamo parlato di formula semplice. Tuttavia, per avere accuratezza nei risultati, si preferisceapplicare la formula semplice (dei trapezi o di Cavalieri-Simpson) su un certo numero di suddivisionidell’intervallo di integrazione, sommando tutti i contributi per avere l’approssimazione finale.Focalizziamo l’attenzione sul metodo dei trapezi.6.2 La formula dei trapeziChiamiamo f la funzione (inline, handle o m-file) di cui dobbiamo calcolare l’integrale. Gli estremi diintegrazione siano assegnati alle variabili a e b. La formula dei trapezi semplice si può vedere come il risultatodella functionfunction [ Itrap ] = trapsempl ( f , a , b)% function [ Itrap ] = trapsempl ( f , a , b )% function per applicare la formula semplice dei trapezi% Itrap= ( b−a ) / 2 ( f ( a)+ f ( b ) )% dati di input : f funzione da integrare95

6. FORMULE DI INTEGRAZIONE NUMERICAFigura 6.1: Intervallo di integrazione [a,b]: un’unica suddivisione, 6 suddivisioni in parti non uguali, 9suddivisioni in parti uguali.% a e b estremi dell ’ i n t e r v a l l o di integrazione% dati di output : Itrap valore dell ’ i n t e g r a l e con la formula dei trapeziItrap= f eval ( f , a)+ f eval ( f , b ) ;Itrap=Itrap * ( b−a ) * 0 . 5 ;endAbbiamo applicato la formulaI T = b − a (f (a) + f (b))2Poichè la formula semplice si può vedere come caso particolare della formula composta con n = 1suddivisione, la nostra attenzione ora si concentra sulla formula composta con m suddivisioni.Dalla teoria, applicare la formula dei trapezi composta su m suddivisioni dell’intervallo [a,b] vuol direapplicare la formula semplice su ciascuna suddivisione e sommare i contributi di tutte le suddivisioni: infattiil valore dell’integrale si può vedere come la somma degli integrali su ciascuna suddivisione.In figura 6.1 vediamo l’intervallo [a,b] visto come un’unica suddivisione (sul quale possiamo applicare,quindi, la formula di integrazione semplice), oppure suddiviso in più suddivisioni. Nell’esempio ci sono 6suddivisioni in parti non uguali e 9 suddivisioni in parti uguali.Per semplicità costruiremo le nostre function che implementano la formula composta su un numero n disuddivisioni in parti uguali.Suddividiamo l’intervallo [a,b] in n sottointervalli definiti dai punti d’appoggio x 0 , x 1 ,..., x n ( i punti sonoequidistanti con passo h = b − an, in modo che x 0 = a e x n = b, x i = x 0 +i h, i = 0,...,n). Quindi n suddivisioni,n + 1 punti da considerare: questi punti, presi a due a due, sono gli estremi dei sottointervalli.Implementiamo la formula composta dei trapezi considerando che∫ baf (x)d x =n∑i=1∫ xix i−1f (x)d xCiascun integrale ∫ x ix i−1f (x) viene approssimato applicando la formula semplice. Allora la function daconsiderare sarà la seguente96

6.2. La formula dei trapezifunction [ Itrap ] = trapcomposta ( f , a , b , n)% function [ Itrap ] = trapcomposta ( f , a , b , n)% function per applicare la formula composta dei trapezi% Itrap= somma della formula dei trapezi semplice su ciascun% s o t t o i n t e r v a l l o% dati di input : f funzione da integrare% a e b estremi dell ’ i n t e r v a l l o di integrazione% n numero di suddivisioni% dati di output : Itrap valore dell ’ i n t e g r a l e con la formula dei trapezi% La function trapcomposta richiama al suo interno la function trapsempl% che applica la formula semplice dei trapezi .% Esempio di applicazione% a=0; b = 0 . 2 ;% n=4;% f = i n l i n e ( ’ cos ( x ) ’ )% Itrap=trapcomposta ( f , a , b , n) r e s t i t u i s c e% Itrap= 0.198627939626483h=(b−a ) /n ;x0=a ;Itrap =0;for i =1:nx1=x0+h ;Itrap= Itrap+ trapsempl ( f , x0 , x1 ) ;x0=x1 ;endfunction [ Itrap ] = trapsempl ( f , a , b)% function [ Itrap ] = trapsempl ( f , a , b )% function per applicare la formula semplice dei trapezi% Itrap= ( b−a ) / 2 ( f ( a)+ f ( b ) )% dati di input : f funzione da integrare% a e b estremi dell ’ i n t e r v a l l o di integrazione% dati di output : Itrap valore dell ’ i n t e g r a l e con la formula dei trapeziItrap= f e v a l ( f , a)+ f eval ( f , b ) ;Itrap=Itrap * ( b−a ) * 0 . 5 ;endendOsserviamo che al suo interno la function trapcomposta richiama la function trapsempl che implementala formula semplice. Quello che viene fatto nella function si può riassumere nei seguenti punti.Dovendo suddividere l’intervallo in n suddivisioniG l’ampiezza di ogni suddivisione è data da h=(b-a)/n;G il primo estremo da considerare vale x0=a (in questa function le variabili x0 e x1 hanno il significatodi estremo inferiore ed estremo superiore del singolo sottointervallo;G si inizializza il valore approssimato dell’integrale come Itrap=0G ora si fa un ciclo for su ciascun sottointervallo (for i=1:n)– si considera il secondo estremo del sottointervallo dato da x1=x0+h– si applica la formula semplice dei trapezi e il valore ottenuto lo si aggiunge alla variabile Itrap(in modo da sommare tutti i contributi dati da ciascun sottointervallo)– quando si passerà al successivo sottointervallo quello che adesso è l’estremo superiore diventeràl’estremo inferiore: perciò si fa l’aggiornamento x0=x1In questo modo applichiamo in MATLAB quello che è il procedimento visto nella teoria per le formulecomposte.97

6. FORMULE DI INTEGRAZIONE NUMERICASi potrebbe dire: ma se si fanno tutti i calcoli, la formula composta dei trapezi si può scrivere in formacompatta comef (a) + f (b)I T = h[ + f (x 1 ) + f (x 2 ) + ... f (x n−1 )]2Allora perchè non usare poche istruzioni MATLAB per fare tutto questo? Nella function che abbiamo scritto,la funzione integranda viene valutata due volte nei punti interni dell’intervallo [a,b], non è ottimale... È vero!E difatti la function di prima può essere sostituita dalla functionfunction [ Itrap ] = trapcompcompatta ( f , a , b , n)% function [ Itrap ] = trapcompcompatta ( f , a , b , n)h=(b−a ) /n ;x =[a : h : b ] ;y= f e v a l ( f , x ) ;Itrap=sum( y ( 2 : n ) ) ;Itrap=Itrap +(y (1)+ y (n + 1 ) ) * 0 . 5 ;Itrap=Itrap *h ;endPoche righe per avere la formula dei trapezi. Tuttavia, preferiamo continuare a lavorare con la functioniniziale, benché non ottimale, perchè in questo modo ricordiamo meglio due cose (si spera):1. la formula semplice2. il concetto che la formula composta deriva dall’applicare la formula semplice su più suddivisioni;Se, al posto della function che chiama la formula semplice dei trapezi, chiamiamo un’altra function che applicala formula semplice di Cavalieri-Simpson, abbiamo già la formula composta di Cavalieri-Simpson senzadover ricordare la formula compatta... Dobbiamo ricordare solo le formule semplici!Fatta questa premessa, vediamo di implementare la formula composta dei trapezi per approssimarel’integrale di diverse funzioni.Si considerino ∫ i seguenti casi test (calcolando per ciascun integrale una primitiva) 111.∫0 cos(x)d x12.−2 xe x2 d xScriviamo uno script che ci permetta di eseguire uno di questi integrali (o altri che ci verranno da scrivere)in modo del tutto generale. Se l’integrale non si può calcolare analiticamente, non scriveremo il valore esattodell’integrale. In input daremo quindi gli estremi di integrazione, la funzione integranda e una sua primitiva(se esiste o se l’abbiamo calcolata) e il numero di suddivisioni per applicare la formula dei trapezi composta.Lo script può essere sviluppato nel modo seguentea=input (’estremo di integrazione a ’ ) ;b=input (’estremo di integrazione b ’ ) ;f =input (’scrivi la function - inline o handle ’ ) ;exact=input (’conosci una primitiva della f ? si’’ 1 no 0 ’ ) ;i f exact==1F=input (’scrivi la primitiva come function inline ’ ) ;Iex= f eval (F , b)− f eval (F , a ) ;endn=input (’# suddivisioni per la formula dei trapezi composta ’ ) ;Itrap=trapcomposta ( f , a , b , n ) ;i f exact == 1errore=Iex−Itrap ;endOsserviamo che, se conosciamo il valore esatto dell’integrale, calcoliamo anche l’errore esatto.Esercizio 6.2.1 Si applichi lo script ai due casi test proposti, con n = 4 e poi n = 8: cosa succede all’errore?1 Se F è una primitiva di f , allora ∫ ba f (x)d x = F (b) − F (a). Sfrutteremo questa proprietà per calcolare l’integrale esatto.98

6.2. La formula dei trapeziIn questo script siamo noi a dare in input il numero di suddivisioni da applicare nella formula composta.Potremmo però pensare di fare anche un’altra cosa. Potremmo pensare di applicare la formula dei trapezipartendo dall’intervallo [a,b], poi di suddividere l’intervallo in due parti uguali, e così via: raddoppiareogni volta il numero di suddivisioni. Prima 1, poi 2, quindi 4, 8, 16, ... Si spera che aumentando il numero disottointervalli, l’integrale da approssimare abbia un’accuratezza via via maggiore (e quindi l’errore esatto siavia via più piccolo). Inoltre, dalla teoria, se la funzione integranda è continua insieme alla derivata seconda,l’errore della formula dei trapezi tende a zero come h 2 o 1 . Quindi il rapporto tra gli errori tra due suddivisionisuccessive, in queste ipotesi, tende ad un valore ben preciso (quale?). Cerchiamo di implementare tutton2 questo in uno script da applicare per calcolare l’integrale di una funzione (di cui si conosca una primitiva inmodo da calcolare anche l’errore esatto), partendo da una suddivisione dell’intervallo di integrazione e raddoppiandoogni volta il numero di suddivisioni fino ad arrivare ad un certo numero di suddivisioni del tipo2 ns se operiamo ns suddivisioni dell’intervallo iniziale. Tenendo conto anche del valore dell’integrale ottenutosenza effettuare suddivisioni (l’intervallo iniziale, che possiamo anche indicare come n = 1 suddivisione),avremo ns + 1 valori approssimati di cui poter calcolare l’errore esatto. E degli errori possiamo calcolare irapporti. Scriviamo uno script dal nome trapezi.ma=input (’estremo di integrazione a ’ ) ;b=input (’estremo di integrazione b ’ ) ;f =input (’scrivi la function - inline o handle ’ ) ;F=input (’scrivi la primitiva come function inline ’ ) ;Iex= f e v a l (F , b)− f eval (F , a ) ;ns=input (’Fino a quante suddivisioni, 2^ns vuoi arrivare? ’ ) ;n=1;% applicheremo la formula dei trapezi su% 2^0 ( nessuna suddivisione e f f e t t u a t a , o% una suddivisione== i n t e r v a l l o di partenza :% formula semplice ) ,% 2^1 ( due suddivisioni : dividiamo a meta ’ l ’ i n t e r v a l l o la% prima volta ) ,% 2^2 (4 suddivisioni : dividiamo a meta ’ l e suddivisioni precedenti )% arriviamo a 2^ns suddivisioni% La procedura viene e f f e t t u a t a ns+1 v o l t e% Quindi ricaviamo lo s t e s s o valore dell ’ integrale , ns+1 v o l t eItrap=zeros ( ns + 1 , 1 ) ;i =0;while m

6. FORMULE DI INTEGRAZIONE NUMERICASe applichiamo questo scritp per risolvere ∫ 10cos(x)d x con ns = 10 ricaviamo⎛⎞⎛⎞0.7701511529340707.131983187382662e − 020.8238668574122211.760412739567518e − 020.8370837513522274.387233455669381e − 030.8403750340273871.095950780509725e − 030.8411970506369422.739341709541154e − 04Itrap=0.841402504609252errore=6.848019864458266e − 050.8414538649672231.711984067342964e − 050.8414667048607894.279947107166393e − 060.8414699148219361.069985960278075e − 06⎜⎟⎜⎟⎝0.841470717311458⎠⎝2.674964384441481e − 07⎠0.8414709179337916.687410580852315e − 08⎛⎞4.0513130966859404.0125804960131164.0031300070144464.0007815625648934.000195332023702rate=4.0000488293600414.000012206871431⎜4.000003052427055⎟⎝4.000000771978438⎠4.000000227443122Questo esempio è in buon accordo con la teoria (l’errore decresce con un rapporto 4).Esercizio 6.2.2 Si trasformi lo script trapezi in una function che riceve in input la funzione integrandaf , la funzione primitiva F , gli estremi di integrazione a e b e il numero ns (in modo da fare 1, 2,...,2 nssuddivisioni). In output questa function dia i vettori Itrap, errore, rate e il valore esatto Iex. Sichiami questa function funtrapezi.m.Esercizio 6.2.3 Si applichi la function funtrapezi per risolvere l’integrale ∫ 1−2 xe x2 d x con ns = 86.3 La formula di Cavalieri-SimpsonA questo punto, passare dalla formula dei trapezi a quella di Cavalieri-Simpson in MATLAB è qualcosa dimolto semplice (basterà modificare solo la function che applica la formula semplice). Abbiamo detto che perora non ci interessa la formula compatta (è qualcosa che può servire una volta che si è capita bene la teoria ese si vuole migliorare l’efficienza dei programmi). Ci interessa la formula semplice e questa verrà richiamataed applicata su ciascuna suddivisione dell’intervallo [a,b] al fine di ottenere la formula composta. La formulasemplice di Cavalieri-Simpson è data daI C S = b − a (f (a) + 4f (c) + f (b))6con c = a + b2 .Per implementare la formula composta di Cavalieri-Simpson, dobbiamo applicare la formula semplice suogni suddivisione (e di ogni sottointervallo ci servirà il punto centrale).Da ciò consegue che l’ossatura della function trapcomposta.m rimarrà essenzialmente la stessa (daremoil nome cavcomposta.m ma l’idea di applicare la formula su ciascun intervallino rimane la stessa).Ciò che cambierà sarà la function trapsempl.m (che chiamereremo cavsempl.m) in cui dobbiamo applicarela formula di Cavalieri-Simpson. Ma i parametri di input rimarranno gli stessi (infatti, dagli estremidell’intervallo in cui stiamo applicando la formula possiamo ricavare il punto c che ci serve, all’interno dellafunction).100

6.3. La formula di Cavalieri-SimpsonEsercizio 6.3.1 Si modifichi la function trapcomposta.m dando il nome cavcomposta.m in mododa applicare la formula di Cavalieri-Simpson composta.Esercizio 6.3.2 Si modifichi lo script che applica la formula composta dei trapezi con n suddivisioni fissate,in modo da poter applicare anche la formula di Cavalieri-Simpson con n suddivisioni.Esercizio 6.3.3 Si modifichi lo script trapezi.m e la function funtrapezi.m in modo da applicare laformula composta di Cavalieri-Simpson fino ad un certo numero ns di suddivisioni.Esercizio 6.3.4 Si faccia una function che esegue sia la formula composta dei trapezi, sia la formula compostadi Cavalieri-Simpson, in modo da poter confrontare i risultati ottenuti con i due metodi in termini dierrori e di rapporti tra errori.101

CAPITOLO 7Equazioni Differenziali OrdinarieUna volta un tale che doveva fareuna ricerca andava in biblioteca,trovava dieci titoli sull’argomento eli leggeva; oggi schiaccia un bottonedel suo computer, riceve unabibliografia di diecimila titoli, erinuncia.Umberto Eco, La Bustina diMinerva, 20007.1 Metodi per ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.1.1 Confronto tra i metodi sull’equazione test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2 I metodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.3 Sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3.1 Function di MATLAB e Octave per ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3.2 L’oscillatore semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.3.3 Equazioni del moto di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.1 Metodi per ODETra i metodi per la risoluzione di equazioni alle derivate ordinarie, abbiamo visto il metodo di Euleroesplicito, di Eulero implicito e di Crank-Nicolson. Li abbiamo studiati per la soluzione di una equazionedifferenziale del tipoy ′ = f (t, y(t))T 0 ≤ t ≤ T fcon condizione iniziale y(T 0 ) = y 0 . Abbiamo detto, tuttavia, che questi metodi si possono anche applicarea sistemi di equazioni differenziali (dove non abbiamo una funzione scalare y da approssimare ma unafunzione vettoriale y).Cerchiamo allora di capire come tradurre in MATLAB i metodi che abbiamo appena citato e comeapplicarli non solo per ODE scalari, ma anche a sistemi di ODE.7.1.1 Confronto tra i metodi sull’equazione testNella teoria abbiamo introdotto il concetto di stabilità e abbiamo visto che il metodo di Eulero esplicitoè stabile sotto condizione, mentre i metodi di Eulero implicito e di Crank-Nicolson sono stabili incondizionatamente(cioè senza nessuna condizione sul passo di discretizzazione). Abbiamo preso in esame, a tale103

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEscopo, l’equazione test y ′ = −λy con condizione iniziale y(0) = y 0 . Per il parametro si ha λ > 0. La soluzioneesatta di questa equazione differenziale è y(t) = y 0 e −λt .Fissato un passo di discretizzazione h, il metodo di Eulero esplicito, applicato all’equazione test, diventay i+1 = y i (1 − hλ)Perchè il metodo sia stabile, deve valere la condizione 0 < h < 2 λIl metodo di Eulero implicito, invece, diventay i+1 =y i(1 + hλ)In questo caso, riusciamo ad avere la soluzione y i+1 in maniera esplicita.Analogamente, per il metodo di Crank-Nicolson si ha( ) 2 − hλy i+1 = y i2 + hλScriviamo allora uno script che applica i tre metodi per l’equazione test, da studiare nell’intervallo [0,20],con condizione iniziale data da y 0 = 1. Daremo in input il valore di λ, e un passo di discretizzazione h. Verificheremose la condizione di stabilità per lo schema di Eulero esplicito è verificata, e graficamente vedremole curve ottenute dai vari metodi insieme alla soluzione esatta.Chiamiamo lo script metodiode_a_confronto.mclearlambda=input (’valore lambda ’ ) ;h=input (’passo h ’ ) ;Tfin = 2 0 . ;y0 =1;f i d =fopen (’ode_a_confronto.ris’ ,’w’ ) ;log=h− 2/lambda

7.2. I metodif p r i n t f ( fid , ’\n%5s %12s %12s %12s %12s’ , ’tempo’ , ’sol. esatta’ , ’Eul. espl.’ , ’Eul. impl.’ , ’Crank-Nic.’ ) ;f p r i n t f ( fid , ’\n%5.2f %12.6e %12.6e %12.6e %12.6e’ , [ t ’ , yex ’ , yespl , yimpl , ycn ] ’ ) ;f c l o s e ( f i d ) ;Sia dal grafico che dai risultati nel file ode_a_confronto.ris possiamo vedere le differenze tra i varimetodi.Esercizio 7.1.1 Si esegua lo script metodiode_a_confronto.m per i seguenti valori1. λ = 1, h = 0.52. λ = 1, h = 23. λ = 1, h = 0.14. λ = 0.5, h = 15. λ = 0.5, h = 0.16. λ = 0.2, h = 1.07. λ = 0.2, h = 0.17.2 I metodiVediamo ora come implementare questi metodi per ODE più generali.L’algoritmo di Eulero esplicito è quello più semplice da implementare.Supponiamo, per il momento, di dover risolvere una ODE del tipo y ′ = f (t, y(t)) con f funzione scalare.Oltre alla funzione dell’equazione test, abbiamo visto f (t, y(t)) = −y + t oppure f (t, y(t))− y 2 ... la funzionef può essere scritta in MATLAB come una funzione che dipende da t e da y (per semplicità, la definiamocome dipendente da due variabili anche se può dipendere solo da una delle due). Per far ciò definiamo la funzionecome funzione di tipo handle: scriviamo il nome della funzione, poi a destra del segno di uguaglianzascriviamo il simbolo @ e tra parentesi le variabili t,y, quindi la funzione.f =@( t , y ) −y+ t ;f =@( t , y ) −y . ^ 2 ;Introduciamo altre variabili: Tiniziale e Tfinale che rappresentano l’intervallo in cui vogliamostudiare l’equazione differenziale, y0 la condizione iniziale, h il passo di discretizzazione.Sottolineiamo il fatto che, in genere, nei metodi per ODE il passo di discretizzazione viene fatto variare(si parla di adattività) seguendo determinati criteri che permettono di arrivare alla soluzione approssimatain un minor numero di passi, rispetto allo stesso problema risolto con un passo di discretizzazione costante.Noi non operiamo questa scelta, perché richiederebbe spiegazioni di tipo teorico che vanno al di là del corsodi base di Calcolo Numerico. Vedremo, comunque, che le function di MATLAB che risolvono ODE utilizzanotutte delle tecniche di adattività del passo di discretizzazione.Fatta questa premessa, ricordiamo la formula del metodo di Eulero esplicitoy i+1 = y i + h f (t i , y i )Il metodo può essere implementato nel modo seguente:function [ t , y ]= e u l e r o e s p l i c i t o ( f , y0 , T i n i z i a l e , Tfinale , h)%function [ t , y ]= e u l e r o e s p l i c i t o ( f , y0 , Tiniziale , Tfinale , h)% dati di input :% f funzione dell ’ equazione d i f f e r e n z i a l e y ’ = f ( t , y ( t ) )% di tipo handle% se e ’ di tipo v e t t o r i a l e , deve e s s e r e data come% funzione colonna% y0 condizione i n i z i a l e105

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE% T i n i z i a l e tempo i n i z i a l e% Tfinale tempo f i n a l e% dati di output :% t v e t t o r e dei tempi% y v e t t o r e d e l l e soluzioni approssimate%%%t = T i n i z i a l e : h : Tfinale ; % v e t t o r e dei tempinstep=length ( t ) ; % nstep −1 e ’ i l numero di passi t o t a l i che saranno e f f e t t u a t iy0=y0 ’ ;m=length ( y0 ) ; % lunghezza del v e t t o r e condizione i n i z i a l ey=zeros (m, nstep ) ;y ( : , 1 ) = y0 ’ ;for i =2: nstepy ( : , i )=y ( : , i −1)+h* f eval ( f , t ( i −1) ,y ( : , i −1));endy=y ’ ; %i l v e t t o r e d e l l e soluzioni approssimate lo s i rende come v e t t o r e% di nstep+1 righe e m colonne per uniformita ’ r i s p e t t o a l l e% function di MATLAB che risolvono ODEendPer poter eseguire questo script, possiamo ad esempio, dare i datif =@( t , y ) −y+ t ;y0 =1;T i n i z i a l e =0;Tfinale =2;h=0.01;[ t , y ]= e u l e r o e s p l i c i t o ( f , y0 , T i n i z i a l e , Tfinale , h ) ;In questo caso, sapendo che la funzione esatta vale fex=@(t) t-1+2*exp(-t), possiamo calcolare ivalori della soluzione esatta negli stessi punti del vettore t e fare il grafico che mette a confronto soluzioneesatta e soluzione approssimata.yex= f e v a l ( fex , t ) ;plot ( t , y , t , yex ) ;legend (’soluzione approssimata’ , ’soluzione esatta’)Per applicare lo schema di Eulero implicito, invece, dobbiamo fare più attenzione. Nello script sull’equazionetest y ′ = −λy abbiamo sfruttato la linearità della f per poter esplicitare le approssimazioni y i+1 .Ricordiamo la formula del metodo:y i+1 = y i + h f (t i+1 , y i+1 ))Se la funzione f dipende in modo non lineare da y allora il metodo resta implicito. Potremmo scrivere, allora,due tipi di function, una per risolvere equazioni differenziali in cui si riesce a esplicitare y i+1 (come nel casodell’equazione test), quando la funzione f del problema è lineare rispetto a y, e un’altra function per risolvereproblemi in cui la f è non lineare.Potremmo farlo, ma visto che ci serve capire come funziona lo schema nel caso più generale, lo pensiamocome schema implicito. Come facciamo allora a trovare y i+1 se dipende da y i+1 stesso? Abbiamo visto dallateoria, che possiamo ricondurci ad uno schema di punto fisso o di ricerca di zeri di funzione. Lo schema piùsemplice da applicare è quello di punto fisso ed è proprio quello che faremo. 1 Dato il valore y i , per ricavarey i+1 , la formula da applicare si può leggere come lo schema di punto fissoy i+1 = g (t i+1 , y i+1 )1 Sicuramente va meglio applicare uno schema di tipo Newton-Raphson o secante variabile. Non lo facciamo per ragioni disemplicità. Vogliamo solo capire come si risolvono questi metodi di tipo implicito.106

7.2. I metodidove g (t, y) = y i + h f (t, y). Si può partire da un punto iniziale x 0 = y i e poi iterare lo schema iterativo fino ache non si trova un’approssimazione del punto fisso della funzione g che altro non è che un’approssimazionedi y i+1 . Il valore appena trovato per y i+1 diventerà il valore iniziale x 0 per fare partire di nuovo lo schema dipunto fisso e trovare la successiva approssimazione y i+2 , e così via. La function che scriviamo sarà:function [ t , y ]= euleroimplicito ( f , y0 , T i n i z i a l e , Tfinale , h)%function [ t , y ]= euleroimplicito ( f , y0 , Tiniziale , Tfinale , h)% dati di input :% f funzione dell ’ equazione d i f f e r e n z i a l e y ’ = f ( t , y ( t ) )% di tipo handle% se e ’ di tipo v e t t o r i a l e , deve e s s e r e data come% funzione colonna% y0 condizione i n i z i a l e% T i n i z i a l e tempo i n i z i a l e% Tfinale tempo f i n a l e% dati di output :% t v e t t o r e dei tempi% y v e t t o r e d e l l e soluzioni approssimate%%%t = T i n i z i a l e : h : Tfinale ;nstep=length ( t ) ;y0=y0 ’ ;m=length ( y0 ) ;y=zeros (m, nstep ) ;y ( : , 1 ) = y0 ;for i =2: nstepx0=y ( : , i −1); %punto i n i z i a l e per lo schema di punto f i s s oscarto =2; % valore i n i z i a l e d e l l o scartoi t =0; % contatore d e l l e i t e r a z i o n i per lo schema di punto f i s s owhile scarto >=1.e−6 && i t =1.e−6 && i t ==10error (’EuleroImplicito’ ,’warning nel punto fisso’)endy ( : , i )= xk ; % nuova approssimazione dallo schema di punto f i s s oendy=y ’ ;endNello schema di punto fisso abbiamo considerato una tolleranza sulla soluzione pari a 10 −6 e un numeromassimo di iterazioni pari a 10. Abbiamo messo un segnale di avvertimento nel caso in cui lo schema dipunto fisso non converge. Sottolineiamo che lo schema di punto fisso potrebbe non convergere, ma pervalori di h sufficientemente piccoli, lo schema converge e riusciamo ad avere una buona approssimazioneper la soluzione numerica.Se, invece, usiamo questa function per studiare la stabilità del metodo applicandola all’equazione testy ′ = −y vedremo che, per valori di h grandi, non avremo convergenza in quanto lo schema di punto fisso nonconvergerà. Nel caso di Eulero implicito infatti, per l’equazione test ora indicata, si ha y i+1 = y i − hy i+1 . Seconsideriamo la funzione di punto fisso g (y) = y i − hy vediamo che g ′ (y) = −h. Perciò per valori di h > 1 loschema non converge e quindi non otteniamo neanche i valori dello schema di Eulero implicito. In questocaso, sarebbe preferibile applicare lo schema di Newton-Raphson perchè avremmo i risultati corretti. Comeabbiamo detto, comunque, la scelta di applicare lo schema di punto fisso è esclusivamente di tipo didattico.107

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEPer problemi più difficili, comunque, useremo passi di discretizzazione sufficientemente piccoli e tali che loschema di punto fisso andrà bene. Perciò, lasciamo il punto fisso come metodo che approssima la nuovaapprossimazione.Gli stessi discorsi valgono anche per lo schema di Crank-Nicolson, la cui formula è data day i+1 = y i + h 2[f (ti , y i ) + f (t i+1 , y i+1 ) ]Per implementare lo schema, ci serviamo ancora del metodo di punto fisso, applicato ora alla funzione dipunto fissog (t, y) = y i + h 2La function che ricaviamo è[f (ti , y i ) + f (t, y) ]function [ t , y ]= cranknicolson ( f , y0 , T i n i z i a l e , Tfinale , h)%function [ t , y ]= cranknicolson ( f , y0 , Tiniziale , Tfinale , h)% dati di input :% f funzione dell ’ equazione d i f f e r e n z i a l e y ’ = f ( t , y ( t ) )% di tipo handle% se e ’ di tipo v e t t o r i a l e , deve e s s e r e data come% funzione colonna% y0 condizione i n i z i a l e% T i n i z i a l e tempo i n i z i a l e% Tfinale tempo f i n a l e% dati di output :% t v e t t o r e dei tempi% y v e t t o r e d e l l e soluzioni approssimate%%%t = T i n i z i a l e : h : Tfinale ;nstep=length ( t ) ;y0=y0 ’ ;m=length ( y0 ) ;y=zeros (m, nstep ) ;y ( : , 1 ) = y0 ;for i =2: nstepx0=y ( : , i −1);scarto =2;i t =0;fm= f eval ( f , t ( i −1) ,y ( : , i −1)); %valore della f all ’ approssimazione% i −1% serve nello schema di Crank−Nicolsonwhile scarto >=1.e−6 && i t =1.e−6 && i t ==10error (’CrankNicolson’ ,’warning nel punto fisso’)endy ( : , i )= x0 ;endy=y ’ ;end108

7.3. Sistemi di equazioni differenzialiNotiamo come lo schema sia stato implementato in modo del tutto analogo allo schema di Eulero implicito.Valgono perciò le stesse considerazioni fatte rispetto allo schema di punto fisso applicato.Ora, alla stessa maniera con cui abbiamo eseguito il metodo di Eulero esplicito, possiamo vedere i risultatiche si ottengono con gli altri due metodi (Eulero implicito e Crank-Nicolson).7.3 Sistemi di equazioni differenzialiCiò che abbiamo detto sulle equazioni differenziali scalari, valgono anche per sistemi di equazioni differenziali.Lo schema si applica componente per componente, per le singole equazioni che compongono ilsistema. Per i metodi impliciti, lo schema di punto fisso sarà applicato sulle singole equazioni (se si vanno arivedere le function sul metodo di Eulero implicito e di Crank-Nicolson, si può notare che il controllo dellaconvergenza dello schema di punto fisso è stato fatto calcolando la norma euclidea – che coincide con il valoreassoluto nel caso di quantità scalari – in modo che la function possa andare bene anche per sistemi diequazioni!)In tutte le function che abbiamo scritto, inoltre, abbiamo considerato la lunghezza della variabile checontiene la condizione iniziale (per capire se stiamo lavorando su quantità scalari o su vettori).7.3.1 Function di MATLAB e Octave per ODECi sono tante function sviluppate in MATLAB (solo in MATLAB però) per risolvere equazioni differenziali.Tra queste ricordiamoG ode45G ode23Come parametri di base in input occorre dare, nell’ordine, la function handle dell’equazione differenziale, unvettore che contiene i valori T 0 e T f in cui risolvere l’equazione differenziale e la condizione iniziale y 0 . Lafunzione deve essere data come vettore colonna nel caso in cui ci sia un sistema di ODE. La function (ode45o ode23) restituisce il vettore dei tempi e delle soluzioni approssimate.Per gli esempi precedenti, dobbiamo quindi scrivere l’istruzione [t ,y]=ode45(f,[Tiniziale, Tfinale], y0); perpoter risolvere l’equazione differenziale con la function ode45 (analogamente si farà per ode23).Facendo un help di queste function, MATLAB ci rimanda a tantissime altre function, tutte utili perrisolvere ODE.In Octave, tra le function da ricordare per risolvere equazioni differenziali, troviamo la lsode, la cui sintassiè diversa da quelle di MATLAB e da quelle che abbiamo costruito fino ad ora. La sintassi di base cambia unpo’. Abbiamo infatti[y,stato,messaggio]=lsode(f,y0,t)dove f è una function (inline o handle) che deve avere la forma yd=f(y,t) (notiamo l’inversione di ordine nellevariabili di input), con t scalare e y,yd vettori (o scalari a seconda della funzione). La funzione da dare in input(per problemi complicati) può essere costituita come stringa di due function handle, in cui la prima componenteè data dalla funzione f dell’equazione differenziale e la seconda componente è data dalla funzione checontiene la matrice la matrice Jacobiana, scritta nella forma JAC=j(y,t). Per questi casi, in input, daremo unafunction del tipo F={f, j } (si osservino le parentesi graffe che definiscono una stringa di function). Nei nostriproblemi, tuttavia, non useremo la matrice Jacobiana e quindi bisogna prestare attenzione solo a scrivere lafunction f con le variabili invertite e a seguire la sintassi, (come vedremo nell’esempio).Il parametro y0 rappresenta la condizione iniziale, mentre t è il vettore dei tempi, in cui la primacomponente è il tempo iniziale e le altre componenti sono gli istanti di tempo in cui si vuole risolvere ilproblema.In uscita, stato vale 2 se la function è stata eseguita con successo, altrimenti si ha un valore diverso da 2.La variabile messaggio contiene informazioni aggiuntive.Vediamo un esempio: dall’equazione y ′ = −y 2 , lo script da lanciare saràf =@( y , t ) −y . ^ 2 ;y0 =1;T i n i z i a l e =0;109

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIETfinale =10;t = T i n i z i a l e : h : Tfinale ;[ y , i s t a t e , messaggio ]= lsode ( f , y0 , t ) ;7.3.2 L’oscillatore sempliceUn esempio che ci porta ad un sistema di equazioni differenziali è dato dal modello costituito da massamolla-smorzatore.Se si vuole studiare l’evoluzione dinamica del sistema (vale a dire la posizione e la velocitàdella massa m) al variare di alcuni parametri (lo smorzamento e l’elasticità della molla) in presenza o menodi una forza esterna F (t), si ottiene un’equazione differenziale data dam d 2 x(t)d t 2+ c d x(t) + kx(t) = F (t)d tdove x(t) rappresenta lo spostamento della massa m dalla posizione di equilibrio, d x(t) è la sua velocità,d tmentre d 2 x(t)d t 2 rappresenta la sua accelerazione. I valori m, c e k rappresentano la massa, il coefficiente dismorzamento e la costante elastica della molla, rispettivamente.Scriviamo diversamente l’equazione comed 2 x(t)d t 2 =F (t) − c d x(t) − kx(t)d tmPer passare da questa equazione differenziale del secondo ordine (perchè compare una derivata seconda)ad un sistema di equazioni differenziali del primo ordine, si fanno le seguenti trasformazioni. Si introduce ilvettore y = (y 1 , y 2 ) tale che y 1 = x e y 2 = d xd t . Allora (usiamo il simbolo ′ per indicare la derivata rispetto a t).y ′ 1 = x′ = d xd t = y 2y ′ 2 = d d t( d xd t)= d 2 x(t)d t 2 =F (t) − c d x(t) − kx(t)d tm= F (t) − c y 2 − k y 1mAbbiamo quindi il sistemay ′ = f(t,y)dove f(t,y) è una funzione vettoriale di due componenti:⎛⎞y 2f(t,y) = ⎝ F (t) − c y 2 − k y 1⎠mPossiamo introdurre una function handle di questo tipo (specificando i vari parametri) da applicare allenostre funzioni che risolvono ODE o alle function di MATLAB/Octave per risolvere ODE. Ad esempio, perm = 1kg , k = 10N /m, c = 0.5N s/m e F (t) = 0N e dando come condizione iniziale (sullo spostamento e sullasua velocità) x(0) = 1m x ′ (0) = 0m/s possiamo scrivere,k=10; c = 0 . 5 ; m=1;f =@( t , y ) [ y ( 2 ) ; (−k*y(1)−c * y ( 2 ) ) /m] ; %scriviamo una funzione v e t t o r i a l e% come v e t t o r e colonna% come serve anche per l e function% proprie di MATLAB110

7.3. Sistemi di equazioni differenzialiy0 = [ 1 ; 0 ] ;h=0.01;T i n i z i a l e =0;Tfinale =60;[ tespl , yespl ]= e u l e r o e s p l i c i t o ( f , y0 , T i n i z i a l e , Tfinale , h ) ;[ timpl , yimpl ]= euleroimplicito ( f , y0 , T i n i z i a l e , Tfinale , h ) ;Possiamo confrontare i due metodi, oppure applicare la function ode45 o altre ancora... Se vogliamo applicarein Octave la function lsode scriveremo invecek=10; c = 0 . 5 ; m=1;f =@( y , t ) [ y ( 2 ) ; (−k*y(1)−c * y ( 2 ) ) /m] ;y0 = [ 1 ; 0 ] ;h=0.01;T i n i z i a l e =0;Tfinale =60;t = T i n i z i a l e : t : Tfinale ;[ y , i s t a t e , messaggio ]= lsode ( f , y0 , t ) ;Come grafici, possiamo fare un grafico in cui mettiamo sull’asse delle ascisse il vettore dei tempi e sull’assedelle ordinate i due valori di spostamento e velocità che abbiamo ottenuto. Basta scrivere (ad esempio perEulero esplicito)plot ( tespl , yespl )Possiamo anche fare un grafico in cui vediamo come varia la velocità in funzione dello spostamento conl’istruzione plot(yespl (:,1), yespl (:,2)) (si parla di piano delle fasi in questo caso).7.3.3 Equazioni del moto di KepleroLa legge di gravitazione universale di Newton dice che due corpi si attraggono con una forza direttamenteproporzionale alle loro rispettive masse m 1 e m 2 e inversamente proporzionale al quadrato della distanza |r |(inteso come norma euclidea del vettore distanza) tra essi:F = G m 1m 2|r | 2Nella formula G rappresenta la costante gravitazionale, G = 6.67 × 10 −11 m 3 K g −1 s −2 .In un sistema di due corpi (pensiamo a due pianeti), la forza di attrazione del secondo corpo agisce sulprimo di massa m 1 e la forza del primo corppo agisce sul secondo di massa m 2 . Entrambe le forze sono ugualie dirette lungo la direzione r tra i due corpi (con versi opposti).Ciò significa che, rispetto ad un sistema di riferimento in cui r 1 e r 2 rappresentano la distanza dei duecorpi rispetto all’origine del sistema di riferimento, vale r = r 2 − r 1 . Applicando la seconda legge di NewtonF = ma (Forza=massa per accelerazione) per ogni corpo, e considerando che per l’accelerazione si ha a i =d 2 r id t 2 , otteniamom 1d 2 r 1d t 2 = G m 1m 2|r | 3 r, m 2d 2 r 2d t 2 = −G m 1m 2|r | 3 rAbbiamo considerato, a destra, il vettore unitario che dà la direzione della forza, dato dae sottraendo abbiamocioèd 2 r 2 − r 1d t 2 = −G m 1 + m 2|r | 3 rd 2 rd t 2 = −G m 1 + m 2|r | 3 rr|r | . Semplificando111

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIENel caso in cui i due pianeti siano il sole e la terra, poichè la massa del sole è 333000 volte più grandedella massa della terra, si considera solo il prodotto Gm sol e : questa quantità prende il nome di costantegravitazionale geocentrica della Terra e si indica con GM. L’equazione del moto della Terra attorno al sole sipuò quindi vedere comed 2 rd t 2 = −GM |r | 3 rAbbiamo un’equazione alle derivate ordinarie, vettoriale, del secondo ordine perchè compare la derivataseconda d 2 rd t 2 .Per rendere il problema piú semplice, si può scegliere un sistema di riferimento in cui la quantità GM nonsia nè troppo grande nè troppo piccola. Per descrivere l’orbita della Terra, si pone la convenzione di definirecome unità di lunghezza il semiasse maggiore dell’orbita della terra. Questa unità di lunghezza si chiamaunità astronomica (AU) e vale1AU = 1.496 × 10 11 mCome unità di tempo si considera l’anno (o 3.15 × 10 7 s). In queste unità, il periodo (per compiere un interogiro attorno al sole) per la Terra vale T = 1 anno e il suo semiasse maggiore vale a = 1AU . In questo sistemaabbiamoGM = 4π2 a 3T 2 = 4π 2 AU 3 /anni 2Studiando questa equazione differenziale nel caso più semplice (vale a dire considerando il vettore distanzacome un vettore nello spazio bidimensionale), abbiamo un’equazione differenziale di secondo gradoda ridurre ad un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Si consideri allora il vettore che ha comecomponenti il vettore r = (r x ,r y ) e il vettore velocità di v di componenti (v x , v y ). Introduciamo il vettore yfatto in questo modo: y = (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) = (r x ,r y , v x , v y ) Allora⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛y ′ ⎞ v xy 31y ′ = ⎜y 2′ v y⎝y 3′ ⎟⎠ = − GMy 4⎜ |r | 3 r x=− GMy4′ ⎝− GM⎟ ⎜ |r | 3 y 1|r | 3 r ⎠ ⎝y − GM⎟|r | 3 y ⎠2Abbiamo trovato le equazioni del sistema (dette anche equazioni di Keplero). Poichè |r | =√y1 2 + y 2 2 , in MATLAB scriveremo (usiamo le unità astronomiche):GM=4* pi ^2;f =@( t , y ) [ y ( 3 ) ; y ( 4 ) ; −GM* y ( 1 ) / sqrt ( y(1)^2+y (2)^2)^3; . . .−GM* y ( 2 ) / sqrt ( y(1)^2+y ( 2 ) ^ 2 ) ^ 3 ] ;√r 2 x + r 2 y =Come condizione iniziale consideriamo r x = 1, r y = 0, v x = 0 e v y = GM (dalle leggi gravitazioniali vale√GMinfatti per la velocità |v| = ). Eseguiremo, quindi le seguenti righe di codice (usiamo, questa volta, il|r |metodo di Crank-Nicolson) che ci permettono di risolvere l’equazione e fare diversi grafici:GM=4* pi ^2;f =@( t , y ) [ y ( 3 ) ; y ( 4 ) ; −GM* y ( 1 ) / sqrt ( y(1)^2+y (2)^2)^3; −GM* y ( 2 ) / sqrt ( y(1)^2+y ( 2 ) ^ 2 ) ^ 3 ] ;y0=[1 0 0 sqrt (GM) ] ’ ;T i n i z i a l e =0;Tfinale = 1 . 0 ; %annoh=1./365;112

7.3. Sistemi di equazioni differenziali[ t , y ]= cranknicolson ( f , y0 , T i n i z i a l e , Tfinale , h ) ;figure ( 1 )plot ( t , y ( : , 3 ) , t , y ( : , 4 ) ) % velocita ’ e accelerazione al variare del tempofigure ( 2 )plot ( y ( : , 1 ) , y ( : , 2 ) ) % l ’ orbita della Terra ( rx , ry )figure ( 3 )plot ( y ( : , 3 ) , y ( : , 4 ) ) % velocita ’ e accelerazioneUno script completo per eseguire tutti questi esempi con i vari metodi proposti è scaricabile sul sito delledispense dispense.dmsa.unipd.it/mazzia con nome scriptODE.m.113