W - Dipartimento di Analisi e Progettazione Strutturale - Università ...

INDICEFormula gradiente III_______________________________________________________82Equazione di continuità in SPH_______________________________________________85Equazione del Moto in SPH _________________________________________________86Equazione dell’energia in SPH _______________________________________________894.4.4 – I limiti del Metodo SPH _________________________________________________91Instabilità di tensione_______________________________________________________91Condizioni di vincolo ______________________________________________________95Capitolo 5 _______________________________________ 97Modellazione Numerica con LS-Dyna Version 970. _____ 975.1 - Software LS-Dyna Version 970 _______________________________________ 975.2 – Modellazione della Prova Sperimentale_______________________________ 1015.2.1 – Modello FEM ________________________________________________________1025.2.2 – Modello SPH ________________________________________________________111Capitolo 6 ______________________________________ 117Legami Costitutivi del Calcestruzzo _________________ 1176.1 – Pseudo – Tensor(Mat_016) _________________________________________ 1176.2 – Concrete Damage (Mat_072) _______________________________________ 1256.2.1 – Parametri che definiscono le superfici di rottura _____________________________1286.4 – Dynamic Increase Factor (DIF) _____________________________________ 137• Cowper and Symonds. __________________________________________________139• Legame Tensione-Deformazione Parametrico. _______________________________139• Curva di Strain-Rate. ___________________________________________________1406.4.1 – Definizione della Curva di Strain-Rate ____________________________________1406.4.2 – Origini della formulazione CEB-FIP ______________________________________1416.3 – Equation of State Form 8 (Tabulated Compaction) _____________________ 149Capitolo 7 ______________________________________ 161Risultati delle Simulazioni Numeriche _______________ 1617.1 – Prova Sperimentale I e II __________________________________________ 162• Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid, Prova 1: ________163• Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid, Prova 2: ________164• Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH, Prova 1: _________166• Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH, Prova 2: _________1687.2 – Prova Sperimentale III ____________________________________________ 169• Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid, Prova 3: ________171• Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH, Prova 3: _________1767.3 – Prova Sperimentale IV ____________________________________________ 181CONCLUSIONI _________________________________ 186Indice delle Figure _______________________________ 191Indice dei Grafici ________________________________ 192Indice delle Tabelle_______________________________ 1935

INDICEBibliografia _____________________________________ 195Ringraziamenti __________________________________ 1986

INTRODUZIONE• SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), appartengono ai metodidi tipo Meshfree, discretizza il continuo mediante un numero finitod’elementi particellari.L’oggetto del lavoro di tesi risiede nell’affrontare ognuna delleproblematiche in precedenza descritte. Ragion per cui, si è scelto dimodellare numericamente una prova sperimentale condotta su unapiastra in c.a. sottoposta a carichi da esplosione. Nei capitoli successivisi descriveranno le metodologie adottate per il calcolo delle azioniesercitate sull’elemento strutturale prodotte dall’esplosione, e quelleutilizzate per la discretizzazione e l’analisi numerica della provasimulata.Inoltre, si farà un esplicito riferimento al codice di calcolo impiegato perla suddetta modellazione, e sulle scelte riguardanti il legame costitutivoimplementato al fine di modellare il calcestruzzo armato, in modo tale dapoter considerare il già menzionato effetto di Strain-Rate-Sensitivity.A conclusione della tesi si riporteranno i risultati ottenuti mediantel’utilizzo di due diversi metodi d’analisi, tra cui il tradizionale metododegli elementi finiti (FEM), che rientra tra i metodi Lagrangiani primacitati, e il più innovativo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH).Dal confronto operato tra i risultati conseguiti mediante i due metodid’analisi, e tra gli stessi e quelli ottenuti in seguito alle provesperimentali se ne trarranno le successive conclusioni.9

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEenorme potere distruttivo legato soprattutto alla loro elevata velocità didetonazione, all’effetto prodotto dall’onda di pressione sviluppatadall’esplosione, e in misura minore agli effetti prodotti dalle schegge. Gliesplosivi commerciali d’uso civile, impiegati per la demolizione distrutture esistente o per l’apertura di scavi in roccia, sono solitamenteutilizzati con cariche intasate, in altre parole introdotte in fori realizzatinella roccia o nel terreno.Le esplosioni chimiche sono suddivise in deflagrazioni, nelle quali lapropagazione della reazione chimica d’esplosione è una forma dicombustione che procede nel materiale a velocità subsonica, edetonazioni, nelle quali la reazione chimica d’esplosione non è unacombustione ma una decomposizione diretta della molecola d’esplosivo,innescata direttamente dall'onda d'urto, la reazione d’esplosione procedequindi alla velocità del suono in quella particolare sostanza attraversotutto il materiale, e la pressione e temperatura finale dei prodotti direazione sono quindi molto più elevati [1]. Per caratterizzare la potenzadi un esplosivo è possibile condurre una prova sperimentale, che prevedel’esplosione di una carica all’interno di un blocco di piombo le cuidimensioni sono standardizzate. Eseguendo in seguito una misurazionedel volume della cavità creatasi al suo interno, è possibile stabilire unacorrelazione tra la potenza della gelatina esplosiva, ritenuto uno degliesplosivi più potenti, con altre tipologie di cariche esplosive, associandoconvenzionalmente alla gelatina una potenza pari a 100 [1]. In ambitomilitare ma anche in campo civile si preferisce definire un caricoesplosivo equivalente, calcolando dei coefficienti d’equivalenza rispettoal Trinitrotulene (TNT), per la quale si assume un coefficiente unitario[1].11

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE1.1.2 – Esplosione in AriaSi vogliono descrivere gli effetti prodotti da un’esplosione che avvienein aria libera, considerata puntuale ed istantanea, alla quale corrispondeil rilascio di una certa quantità d’energia E.Ciò che interessa definire, è l’incremento di pressione del mezzocircostante la carica esplosiva, in un dato istante di tempo t, ad una certadistanza radiale R(t) dal centro d’esplosione, supponendo che sia di tiposferico.Rispetto alle condizioni imperturbate del mezzo, alle quali corrispondeuna certa pressione p 1 , in seguito al passaggio del fronte d’onda, si avràuna nuova pressione p 2 , maggiore di quella iniziale.L’ipotesi di base è che le trasformazioni di natura termodinamicheassociate all’esplosione, siano adiabatiche, in altre parole comporterannouno scambio di calore tra l’ambiente interno, in cui si ha l’esplosione, equello esterno, in cui si ha la propagazione della stessa. Inoltre, l’ariaattraverso la quale si propaga l’onda d’urto, è considerata come un gaspolitropico, per il qual è vera la seguente espressione:pv n = cost.Dove p è la pressione, v è il volume specifico per unità di massa, e n è uncoefficiente numerico adimensionale, che assume valori diversi aseconda che la trasformazione del gas sia isoterma o adiabatica, inquesto caso essendo adiabatica vale 4,21 [3].Per definire la velocità, la pressione, e la densità di massa del mezzoattraversato dal fronte d’onda ad un generico istante di tempo t, saràquindi necessario descrivere il moto del gas.16

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONETale moto è univocamente determinato, una volta noti la densità dimassa indisturbata dell’aria ρ 1 , l’energia sprigionata dall’esplosione E,ed una volta fissati l’istante di tempo t e la distanza radiale r dal centrod’esplosione.Dalla successiva relazione si ricava la posizione radiale del fronte d’ondaad un generico istante di tempo t:λ12( Et ) k= r ρ 2 +1Dove k è un parametro adimensionale, che assume valore pari a 1, 2, o 3,a seconda che l’espansione del gas è monodimensionale, bidimensionaleo tridimensionale [3].Da cui, la posizione radiale dell’onda d’urto all’istante t sarà:R() t=⎛β⎜⎝Etρ12⎞⎟⎠12 + kDove β è una costante adimensionale, definita in funzione del rapportopolitropico γ tra il calore specifico del gas a pressione costante, e avolume costante dell’aria[3].Attraverso la precedente relazione, si è quindi in grado di individuare adogni istante, in seguito all’esplosione, la posizione del fronte d’onda.Noto R(t), si può calcolare la velocità con la quale si propaga l’ondad’urto nel mezzo circostante, come:U ( t ) =dRdt17

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONELa pressione del fronte d’onda è quindi una funzione inversamenteproporzionale della distanza R dal centro d’esplosione.In particolar modo al variare della costante k, che come già detto assumevalori diversi a seconda che la propagazione del fronte d’urto siamonodimensionale, bidimensionale, o tridimensionale, questaproporzionalità inversa sarà lineare, quadratica o cubica.Nel caso di propagazione tridimensionale, l’attenuazione della pressionesul fronte d’onda, sarà ancora più rapida all’aumentare della distanzaradiale dal centro d’esplosione.Il picco di pressione, in altre parole la massima pressione conseguita inun punto generico dello spazio, a distanza R dal centro d’esplosione, sidefinisce come somma di 4 contributi:ΔA A Ap = + + +R R R1 23A23 4Dove le 4 costanti, A 1 , A 2 , A 3 , e A 4 , sono determinate attraversoun’interpolazione lineare dei risultati numerici di prove sperimentali, chedipendono dal peso della carica esplosiva W, mediante la cosiddettaDistanza Ridotta, a sua volta definita come:Z =R3WIl concetto di distanza ridotta, s’introduce per individuare la distanza dalcentro d’esplosione, alla quale due cariche esplosive, con la stessaenergia specifica d’esplosione, ma con peso differente, W 1 e W 2 ,generano lo stesso effetto in termini di pressione. Analogamente, per duecariche esplosive con lo stesso peso W, ma con energie specifiche19

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEd’esplosione diverse, E 1 ed E 2 , s’individua la distanza alla quale le duecariche generano la stessa pressione [3].Nelle applicazioni pratiche, per la valutazione della pressione in ungenerico punto dello spazio, individuato dalla distanza ridotta Z dalcentro d’esplosione, e in un generico istante di tempo t, sono impiegateformulazioni semiempiriche come la seguente:pt−+⎛ t ⎞αt( Z , t ) = py− p0= Δ p ( Z ) ⎜ 1 −+⎟ e⎝t⎠+Dove p + y è la massima pressione della fase positiva, p 0 è la pressione incondizioni indisturbate del mezzo di propagazione, pressioneatmosferica nel caso dell’aria, t + è la durata della fase positiva disovrapressione, α è un coefficiente di natura sperimentale definito infunzione della distanza ridotta Z, e Δp(Z) è il picco di pressione alladistanza ridotta Z [3].La durata della fase positiva di sovrapressione, la si può valutare comesegue (M. A. Sadowsky):t + 3 6= B ⋅ 10 −WRDove, il tempo è espresso in secondi, B è una costante che si assumenella pratica pari a 1,3 [3].20

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE1.1.3 –L’esplosione in centri abitatiNel momento in cui l’esplosione avviene in un centro abitato, la suapropagazione in aria può essere descritta come se avvenisse attraverso uninsieme di canali [3]. In questo caso l’onda di sovrapressione incontreràstrade, piazze ed edifici, che ne determineranno delle riflessioni. Lestrade sono quindi considerate come dei canali lateralmente confinatidalla presenza degli edifici.Si supponga di prendere in considerazione un’esplosione di tipopuntuale, che avviene ad una distanza R 0 dalla sezione d’imbocco delnostro canale. L’onda d’urto prodotta dall’esplosione, inizialmentesferica, raggiunta la sezione iniziale del canale, si trasforma da sferica inpiana. Questa trasformazione si deve alle riflessioni multiple dell’ondacontro le pareti laterali del canale, e alle sovrapposizioni di questeultime. In questo modo gli effetti dell’esplosione si risentono anche adistanze maggiori rispetto al caso d’assenza d’ostacoli.E’ interessante determinare la pressione prodotta nell’atmosfera ad unacerta distanza r dal centro d’esplosione. In generale, si può affermare chequesta sia pari a:p ( r ) =ArDove r è la distanza dal centro d’esplosione, ed A una costante [3].Se s’indica con r = R 1 la distanza dal centro d’esplosione della sezioneiniziale del canale, dove la pressione vale p 0 , la costante A si calcolacome:A = R 1 p 023

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONELa pressione in una generica sezione x del canale sarà calcolata come:p ( x)=pR10R+1xDove, p 0 è la pressione calcolata sul fronte d’onda sferico alla distanzaR 0 dalla carica esplosiva [3].Dalla precedente espressione si evince come all’aumentare della distanzadal centro d’esplosione si abbia una riduzione della pressione prodotta,essendo questa ultima inversamente proporzionale alla distanza x.In questa formulazione non si tiene conto del graduale passaggio dellasuperficie d’onda da sferica a piana, dell’influenza delle onde diriflessione sulle pareti che limitano lateralmente il canale, e degli effettidissipatevi dovuti alla rugosità delle pareti del condotto.E’ quindi necessario introdurre dei coefficienti correttivi che terrannoconto di questi fenomeni. S’introduce quindi un coefficiente α,compreso tra 0 e 1, che moltiplicato per R 0 riduce la distanza del centrod’esplosione dalla sezione d’imbocco [3]. Il coefficiente amplificativoΩ, che tiene conto della sovrapposizione delle onde di riflessione, talecoefficiente si assume sempre inferiore all’unità. Infine un termineesponenziale, in funzione del quale all’aumentare della distanza x lungoil canale, si ha una riduzione della pressione in virtù degli effettidissipativi. Sperimentalmente, è possibile dimostrare che tali effettidissipativi, siano funzione della rugosità delle pareti laterali del condotto,espresse mediante un coefficiente di attrito ξ, a sua volta funzione delladimensione trasversale del canale D, e dell’altezza relativa delle asperitàh [3].24

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEL’espressione corretta della pressione prodotta ad una generica ascissa xdel canale sarà [3]:p(x)=ΩpRα − 0 , 4 ξ0 1( α R + x )1exDDa questa formulazione, si evince che per ridurre la pressione èsufficiente aumentare la dimensione trasversale D del canale stesso.Questo si può fare realizzando delle camere d’espansione, che sono degliallargamenti della sezione trasversale corrente. A valle di questa camerad’espansione, nel momento in cui si ha un successivo restringimento delcondotto, la pressione è calcolata come [3]:pp12=⎛⎜⎝SS21⎞⎟⎠0 , 8Dove S 1 e S 2 , sono rispettivamente la dimensione trasversale delcondotto prima e dopo l’allargamento, cosi come p 1 e p 2 , sono le relativepressioni, all’ingresso del canale d’espansione, e nel canale d’uscita,quest’ultima p 2 sarà incognita.Quando lungo il canale principale, l’onda di sovrapressione incontradelle curve o delle diramazioni, la pressione che si avrà a valle delcambio di geometria del condotto, sarà valutata come un’aliquota dellapressione iniziale p 1 :p 2 = kp 1Dove k è un coefficiente di proporzionalità, che varia tra 0 e 1, e assumevalori diversi in funzione del tipo di diramazione o cambio di geometriadel canale [3].25

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE1.2 – InneschiGli Inneschi possono essere realizzati con spolette, corde di detonazione,micce d’accensione o detonatori, in grado di provocare l’esplosione neitempi e nei modi desiderati; molti di questi elementi sonosufficientemente piccoli da poter essere facilmente nascosti in un veicoloe quindi passare inosservati ad un controllo [2].In alcuni casi l’innesco di un esplosivo può indurre ad una reazione acatena, dovuto all’innesco successivo d’altri esplosivi nelle vicinanze.Ciò non sempre avviene, in quanto questo fenomeno e vincolato da unaserie di fattori tra cui la distanza e la sensibilità degli esplosivi, laviolenza dell’esplosione e il mezzo attraverso il quasi si propaga.La scelta del sistema d’innesco dipende non solo dal tipo d’esplosione edi danno che si vuole provocare ma anche dal tipo d’esplosivo.Fatta eccezione per la polvere nera che può facilmente essere innescatamediante l’accensione di una miccia, tutti gli altri esplosivi hannobisogno di un detonatore[2].La detonazione è un fenomeno chimico-fisico costituito da unaesplosione che si propaga ad una velocità supersonica costante, chegenera un'onda d'urto il cui campo di velocità a valle può essere ancorasupersonico (detonazione forte) oppure subsonico (detonazione debole)[2]. La velocità di detonazione è una funzione della densità del solidoimpiegato per la costruzione della carica esplosiva. Superato un certolimite di densità, la velocità di detonazione tende a diminuire a causadelle difficoltà con le quali si sviluppano le reazioni chimiche, che sonoartefici della detonazione stessa. I Detonatori utilizzati per innescare gliesplosivi normali sono solitamente dei tubi sottili d’alluminio o di rame,contenenti vari tipi d’esplosivi primari e secondari presenti in piccole26

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEquantità, che li rendono molto sensibili alle azioni esterne tra cuipercussioni, shock e calore, per tale motivo vanno maneggiati concautela e mai trasportati insieme all’esplosivo. Gli esplosivi primari sonomolto sensibili agli urti, agli sfregamenti e al calore, sono usati neidetonatori per innescare l'esplosivo secondario. Gli esplosivi secondari,tranne qualche eccezione, non sono sensibili alle sollecitazionimeccaniche e termiche, e pertanto si possono definire stabili.I detonatori possono essere innescati a loro volta tramite uno shock nonelettrico, i detonatori non elettrici si ottengono mediante l’accensione diuna miccia vincolata alla sua estremità o da un pezzo di corda didetonazione, altresì da un detonatore elettrico costituito da un filamentoimbevuto in una miscela incendiaria, che è resa incandescente alpassaggio della corrente elettrica prodotta da una particolare batteriadefinita esploditore[2].Mentre i detonatori non elettrici sono istantanei, quelli elettrici possonoessere dotati di un dispositivo a tempo basato su un segnale elettronicoche agisce a distanza, prodotto ad esempio da un semplice telefonocellulare, o basato su un periodo di innesco prefissato.Le spolette a tempo sono per lo più utilizzate per la detonazioned’ordigni militari (Bombe a Mano) [2].Una gran varietà di detonatori è facilmente reperibile in commercio econ varie dimensioni, tra cui le corde di detonazione dette anche micceordinarie a lenta combustione, utilizzate per l’innesco non elettrico deidetonatori stessi o d’altri esplosivi a debita distanza e con sufficienteritardo di tempo. Queste sono realizzate con una polvere nera finissimache non emette odori identificabili, avvolta con un filo in una pellicola oin uno strato di plastica. Le stesse possono anche essere realizzatesostituendo alla polvere nera un esplosivo secondario ad alta velocità di27

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEdetonazione, in questo caso si parla di “miccia detonante“, usatasoprattutto per la detonazione contemporanea di più cariche disposte adistanza l’una dalle altre.1.3 – Dispositivi EsplosiviE’ possibile individuare diverse tipologie di dispositivi esplosivi che sicontraddistinguono per innesco, cariche esplosive e contenitore.Secondo i loro impieghi, tali ordigni si distinguono in tre diversecategorie, Militari, Commerciali o Civili ed “Improvvisati“.Gli Esplosivi Militari, come il trinitrotulene (TNT) e i vari esplosiviplastici tra cui il C-4, possono essere usati singolarmente o mescolati traloro o con altre sostanze, tra cui la polvere d’alluminio, per migliorarnele prestazioni. Lo stesso esplosivo plastico molto diffuso negli Stati Unitisi ottiene proprio mescolando esplosivi secondari con sostanze plastichequali ad esempio i polimeri sintetici. Questi esplosivi sono caratterizzatida una densità simile a quella dell’acqua, sono tolleranti alle condizionid’umidità e resistenti alle temperature estreme, si presentano sotto formee colori diversi fortemente dipendenti dai plastificanti e i colorantiutilizzati durante il processo di produzione. Data la loro tolleranza agliambienti umidi possono essere facilmente nascosti in liquidi acquosi,facendo attenzione ad evitare i solventi organici nei quali potrebberodissolversi.L’innesco avviene singolarmente o tra più carichi esplosivi attraversol’uso di uno o più “blasting cap“ (cappuccio esplosivo) [2].E’ stato provato che molti attacchi terroristici siano stati realizzatiproprio avvalendosi d’ordigni militari, con la possibilità di nasconderli insolventi organici, quale il gasolio, a patto di isolare completamente28

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEl’esplosivo dal solvente stesso; il beneficio che se ne trae è quello diconfondere l’odore dell’esplosivo rendendolo quindi meno intercettabiledai controlli di sicurezza tenuti dalle unità cinofile.Gli Esplosivi Commerciali d’uso civile si distinguono per dimensione,colore e consistenza, tra solidi e gelatinosi, tra questi maggiormenteimpiegati sono gli esplosivi da mina a base di Nitrato di Potassio od’Ammonio, e la gelatina esplosiva formata per oltre il 90% daNitroglicerina e la restante parte da Cotone Collodio. Questi ultimi siannoverano tra i più pericolosi, in quanto i rischi sono connessisoprattutto al trasporto e alla lavorazione, essendo, infatti, laNitroglicerina, un materiale esplosivo molto suscettibile agli urti [2].Tali esplosivi hanno una densità molta variabile, usualmente simile aquella dell’acqua, ciò li rende tolleranti al contatto con l’acqua stessa,sebbene alcuni esplosivi commerciali non possono essere detonati incompleta immersione in acqua o in altri solventi. La detonazione avvienecon un singolo “blasting cap“ dato che l’innesco di un solo contenitore dimateriale esplosivo può provocare la detonazione di altri a lui adiacente(Reazione a Catena) [2].Gli esplosivi commerciali non hanno una lunga vita utile, soprattutto seesposti per lunghi periodi ad elevate temperature, le quali possonoprovocare la fuoriuscita d’oli esplosivi o d’altri elementi. Molti di questiesplosivi, ed in particolar modo la Dinamite, emanano un forte odore,l’esposizione a tali vapori può causare rapidamente un’intensa emicraniadella durata di alcuni minuti.29

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEGli Esplosivi “Improvvisati, sono realizzati clandestinamente eartigianalmente, il loro potere distruttivo è funzione dei materialiimpiegati e delle abilità tecniche degli stessi produttori.Tali ordigni presentano notevoli difficoltà, può, infatti, verificarsi unadetonazione prematura o incompleta, oltre che la fuoriuscita di un fortevapore acido che può corrodere il contenitore metallico dell’esplosivo odecomporsi quando esposto al calore. I contenitori degli esplosivimaggiormente utilizzati sono tubi d’acciaio o di plastica con entrambe leestremità tappate, solitamente di grandi dimensioni e per tanto faciliobiettivi delle tecniche d’ispezione, e per tale motivo sono usualmentenascosti negli scompartimenti di un veicolo [2].1.4 – Materiali EsplosiviI materiali esplosivi, utilizzati per la fabbricazione delle bombe sono divario tipo. Questi possono essere distinti tra cariche concentrate eallungate a seconda che siano ammassate in modo globulare o disposte intubi esplosivi. Possono essere interne o esterne a seconda che sianodisposte in cavità realizzate nel corpo da far esplodere o semplicementeappoggiate su di essi. Si contraddistinguono in funzione delle lorocaratteristiche chimiche, fisiche, del colore e dell’odore. Varianosoprattutto da un luogo all’altro in funzione della loro reperibilità.Alcune pubblicazioni scientifiche attestano che i migliori materialiesplosivi rintracciabili negli Stati Uniti sono la Polvere Nera, utilizzataper la produzione di bombe a tubo, la Dinamite, una miscela di Nitrato diAmmonio e Oli Combustibili (ANFO), l’esplosivo al plastico (C-4) e ilTNT, questi ultimi due utilizzati soprattutto per operazioni militari. I piùusati esplosivi artificiali sono esplosivi chimici, che normalmentecomprendono una rapida e violenta reazione d’ossidazione che produce30

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEuna notevole quantità di gas ad alta temperatura. Sono esplosivi moltoversatili, compatti, disponibili in quantità e in ogni tipo.Le caratteristiche chimiche e fisiche dei materiali esplosivi incidonochiaramente sui loro vari impieghi, tra cui quelli militari e purtroppoanche quelli terroristici. Tali caratteristiche influenzano la scelta operatadai terroristi tra i vari materiali per la costruzione del proprio ordigno, alfine di sottrarsi ai normali controlli di sicurezza all’interno degliaeroporti o altri luoghi controllati dai metal detector, ed altri dispositividi sorveglianza.Molti materiali esplosivi appaiono sotto forma di polvere bianca o nera,solitamente con una struttura di tipo cristallina, ma quando caricate nelcontenitore queste sono generalmente bagnate, al fine di evitareesplosioni premature, il che può chiaramente appesantirle e conferirgliuna configurazione pastosa.E’ possibile distinguere diversi esplosivi utilizzati per la fabbricazione dibombe, tra cui Esplosivi Semplici, come il TNT (trinitrotulene), laNITROCELLULOSA e la NITROGLICERINA, ed Esplosivi Compostiquali la DINAMNITE, la POLVERE NERA, gli esplosivi plastici (C-4;SEMTEX) e l’ANFO [2].Esplosivi Semplici• Il TNT è il più comune tra gli esplosivi utilizzati per laproduzione d’armi militari, si presenta sotto forma di polverecristallina o a fiocchi, di colore variabile tra il giallo e il marroneacceso, se esposto all’ossigeno e ai raggi ultravioletti può subireuno scolorimento e una riduzione di stabilità all’impatto, data lasua composizione può essere sciolto per fargli assumere altre31

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEforme, è assolutamente inodore e può essere utilizzato comecomponente per molti altri esplosivi.• NITROCELLULOSA è un materiale altamente infiammabilecostituito da cellulosa e acido nitrico. È più stabile e brucia piùvelocemente della polvere nera emettendo gas molto caldi.Esplode quando innescata, ed è solitamente impiegata per laproduzione di propellente o più semplicemente per il lancio diproiettili in armi leggere; se asciutta è molto sensibile agliimpatti, all’attrito e alle scintille.• NITROGLICERINA è un esplosivo molto potente tra i maggiorielementi utilizzati per la produzione d’ordigni. Allo stato puro sipresenta come un liquido pesante di colore chiaro con la stessaconsistenza di un olio; può essere assorbita dal corpo medianteinalazione o a contatto con la pelle inducendo stordimento e forteemicrania, oltre ad emettere fumi molto tossici durante la suacombustione.• RDX, conosciuto anche come ciclonite, esogeno o T4. É unanitroammina, ed è un materiale esplosivo ampiamente usato daimilitari. Si presenta come un solido cristallino di colore bianco.E’ usato solitamente in miscele con altri esplosivi e plastificanti,oppure desensibilizzanti. È un esplosivo stabile e si puòconservare per molto tempo se immagazzinato bene. E’considerato il più potente tra tutti gli esplosivi militari. E’prodotto facendo reagire l'acido nitrico concentratosull'esammina, nitrato d’ammonio, acido acetico, ed anidride32

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEacetica. Comincia a decomporsi a circa 170°C, brucia piuttostoche esplodere, per farlo esplodere necessita di un detonatore, ed èmolto sensibile quando cristallizzato a temperature inferiore ai -4°C [4].Esplosivi Composti• DINAMITE è un esplosivo commerciale a differenza dei primitre, che sono invece d’uso militare, realizzata con materialeporoso imbevuto con Nitroglicerina ed avvolto in un foglio dicera, in un cartone o in una pellicola di plastica di colorevariabile secondo il produttore, solitamente confezionata comeun tubo di diverso diametro. La Nitroglicerina impiegata per lasua realizzazione varia in percentuali comprese tra il 5% e il90%, conferendogli un forte odore che può provocare immediatistordimenti; è solitamente innescata con una corda didetonazione o con un blasting cap.• POLVERE NERA è un esplosivo chimico tra i più vecchiconosciuti. Si realizza mediante una miscela di polveri tra cuiNitrato di Potassio o Nitrato di Sodio, Carbone di Legna e Zolfo.Il suo colore varia tra il nero e il marrone ed appare sottoforma dipolvere sottile o granulare. E’ solitamente arricchita con dellagrafite che ha il compito di ridurre l’attrito tra i singoli granuliche potrebbe anche provocarne l’innesco accidentale, dato chequesto materiale risulta molto sensibile all’attrito oltre che alcalore, all’impatto e alle scintille, ciò fa di questo materialeesplosivo uno dei più pericolosi da maneggiare. Inoltre, risulta33

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEessere sensibile all’elettricità, pertanto deve essere lavorato conattrezzi di legno o di plastica a bassa conducibilità elettrica. Deveessere conservata asciutta data la sua sensibilità all’acqua eall’umidità che ne possono compromettere il corretto innesco.• C-4, noto anche come esplosivo al plastico per la suacomposizione e modalità d’applicazione, è anch’esso unesplosivo usato per scopi militari, in particolar modo come caricoper le demolizioni. E’ costituito da un materiale esplosivo (RDX)arricchito con degli additivi che lo rendono simile ad uno stuccofacile da modellare. La peculiarità di quest’esplosivo èchiaramente la sua flessibilità che lo rende facile da modellare eda applicare su superfici irregolari, oltre che a un’elevata velocitàdi detonazione.• SEMTEX è un esplosivo plastico al pari del C-4 prodottooriginariamente nell’Europa dell’Est, è costituito da dueesplosivi il RDX e il PETN, arricchiti anch’essi con additivi chelo rendono flessibile e malleabile, è assolutamente inodore ecaratterizzato da un colore che varia tra il giallo e il nero, presosingolarmente è un materiale relativamente innocuo che puòfacilmente essere manipolato. Per la sua detonazione si usasolitamente un blasting cap o una corda di detonazione. La suavita utile si aggira intorno ai 10 anni oltre i quali iniziano aperdere la sua flessibilità diventando friabile o rigido.• ANFO è composto di una miscela di Nitrato d’Ammonio e OliCombustibili. Il Nitrato è solitamente di colore bianco, ha una34

CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONEforma simile a quella di un fertilizzante ed è spesso imballato incontenitori impermeabili che servono ad evitare che possaperdere il suo potere e sensitività all’aumentare dell’umidità.Alcune variazioni si possono ottenere mescolando il Nitratod’Ammonio con Enitrometano o con lo Zolfo. Ha una densitàpari a circa l’85% di quella dell’acqua, non è sensibile alletemperature estreme e ciò nonostante deve essere tenuto asciuttoe non può quindi essere nascosto in acqua [4].Si riporta di seguito, una tabella illustrativa dei parametri d’alcuniesplosivi classici sopra elencati [3]:EsplosivoVolumespecificod’EsplosioneV [l/Kg]Calorespecificod’EsplosioneQ [Kcal/Kg]Temperaturad’EsplosioneT [°C]Velocità diDetonazioneD [m/s]Nitroglicerina 717 1470 4110 8000Esogeno 908 1500 3850 8300TNT 728 1000 2950 6800Fulminato diMercurio304 368 4810 5400Dinamite (62%) 634 1200 4040 6600Tabella 1. 1 – Parametri che caratterizzano fisicamente alcuni materiali esplosivi35

CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A.Capitolo 2Descrizione di un test d’esplosione su una piastra in c.a.Oggetto della tesi è stata la modellazione numerica di una piastra in c.a.sottoposta all’azione di un carico dinamico prodotto da un’esplosione.A tale fine, è stato necessario avvalersi dei risultati di una provasperimentale, condotta presso il Dipartimento d’Ingegneria Civile,Architettonica ed Ambientale, dell’Università del Missouri-Rolla (USA).Realizzata per opera degli Ingegneri Pedro F. Silva, Binggeng. Lu &Antonio Nanni [5].Nel caso specifico si tratta di una condizione d’esplosione (blast), di cuisi vogliono descrivere gli effetti prodotti in termini di pressione,attraverso l’uso di una trattazione numerica di seguito riportata.Operando il confronto tra i risultati noti a priori del test sperimentale, equelli della modellazione numerica, si ha la possibilità di verificarel’accuratezza della simulazione, che sarà tanto più attendibile, quantomaggiore sarà la fedeltà nella riproduzione della prova, e nelconseguimento di risultati simili a quelli ottenuti empiricamente.La simulazione numerica, è stata realizzata utilizzando il software dicalcolo LS-DYNA Version 970 [11]. Il programma, è stato impiegato conil fine di implementare un metodo di calcolo numerico, per ladiscretizzazione prima e la risoluzione analitica poi, dell’elementostrutturale.Tra i possibili metodi a disposizione, si è scelto di implementare unMetodo Particellare di tipo Meshfree, in particolare lo SmoothedParticle Hydrodynamics (SPH) [7]. Utilizzando lo stesso software, si èpotuto ripetere la stessa simulazione, implementando un altro metodo dicalcolo, il più tradizionale Metodo degli Elementi Finiti (FEM) [6].36

CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A.In seguito, si è operato un confronto tra i risultati ottenuti, con i duediversi metodi impiegati, al fine di capire quale tra questi meglio sipresta per la modellazione di un elemento strutturale sottoposto a caricoda esplosione.2.1 – Descrizione della Prova SperimentaleIl test si è svolto sottoponendo all’azione di un carico dinamico, unapiastra in calcestruzzo armato. La sollecitazione dinamica è stataprodotta dalla detonazione di una carica esplosiva di peso W, sospesa inaria alla distanza R dal centro dell’elemento. Il materiale esplosivoutilizzato è l’RDX (Esogeno), considerato tra i più potenti esplosivi d’usomilitare.Di seguito si descrivono:• Caratteristiche Geometriche della piastra in c.a.Le dimensioni in pianta sono 48x48 in (1,2x1,2 m), mentre lospessore è di 3,5 in (0,0875 m). Le armature metallichebidirezionali, sono disposte sul fondo della piastra, con copriferrodi 0.5 in (0,0125 m). Le barre hanno sezioni trasversali di 0.11 in 2(φ9), e interasse di 6 in (0,15 m). Si ha quindi una percentualed’armatura in entrambi le direzioni di 0,528%.• Condizioni di vincolo;I campioni di prova sono stati appoggiati su due travi paralleled’acciaio, con sezione a doppia T, le cui flangie avevano unalarghezza di 6 in (0,15 m). Si possono osservare su entrambe letravi d’acciaio due file di spinotti metallici, a cui la piastra è stata37

CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A.vincolata, e che formano in questo modo un incastro su entrambi ibordi esterni.y1,2Bφ9/15 cm0,15AA1,2xB0,15Sezione A-A ; B -B0,09Figura 2. 1 – Caratteristiche Geometriche della piastra, e dell’armatura metallica.9φ9Figura 2. 2 – Setup di Prova.38

CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A.Come si può notare, la piastra oltre ad essere geometricamentesimmetrica, rispetto ad una coppia di assi cartesiani con origine nelcentro, lo è anche nei confronti delle condizioni di vincolo e di carico,essendo la carica esplosiva applicata nel centro della piastra, ed essendoquesta ultima semplicemente appoggiata su due lati.Di seguito si riportano, le proprietà dei materiali usati per la provasperimentale [5]:MaterialiStrain-rate [sec-1]Modulo diElasticità diYoung E [Kg/cm 2 ]Rapporto diPoisson νAcciaio 100 2,90E+07 0,3Calcestruzzo 100 3,78E+06 0,2Tabella 2. 1 – Proprietà elastiche dei materiali impiegati per la costruzione dellapiastra, allo Strain-Rate di 100 sec -1 .CalcestruzzoTensione diRottura aCompressione[Kg/cm 2 ]Tensione diRottura aTrazione [Kg/cm 2 ]DeformazioneUltima ε u [‰]717,13 195,8 4,76Tabella 2. 2 – Proprietà dinamiche del calcestruzzo allo Strain-Rate di 100 sec -1 .AcciaioStrain-rate [sec-1]Tensione diSnervamento[Kg/cm 2 ]1,00E-04 3958,28174 5582,37Tabella 2. 3 – Tensione di Snervamento dell’acciaio, per due diversi valori di Strain-Rate.39

CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A.Mentre per il calcestruzzo sono fornite le sole proprietà dinamiche(Strain-Rate di 100 sec -1 ), per l’acciaio, si fa distinzione tra la tensionedi snervamento calcolata per condizioni di carico quasi statiche (Strain-Rate 1,00E-04 sec -1 ), e per le condizioni di carico dinamiche (Strain-Rate 174 sec -1 ). Da questi dati si nota un incremento della tensione disnervamento del materiale, all’aumentare della velocità di deformazioneε [sec -1 ], mentre il modulo di elasticità si mantiene costante.Note le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo per condizioni dicarico dinamiche, sono state da queste derivate le stesse caratteristiche incondizioni quasi statiche. Utilizzando la formulazione proposta dalbollettino CEB-FIP Model Code 1990 [20].Ottenendo i seguenti risultati:MaterialiModulod’Elasticità diYoung E[Kg/cm 2 ]Modulod’ElasticitàTangenziale G[Kg/cm 2 ]Calcestruzzo 179843,71 74934,88CalcestruzzoTensione diRottura aCompressione[Kg/cm 2 ]Tensione diRottura aTrazione[Kg/cm 2 ]212,65 28,67Tabella 2. 4 – Proprietà del calcestruzzo, per velocità di deformazione quasi statica.40

CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A.2.2 – Evidenze SperimentaliSi riportano ora i risultati delle prove eseguite, in termini di dannoprodotto [5]:TestPeso della caricaesplosiva RDX.W [Kg]Distanza dellacarica dalcentro dellapiastra. R [m]Livello di Dannoprodotto1 0,10 0,91 I (No Cracking)2 0,50 0,91 II (Minor Cracking)3 0,90 0,30 III (Major Cracking)4 1,71 0,20 IV (Severe Damage)Tabella 2. 5 – Condizioni di carico ed Evidenze Sperimentali ad esse associate.Dalle evidenze sperimentali si evince, che all’aumentare dell’entità delcarico, e contemporaneamente al ridursi della distanza tra la piastra e ilcentro d’esplosione, si osservano danni crescenti in termini difessurazione, fino a giungere alla condizione di rottura dell’elemento.Nelle immagini successive, sono raffigurati i risultati delle prove 3 e 4:Figura 2. 3 – Immagine della piastra in seguito alla terza Prova.41

CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A.Figura 2. 4 – Immagini della piastra in seguito alla quarta Prova.Si osserva che:• Al seguito della prima prova non si riscontrano danni percepibili;• Nel secondo caso si osservano piccole lesioni d’entità in ognimodo non apprezzabili;• Nel terzo caso la piastra presenta fessure rilevanti. Il quadrofessurativo che si presenta in questo caso è caratterizzato dalesioni radiali, che dal centro della piastra, ovviamentemaggiormente sollecitata perché nelle immediate vicinanze dellacarica esplosiva, si estendono verso i bordi della stessa, conampiezze decrescenti linearmente. La lesione maggiore nel centrodella piastra misura un’ampiezza di circa 3 mm. La deformazionedell’elemento strutturale è data dalla somma di due aliquote, unadeformazione elastica e una plastica. La deformazione plastica simanifesta mediante uno spostamento residuo, che si può misurareal termine della prova. La piastra presenta nel centro unabbassamento residuo di 21 mm, e di 11 mm in prossimità dellamezzeria del bordo esterno.• Nella quarta ed ultima prova, aumentando il carico esplosivo eriducendo ulteriormente la distanza della carica esplosiva dal42

CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A.centro della piastra, si provoca la rottura della stessa, così comemostrato nella precedente immagine.2.3 – Finalità della Prova SperimentaleIl test di prova è stato condotto con l’intenzione di verificare la validitàdel metodo DBD (Displacement Based Design method), usato nelvalutare la dimensione del carico esplosivo W, e la distanza di tolleranzaR, tali da produrre un livello di danno stabilito a priori [5].Oggetto della ricerca era l’individuazione di uno strumento utile neldeterminare, entro un grado di precisione ragionevole, il livello divulnerabilità delle strutture esistenti. Inoltre, nel modellare un’esplosioneè di fondamentale importanza definire un livello di danno tollerabile. Glieffetti prodotti da un’esplosione possono variare dal danno minore finoal completo collasso della struttura, con le conseguenti e considerevoliperdite di vite umane. Questo programma di ricerca ha mostrato risultatipromettenti nell’impiego del metodo per predire il blast load (caricoesplosivo), in termini di distanza e peso della carica esplosiva disicurezza.Le evidenze sperimentali hanno mostrato che i livelli di danno realizzatierano simili ai valori predetti.Dato che le finalità della prova sperimentale e della tesi differiscono traloro, si preferisce omettere la descrizione del metodo DBD, non essendoquesto di nostro interesse. Sarà quindi sufficiente avvalersi dei dati deitest eseguiti e dei risultati da loro conseguiti, da utilizzare per lamodellazione degli stessi.43

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONECapitolo 3Modellazione delle azioni prodotte dall’esplosione.Al fine di valutare le azioni prodotte sulla superficie della piastradall’esplosione, sarà necessario definire per ogni prova, la curva dipressione a cui la piastra sarà sottoposta.La curva di pressione definisce al variare del tempo, in un dato puntodello spazio alla distanza ridotta Z dal centro della carica, l’andamentodella pressione generata dall’esplosione. Di questa curva di carico, èpossibile distinguere una fase positiva ed una negativa. La fase positiva èdovuta all’incremento di pressione rispetto alla normale pressioneatmosferica, mentre quella negativa si deve ad una depressione, in virtùdel ritorno verso il centro di esplosione dell’aria che è stata spostata [3].Nella modellazione effettuata dagli autori della prova sperimentale,l’onda di pressione è stata semplificata con una curva di caricotriangolare. I parametri principali richiesti per definire la blast load sonoil Picco di Pressione ΔPs, e la durata dell'impulso di blast td, o duratadella fase positiva. Assumendo nullo il tempo d’arrivo t a del fronted’onda sulla superficie piana, l’andamento qualitativo della curva dipressione sarà come mostrato nella successiva immagine [5]:PΔPstdtFigura 3. 1 – Curva di Pressione semplificata, usata dagli autori per la modellazionedella prova.44

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONESemplici espressioni possono essere usate per riferire ΔP s e t d al pesodella carica esplosiva e alla distanza, indicate rispettivamente con W e R.Il picco di pressione ΔP s , è valutato come una funzione inversamenteproporzionale della distanza ridotta Z, secondo la formulazione propostada H.L. Brode [5].Al variare del campo di validità, ΔP s sarà definito come:Δp(Z ) =Δp(Z ) =6,72+ 1 Δp≥ 10Kg/ cm3Z0,975 1,455 5,85+ + − 0,0192 3Z Z Z0,1 ≤ Δp≤ 10Kg/ cm2Dove, la distanza ridotta Z si esprime in funzione di R e W così comesegue:Z =R3WLa durata della fase positiva, o impulso dell’esplosione t d , si definiscesempre in funzione di R ed W, a partire dalle seguenti funzionilogaritmiche [5]:log⎛ t ⎞⎛ ⎞10 ⎜ dR⎟ ≅ − 2,75 + 1,95 ⋅ log310 ⎜ ⎟ Z ≤3⎝ W ⎠⎝ W ⎠01,0logt d⎛ ⎞⎛ R ⎞10 ⎜ ⎟ ≅ − 2,75 + 0,27 ⋅ log310 ⎜ ⎟ Z ≥3⎝ W ⎠⎝ W ⎠1,La curva di pressione così calcolata nel solo centro della piastra, è poiestesa all’intera superficie di carico.45

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONENella nostra modellazione, sia il picco di pressione sia la durata dellafase positiva sono stati valutati in maniera diversa. Per la definizione diuna curva di pressione, che si avvicini quanto più verosimilmente alladescrizione del reale fenomeno fisico provocato dall’esplosione, si èpreferito seguire un diverso metodo analitico, la cui trattazione teorica èstata esplicitata nel Capitolo 1.3.1 – Curva di pressione adottataEssendo la piastra simmetrica, sia geometricamente, che per quantoconcerne le condizioni di vincolo e di carico, sarà sufficiente definire lacurva di pressione per un solo quarto della piastra.Per conseguire una maggiore accuratezza nella modellazione della prova,la piastra viene discretizzata in un numero finito d’elementi, d’ugualicaratteristiche fisiche, geometriche e meccaniche. Si suddividerà quindi,la superficie di carico della piastra in elementi di dimensione 10x10 cm,sia lungo l’asse x sia y, del sistema di riferimento cartesiano introdotto.yFEDCBAABCDEF123456654321123456654321xF E D C B A A B C D E FFigura 3. 2 – Discretizzazione della superficie di carico.46

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONELimitando il calcolo al solo quadrante positivo del sistema di riferimentoscelto, di origine coincidente con il baricentro della piastra, si definisceuna curva di pressione per ogni superficie elementare. Data ladiscretizzazione adottata, e le dimensioni dei singoli elementi, saranno36 le curve di pressione da definire, per un totale di 144 curve di caricoper ognuna delle 4 prove sperimentali. Questa semplificazione, è resapossibile dalla simmetria d’applicazione del carico esplosivo, essendoquesto centrato rispetto al baricentro della piastra stessa. Inoltre, lapropagazione dell’onda di sovrapressione avviene in maniera sferica dalcentro d’esplosione, essendo questo sollevato rispetto alla piastra e nonostacolato se non dalla piastra stessa, che n’è investita. La pressione suisingoli elementi, e in un dato istante di tempo, sarà quindi una funzionedella sola distanza effettiva dal centro d’esplosione. La curva dipressione quindi si ripete identicamente sulle superfici di 4 elementisimmetrici rispetto al centro della piastra.Si descrive in seguito le operazioni successive, che si è scelto di adottareper definire la curva di pressione prodotta dall’esplosione, facendoriferimento all’i-esimo elemento di dimensioni finite, in cui è statasuddivisa l’area di carico.Coefficiente d’equivalenzaNel considerare il peso della carica esplosiva è necessario introdurre uncoefficiente d’equivalenza che consente di esprimere il peso della caricaesplosiva, usata nella prova sperimentale, in funzione del TNT(Trinitrotulene). L’esigenza di equiparare il peso di una qualunque caricaesplosiva al TNT, nasce dalla necessità di impiegare formule empirichenel calcolo della curva di pressione, ricavate attraverso prove47

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONEsperimentali in cui il TNT è stato usato come materiale esplosivo diriferimento.Il coefficiente d’equivalenza q è dato dal rapporto tra i Calori Specificid’Esplosione Q w , dei due materiali [3].Qq =QRDXTNTDal coefficiente d’equivalenza si definisce il peso equivalente in TNTdella carica esplosiva usata nel test sperimentale:W= q ⋅TNTW RDXNel caso specifico si avrà:Caratteristiche dell'esplosivoQwEsplosivo[Kcal/Kg]RDX 1500TNT 1000Coefficiente d’equivalenzaq 1,5Tabella 3. 1 – Calore specifico degli esplosivi e Coefficiente d’Equivalenza.Ciò significa che, gli effetti prodotti da 1 Kg di RDX sono equivalenti aquelli prodotti da 1,5 Kg di TNT.Distanza Ridotta ZNoti i pesi equivalenti della carica esplosiva W TNT e le distanze effettivetra il centro d’esplosione e quello della superficie dell’i-esimo elementoR i , è possibile calcolare la Distanza Ridotta Z i d’ogni elemento come [3].48

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONEZ =i3WRiTNTDove la distanza effettiva dal centro d’esplosione R i è così definita:2Ri= a +b2iCosì come si può semplicemente dedurre dalla seguente immagine, incui si rappresenta la pianta e la sezione di un quarto di piastra, e l’iesimoelemento a lei appartenente:yPianta della piastraA B C D E F123i4bi5WSezione Trasversale6xRiaFigura 3. 3 – Distanza effettiva dell’i-esimo elemento dal centro d’esplosione.49

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONEPicco di Pressione Δp(Z)In funzione delle Distanze Ridotte, si definisce il picco di pressioneΔp(Z), per ogni prova sperimentale e per singolo elemento in cui lapiastra è stata in precedenza discretizzata.Si è scelto di definire Δp(Z) come la media dei valori forniti dalle varieformulazioni in precedenza esposte (Brode H.L. Henrich J.; PetrowskyG.I.; Sadowsky M.A.) [3], al variare della distanza ridotta, e quindi delrelativo campo di validità, a differenza di quanto fatto nella definizionedella curva di pressione semplificata, in cui si è scelto di adottare unasola delle precedenti formulazioni.Coefficiente Sperimentale α.Per definire la Curva di Pressione, è necessario esprimere in funzionedella distanza ridotta Z, un coefficiente di natura sperimentale α.Tale coefficiente si può trovare tabellato [3], in funzione però di solialcuni valori di Z. Mediante un’operazione d’estrapolazione, dai valorinoti del coefficiente, è stato possibile ricavare una funzione di Z, che ciconsentiva di trovare i diversi valori di α al variare della distanza ridotta.50

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONEEstrapolazioney = 2,651x -0,7694R 2 = 0,95393,532,5α21,5αPotenza (a)10,500 20 40 60ZGrafico 3. 1 - Estrapolazione numerica del coefficiente sperimentale α.Durata della Fase Positiva t +È l’intervallo di tempo entro cui si annulla la sovrapressione prodottadall’esplosione nell’aria circostante. L’espressione usata per la suadefinizione è la seguente [3]:t + 3= B ⋅ 10 − 6W TNTR iAllo stesso modo di quanto visto nella definizione della curva dipressione semplificata, anche in questo caso la durata della fase positivasi esprime in funzione di W e di R, ma attraverso una più sempliceespressione semiempirica.51

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONECurva di Pressione P(Z, t)La curva di pressione non è altro che l’andamento della pressioneprodotta dall’esplosione in un dato istante di tempo t, e ad una certadistanza ridotta Z. Analiticamente l’andamento della pressione puòessere calcolato come segue [3]:p ( Z,t )t⎛ t − αt= Δ ( ) 1 −pZ⎜⎝⎞+⎟ et ⎠+Fissata la distanza ridotta Z, da cui dipendono il picco di pressioneΔp(Z), e il coefficiente sperimentale α, attraverso quest’espressione siottiene la curva di pressione al variare del tempo. Essendo Z a sua voltafunzione della distanza effettiva dal centro d’esplosione R, al variare diquesta otteniamo diversi valori di Z, e quindi diverse curve di pressione.Ragion per cui sarà necessaria definire per ogni elemento della piastrauna curva di pressione diversa.Quindi, per semplicità d’esposizione si riportano di seguito i risultaticonseguiti nella definizione di una singola curva di pressione, inparticolare quella calcolata nel centro della piastra. Essendo, infatti, ilcentro della superficie superiore della piastra, il punto più vicino alcentro d’esplosione, sarà anche quello maggiormente sollecitato.DATIPROVA1 2 3 4a (m) 0,91 0,91 0,30 0,20b i (m) 0,000 0,000 0,000 0,000R i (m) 0,91 0,91 0,30 0,20WRDX (Kg) 0,10 0,50 0,90 1,71WTNT (Kg) 0,15 0,75 1,35 2,57Z i 1,71 1,00 0,27 0,15Tabella 3. 2 - Distanza Effettiva Ri, Carico Equivalente W TNT , Distanza Ridotta Zi.52

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONEAutoreBrode H.L.Henrich J.PetrowskyG.I.SadowskyM.A.Δp(Z)[Kg/cm 2 ]PROVA1 2 3 4Campo di validità2,33 7,67 336,00 2149,19 Δp>10 Kg/cm 22,21 8,23 315,82 1950,47 0,1

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONEt (ms)Curva di pressione calcolata nel centro della piastra.Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4P(Z,t)[Kg/cm 2 ] P(Z,t)[Kg/cm 2 ] P(Z,t)[Kg/cm 2 ] P(Z,t)[Kg/cm 2 ]0,00 2,41 8,66 326,77 1944,620,05 2,07 7,41 187,77 778,800,10 1,77 6,33 107,34 309,940,15 1,51 5,40 61,00 122,430,20 1,28 4,59 34,42 47,930,25 1,08 3,90 19,26 18,560,30 0,90 3,30 10,67 7,090,35 0,75 2,78 5,84 2,660,40 0,62 2,34 3,14 0,980,45 0,51 1,95 1,66 0,350,50 0,41 1,63 0,85 0,120,55 0,33 1,35 0,42 0,040,60 0,25 1,11 0,19 0,010,65 0,19 0,91 0,08 0,000,70 0,14 0,73 0,02 0,000,75 0,10 0,59 0,00 0,000,80 0,06 0,47 -0,01 0,000,85 0,03 0,36 -0,01 0,000,90 0,00 0,27 -0,01 0,000,95 -0,02 0,20 -0,01 0,001,00 -0,04 0,14 -0,01 0,001,05 -0,05 0,09 0,00 0,001,10 -0,06 0,05 0,00 0,001,15 -0,07 0,02 0,00 0,001,20 -0,08 -0,01 0,00 0,001,25 -0,08 -0,03 0,00 0,001,30 -0,09 -0,05 0,00 0,001,35 -0,09 -0,06 0,00 0,001,40 -0,09 -0,07 0,00 0,001,45 -0,09 -0,08 0,00 0,001,50 -0,09 -0,08 0,00 0,001,60 -0,08 -0,08 0,00 0,001,70 -0,08 -0,08 0,00 0,001,80 -0,07 -0,08 0,00 0,001,90 -0,07 -0,07 0,00 0,002,05 -0,06 -0,06 0,00 0,002,20 -0,05 -0,05 0,00 0,002,35 -0,04 -0,04 0,00 0,002,50 -0,03 -0,04 0,00 0,002,65 -0,03 -0,03 0,00 0,002,80 -0,02 -0,02 0,00 0,003,00 -0,02 -0,02 0,00 0,003,20 -0,01 -0,01 0,00 0,003,40 -0,01 -0,01 0,00 0,003,60 -0,01 -0,01 0,00 0,003,80 0,00 0,00 0,00 0,00Tabella 3. 6 - Curve di Pressione P(Z, t), calcolate per le quattro prove sperimentali.54

CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONENel definire l’andamento della pressione al variare del tempo, si trascuraper semplicità di calcolo, la determinazione del tempo d’arrivo t a ,essendo irrilevante rispetto all’intera durata della curva di pressione. Iltempo d’arrivo si definisce come il tempo impiegato dal fronte d’onda adimpattare contro la superficie superiore della piastra. In realtà le curve dipressione dovrebbero essere traslate di una quantità pari a t a lungo l’assedelle ascisse.Il metodo sopra esposto sarà impiegato nella definizione delle curve dipressione, per ogni singolo elemento della piastra, al variare delladistanza effettiva tra il centro d’esplosione e il baricentro dell’elemento,e per ognuna delle quattro prove sperimentali di cui si conoscono i datiiniziali.Di seguito si riportano le curve di pressione calcolate nel centro dellapiastra, e per ogni prova sperimentale.55

Curva delle Pressioni Prova_13P(Z , t)t⎛ t −α+= Δ −tp(Z ) 1 e⎜⎝⎞+⎟t ⎠256P [Kg/cm 2 ]1Prova_100,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90-1t [ms]

Curva delle Pressioni Prova_210987P(Z , t)t⎛ t −α+= Δ −tp(Z ) ⎜1⎝⎞+ ⎟et ⎠657P [Kg/cm 2 ]5432100,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90-1t [ms]

Curva delle Pressioni Prova_3330310290270250P(Z , t)t⎛ t −α+= Δ −tp(Z ) 1 e⎜⎝⎞+⎟t ⎠23021019058170P [Kg/cm 2 ]1501301109070503010-10 0,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90t [ms]

Curva delle Pressioni Prova_4185017001550P(Z , t)t⎛ t −α+= Δ −tp(Z ) ⎜1⎝⎞+⎟et ⎠14001250110059P [Kg/cm 2 ]950800650500350200500,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90-100t [ms]

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONECapitolo 4Metodi di DiscretizzazioneI metodi di discretizzazione che si sono scelti di impiegare per lasimulazione numerica, sono il Finite Element Method (FEM) e loSmoothed Particle Hydrodynamics (SPH). Al termine dellamodellazione, avendo utilizzato entrambi i metodi per le stesse provesperimentali, si avrà la possibilità di operare uno studio parametrico tra idue. Si potrà capire quale tra questi meglio si presta per la modellazionenumerica di un elemento strutturale sottoposto a carichi da esplosione.Questo capitolo è dedicato ad una breve descrizione del più noto edutilizzato FEM, a prescindere dal quale non sarebbe possibile introdurre iMeshfree Particle Methods. Infatti, questi ultimi sono stati sviluppati conl’intento di estendere i primi, ampliandone il raggio d’applicazione, erendendoli più versatili.In seguito si dedicheranno maggiori attenzioni ai Meshfree ParticleMethods, facendo riferimento in particolare allo Smoothed ParticleHydrodynamics (SPH), impiegato nella modellazione.4.1 – Finite Element Method (FEM)Sin dalla sua invenzione, risalente alla metà del secolo scorso, il metododegli elementi finiti (FEM), è stato largamente impiegato per lecomputazioni numeriche nell’ambito ingegneristico [6].Il FEM rientra tra i metodi approssimati per la risoluzione delleequazioni fondamentali della statica e della dinamica.La sua principale caratteristica risiede nella possibilità di suddividere uncontinuo in un numero discreto d’elementi, che non si sovrappongono60

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEnel dominio di nostro interesse. Tale operazione è così detta diDiscretizzazione del continuo in Elementi Finiti.I singoli elementi sono vincolati tra loro da una mappa topologica,definita Mesh (Maglia), sopra la quale sono costruite le funzioni diinterpolazione [6].Ad ogni elemento in cui il continuo è stato suddiviso, vanno associatedelle funzioni spostamento mediante il vettore spostamento così definito:{ x,y,z t}s = s ,Questi vettori sono definiti attraverso la funzione di spostamento deisingoli nodi [6]:s( x,y,z,t)( x,y,z,t)( x,y,z,t)( x,y,z,t)⎧u⎫⎪⎪= ⎨v⎬ = N⎪⎪⎩w⎭[ ]{} ΔDove [N] è la matrice delle funzioni di forma, questa lega glispostamenti generici all’interno dell’i-esimo elemento agli spostamentidei nodi {Δ}, che lo individuano nello spazio. Le funzioni di forma sonoin numero pari al numero di nodi della Mesh, e per definizione valgono 1se calcolate nel nodo a cui si riferiscono, e 0 negli altri nodidell’elemento i-esimo. Le funzioni di forma hanno un ruolofondamentale nel metodo d’analisi, in quanto rappresentano il polinomioche approssima il valore esatto degli spostamenti, e determinano quindila convergenza del metodo [6].La Mesh assicura la compatibilità delle interpolazioni, sebbene nonsempre le condizioni di compatibilità numerica coincidono con quellefisiche del continuo stesso.61

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEIn oltre, quando uno stesso corpo presenta caratteristiche locali diverse, ogeometrie complesse, è necessario suddividerlo in un numero moltoelevato di elementi finiti, realizzando quindi una maglia sempre più fitta,ed aumentando l’onere di computazione.Il FEM è quindi un metodo limitato, che necessità di modifiche eadeguamenti tra i suoi limiti si annoverano [6]:• La compatibilità numerica è sola un’approssimazione della realecompatibilità fisica del continuo. Questa approssimazione nonsempre risulta essere precisa ed accurata. Basti pensare adun’eccessiva distorsione della Mesh, che può provare il terminedella computazione o in ogni modo un errore rilevante nellastessa;• Campi d’interpolazione d’elevati ordini di grandezza sono difficilida riprodurre per domini con geometrie arbitrarie epluridimensionali. Ciò comporta una restrizione nell’applicare imetodi di computazione basati sugli elementi finiti, per larisoluzione di problemi pratici, come ad esempio per lasimulazione di Plates e Shell (Piatti e Gusci), con alti gradientid’elasticità e plasticità;• Quando s’impiegano contemporaneamente Mesh differenti per lasimulazione numerica di uno stesso fenomeno fisico, è possibileottenere modelli differenti di disintegrazione per uno stessomateriale. Tale fenomeno è noto come “suscettibilità” del FEMnei confronti della rottura graduale del materiale;62

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE• In alcune applicazioni, la Mesh stessa può essere fonte di disturbonella computazione numerica. Un esempio ben noto è lasimulazione del problema di localizzazione degli sforzi;• Questi Metodi tradizionali, presentano notevoli difficoltàd’applicazione per problemi che presentano deformabilità deivincoli, superfici indipendenti, o interfacce in movimento;• Le funzioni di spostamento non sempre assicurano la continuitàdegli spostamenti richiesta tra gli elementi adiacenti, può esserequindi violata la condizione di congruenza.Per questi ed altri motivi l’operazione di discretizzazione con il metododegli elementi finiti, non sempre risulta essere vantaggiosa nellecomputazioni numeriche.Si rende quindi necessario un adeguamento del FEM, o almeno unaricerca di metodi alternativi da utilizzare in particolari applicazioni.Una prima soluzione è stata individuata nello sviluppo del così detto“Arbitrary Lagrangian Eulerian” (ALE).L’obiettivo di tale formulazione risiede nel rendere indipendente lecaratteristiche del materiale dalla Mesh, così che la sua distorsione puòessere minimizzata.Purtroppo, in alcune formulazioni con l’ALE, quali ad esempiomodellazioni di fluidi o di grandi deformazioni del continuo, ladistorsione della maglia è ancora presente, e ciò provoca errori nellacomputazione numerica.Inoltre, gli effetti di trasporto convettivi in ALE, spesso conducono adoscillazioni spurie che hanno bisogno di essere stabilizzate da unadiffusione artificiale o una stabilizzazione di Petrov-Galerkin.63

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEPer superare le difficoltà e i limiti sopra elencati, sarà quindi necessariotrovare un nuovo metodo di discretizzazione del continuo.E’ in questa ottica che nascono i Meshfree Particle Methods (Metodi diDiscretizzazione Particellari), con l’obiettivo di superare i limiti deimetodi FEM.I Meshfree Particle Methods, in quanto metodi numerici, presentanoalcune caratteristiche in comune con altri metodi numerici, quali il giàcitato Metodo degli Elementi Finiti, o il Metodo delle Differenze Finite.Tuttavia si differenziano gli uni dagli altri in virtù dei processid’implementazione.Attraverso questi metodi, è computazionalmente efficace e fisicamenteaccurato, discretizzare un continuo attraverso un set di punti nodali, oparticelle distribuite nello spazio in maniera del tutto arbitraria, senza inpratica costrizioni di maglia, che provveda alla loro connessione.I vantaggi di tali metodi possono essere così elencati [7].• E’ possibile trattare facilmente grandi deformazioni, essendo leconnessioni tra i nodi generate come una parte dellacomputazione stessa, che può subire variazioni nel tempo;• Il metodo interpreta facilmente il danno degli elementi delmodello, tale capacità si dimostra molto utile per la modellazionedella rottura graduale;• I nodi possono essere aggiunti piuttosto facilmente, cosi com’èpossibile realizzare modifiche delle caratteristiche geometrichedel continuo modellato;• E’ possibile usare modelli pluri-dimensionali del continuo, al finedi modellare grandi deformazioni di strutture a guscio sottili, comei nanotubi;64

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE• Mediante la discretizzazione Meshfree si possono rappresentareoggetti geometrici tridimensionali.4.2 – Classificazione dei Metodi ParticellariI metodi particellari possono essere classificati in conformità a duedifferenti criteri, principi fisici o formulazioni computazionali.Sulla base dei principi fisici, questi possono essere suddivisi in duedifferenti classi: quelli basati su modelli probabilistici, e su modellideterministici [7].In base alle formulazioni computazionali si possono suddividere in duediverse tipologie, a seconda che servono come approssimazione dellaStrong Form o della Weak Form, delle equazioni differenziali parziali(PDE) [7].Per approssimare la Strong Form dell’equazione differenziale parziale,questa viene solitamente discretizzata da una tecnica di collocazionespecifica, quale ad esempio lo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH),il Vortex Method, il metodo generalizzato delle differenze finite, ed altriancora.Sia l’SPH sia il Vortex Method, furono sviluppati inizialmente comemetodi probabilistici, mentre attualmente per alcune applicazionivengono impiegati come metodi deterministici.Ciononostante, la maggior parte dei metodi particellari appartenenti aquesta categoria, sono basati su principi probabilistici, o usati comestrumenti di simulazioni probabilistiche.Gli Strong Form Methods sono semplici da implementare, efficienti dalpunto di vista computazionale, e non necessitano di alcuna integrazionenella definizione del sistema discreto di equazioni da risolvere. Tuttavia,65

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEspesso sono instabili e poco precisi, specialmente quando si discretizzal’elemento in un insieme di nodi distribuiti in maniera irregolare.In questa categoria è possibile distinguere tre metodi principali: leDinamiche Molecolari, la simulazione diretta di Monte Carlo (DSMC), eil Lattice Gas Automaton (LGA), da cui deriva il Lattice BoltzmannEquation Method (LBE) [7].Questo ultimo, è un esempio di come non tutti i metodi particellaripossono essere considerati metodi Meshfree. In quanto il LBE richiedeper la sua applicazione la definizione di una griglia, la cui funzione èassimilabile a quella di una maglia.Alla seconda classe di metodi particellari appartengono i GalerkinMethods. Questi sono usati per l’approssimazione della Weak Form dellaPDE; tra cui il Metodo degli Elementi Diffusi (DEM), Element FreeGalerkin Methods (EFGM), Reproducing Kernel Particle Methods(RKPM), Metodo di partizione dell’unità (Partition of Unity Method),Meshless local Petrov-Galerkin Method (MLPG), ed altri ancora [7].I Weak Form Methods, sono stabili e molto precisi, tuttavia richiedonouna conoscenza sia complessiva sia locale, della Mesh realizzata, per larisoluzione del modello, per tanto non sono considerati dei veri e propriMeshfree Methods [7].A questa classificazione esistono delle eccezioni, in quanto alcunimetodi particellari possono essere usati in ambo le posizioni, quella diforma forte, così come per la discretizzazione della forma debole. Unesempio è il Particle-in-Cell (PIC). Per tale metodo, infatti, è possibiledistinguere due versioni, una per la Strong Form, e l’altra per la WeakForm.Per semplicità d’esposizione si riporta la seguente tabella grafica:66

Meshfree ParticleMethodsCriteri di classificazionePrincipi FisiciFormulazioni ComputazionaliMetodiDeterministiciMetodiProbabilisticiPDEStrong FormPDEWeak FormGalerkin MethodsSmoothed Particle Hydrodynamics (SPH)Vortex MethodIl Metodo Generalizzato delle Differenze FiniteLe Dinamiche MolecolariLa Simulazione Diretta di Monte Carlo (DSMC)Lattice Gas Automaton (LGA)Metodo degli Elementi Diffusi (DEM)Element Free Galerkin Method (EFGM)Reproducing Kernel Particle Methods (RKPM)Partition of Unity MethodMeshless local Petrov-Galerkin Method (MLPG)Tabella 4. 1 - Classificazione dei Metodi Particellari67

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE4.3 – Applicazione dei Metodi ParticellariIn ambiti quali l’astrofisica, la biofisica, la biochimica e la biomedica, èfacile imbattersi in corpi che possono essere modellati non comecontinui, bensì come insiemi di particelle.In questi casi, i metodi particellari rappresentano una scelta naturale perla simulazione numerica.Esempi rilevanti sono le simulazioni di fenomeni quali la formazione disistemi stellari, movimenti di milioni d’atomi in uno stato di nonequilibrio, ed interazioni dinamiche di varie molecole.In questo momento, i metodi particellari non sono quindi impiegati solocome metodi di discretizzazione, per la soluzione di problemi delcontinuo tridimensionale, come l’SPH, il Vortex Method, e i GalerkinMeshfree Methods, ma anche come modelli per la descrizione deicomportamenti fisici del continuo [7].Gli ultimi esempi sono l’impiego del Lattice Boltzmann EquationMethod (LBE), per la risoluzione di problemi di fluido-meccanica, e ilMolecular Dynamics, per risolvere problemi inerenti alla meccanicadella frattura [7].I metodi Meshfree Galerkin, sono largamente impiegati per larisoluzione di problemi nell’ambito della meccanica dei corpi solidi. Traquesti la simulazione della rottura graduale, da molti ritenuta una dellepiù ostiche computazioni nell’ambito della meccanica della frattura. Intal senso, i metodi Meshfree offrono notevoli vantaggi rispetto aitradizionali metodi degli elementi finiti. Per tale applicazione, infatti, sirende necessaria un’operazione detta di Remeshing, in altre parole diricostruzione della maglia in seguito alla rottura. Questa operazione puòessere invece evitata utilizzando un metodo Meshfree, quale il Galerkino anche il Metodo di partizione dell’unità [7].68

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONETra gli altri, il Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG), sviluppato nel1998 dagli studiosi Atluri e Zhu [7], risulta essere quello maggiormenteimpiegato per l’analisi di travi e strutture placcate, non essendo, infatti,necessaria una conoscenza complessiva della Mesh creata per il modello,ma è sufficiente una conoscenza locale del modello stesso.Un'altra applicazione in cui si preferisce usare un metodo didiscretizzazione di tipo Meshfree, rispetto ai tradizionali metodi deglielementi finiti, è la modellazione della localizzazione degli sforzi. Èpossibile dimostrare, infatti, che i metodi Meshfree hanno la capacità disostenere grandi distorsioni della maglia. Questo perché non c’è uncoinvolgimento diretto della maglia nella simulazione.Invece, utilizzando il metodo FEM, avremmo un incremento della bandadi taglio lungo l’i-esimo elemento vincolato, che compromette lasimulazione del reale comportamento fisico dell’elemento stesso.La maglia in pratica non è più in grado di seguire, per grandideformazioni, l’andamento reale del continuo, sotto l’azione dei carichiesterni.4.4 – Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)Tra i diversi metodi particellari di tipo Meshfree, ai fini dellamodellazione numerica, si è scelto di focalizzare l’attenzione sul metodoSPH.Lo Smoothed Particle Hydrodynamics, è uno dei principali metodiparticellari impiegati nella meccanica computazionale.Tale metodo fu formulato nell’1977 simultaneamente da Lucy, Gingold& Monaghan, al fine di descrivere alcuni fenomeni Astrofisici, tra cui laformazione, l’evoluzione, e il collasso delle stelle, delle galassie, finoalla “Modellazione dell’intero Universo” [7].69

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEIl movimento collettivo di questo insieme di particelle, è, infatti,assimilabile a quello di un liquido o di un flusso di gas, può quindiessere modellato utilizzando le equazioni che governano l’IdrodinamicaClassica di Newton.L’SPH, fu ampiamente adottato come un efficiente tecnicacomputazionale, per la risoluzione di problemi di meccanica applicata,tra cui la fluido-dinamica, e l’ idrodinamica classica.Al contrario di un convenzionale metodo di discretizzazione, chesuddivide un sistema continuo in un numero discreto di elementi finiti,l’SPH unifica un numero discreto di particelle, accomunate dalle stessecaratteristiche, quali massa e volume, generando così un campo continuolocale, con il fine di rappresentare il comportamento collettivo di unsistema discreto [7].Basti pensare alle prime applicazioni in Astrofisica e nella MeccanicaQuantistica, dove il sistema fisico reale a già per se discreto. In tal senso,l’SPH può essere considerato come un Metodo Particellare, basato suuna tecnica di omogeneizzazione.La principale assunzione su cui si fonda il metodo SPH è che il valore diuna funzione f ad un certo punto i può essere approssimato moltiplicandola stessa funzione per una funzione d’omogeneizzazione W (Kernelfunction), di ampiezza h, ed integrando sul dominio computazionale nelmodo seguente [9]:fi∫= f ( x ) Wi( x )dxdove f i = f(x i ), mentre W i (x) = W (x−x i , h) è la funzioned’omogeneizzazione. Questa integrazione avviene su un dominiocostituito da un insieme di particelle, il cui volume elementare è definito70

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEdal rapporto tra la massa e la propria densità. E’ quindi necessariodefinire una Kernel Function W(x, h), individuando le coordinate delnucleo W, rispetto ad un generico sistema di riferimento cartesiano, e ilperiodo d’omogeneizzazione h (Smoothing Lenght). Di solito, neltradizionale metodo SPH, si presume che la funzioned’omogeneizzazione soddisfi la condizione di normalizzazione nelproprio dominio di pertinenza:∫W( x − x , h ) dx =i1In ogni modo, è facile dimostrare che questa condizione dinormalizzazione per la funzione d’omogeneizzazione è valida solo per ipunti interni al dominio, ma non è soddisfatta per i punti di confine.L’equazione precedente viene discretizzata come segue:fi=mNj⎜j = 1 ρj∑⎛⎝⎞⎟⎠fjWijDove W ij = W(x j - x i , h), m j e ρ j sono rispettivamente la massa e ladensità di massa della j-esima particella, il rapporto tra questi due è ilvolume elementare associato alla particella stessa, N è il numero totale diparticelle in cui si è discretizzato il continuo.Tale funzione sarà poi impiegata per approssimare la strong form di unequazione differenziale parziale (PDE), attraverso una complessaintegrazione.Con il metodo tradizionale SPH tale approssimazione sarà:71

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEfxi∫= f ( x ) Wiixdxconsiderando la proprietà della funzione nucleo:∫W iixdx=0L’equazione può essere riscritta come:[ f ( x ) f ( x ] W dxfxi= ∫ −i)Le approssimazioni particellari delle derivate parziali possono quindiessere scritte come:ixfi= ∑⎛mNj⎜j = 1 ρj⎝⎞⎟⎠[ f ( xj) − f ( xi)] ∇iWijIl valore numerico di una funzione f e le sue derivate parziali, possonoessere quindi ottenuti con una funzione kernel su un insieme di particellepiuttosto che su una maglia. Questa è l'essenza del metodo tradizionaleSPH.4.4.1 – Metodi d’interpolazione SPHEssendo l’SPH un metodo Meshfree, l’interpolazione è costruita su uninsieme di punti nodali, indipendenti tra loro e non vincolati da nessunamaglia o griglia.Questa operazione d’interpolazione è basata sul seguente concetto [7]:' '( x) ( x − x ) A( x ) d 'A = ∫ δ Ω ∀x ∈ ΩnRx72

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEdove δ(x) è la funzione Dirac Delta, definita a sua volte come il limitedella seguente funzione δ ε (x) [7].δ ( x ) = lim0 ε →δε( x )con:δε⎧ 0 ;x < − ε / 2⎪( x ) = lim ⎨ 1 / ε ; − ε / 2 < x < εε → 0 ⎪⎩ 0 ;x > ε / 2/2⎫⎪⎬⎪⎭La funzione Dirac Delta, non può però essere impiegata né per unprocesso d’interpolazione, né tanto meno per un processo dicollocazione, questo perché è una funzione di tipo generalizzata, in altreparole affetta da alcune patologie. Inoltre, manca d’alcune proprietàfondamentali, non essendo né continua né derivabile nel proprio dominiodi definizione.Per superare tali inconvenienti, s’introduce uno Smooth Kernel W(x, h)(Nucleo omogeneo), al fine di utilizzare la funzione Dirac Delta perprocessi d’interpolazione e collocazione.L’SPH è quindi un operatore di media (Average Operator), definito nelseguente modo [7]:'( x ) >= W ( x − x' , h ) A( x ) d '< A ∫ΩdRxEd approssimato come:N≈ ∑i = 1W( x − xI, h ) A ( xI) Δ VI73

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEDove la notazione < … > indica l’operatore di media, mentre h, comeabbiamo già detto, è la Smoothing Lenght, in altre parole l’ampiezza operiodo d’omogeneizzazione, infine ΔV I è il volume elementare dell’iesimaparticella.Assumendo che il continuo ha una densità di massa distribuitauniformemente, possiamo dividerlo in un numero discreto d’elementivolumetrici, cui associa una massa m I . Ogni elemento volumetrico conmassa può essere attribuito ad una particolare particella.Per cui avremo [7]:Δ VI=mρIIDove con ρ I indichiamo la densità di massa dell’i-esima particella.E’ possibile notare, che l’operatore di media , è una funzionedella variabile spaziale x, infatti, può essere visto come unarappresentazione non locale di A(x).La funzione Kernel deve soddisfare le seguenti proprietà [7]:W∫RWW3( xW( x( x, h ) ≥ 0( x , h ) d Ω, h ) → δk, h ) ∈ C0x( x )= 1;h→ 0d( R ) ; k ≥ 1La seconda proprietà è la cosiddetta condizione di normalizzazione,insieme alla terza sono proprietà comuni alla funzione Dirac Delta.La terza proprietà assicura la convergenza del metodo, l'ultima derivadal requisito che la funzione deve essere derivabile più di una volta.74

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEIl vantaggio di usare un nucleo analitico, risiede nella possibilità divalutare una Kernel Function in un qualsiasi punto dello spazio, senzaconoscere la distribuzione locale delle particelle.La rappresentazione a nucleo non solo consente di compiere unadiscretizzazione uniforme di un equazione differenziale parziale, mafornisce anche uno schema interpolante per un insieme di particelle inmovimento.Con l’SPH è quindi possibile trattare un corpo solido al pari di un fluidoviscoso, cioè come un insieme di particelle, di assegnata massa evolume, indipendenti le une dalle altre.Sfruttando tali caratteristiche, questo metodo può essere impiegato per larisoluzione di problemi di natura meccanica.Ad esempio, Libersky applicando questo metodo ai solidi meccanici, èriuscito a simulare in 3D alcuni fenomeni, tra cui l’esplosione di unabomba, problemi di frammentazione, impatto e penetrazione di solidi.La simulazione d’impatti e penetrazioni con l’ausilio dell’SPH, sonostate eseguite anche da Johnson, il quale impiega tale metodo per lamodellazione di problemi inelastici, di danno e di grandi deformazioni.E’ possibile distinguere diverse funzioni Kernel, che sonocomunemente impiegate nelle computazioni. Ad esempio, la KernelFunction può essere una funzione positiva di tipo Gaussiana, cosìdefinita [7]:W2( 1 ⎡ xx , h ) = expn / 2 ⎢ −⎣ h21 ≤ n ≤ 32( π h )⎤⎥ ,⎦75

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEDove n è la dimensione dello spazio in cui la funzione è definita, x è lacoordinata rispetto ad un generico sistema di riferimento cartesianodell’i-esima particella, ed h è la Smoothing Lenght.Altri esempi di Kernel Function sono la funzione di Spline cubica equartica, di seguito definite [7]:Cubic Spline FunctionW( x , h )=Chn⎧⎪1 −⎪ 1⎨⎪ 4⎪ 0⎩3 / 2 q2( 2 − q )3+3/4 q; in3;0 ≤ q ≤ 1⎫⎪⎪;1 ≤ q ≤ 2 ⎬⎪altri casi ⎪⎭Dove q = x/h; mentre C è il fattore di normalizzazione, che assumevalori diversi in funzione della dimensione dello spazio in cui è definitala funzione:C=⎧ 2 / 3⎪⎨ 10 / 7π⎪⎩1 / π; d; d; d= 1 ⎫⎪= 2 ⎬= 3 ⎪⎭Quartic Spline FunctionW( x , h )=Chn⎧1⎨⎩−06 q2+8 q3−3 q4;0

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEVediamo come si sceglie l’ampiezza d’omogeneizzazione h (SmoothingLength).Fissata l’ampiezza d’omogeneizzazione h, questa definisce una regioneche limita la maggior parte della funzione Kernel. La precisionedell’interpolazione dipende dal numero discreto di particelle contenuteentro questa regione. La scelta della Smoothing Length è difondamentale importanza nell’implementazione al computer del metodoSPH. Tale scelta, è solitamente operata in funzione della precisioned’interpolazione che si vuole conseguire. Per una data precisione delcalcolo, infatti, è fissato il numero di particelle contenute nella regionedefinita da h. In realtà, non è possibile determinare univocamentel’ampiezza d’omogeneizzazione h, in quanto in una simulazionedinamica, la densità di particelle contenute in detta regione varia alvariare del tempo. Per tanto, affinché si mantenga costante la precisionenumerica e l’efficienza della computazione, la Smoothing Lenghtdovrebbe variare anch’esso nel tempo.Per fare questo, è necessario scegliere una funzione Kernel di tipoGaussiana, e assumere che ogni particella abbia approssimativamente lastessa massa Δm [7].Si deve quindi assumere che:∑I ∈ Λ∑J∈Λ2( x − x )⎪⎧jexp ⎨ −2⎪⎩hi⎪⎫⎬ = γ = cos t⎪⎭Una volta scelta la massa da attribuire ad ogni singola particella Δm, invirtù dell’interpolazione SPH, potremo scrivere quanto segue:< ρ >= ∑∑I∈ΛJ ∈ Λ1exp/d 2 d( π h )⎪⎧⎨ −⎪⎩( x − x )jh2i2⎪⎫⎬⎪⎭( Δ m )2=γπ( Δ m )d/ 2hd277

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEDove, con i pedici i e j s’indicano le generiche particelle appartenenti aldomino Λ, d è la dimensione del dominio, e x i e x j le posizioni dellegeneriche particelle rispetto all’origine del sistema cartesiano.Da quest’ultima relazione possiamo quindi trarre la seguenteconclusione [7]:h ∝1 / < ρ >1/ dSe tutte le particelle contenute nel dominio Λ hanno quindi la stessaquantità di massa Δm, e la stessa ampiezza d’omogeneizzazione h,questa ultima dovrà quindi essere proporzionale al reciprocodell’inverso della densità media delle particelle.Questo perché, la Smoothing Lenght è proporzionale al volumeelementare ΔV i dell’i-esima particella, e quindi alla distanza diseparazione tra le particelle stesse.4.4.2 – Teoria d’Approssimazione SPHEssendo l’SPH un metodo di computazione numerico, in quanto tale èfondato su un insieme di principi e regole di approssimazione. Queste,sono le cosiddette regole di Monaghan, e rappresentano le linee guidaper discretizzare un equazione differenziale [7].Si possono distinguere quattro diverse regole d’approssimazione,proposte dallo stesso Monaghan. La prima di queste, è quella secondocui è sempre meglio scegliere come funzione Kernel una funzione di tipoGaussiana. Tra le varie funzioni Kernel, quella Gaussiana è la migliorenell’analizzare la coerenza fisica di un modello realizzato in SPH.78

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONELa seconda regola d’approssimazione, è che l’insieme del prodotto didue funzioni, può essere approssimato dal prodotto degli insiemiindividuali:(2)< A ⋅ B >=< A > ⋅ < B>Dove, A e B sono due funzioni, mentre è l’operatore di media(Average Operator).La terza regola d’approssimazione è la seguente:(3)< ∇A>= ∇ < A >ed è valida per ogni campo scalare A.La quarta regola di approssimazione, non è altri che una proprietà dellaterza regola sopra citata, ovvero:(4)< ∇A>= ∇ < A > − A < ∇W>Quando la funzione Kernel è limitata, il secondo termine del secondomembro della precedente equazione si annulla. Infatti, sfruttando la terzaregola d’approssimazione (3), possiamo scrivere:< ∇W>≈ ∇ < W>essendo:W ( x,h)= ∑W( x −j∈Λxj, h)ΔVjIn virtù della seconda proprietà della funzione Kernel, sostituendo siavrà:∇< W>≈ ∇( 1) =079

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE4.4.3 – Approssimazione di Derivate SPHL’SPH viene impiegato per approssimare la Strong Form di unequazione differenzia parziale. Al contrario del metodo delle differenzefinite, che per discretizzare un equazione differenziale parziale, impiegauna griglia, l’SPH, essendo un metodo particellare di tipo Meshfree,discretizza la PDE sulla base delle sopra citate regole diapprossimazione.Si possono distinguere tre diverse formule gradienti, perl’approssimazione di un equazione differenziale parziale [7].Formula gradiente IUna formula d’approssimazione diretta, impiegando un metodod’interpolazione SPH, può essere la seguente:∇∑( x − x , h ) A Δ V ( )A ( x ) = ∇ WII ∈ ΛIIIUn’approssimazione così diretta è solitamente poco accurata, e spessodistrugge la proprietà di conservazione del sistema continuo associato.Quando l’approssimazione è combinata con un termine addizionale, checontiene un’espressione nulla del tipo = 0, questo puòprodurre un migliore risultato.Dalla regola d’approssimazione (3) di Monaghan, si ricava la formulaapprossimata del gradiente per un campo scalare A(x i ) come:∇A ( xI)=∑j∈ Λ( AJ− AI) ∇ WI , JΔ Vj80

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONELa stessa approssimazione è valida anche per un campo vettoriale A:∇⋅A ( xI)=∑j∈ Λ( AJ− AI) ⋅ ∇ WI , JΔ VjFormula gradiente IINella formulazione in SPH, la densità è una grandezza di fondamentaleimportanza. La densità di massa, infatti, stabilisce una correlazione chesussiste tra la massa e il volume di una singola particella.ρI=mIΔ VIPer conseguire una precisione maggiore nella formulazione del gradiented’approssimazione della PDE, è preferibile scrivere il gradiente delcampo scalare e del campo vettoriale come segue:∇⋅A=[ ∇ ⋅ ( ρ A ) − A ⋅ ∇ ρ ]/ρ∇A=[ ∇ ( ρ A ) − A ∇ ρ ]/ρNella prima espressione A è un operatore scalare, nella seconda unoperatore vettoriale.Quindi, il gradiente dell’interpolazione in SPH, può essere approssimatonel seguente modo:ρII=∑J ∈ Λ( A − A ) ∇ W m ( IIJIIIJj)81

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONERispetto alla prima formulazione non si fa nient’altro che esprimere ilvolume dell’i-esima particella in funzione della sua densità di massa, edella massa stessa.Una simile formulazione può essere impiegata per approssimare ilgradiente del campo vettoriale A, facendo distinzione tra i prodottiscalari, tensoriali, e vettoriali tra l’operatore gradiente e il campovettoriale:scalare→ ρI< ∇ ⋅ A >I= −∑J ∈ ΛAIJ⋅ ∇IWIJmjtensoriale→ ρII=−∑J ∈ Λ∇IWIJ⊗AIJmjvettoriale→ ρII=∑J ∈ ΛAIJ×∇IWIJmjFormula gradiente IIINonostante le precedenti formule d’approssimazione del gradiente sianosufficientemente accettabili, queste sono in ogni modo affette da unadeficienza comune. Queste formulazioni, infatti, non sono simmetricherispetto agli indici I e J dell’operatore A. Per ottenereun’approssimazione simmetrica del gradiente, è necessario introdurreuna nuova regola d’approssimazione. Introduciamo quindi la successivaidentità:∇ Aρ=Aρσ⎛∇ ⎜⎝1ρ⎞⎟⎠+1ρ⎛ A∇ ⎜⎝ ρ1 − σ2 − σσ − 1⎞⎟⎠82

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEDove σ è un numero intero. In base a questa identità è possibile scriverela seguente regola di approssimazione SPH:⎛ ∇ A⎜⎝ ρ⎞⎟⎠I=∑j∈ Λ⎛⎜⎝ρAJ2 − σIρσJ+ρσIAρI2 − σJ⎞⎟∇⎠IWIJmjA seconda che il parametro σ assumerà valore pari a 1 o 2, avremo leseguenti formule d’approssimazione del gradiente, sia per il camposcalare sia per quello vettoriale.Quando σ = 1, per il campo scalare A(x) avremo:< ∇ A >I= ∑J ∈ Λ( A + A ) ∇ W Δ V ( IIIaIJIIJJ)Mentre, per il prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campovettoriale A, si avrà:< ∇ ⋅ A >I= ∑J ∈ Λ(AI+AJ)⋅ ∇IWIJΔ VJQuando invece σ = 2, per il campo scalare A(x) avremo:I=∑J ∈ ΛAj AI+ ) ∇ W m ( IIIb2 I IJ Jρ ρ(2j I)Mentre, per il prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campovettoriale A, si avrà:∇ ⋅ AA A< >I= ∑)ρJ ∈ Λj I( +2 2ρjρI⋅ ∇IWIJmJ83

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEL’SPH non è solo uno schema di interpolazione, ma fornisce anche uninsieme di regole di approssimazione, che consentono di costruire unsistema dinamico discreto del continuo.Prima di capire come usare queste regole d’approssimazione, ènecessario descrivere le leggi di conservazione nella meccanica delcontinuo.Queste sono [7]:• Equazione di Continuitàd ρdt+ ρ ∇ ⋅ v=0Dove ρ è la densità di massa, e v il campo vettoriale delle velocità.• Equazione del Motodvdt=−1∇ρ⋅ σDove σ è la tensione di Cauchy.• Equazione dell’EnergiadEdt1= − σ :ρ∇vDove E è l’energia specifica interna, somma dell’energia Potenziale e diquella Cinetica.Esistono diversi modi per scrivere un’equazione differenziale in SPH,utilizzando le regole d’approssimazione, da impiegare in seguito nellapratica computazionale, tra cui l’equazione di Continuità, del Moto e84

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEdell’Energia, che serviranno per descrivere l’evoluzione nel tempo delcontino discretizzato in SPH [7].Equazione di continuità in SPHL’equazione di continuità SPH impiegata nella computazione, è ricavatada differenti regole d’approssimazione.Dall’equazione di continuità sopra indicata, introducendo l’operatoremedio () si ottiene quanto segue:d ρ< >= − < ρ ∇ ⋅ v >dtUtilizzando nell’ordine le regole d’approssimazione 2, 3 e 4, inprecedenza elencate, il secondo membro dell’equazione di continuità puòessere scritto come:≈−regola2≈−∇⋅regola3≈−∇⋅+ ρ v ⋅regola4Sapendo che:∇⋅ < v< ∇ W>=>=N∑j = 1N∑J = 1mρmρjjjjv∇j∇IIWWIJIJSostituendole nell’equazione di continuità, scritta con le regole diapprossimazione, si avrà:85

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEd ρIdtmNj= ρI ∑j = 1 ρj( vI− vJ) ⋅ ∇IWIJQuella appena scritta altri non è che l’equazione differenziale dicontinuità discretizzata come un equazione algebrica.Si è visto come, utilizzando le regole d’approssimazione dell’SPH, siapossibile discretizzare un equazione differenziale, in una più sempliceequazione algebrica.Equazione del Moto in SPHPer descrivere l’evoluzione di un sistema utilizzando l’SPH, è necessarioriscrivere le equazioni del moto in una forma discretizzata.In funzione del tipo di regola d’approssimazione del gradiente, impiegataper la discretizzazione dell’equazione differenziale del moto, si possonodistinguere tre diverse equazioni del moto in SPH, usate nella pratica.Infatti, dalla seguente equazione del moto:dv< ρ >= − < ∇ ⋅ σdt>( 0 )Dove, ρ è la densità di massa dell’i-esima particella, v è il campovettoriale delle velocità, e σ la tensione di Cauchy, impiegando la IIIaregola d’approssimazione del gradiente (σ = 1), il secondo membro diquest’equazione può essere cosi discretizzato:−≈−N∑J = 1( σI+ σJ) ⋅ ∇IWIJΔ VJ86

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONESapendo che la densità di massa si esprime come:ρI=mIΔ VISostituendo si ottiene l’espressione discretizzata SPH dell’equazione delmoto:mIdvdtIN= − ∑J = 1ΔVIΔVJ( σ + σ ) ⋅ ∇ W (1 )IJIIJSe invece di usare la regola d’approssimazione del gradiente IIIa,s’impiega la IIIb, per la quale σ = 2, dividendo per la densità di massa,l’equazione del moto può anche essere scritta come:=−Impiegando la IIIb riferita al campo vettoriale σ, il secondo membro diquest’equazione può essere approssimato come:−≈−N∑J = 1⎛⎜⎝σρI2I−σρJ2J⎞⎟⎠⋅ ∇IWIJmJMoltiplicando ambo i membri dell’equazione per la massa m i , osi ottienela seguente espressione dell’equazione del moto:mIdvdtI= − ∑⎛NIJmImJ⎜ −2 2⎟ ⋅ ∇J = 1IρJIWIJ⎝σρσ⎞⎠( 2 )Una terza espressione dell’equazione del moto, si può ottenereutilizzando la regola I d’approssimazione del gradiente. Infatti, sapendo87

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEche il secondo membro dell’equazione (0), in virtù della regolad’approssimazione 4, si può scrivere come:−=− ( ∇⋅ < σ > − < σ >< ∇ W > )Essendo la funzione Kernel limitata, per quanto già dimostrato, ilsecondo termine al secondo membro della precedente equazione, sarànullo.Di conseguenza:−=−∇⋅Il cui secondo membro può essere discretizzato secondo la regola Id’approssimazione del gradiente, valida per il campo vettoriale σ:−∇⋅≈N∑J = 1Δ VJ( σJ− σI)⋅ ∇IWIJSostituendo l’approssimazione, e ricordando l’espressione della densitàdi massa ρ, l’equazione del moto diventa:mIdvdtIN= − ∑J = 1ΔVIΔVJ( σ − σ ) ⋅ ∇ W ( 3 )JIIIJIn queste tre diverse espressioni dell’equazione del moto, il primomembro, che è chiaramente sempre lo stesso, fisicamente esprime lavariazione nel tempo della quantità di moto. Infatti, la quantità di motodell’i-esima particella, è data dal prodotto della massa m I , che è costantee quindi indipendente dal tempo, e della velocità v I , variabile in funzionedel tempo.88

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEEquazione dell’energia in SPHIl secondo membro dell’equazione dell’energia, utilizzando la secondaregola d’approssimazione di Monaghan, può essere riscritto come:111− < σ : ∇v>≈ − < σ : ( ρ∇v)>≈ −22ρρ< ρ< σ > : < ρ∇v>>Questo termine, può essere ulteriormente discretizzato, impiegando la IIregola d’approssimazione del gradiente per il campo vettoriale σ,l’equazione dell’energia può quindi essere espressa come:dEdtIN⎛ σ ⎞I= ⎜⎟ : ∑ m⎝ ρI ⎠ J = 1v⊗ ∇W2 J IJ I IJ(1)Le equazioni discretizzate con il metodo SPH, non sempre preservano lecaratteristiche fisiche del corrispondente sistema continuo, comel’energia e la quantità di moto. Questo problema incide notevolmentesulla precisione e la qualità delle soluzioni numeriche.Dal punto di vista computazionale, un buono schema d’interpolazione,dovrebbe essere almeno capace di rappresentare correttamente il moto diun corpo rigido. Purtroppo, il metodo d’interpolazione SPH non è ingrado di rappresentare propriamente il moto di un corpo rigido. Ciòinduce ad una serie d’ostacoli nella computazione numerica. Sebbene, uncampo d’interpolazione non riesca a rappresentare il movimentocompleto del corpo rigido, essendo questo composto di una traslazione euna rotazione rigida, la sola traslazione può essere preservata in unacomputazione discreta.E’ possibile dimostrare che le equazioni di continuità e dell’energia,prima approssimate con il metodo SPH, sono degli invarianti Galileiani.89

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEInfatti, se si scrivono le equazioni di continuità e dell’energia rispetto adun sistema di riferimento cartesiano assoluto, le stesse equazionipermangono inalterate in un sistema di riferimento cartesiano in motorelativo rispetto a quello assoluto.La posizione e la velocità della generica particella, in cui si èdiscretizzato il continuo, rispetto al riferimento relativo, possono esserecosì espresse:x'=x + atv'= v + aDove x’ e v’, sono rispettivamente la posizione e la velocità dellaparticella rispetto al sistema di riferimento relativo, mentre x e v sonodefinite rispetto a quello assoluto, a e t sono invece l’accelerazione el’istante di tempo.Ovviamente, la velocità si ottiene in funzione della posizione dividendoquesta ultima per il tempo.L’equazione di continuità e dell’energia in SPH, scritte nel nuovoriferimento diventano quindi:d ρIdtmNj= ρI ∑j = 1 ρj' '( v − v ) ⋅ ∇IWIJIJdEdtIσNI=2 ∑ρ J = 1ImJ' '( v −VJ) ⋅ ∇IWIJIDato che, la differenza tra le velocità in seguito al cambio di riferimentoresta in ogni modo invariato:( v' − v' ) = ( v −v)IJIJle equazioni stesse saranno invarianti rispetto al riferimento cartesiano.90

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE4.4.4 – I limiti del Metodo SPHI metodi SPH presentano notevoli vantaggi nelle computazioninumeriche, tra cui la facilità di trattare grandi deformazioni della Mesh, ola semplicità d’implementazione al calcolatore.Ciononostante, lo stesso metodo presenta una serie di limiti edinconvenienti di seguito elencati [8].• Instabilità di tensione;• Insufficienza di consistenza d’interpolazione;• Difficoltà nel far rispettare le condizioni di vincolo.Attraverso gli anni, sono state sviluppate varie tecniche per ilmiglioramento del metodo, e l’eliminazione delle varie patologie che simanifestano nelle computazioni numeriche, di seguito definite.Instabilità di tensioneSi definisce in questo modo la situazione in cui, in una regione deldominio dove sussiste uno stato tensionale, il moto delle particellediventa instabile. Ciò significa che, una piccola perturbazione dellaposizione delle particelle, può causare un esponenziale aumento dellavelocità delle stesse, che può indurle ad un moto oscillatorio.Diversi autori hanno condotto studi con il fine di individuare le cause diquesto fenomeno, e in seguito per porvi rimedio.Per quanto attiene alle origini di tale fenomeno si fa riferimento airisultati conseguiti dagli studi condotti da Sweegle [8].91

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEIpotizzando che le masse delle particelle adiacenti siano le stesse, e chesia soddisfatta la condizione secondo la quale:dWdxIII=0i criteri di stabilità di Sweegle vengono di seguito elaborati.Considerando una distribuzione di particelle in cui la distanza tra dueparticelle successive è pari alla Smoothing Lenght h, assumendo l’originedel sistema di riferimento cartesiano coincidente con la genericaparticella X I , e facendo riferimento ad un semplice casomonodimensionale, la particella I+1 è posizionata alla distanza X I + h,mentre, il punto x in cui la derivata della funzione Kernel W’(x) siannulla, sarà compreso tra la particella X I e I+1, come di seguitomostrato.Trazioneσstabile instabileh-W'XI XI+1XW'instabilestabileCompressioneFigura 4. 1 – Instabilità d trazione delle particelle.92

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEAssumendo per convenzione che la tensione negativa sarà dicompressione, e quella positiva di trazione, sarà possibile distinguere nelpiano x-σ le seguenti situazioni [8].Trazione (σ>0)• Nel tratto in cui la derivata della Funzione Kernel -W ’ (x) ècrescente [-W ’ (x)>0], all’aumentare della variabile indipendente xle particelle si allontanano, e la tensione di trazione σ allo stessotempo aumenta. Viceversa, al diminuire della variabile x leparticelle si avvicinano, e la tensione σ si riduce. Il sistema inquesto caso si definisce stabile.• Nel tratto in cui la derivata della Funzione Kernel -W ’ (x) èdecrescente [-W ’ (x)

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEx le particelle si allontanano, e la tensione di compressione σ allostesso tempo aumenta. Viceversa, al diminuire della variabile x leparticelle si avvicinano, e la tensione σ si riduce. Il sistema inquesto caso si definisce stabile.Tra le possibili soluzioni a questo problema Morris propose di introdurreuna speciale Kernel Function, ma tale soluzione produce risultatisoddisfacenti soltanto in alcuni casi particolari [8].Dyka propose il cosiddetto Stress Point Method, l’idea principale su cuisi fonda, risiede nell’introdurre dei punti addizionali, oltre a quelliintrodotti per la rappresentazione delle singole particelle, nel momento incui si vuole valutare lo stato tensionale o altri stati variabili. Mentre levariabili cinematiche, quali lo spostamento, la velocità, e l’accelerazionesono ancora riferite alle particelle SPH, a questi punti addizionali sonoinvece associati gli stati tensionali, o altri stati variabili nel tempo.Tali punti sono definiti Stress Point, e non sono niente altro che delleparticelle fittizie. Di seguito si riporta una rappresentazione grafica:Figura 4. 2 - Stress Point Method in uno spazio bi-dimensionale.94

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONECondizioni di vincoloI metodi particellari in generale hanno delle difficoltà nel rafforzare lecondizioni di vincolo essenziali. Per l’SPH, sono stati sviluppati deimetodi correttivi per risolvere questa patologia. Notevolmente impiegatonelle computazioni pratiche, è il così detto “Ghost Particle”, propostoda Randles e Libersky [8]. In virtù di questo metodo, si supponga che l’iesimaparticella i sia vincolata, mentre le altre particelle all’interno dellostesso dominio N(i), possano essere suddivise in tre sottoinsiemi:• I(i): punti interni al dominio, adiacenti la particella i;• B(i): punti di confine, adiacenti la particella i;• G(i): punti esterni al dominio, adiacenti la particella i.L’insieme N(i), può quindi essere espresso come l’unione dei tresottoinsiemi descritti:N( i)= I()i ∪Bi() ∪G() iDove G(i) sono appunto le particelle fantasma introdotte (GhostParticle) [8].In quest’approccio, si può ricavare l’equazione di vincolo per ungenerico campo scalare f i , infatti, assumendo:ffjjΔV==jffibc= ΔVi∀j∈ B(i)∀j∈ G(i)95

CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONEla formula di correzione per il generico campo scalare f, è definita comesegue:fi=fbc+∑ ( fj− fbc)j∈I ( i )⎛⎜1 −⎝∑j∈B ( i )ΔVWΔVWjijj⎞⎟⎠ijDove:• f bc è il prescritto valore per x = x i ;• ΔVj è il volume elementare della j-esima particella;• W ij è la funzione Kernel.Il principale vantaggio nell’utilizzare questa formula correttiva, risiedenel fatto che questa dipende esclusivamente dalle particelle interne, enon da quelle esterne (Ghost Particle).96

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970Capitolo 5Modellazione Numerica con LS-Dyna Version 970.Modellare numericamente una prova sperimentale significa riprodurre,grazie all’ausilio di un codice di calcolo, lo stesso elemento oggetto dellasperimentazione. Le evidenze sperimentali serviranno per poterverificare l’attendibilità del modello creato al calcolatore, oppure irisultati dei test potranno essere impiegati per calibrare il modello stesso.Tutto ciò è finalizzato alla costruzione di un modello che consente dieseguire sperimentazioni numeriche, senza ricorrere necessariamente alleprove sperimentali da realizzare in laboratorio, con i costi e leproblematiche che esse comportano.Individuate quali sono le principali finalità della modellazione numerica,bisogna poi in seguito scegliere tra i codici di calcolo strutturali adisposizione, quello da impiegare per la simulazione stessa.Ai fini della modellazione, si è scelto di impiegare il programma adelementi finiti d’uso generale LS-Dyna Version 970 [11], che consentela simulazione di problemi complessi, ed è largamente accettato, comesoftware d’analisi, per le più avanzate applicazioni dell'ingegneria.5.1 - Software LS-Dyna Version 970LS-Dyna è un programma di calcolo ad elementi finiti, che permette dianalizzare dei comportamenti fisici altamente non lineari con dei metodinumerici detti espliciti o impliciti. Frequenti applicazioni si hanno nelcaso di fenomeni in cui grandi deformazioni avvengono in un breveintervallo di tempo, come ad esempio in un Crash test, o inun’esplosione.97

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970LS-Dyna conta numerosi utilizzatori nell’industria automobilistica,aeronautica, aerospaziale e nella formatura di metalli. Il calcoloaccoppiato fluido-struttura permette di simulare l’interazione tra unastruttura e un fluido come nell’aquaplanning o nella caduta di unrecipiente contenente un fluido.Le origini del LS-Dyna risalgono alla metà degli anni settanta, quando fusviluppata la sua prima versione, nota come DYNA3D, per opera delLawrence Livermore National Laboratory.Il DYNA3D nasce come software d’analisi, sulla base della teoria deglielementi finiti, per la risoluzione di problemi strutturali e di meccanicadel continuo. Grazie alla sua rapidità nell’integrazione delle equazionidel moto, è specialmente impiegato per la risoluzione di problemidinamici.Figura 5. 1 - Modellazione di una Turbina con LS-Dyna.Essa possiede una libreria di materiali (Material Model), da poterimpiegare nelle modellazioni, tra i quali sono inclusi materiali isotropicielastici,ortotropici-elastici ed elasto-plastici. Consente la simulazioned’elementi solidi, shell, beam, spring, e damper. Inoltre si possono98

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970generare contatti tra superfici, in modo tale da considerare le interazionitra corpi diversi. Col passare degli anni dal 1976 fino al 1988, ilDYNA3D è stato di volta in volta arricchito con nuove caratteristiche epossibilità, riguardanti materiali ed elementi da modellare. Nelle versioniche si sono succedute sono stati apportati miglioramenti ai tempid’integrazione, per la risoluzione delle equazioni del moto, riducendonotevolmente i tempi d’analisi, e consentendo discretizzazione semprepiù fitte degli elementi.Verso la fine del 1988, dal DYNA3D nasce il più recente codice dicalcolo LS-Dyna. Questa evoluzione del DYNA3D è dettata dallacrescente richiesta d’applicazioni automobilistiche. Gli sforzi per losviluppo del codice di calcolo furono intensificati, proprio per far frontealla maggiore richiesta di risoluzione di problemi automobilistici. Agliinizi del 1989 la scrittura del codice passò dalla Lawrence LivermoreNational Laboratory (LLNL), alla Livermore Software TechnologyCorporation, California. Per opera della LSTC sono state miglioratediverse capacità del software. Da questo momento, per i successivi 18anni, passando attraverso le diverse versioni del programma, dallaVersion 940 fino alla recentissima Version 971, innumerevoli sono statele migliorie adottate. Tra queste si riportano di seguito solo alcune dellepiù innovative ed interessanti, che caratterizzano la versione più recente,impiegata per la modellazione numerica. Le sue capacità attualiconsentono la soluzione di Nonlinear dynamics, Rigid body dynamics,Quasi-static simulations, Normal modes, Linear static, Thermal analysis,Fluid analysis, Eulerian capabilities, ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian), Fluid-structure interactions, FEM-rigid multi-body dynamicscoupling (MADYMO, CAL3D), Underwater shock, Failure analysis,Crack propagation, Real-time acoustics, Design optimization, Implicit99

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970springback, Multi-physics coupling, Structural-thermal coupling,Adaptive Remeshing, Smooth particle hydrodynamics, Element-freemeshless method [11].LS-Dyna utilizza per la soluzione delle equazioni del moto sia il metodoesplicito sia quello implicito. La disponibilità in un unico prodottosoftware di metodi sia espliciti sia impliciti è importante, perchè unsingolo metodo di soluzione non è convenientemente applicabile inqualsiasi situazione. Con un solo prodotto, LS-Dyna, si è in grado diportare a soluzione le problematiche più diverse, tra cui:• Solid Mechanics.• Nonlinear elements for large deformations, Reduced and fullyintegrated, linear elements for eigenvalues, superelements, andlinear structural analyses.• Dynamics: Explicit methods for short duration transient problems,implicit methods for static and long duration problems,instantaneously switch between methods, Fluid Mechanic.• Flow regim: Incompressible flow, Compressible flow, Acoustics.Il metodo esplicito è in pratica l'unico applicabile in diversi casi, comead esempio le simulazioni d’impatto (crash e drop test), il metal forming(stampaggi a caldo e a freddo, laminazioni, imbottiture), le simulazionid’eventi prodotti da esplosioni, sia in aria sia in acqua, oppure gli effettiprodotti dai terremoti sulle strutture. Può essere impiegato per lesimulazioni su materiali non metallici quali compositi o schiumepolimeriche. Le schiume sono i principali componenti, ad esempio, deisedili d’auto e pertanto costituiscono un elemento di primaria importanza100

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970per la sicurezza degli occupanti. In ultimo, ma non meno importante, conil metodo esplicito si è in grado di simulare tutte le fasi d’esercizio di unairbag, dall'esplosione della carica, al dispiegamento durante ilgonfiaggio, all'impatto del corpo umano sul cuscino gonfiato, allosgonfiaggio controllato.Tra le potenzialità del software in precedenza elencate, quelle chemaggiormente ci hanno indotto a sceglierlo per la simulazione numerica,sono senza dubbio la possibilità di implementare due metodi didiscretizzazione, dettagliatamente descritti nel capitolo precedente, ilFinite Element Method (FEM), e lo Smoothed Particle Hydrodynamics(SPH), e in secondo luogo la capacità del codice di calcolo diconsiderare grandi deformazioni che si verificano in un intervallo ditempo di pochi millisecondi, così come accade nella simulazione diun’esplosione.5.2 – Modellazione della Prova SperimentaleCon l’ausilio del codice di calcolo LS-Dyna Version 970, si sonomodellate le quattro prove sperimentali in precedenza descritte.Si è scelto di impiegare le seguenti unità di misura [12].Lunghezze Tempo Pressione Massa Temperatura Densità[m] [s] [Pa] [Kg] [K] Kg/m 3 ]Tabella 5. 1 – Unità di Misure adottate dal LS-Dyna Version 970.Tale modellazione è stata condotta utilizzando due metodi didiscretizzazione differenti, il FEM e l’SPH. Si descrivono in seguitoquali sono le caratteristiche dello stesso modello realizzato con i duemetodi differenti.101

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 9705.2.1 – Modello FEML’elemento strutturale piastra viene in questo caso realizzato medianteun Box_Solid [12]. Ovviamente la scelta del numero d’elementi checostituiscono il Box, e quindi la piastra, è effettuata in funzione del gradod’accuratezza che si vuole conseguire nel calcolo, associato al numerod’informazioni che da lui si vogliono ottenere, e tenendo presente che unnumero eccessivo d’elementi solidi e di nodi che costituiscono la Mesh,incrementano i tempi d’analisi del processore. Questo perchè il numerod’equazioni che il processore dovrà risolvere aumenta all’aumentare delnumero di nodi. La piastra è quindi suddivisa in 11520 elementi solidi(Solid Element) [12]. Ovviamente, trattandosi di una discretizzazione inelementi finiti, ad ognuno di questi saranno associate le stessedimensioni geometriche e caratteristiche dei materiali. Le dimensioni delsingolo elemento sono (2,5x2,5x1,8)cm 3 , in questo modo si avrà unamaglia di 48x48 elementi distribuiti su 5 strati sovrapposti. Ognielemento è contraddistinto da 8 nodi, ognuno dei quali a sua voltaindividuato, rispetto all’origine degli assi del sistema di riferimentocoincidente con il baricentro geometrico della piastra, dalle suecoordinate cartesiane (x, y, z).Ad esempio per l’elemento individuato dal numero identificativo eid(element identification) = 1 si avrà:*ELEMENT_SOLID$# eid pid n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n81 1 1 2 51 50 2402 2403 2452 2451Tabella 5. 2 – Element Solid.Dove con n i s’indica il numero identificativo del nodo che appartieneall’elemento, coincidente con uno dei suoi vertici, mentre pid è ilnumero identificativo della Part associata all’elemento.102

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970La Part è un comando del codice di calcolo che consente di assegnare apiù elementi le stesse proprietà, quali ad esempio lo stesso Material, lastessa Equation of State (EOS) e la stessa Section, richiamandosemplicemente i rispettivi numeri identificativi (mid, eosid, secid) [12].*PART$# titlePart$# pid secid mid eosid hgid grav adpopt tmid1 1 1 1Tabella 5. 3 – Part.Nella Section sono definite alcune proprietà, quali la formulazionedell’elemento, le regole d’integrazione o gli spessori nodali, secondo latipologia d’Element a cui la Section è associata. Nel caso dellaSection_Solid si attribuisce all’elemento l’Element Formulation Optinon(elform) [12], in questo caso specifico si sceglie di considerare costantela tensione nel singolo elemento.*SECTION_SOLID_TITLESection_Solid$# secid elform aet1 1Tabella 5. 4 – Section Solid.Costruito il modello geometrico della piastra, e la mappa topologicadegli elementi finiti in cui questa è stata discretizzata, in seguito sidefiniscono le condizioni di vincolo e di carico.Per quanto riguarda le condizioni di vincolo, si crea un Set di Nodi [12],in altre parole un insieme di Nodi, a cui andrà poi in seguito associato lacondizione di vincolo. In questo caso si è scelto di vincolare lungo l’assey del sistema di riferimento cartesiano, i due bordi esterni della piastra. IlSet di nodi a loro corrispondente è il seguente:103

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970*SET_NODE_LIST_TITLEVincoli$# sid da1 da2 da3 da437$# nid1 nid2 nid3 nid4 nid5 nid6 nid7 nid81 50 99 148 197 246 295 344393 442 491 540 589 638 687 736785 834 883 932 981 1030 1079 11281177 1226 1275 1324 1373 1422 1471 15201569 1618 1667 1716 1765 1814 1863 19121961 2010 2059 2108 2157 2206 2255 23042353 2402 2451 2500 2549 2598 2647 26962745 2794 2843 2892 2941 2990 3039 30883137 3186 3235 3284 3333 3382 3431 34803529 3578 3627 3676 3725 3774 3823 38723921 3970 4019 4068 4117 4166 4215 42644313 4362 4411 4460 4509 4558 4607 46564705 4754 4803 4852 4901 4950 4999 50485097 5146 5195 5244 5293 5342 5391 54405489 5538 5587 5636 5685 5734 5783 58325881 5930 5979 6028 6077 6126 6175 62246273 6322 6371 6420 6469 6518 6567 66166665 6714 6763 6812 6861 6910 6959 70087057 7106 7155 7204 7253 7302 7351 74007449 7498 7547 7596 7645 7694 7743 77927841 7890 7939 7988 8037 8086 8135 81848233 8282 8331 8380 8429 8478 8527 85768625 8674 8723 8772 8821 8870 8919 89689017 9066 9115 9164 9213 9262 9311 93609409 9458 9507 9556 9605 9654 9703 97529801 9850 9899 9948 9997 10046 10095 1014410193 10242 10291 10340 10389 10438 10487 1053610585 10634 10683 10732 10781 10830 10879 1092810977 11026 11075 11124 11173 11222 11271 1132011369 11418 11467 11516 11565 11614 11663 1171211761 11810 11859 11908 11957 12006 12055 1210412153 12202 12251 12300 12349 12398 12447 1249612545 12594 12643 12692 12741 12790 12839 1288812937 12986 13035 13084 13133 13182 13231 1328013329 13378 13427 13476 13525 13574 13623 1367213721 13770 13819 13868 13917 13966 14015 1406414113 14162 14211 14260 14309 14358 49 98147 196 245 294 343 392 441 490539 588 637 686 735 784 833 882931 980 1029 1078 1127 1176 1225 12741323 1372 1421 1470 1519 1568 1617 16661715 1764 1813 1862 1911 1960 2009 20582107 2156 2205 2254 2303 2352 2401 24502499 2548 2597 2646 2695 2744 2793 28422891 2940 2989 3038 3087 3136 3185 32343283 3332 3381 3430 3479 3528 3577 36263675 3724 3773 3822 3871 3920 3969 40184067 4116 4165 4214 4263 4312 4361 44104459 4508 4557 4606 4655 4704 4753 48024851 4900 4949 4998 5047 5096 5145 51945243 5292 5341 5390 5439 5488 5537 55865635 5684 5733 5782 5831 5880 5929 59786027 6076 6125 6174 6223 6272 6321 63706419 6468 6517 6566 6615 6664 6713 67626811 6860 6909 6958 7007 7056 7105 71547203 7252 7301 7350 7399 7448 7497 75467595 7644 7693 7742 7791 7840 7889 79387987 8036 8085 8134 8183 8232 8281 83308379 8428 8477 8526 8575 8624 8673 87228771 8820 8869 8918 8967 9016 9065 91149163 9212 9261 9310 9359 9408 9457 95069555 9604 9653 9702 9751 9800 9849 98989947 9996 10045 10094 10143 10192 10241 1029010339 10388 10437 10486 10535 10584 10633 10682104

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 97010731 10780 10829 10878 10927 10976 11025 1107411123 11172 11221 11270 11319 11368 11417 1146611515 11564 11613 11662 11711 11760 11809 1185811907 11956 12005 12054 12103 12152 12201 1225012299 12348 12397 12446 12495 12544 12593 1264212691 12740 12789 12838 12887 12936 12985 1303413083 13132 13181 13230 13279 13328 13377 1342613475 13524 13573 13622 13671 13720 13769 1381813867 13916 13965 14014 14063 14112 14161 1421014259 14308 14357 14406Tabella 5. 5 – Set_Node_List Vincoli.Al Set di nodi così definito sono poi associate le condizioni di vincolo,bloccando gli spostamenti di tali nodi nelle direzioni x y e z, realizzandocosì un vincolo di tipo incastro.*BOUNDARY_SPC_SET_ID$# cid heading1Incasro$# nsid cid dofx dofy dofz dofrx dofry dofrz37 0 1 1 1Tabella 5. 6 – Boundary Condiction.Come si può notare, nella Card che definisce le condizioni di vincolo(Boundary Condiction) [12] una volta richiamato il nsid (Node SetIdentification), corrispondente al Set di nodi creato in precedenza, sidefiniscono quali sono gli spostamenti e gli assi lungo i quali avvengono,oppure le rotazioni e gli assi rispetto ai quali si realizzano, che devonoessere impediti.Una volta calcolate le curve di pressione che agiscono all’estradossodella piastra, così come descritto al Capitolo 3, queste dovranno esseredefinite nel modello e in seguito assegnate agli elementi solidi.Per definire una qualsivoglia curva, che indichi l’andamento dellapressione in funzione del tempo, o che sia in ogni modo l’andamento diuna variabile dipendente in funzione di un'altra indipendente (ese.Temperatura e Tempo), si utilizza il comando Define_Curve[12].Questo comando consente di assegnare in maniera tabulata, nel piano (x,105

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970y), i valori da associare alle due variabili, indipendente lungo l’asse delleascisse e dipendente lungo l’asse delle ordinate. Inoltre, si possono anchedefinire dei fattori di scala e d’Offset sia per i valori lungo l’asse delleascisse (sfa, offa), che per quelli definiti lungo l’asse delle ordinate (sfo,offo). Ad ogni curva si associa un nome (Title), e un numeroidentificativo lcid (Load Curve Identification) [12].A titolo d’esempio si riporta una delle 36 curve di carico, definite permodellare l’effetto prodotto sulla superficie della piastra, investitadall’onda d’urto prodotta dall’esplosione:*DEFINE_CURVE_TITLEA-1$# lcid sidr sfa sfo offa offo dattyp1 0 1.000000 1.000000$# a1 o10.000 1.6806463e+0054.9999999e-005 1.4723016e+0059.9999997e-005 1.2860335e+0051.5000001e-004 1.1196810e+0051.9999999e-004 97128.4375002.5000001e-004 83906.7656253.0000001e-004 72142.1640633.4999999e-004 61688.8828133.9999999e-004 52414.9492194.4999999e-004 44200.9375005.0000002e-004 36938.7890635.5000000e-004 30530.8046886.0000003e-004 24888.6582036.5000000e-004 19932.5566416.9999998e-004 15590.4423837.5000001e-004 11797.2744147.9999998e-004 8494.37890638.5000001e-004 5628.85498058.9999998e-004 3153.03002939.5000002e-004 1023.97601320.00100000 -796.945007320.00105000 -2344.48193360.00110000 -3649.86499020.00115000 -4741.14306640.00120000 -5643.48486330.00125000 -6379.45898440.00130000 -6969.28076170.00135000 -7431.04687500.00140000 -7780.93310550.00145000 -8033.38818360.00150000 -8201.30371090.00160000 -8328.19824220.00170000 -8239.07128910.00180000 -7994.91113280.00190000 -7643.41308590.00205000 -6993.43408200.00220000 -6273.64990230.00235000 -5543.26904300.00250000 -4839.44921880.00265000 -4184.00195310.00280000 -3588.2438965106

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 9700.00300000 -2893.49707030.00320000 -2310.45703130.00340000 -1829.96398930.00360000 -1439.52099610.00380000 -1125.79895020.004000000.00420000Tabella 5. 7 – Curva di Pressione Tabulata.Grafico 5. 1 – Andamento della Curva di Pressione, calcolata per l’area di caricoA-1 e relativa alla prima prova modellata.Lo stesso procedimento è ripetuto per le 36 diverse curve di pressionecalcolate in precedenza, e per le quattro diverse condizioni di caricorealizzate nelle altrettante prove sperimentali eseguite.Definite le curve di carico, bisognerà poi in seguito assegnare questecondizioni di carico agli elementi che costituiscono la piastra stessa.Per i modelli realizzati in FEM, si è scelto di applicare il carico inmaniera distribuita. In questo caso sono stati definiti dei Set_Segment[12], vale a dire delle aree di carico, coincidenti con le stesse cheabbiamo in precedenza definito per il calcolo delle curve di pressioniderivanti dall’esplosione. Per definire un Segment è sufficienteindividuare 4 nodi che lo delimitano, il singolo Segment sarà quindi una107

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970semplice area quadrata. Ogni Set_Segment sarà invece costituito da 4Segment diversi, tra loro simmetrici rispetto al centro della piastra. Siricorda, infatti, che la condizione di carico a cui la piastra è sottoposta èperfettamente simmetrica rispetto al centro della stessa, essendo la caricaesplosiva posizionata ad una certa distanza dal suo centro. In definitivaavremo 36 Set_Segment, per un totale di 144 Segment [12].*SET_SEGMENT_TITLEA-1$# sid da1 da2 da3 da41$# n1 n2 n3 n4 a1 a2 a3 a414382 14186 14190 1438612030 12034 12230 1222614382 14378 14182 1418612030 12226 12222 12026Tabella 5. 8 - Set_Segment.Ad ogni Set_Segment è poi associata la corrispondente curva dipressione, sapendo che questa si ripete identicamente per i 4 Segment alei appartenenti.A tale fine si utilizza il comando Load Set_Segment [12], che consente diassociare ad ogni ssid (Set_Segment Identification) la corrispondentelcid (Load Curve Identification), moltiplicata per un fattore di scala sf, ilquale si assume unitario. Questo comando ci consente di applicare unapressione distribuita su un’area quadrilatera definita da 4 nodi.*LOAD_SEGMENT_SET$# ssid lcid sf at1 1 1.0000002 2 1.0000003 3 1.0000004 4 1.0000005 5 1.0000006 6 1.0000007 7 1.0000008 8 1.0000009 9 1.00000010 10 1.00000011 11 1.00000012 12 1.00000013 13 1.000000108

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 97014 14 1.00000015 15 1.00000016 16 1.00000017 17 1.00000018 18 1.00000019 19 1.00000020 20 1.00000021 21 1.00000022 22 1.00000023 23 1.00000024 24 1.00000025 25 1.00000026 26 1.00000027 27 1.00000028 28 1.00000029 29 1.00000030 30 1.00000031 31 1.00000032 32 1.00000033 33 1.00000034 34 1.00000035 35 1.00000036 36 1.000000Tabella 5. 9 – Load Set_Segment.Figura 5. 2 - Sezione della Piastra sottoposta a Carico distribuito.Per realizzare un modello quanto più attendibile è possibile, sarànecessario attribuire a singoli elementi anche il proprio peso. Per farequesto è necessario creare una Set_Part_List, in altre parole una lista diPart alle quali associare un unico carico, il peso proprio. Si associaquindi alla Set_Part_List l’unica Part di cui disponiamo [12].109

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970*SET_PART_LIST_TITLEpart list solid$# sid da1 da2 da3 da41$# pid1 pid2 pid3 pid4 pid5 pid6 pid7 pid81Tabella 5. 10 – Set_Part_List.Si definisce quindi un ulteriore curva, in questo caso semplicementecostate, essendo la forza peso sempre la stessa indipendentemente daltempo, si definisce un Load_Body_Z [12], in cui si moltiplica la curva dicarico in precedenza costruita per un fattore di scala sf, pari a 9,81 m/s 2 ,l’accelerazione di gravità, e si associa la nuova condizione di caricoall’intera Part.*DEFINE_CURVE_TITLEPeso$# lcid sidr sfa sfo offa offo dattyp37 0 1.000000 1.000000$# a1 o10.000 1.000000000.00600000 1.00000000*LOAD_BODY_PARTS$# psid1*LOAD_BODY_Z$# lcid sf lciddr xc yc zc37 9.810000Tabella 5. 11 – Carico da Peso Proprio.Per completare il modello, non rimane altro che definire le caratteristichemeccaniche dei materiali, calcestruzzo e acciaio, utilizzati per lacostruzione della piastra. A tal scopo si rimanda al Capitolo 6, in cui sidescriveranno in maniera dettagliata i Material Model impiegati, il modoin cui si definisce l’Equation of State ad essi associati, ed infine le curvedi Strain-Rate, che descrivono il miglioramento del comportamento deimateriali, per effetto dei carichi dinamici a cui sono soggetti. Questeultime Card che definiscono il modello sono le stesse sia per il MetodoFEM sia per quello SPH.110

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970Completato il modello in FEM per la prima condizione di carico, percostruire gli altri tre modelli rimanenti, sarà sufficiente copiare lo stessomodello modificando le sole curve di pressione riguardanti le altre trecondizioni di carico.5.2.2 – Modello SPHIn questo caso per creare l’elemento piastra, a differenza di quanto fattoper il modello FEM, non si costruisce una Mesh, bensì una mappatopologica di soli nodi. In questo caso, infatti, la piastra non è suddivisain un numero discreto d’elementi finiti di forma prismatica, ma in unnumero discreto d’elementi nodali, definiti particelle. Ad ogni particellaè associata una massa ed una posizione nello spazio, individuata dalle trecoordinate (x, y, z), sempre rispetto all’origine degli assi del riferimentocartesiano considerato dal programma. Ad ogni nodo della mappatopologica costruita in precedenza, si associa un elemento particellaredotato di massa. La piastra è stata discretizzata in un numero totale diparticelle pari a 11520. Essendo il numero di particelle coincidenti conquello degli Element Solid, in cui è stata discretizzata la piastra con ilmetodo FEM, si potrà operare il confronto tra i due metodi. Questielementi particellari si distribuiscono su cinque superfici sovrapposte,ognuna delle quali costituita da 48x48 elementi particellari. Nel piano (x,y) le particelle distano tra loro 2,5 cm in entrambe le direzioni, mentrelungo l’asse z i cinque strati sono posti ad una distanza di 2,25 cm.La massa d’ogni singola particella è stata semplicemente calcolatadividendo il peso totale della piastra per il numero di particelle che lacostituiscono.111

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970P tot = γ s V tot = 2500 Kg/m 3 (0,09 x1,2 x1,2)m 3 = 324 Kg⇓M ele = P tot / Num ele = 324 Kg / 6912 = 0,046875 Kg*ELEMENT_SPH$# nid pid mass1 1 0.04687500Tabella 5. 12 – Element SPH.Ad ogni nid (Node Identification) è attribuita una particella di massa(mass) pari a 0,046875 Kg, ed una pid (Part Identification), a cuicompete la stessa definizione data per la modellazione in FEM [12].La differenza principale che sussiste tra la modellazione in FEM e quellain SPH, risiede nella definizione della Section da associare all’elementomodellato. Mentre per il metodo FEM si è attribuito all’elementomodellato una Section_Solid, in questo caso sarà ovviamente necessariodefinire una Section_SPH [12]. Questo comando consente di associarealcune proprietà alle singole particelle.*SECTION_SPH_TITLESPH_section$# secid cslh hmin hmax sphini death start1 1.200000 0.200000 2.000000 0.0001.0000E+20Tabella 5. 13 – Section SPH.Il parametro numerico di maggiore interesse che deve essere in questocaso definito, è la Smoothing Lenght (h), di cui già si è detto nel capitoloprecedente.Il processore LS-Dyna utilizza una Smoothing Lenght variabile durante iltempo d’analisi. Il Processore calcola un valore iniziale di SmoothingLenght (h 0 ), come la massima tra le minime distanze tra ogni particella.112

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970Ad ogni particella è associato la propria Smoothing Lenght, che varia neltempo in accordo con la seguente equazione:ddt( h ( t )) = h ( t ) div ( v)Dove h(t) è la Smoothing Lenght in funzione del tempo, mentre div(v) èla divergenza del flusso. La Smoothing Lenght aumenta, quando leparticelle si allontanano le une dalle altre e si riduce, quando aumenta ladensità delle particelle. Esso varia in modo tale da mantenere costante ilnumero di particelle tra loro vicine.La Smoothing Lenght varia tra un valore minimo e uno massimo:Hmin⋅ h0≤ h t )( ≤ H ⋅ hmax0Non è possibile associare un valore unitario né a quello massimo né aquello minimo, H min e H max , in quanto così facendo si definirebbe unaSmoothing Lenght costante al variare del tempo e dello spazio, ecoincidente con quella iniziale h 0 calcolata dal processore [11].Nella Card della Section_SPH, è necessario definire oltre al valoreminimo e massimo della Smoothing Lenght (h min , h max ), anche unacostante cslh, che moltiplica la Smoothing Lenght delle particelle. Talevalore deve essere compreso tra 1,05 e 1,3. Il valore di Default è uguale1,2 ed è ritenuto accettabile per diverse problematiche. Valori inferioriall’unità sono ritenuti inammissibili, mentre quelli maggiori di 1,3aumenterebbero i tempi di computazione del software.I parametri sphini, death e start, che definiscono la Card, individuanorispettivamente un valore iniziale della Smoothing Lenght, ed il tempod’arresto e d’inizio dell’approssimazione. Nel primo caso se si definisce113

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970un valore di sphini diverso dallo 0,0 si sovrascrive il valore iniziale h 0calcolato dal processore all’inizio del calcolo [11].Una successiva differenza rispetto al modello costruito in FEM, riguardala modalità d’applicazione dei carichi. Questi ultimi ovviamente nonvariano per le stesse prove che sono state modellate, al variare dei duemetodi impiegati FEM e SPH.In questo caso essendo la piastra discretizzata in un numero finitod’elementi nodali (Element_SPH), è preferibile applicare il cariconodalmente. Si passa quindi da una condizione di carico distribuita aduna di carico concentrato. Ogni singolo elemento particellare checostituisce l’estradosso della piastra, sarà quindi soggetto ad una forzaconcentrata, d’intensità variabile da una particella all’altra, e direttalungo l’asse z verso il basso.Per definire questa condizione di carico è quindi necessario costruire deiSet di nodi, allo stesso modo di quanto visto per la definizione dellecondizioni di vincolo. Si definiranno quindi 36 Set_Node_List [12], adognuno dei quali apparteranno 64 nodi differenti, riconducibili alle 4aeree di carico, simmetriche rispetto al centro della piastra, così comedescritte in precedenza.*SET_NODE_LIST_TITLEA-1$# sid da1 da2 da3 da41$# nid1 nid2 nid3 nid4 nid5 nid6 nid7 nid86885 6886 6887 6888 6837 6838 6839 68404773 4774 4775 4776 4725 4726 4727 47284681 4682 4683 4684 4633 4634 4635 46364777 4778 4779 4780 4729 4730 4731 47324677 4678 4679 4680 4629 4630 4631 46326789 6790 6791 6792 6741 6742 6743 67446889 6890 6891 6892 6841 6842 6843 68446793 6794 6795 6796 6745 6746 6747 6748Tabella 5. 14 – Set_Node_List Carico.114

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970Per applicare il carico in modo concentrato su ogni particella, si usa ilcomando Load_Noad_Set [12]. In questo modo si attribuisce ad ogni Setdi nodi la corrispondente Curva di Carico (Load Curve). Per tener contoche si sta passando da una pressione, e quindi una forza per unità disuperficie, ad una forza concentrata, la curva di carico dovrà esseremoltiplicata per un fattore di scala, pari all’area di carico che compete adogni singola particella, che sarà pari a (2,5x2,5) cm 2 .*LOAD_NODE_SET$# nsid dof lcid sf cid m1 m2 m31 3 1 -6.250E-42 3 2 -6.250E-43 3 3 -6.250E-44 3 4 -6.250E-45 3 5 -6.250E-46 3 6 -6.250E-47 3 7 -6.250E-48 3 8 -6.250E-49 3 9 -6.250E-410 3 10 -6.250E-411 3 11 -6.250E-412 3 12 -6.250E-413 3 13 -6.250E-414 3 14 -6.250E-415 3 15 -6.250E-416 3 16 -6.250E-417 3 17 -6.250E-418 3 18 -6.250E-419 3 19 -6.250E-420 3 20 -6.250E-421 3 21 -6.250E-422 3 22 -6.250E-423 3 23 -6.250E-424 3 24 -6.250E-425 3 25 -6.250E-426 3 26 -6.250E-427 3 27 -6.250E-428 3 28 -6.250E-429 3 29 -6.250E-430 3 30 -6.250E-431 3 31 -6.250E-432 3 32 -6.250E-433 3 33 -6.250E-434 3 34 -6.250E-435 3 35 -6.250E-436 3 36 -6.250E-4Tabella 5. 15 – Load_Node_Set.Dove il dof indica la direzione in cui il carico agisce, il fattore di scalainvece si pone negativo perché il carico è applicato verso il basso.115

CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970Le altre Card che completano il modello in SPH equivalgono a quelledefinite per il modello FEM.Per rendere più realistica la nostra modellazione, è stato consideratoanche l’effetto di Damping, impostando lo stesso al valore tipico per uncalcestruzzo del 5%. Questo comando consente, infatti, di considerare losmorzamento della velocità con la quale si muovono gli elementi.Tra le varie possibilità si è scelto il Damping_Frequency_Range [12],che consente di applicare l’effetto di smorzamento alla Partdell’elemento.*DAMPING_FREQUENCY_RANGE$# cdamp flow fhigh psid0.050000 0.100000 100.00000 1Tabella 5. 16 – Damping.Una volta assegnata la costante di Damping cdamp, si definisce unrange di frequenze, flow e fhigh, entro cui si considera l’effetto dismorzamento.116

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOCapitolo 6Legami Costitutivi del CalcestruzzoUn aspetto cruciale di questa modellazione risiede nella definizione dellecaratteristiche meccaniche del calcestruzzo. Il Software di calcolo LS-Dyna Version 970 implementa più di duecento Legami Costitutivi,ognuno dei quali impiegati per la modellazione di materiali differenti. Siha quindi la possibilità di scegliere tra un’ampia gamma di MaterialModel, secondo gli obiettivi che si vogliono perseguire e dei modelli chesi vogliono creare.In maniera molto sintetica è possibile classificare i Material Model infunzione del tipo di materiale da modellare, delle caratteristiche peculiariad essi associate, e dei metodi di discretizzazione con essi compatibili. Inparticolar modo è possibile distinguere modelli finalizzati allamodellazione di materiali plastici, compositi, ceramici, fluidi, vetrosi,idrodinamici, metallici, gommosi, schiumosi ed infine terreni ecalcestruzzi.Inoltre, nel caso specifico della modellazione realizzata era necessarioscegliere un Material Model che consentisse di considerare il così dettoeffetto di Strain-Rate, e il raggiungimento della condizione di rottura(Failure) [12].Tra tutti i Material Model quelli che meglio rispondono a dette necessitàsono lo Pseudo Tensor (Mat_016) e il Concrete Damage (Mat_072).6.1 – Pseudo – Tensor(Mat_016)Nell’analisi di strutture sottoposte a carichi da esplosione e per grandivalori di deformazioni, i codici di calcolo Lagrangiani basati sulla teoria117

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOdegli elementi finiti, necessitano di uno strumento efficace per lamodellazione del comportamento del materiale.In particolar modo per la modellazione d’elementi in calcestruzzoarmato, l’implementazione di un’efficiente Material Model si èdimostrata complessa e variabile. Diversi modelli sono propriamenteadatti per descrivere il comportamento costitutivo del calcestruzzo, cheva dalla risposta elastica del materiale fino alla sua rottura. Tra questi siannovera lo Pseudo Tensor, che risulta essere uno dei migliori.Questo modello può essere impiegato definendo due superfici infunzione della pressione media p, una di rottura massima σ max , e l’altra ditensione residua σ r [13].Δσσmaxp= a0+a + a p12σr= a0 f+a1 fp+ a p2PFigura 6. 1 – Superficie di rottura massima e residua.È necessario associare al modello del materiale un equazione di stato,essa fornisce il valore corrente della pressione p come una funzione delladeformazione volumetrica. In funzione della pressione si definisce una118

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZODurante la fase di carico iniziale o di ricarico, la parte deviatorica simantiene elastica fino a raggiungere la superficie iniziale di snervamento(Yeld Surface), raggiunta la quale può ancora aumentare fino araggiungere la superficie di rottura massima (Max Surface). Quando ilprovino di calcestruzzo è poi scaricato, la parte deviatorica del tensoredelle tensioni raggiunge la superficie di rottura residua (ResidualSurface). Così come mostrato nella seguente figura [13].Figura 6. 3 – Andamento della superficie di rottura corrente Δσ, in funzione dellatensione sferica p.La superficie di rottura corrente Δσ che limita la parte deviatorica dellostato tensionale, è definita come una combinazione lineare di duesuperfici, Δσ m e Δσ r , a loro volta definiti in funzione della tensionesferica p [13].Δ σ = η Δ σ + (1 − η )mΔσr121

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOvalori di p, esse non possono propriamente rappresentare il punto ditransizione tra il comportamento duttile e quello fragile.Di seguito si descrive il significato delle superfici di rottura[13]:Figura 6. 4 – Superfici di Rottura.Compressive MeridianLa Compressive Meridian indica l’andamento della Δσ m , i dati per la suacostruzione si ottengono solitamente attraverso prove sperimentalicondotte su provini di calcestruzzo sottoposti a compressioni assiali nonconfinati, e prove di compressione tri-assiali con vari livelli diconfinamento. I test usuali non forniscono in ogni modo risultati pervalori di pressione inferiori a f ’ c/3. Per il modello originale PseudoTensor, sono necessari almeno due livelli di confinamento diversi dazero affinché la Compressive Meridian sia definita da tre parametri a 0 , a 1e a 2 . Questi tre parametri che definisco la superficie di rottura massima123

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOΔσ m , solitamente sovrastimano gli sforzi, quando sono estrapolati pervalori inferiori a f ’ c/3.Tensile MeridianÈ noto che la Tensile Meridian della superficie di rottura per ilcalcestruzzo è solitamente inferiore rispetto alla Compressive Meridian.Dati sperimentali suggeriscono che il rapporto tra la Tensile eCompressive Meridian, denotato da ψ, è compreso tra 0,5, quando lepressioni sono negative, e 1, per livelli di confinamento elevati.Tensile CutoffLa Tensile Cutoff è inserita proprio per cercare di limitare i difetti delmodello per valori bassi di pressione, citati nella definizione dellaCompressive Meridian. La Tensile Cutoff limita la tensione principalemassima allo sforzo di trazione f t . Ciò in ogni modo non risolve ilproblema per valori di tensione sferica compresa tra 0 e f ’ c/3.Pressure CutoffIl modello originale incorpora una Pressure Cutoff, che impedisce allapressione di andare sotto il valore di f t /3. La Pressure Cutoff, non incideper le prove di trazione monoassiale, mentre limita la differenza ditensione principale al valore di f t /2 per una prova di trazione biassiale, ea f t /3 per una tri-assiale. Entrambi questi limiti contrastano con leevidenze sperimentali, le quali mostrano che in entrambi i casi, ladifferenza di tensione principale Δσ dovrebbe raggiungereapprossimativamente f t . Quantunque la Pressure Cutoff sia raggiunta, lostato delle tensioni corrente rimane in ogni modo inalterato.124

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOIl comportamento elastico del materiale è descritto con lo Pseudo Tensormediante la definizione dell’equazione di stato Tabulated Compaction(EOS8). Infatti, assegnando nell’EOS8 l’Unloading Bulk Modulus che èuna costante di elasticità definita in funzione del Modulo di Young E, edel Rapporto di Poisson ν :K=E3 −( 1 2ν )automaticamente in funzione di K il programma definisce un'altracostante d’elasticità, che è il Modulo di elasticità a Taglio G.Ciononostante, lo Pseudo Tensor contiene una serie di difetti, tra cuil’incapacità di considerare la dilatazione a taglio, normalmente osservatasui provini di calcestruzzo sottoposti a sollecitazioni di compressione.Tali difetti sono stati corretti mediante l’introduzione del nuovo modelloConcrete Damage (Mat_072) [13].6.2 – Concrete Damage (Mat_072)Una prima differenza rispetto al modello originale Pseudo Tensor risiedenella definizione di una nuova Pressure Cutoff p c . Per valori negativi dipressione, la funzione di migrazione η, serve non solo per scalare lasuperficie di rottura corrente da quella massima a quella residua, maanche per aumentare la p c da –f t a 0. Ciò avviene controllando lapressione calcolata dall’equazione di stato, e facendola coincidere con p cse non sarà soddisfatta la condizione secondo la quale deve essere p ≥ p c[13].125

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZODove p c è uguale a –f t , se non è raggiunta la superficie di rotturamassima, ed è uguale a –ηf t , se invece è raggiunta. Questa modifica puòquindi sovrascrivere la pressione calcolata dall’equazione di stato[13].pc=⎧⎨⎩− f− η fttL’altra innovazione riguarda le superfici di rottura. Nel ConcreteDamage, infatti, è inserita una terza superficie, indipendente dalleprecedenti due. Tale superficie rappresenta quell’iniziale di snervamento,ed è definita in funzione di tre nuovi parametri a 0y , a 1y e a 2y , così comesegue [13]:Δ σy=a0y+a1yp+ a2ypPer quanto concerne le restanti due superfici, già viste nel modelloprecedente, anche in questo caso sono apportate delle modifiche. Datoche il calcestruzzo ha uno sforzo residuo in trazione nullo, si assume taleanche il parametro indipendente dalla pressione p che definisce lasuperficie di rottura residua, a of = 0. Sempre a proposito della superficiedi rottura residua, per considerare l’intersezione tra questa e quella dirottura massima in un punto di transizione tra il comportamento duttile equello fragile, s’inserisce un nuovo parametro a 2f , mentre nel modellooriginale questo parametro era uguale per entrambe le superfici.In conclusione la superficie residua adesso assume la seguenteespressione [13]:Δ σr=a1 f+pa2fp126

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZONel nuovo modello, la superficie di rottura corrente dopo aver raggiuntoquella di snervamento iniziale, e prima ancora di raggiungere quella dirottura massima, è definita come una combinazione lineare delle due:Δσ=η( Δ σm− Δ σy) + Δ σyDove il parametro η è sempre compreso tra 0 e 1, ed è ancora definitocome una funzione della misura di deformazione plastica effettiva λ.Una volta raggiunta la superficie massima, quella corrente di rottura èottenuta come interpolazione tra quella massima e quella residua:Δσ=η( Δ σm− Δ σr) + Δ σrNel nuovo modello, la funzione di danno η = η(λ), è assegnata inmaniera tabulata dall’utente come una serie di valori (η, λ). Al variare diλ si ottengono valori di η compresi comunque tra 0 e 1. Quando λ = 0anche η = 0, quando λ = λ m allora η = 1, e torna ad annullarsi, quando λassume valori maggiori di λ m [13].Finche λ non decresce, Δσ tende ad assumere i valori di Δσ y , Δσ m e Δσ r .Quando λ ≤ λ m , allora Δσ si ottiene come un’interpolazione lineare traΔσ y e Δσ m , viceversa quando λ > λ m , allora sarà data dall’interpolazionetra Δσ m e Δσ r [13].La superficie di rottura massima non subisce nessuna modifica rispetto aquella vista nel modello originale.Riassumendo, per il nuovo modello le tre superfici di rottura, quellamassima, residua e di snervamento, sono rispettivamente definite comesegue [13]:127

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOΔ σm=a0+a1p+ a2pΔ σr=a1 f+pa2fpΔ σy=a0y+a1yp+ a2ypIn prossimità del punto in cui si osserva la transizione tra ilcomportamento fragile e quello duttile del materiale, avremo che sia laΔσ y sia la Δσ r, saranno limitate dalla Δσ m [13].6.2.1 – Parametri che definiscono le superfici di rotturaVediamo come si determinano i parametri a 0 , a 1 ed a 2 che definiscono lasuperficie di rottura massima Δσ m . Questi tre parametri dovrebberoessere determinati mediante prove di laboratorio su provini dicalcestruzzo sottoposti a sollecitazioni di compressione assiale, e provedi compressione tri-assiale per diversi livelli di confinamento.Purtuttavia è possibile ottenere una stima di questi tre valori anchenumericamente. Il primo dei tre, a 0 , rappresenta, infatti, il puntod’intersezione della superficie di rottura massima con l’asse delleordinate, Δσ(p=0) = a 0 [13].Il secondo parametro, a 1 , si definisce come l’inverso del minimo dellafunzione Δσ:⎡⎢⎣ddpΔσ⎤⎥⎦p = 0=1a1128

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOInfine, per grandi valori di tensione sferica p, il denominatore delsecondo termine dell’equazione che definisce Δσ m, è governato daltermine a 2 p, in quanto a 1 diventa insignificante:Δσ−a0→1a2quandop→ ∞Per definire la superficie di snervamento iniziale Δσ y , è invecenecessario determinare i valori dei parametri a 0y , a 1y e a 2y . Da datisperimentali è possibile affermare che tale superficie sia il luogo deipunti per Δσ = 0,45Δσ m , per un percorso di compressione di tipo triassiale.Ciò vuol affermare che preso un generico punto di coordinate (p,Δσ m ), appartenente alla superficie di rottura massima, il corrispondentepunto sulla superficie iniziale di snervamento (p ’ , Δσ y ) sarà definitocome:Δσy= 0,45ΔσDa cui p può essere espresso in funzione di p ’ , mentre nota l’espressionedi Δσ m , Δσ y sarà calcolato come [13]:mep'=p −0,553ΔσmΔσy=⎛0,45⎜ a⎝0+a1p+ a2p⎞⎟⎠Quindi, assumendo p ’ = 0, avremo che Δσ y = a 0y , per ricavare gli altridue parametri sarà sufficiente risolvere un sistema di due equazioni nelledue incognite a 1y e a 2y .Quando non si conoscono le superfici di rottura per un nuovocalcestruzzo da modellare, per il qual è nota la sola resistenza acompressione del cls non confinato f ’ c,new, i parametri a 0n , a 1n ed a 2n , che129

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOdefiniscono la nuova superficie di rottura Δσ n , possono essere calcolati apartire dai parametri noti di un altro calcestruzzo f ’ c,old. In questo casoviene suggerito di definire un fattore di scala r come il rapporto tra leresistenze a compressione del calcestruzzo non confinato, del nuovo edel vecchio calcestruzzo [13]:r =I nuovi parametri sono quindi calcolati come:ff'c,new'c,oldaaa0n1n2n= a= a=1a02r/ rAllo stesso modo si può pensare di calcolare i parametri che definisconol’andamento della Yeld Surface (a 0y , a 1y ed a 2y ), mentre i coefficienti chedeterminano la Failure Surface (a 1f ed a 2f ), si pongono uguali ad a 1n eda 2n [13].A tal fine si fa riferimento alle caratteristiche meccaniche delcalcestruzzo impiegato per lo svolgimento di una prova sperimentalecondotta presso un centro di ricerca Svedese, per la quale si prevedevaun blocco di calcestruzzo ad elevata resistenza, sottoposto ad un caricoda impatto [19]. Le prove condotte sono state in seguito modellate con ilcodice di calcolo LS-Dyna Version 960. Note le caratteristichemeccaniche del calcestruzzo modellato, e in particolar modo la suaresistenza a compressione f ’ c,old, ed altresì note i parametri assegnati nellaCard del Material Model Concrete Damage, alla luce di quanto detto inprecedenza si sono calcolati i parametri relativi al calcestruzzo damodellare f ’ c,new:130

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOOld MaterialCaratteristiche dei MaterialiNew MaterialE c [Gpa] 58 E c [Gpa] 17636643,45E c [Mpa] 58000 E c [Mpa] 17636,64f ' c,old[Mpa] 153 f ' c,new [Mpa] 13,79f ' c,old[Pa] 153000000 f ' c,new [Pa] 13786202,43Fattore di Scalar 0,090105898Parametri LS-Dyna Version 970a 0,old 5,06E+07 a 0,new 4,56E+06a 1,old 0,465 a 1,new = a 1f,new 0,465a 2,old 6,57E-10 a 2,new = a 2f,new 7,29E-09a 0y,old 2,28E+07 a 0y,new 2,05E+06a 1y,old 1,033 a 1y,new 1,033a 2y,old 1,46E-09 a 2y,new 1,62E-08Tabella 6. 2 – Parametri numerici che definiscono le superfici di rottura d’input perLS-Dyna.Durante la fase di carico, la superficie di rottura corrente Δσ, migra tra lasuperficie di rottura massima e una tra quella di snervamento iniziale e dirottura residua [13].Δσ=η( Δ σmax− Δ σmin) + Δ σminQuando λ ≤ λ m , allora Δσ min coincide con Δσ y , viceversa, quando λ > λ min tal caso Δσ min coincide con Δσ r . Allo stesso modo che per il ModelloOriginale Pseudo Tensor, anche in questo caso η si esprime come unafunzione di λ, che indica la deformazione plastica effettiva. L’unicadifferenza risiede nell’espressione di λ, che in questo caso varia aseconda che la parte sferica del tensore delle tensioni p, sia maggiore ominore di 0 [13].131

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZONell’originale Material Model (Mat_016), la misura della deformazioneplastica effettiva λ, è definita come segue [13]:λ=ε∫0p⎛⎜ 1⎝Dove l’incremento di deformazione plastica effettiva è dato da:+dεpfpt⎞⎟⎠b1dε = ( 2 / 3 ) εppijεpijNel Concrete Damage sono apportate due modifiche nel definire ilparametro λ. Innanzitutto, si introduce un fattore sperimentale r f , chetiene conto del miglioramento di velocità (rate enhancement), inoltre ilparametro b 1 è sostituito da b 2 per valori di pressione minori di 0 [13]:λ=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩εε∫0∫0pprrff⎛⎜⎝⎛⎜⎝11d+d+εεprprffppfftt⎞⎟⎠⎞⎟⎠b 1b 2pp≥

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOeffetti di questo cambiamento, l’incremento del danno è moltiplicato daun fattore f d , definito come segue [13]:=⎧⎪1−⎨⎪⎩ 03 J20 ,1/pse0≤3 Jse2/ p3 J2

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOPer determinare l’andamento della funzione di danno η = η(λ), checonsente di definire la superficie di rottura corrente Δσ, è quindinecessario calcolare i tre parametri b 1 , b 2 e b 3 [13].I parametri b 2 e b 3 governano l’andamento del ramo di softening dellacurva tensio-deformativa del materiale, per un calcestruzzo sottoposto aduna prova di trazione rispettivamente monoassiale e tri-assiale, quando latensione si muove dalla superficie di rottura massima a quella residua.L’apertura delle fessure sul modello, sono in ogni modo dipendenti dalledimensioni e dalle caratteristiche della Mesh. Un modo per eliminarequesta dipendenza è imporre che l’area sottesa alla curva σ−ε sia ugualea G f /h. Dove G f è l’energia di frattura, ed h la dimensione del singoloelemento che costituisce la Mesh. Quando la localizzazione della fessuracapita in un elemento, allora h coincide con w c , dove w c è l’ampiezzadella fessura, ed è tipicamente contenuta tra 1 e 6 volte la dimensionemassima degli inerti del calcestruzzo[13]. Invece, in accordo con i codiciEuropei (CEB, FIP) l’energia di frattura varia tra 40 e 175 N/m [22].Questo modello assicura un’indipendenza dalle dimensioni della Mesh,che consente di apprezzare anche l’apertura delle fessure sul modello.Ciononostante, la mappa topologica della Mesh potrebbe incideresull’orientamento delle fessure, sia in condizioni statiche sia dinamiche.Il parametro b 2 è definito facendo variare l’andamento della curva σ−ε,definita per una prova di trazione monoassiale, fino a che l’area sottesadalla curva non coincide con G f /h. Lo stesso procedimento iterativo èeseguito anche nella determinazione di b 3 , con l’unica differenza che inquesto caso si fa affidamento ai dati sperimentali provenienti da unaprova di trazione tri-assiale idrostatica e non monoassiale. Questi due134

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOparametri sono di fondamentale importanza, quando l’elementoanalizzato è a debole armatura.Il parametro b 1 è determinato allo stesso modo che per i precedenti, inquesto caso il coefficiente numerico è tarato su dati sperimentaliprovenienti da test a compressione monoassiale al variare del livello diconfinamento. Alla luce di quanto detto, la superficie di rottura correnteΔσ dipende indirettamente dai tre parametri b 1 , b 2 e b 3 [13].È possibile, infatti, schematizzare le seguenti dipendenze:Δσ = f(η) → η = η(λ) → λ = f(b 1 o b 2 ), mentre l’incremento delparametro di danno Δλ = f(b 3 ).A loro volta b 1 , b 2 e b 3 si esprimono come una funzione di G f e h.Queste dipendenze sono implementate dallo stesso codice di calcolo LS-Dyna Version 970, al quale è necessario assegnare tra gli input chedefiniscono le caratteristiche del materiale, oltre ai parametri b 1 , b 2 e b 3 ,anche in maniera tabulata la curva di danno η = η(λ).Non avendo la possibilità di eseguire prove sperimentali finalizzate allacaratterizzazione dei materiali, si è costretti ad assumere per questi treparametri b 1 , b 2 e b 3 , tipici valori definiti per un calcestruzzo di scarsaqualità, al quale compete un basso valore d’Energia di Frattura G f , cosìcome per il calcestruzzo impiegato nello svolgimento delle provesperimentali modellate. A detti valori sarà associata la corrispondentefunzione di danno, definita così come descritto in precedenza:135

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOFunzione di Danno η = η(λ)1,210,80,60,40,200 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05Grafico 6. 1 – Funzione di Danno, calcolata per b 1 = b 2 = b 3 = 0,1.Tra i due Material Model in precedenza descritti, Pseudo Tensor e ilConcrete Damage, per la modellazione del calcestruzzo si è deciso diimpiegare questo ultimo. Essendo, infatti, il Concrete Damage unevoluzione dello Pseudo Tensor.Di seguito per semplicità d’esposizione si riporta la Card del MaterialModel così come è stata definita per la modellazione della piastra:*MAT_CONCRETE_DAMAGE_TITLEC.A.$# mid ro pr1 2500.0000 0.200000$# sigf a0 a1 a21.3790E+6 4.68E+06 0.465 7.11E-09$# a0y a1y a2y a1f a2f b1 b2 b32.11E+06 1.033 1.58E-08 0.465 7.29E-09 0.100000 0.100000 0.100000$# per er prr sigy etan lcp lcr0.00528 1.999E+11 0.300000 3.8820E+8 38 39$#lambda-1 lambda-2 lambda-3 lambda-4 lambda-5 lambda-6 lambda-7 lambda-80.000 0.02E-3 2.80E-03 41.0E-03$#lambda-9 lambda-10 lambda-11 lambda-12 lambda-130.000 0.000 0.000 0.000 0.000$# nu-1 nu-2 nu-3 nu-4 nu-5 nu-6 nu-7 nu-80.000 1.000000 0.150000 0.000Tabella 6. 3 – Input per LS-Dyna del material Concrete Damage, definiti per lamodellazione della piastra.136

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZODove, oltre ai parametri in precedenza descritti e calcolati, a o , a 1 , a 2 , a oy ,a 1y , a 2y , a 1f , a 2f , b 1 , b 2 e b 3 , sono presenti altri parametri che definiscono lecaratteristiche del calcestruzzo:• mid è il numero identificativo del Material Model;• ro è il peso specifico del calcestruzzo;• pr è il Rapporto di Poisson;• sigf è la tensione di rottura a trazione del calcestruzzo, calcolatacome un decimo di quella a compressione f ’ c.Le caratteristiche dell’armatura meccanica sono invece:• per indica la percentuale di armatura nella sezione;• er è il Modulo di Elasticità longitudinale di Young;• prr è il Rapporto di Poisson;• sigy è la tensione di snervamento dell’acciaio in condizione dicarico quasi statiche.Con lcp (load curve principal) e lcr (load curve rinforcement), sirichiamano rispettivamente le curve di Strain-Rate relative al materialeprincipale, il calcestruzzo, e al materiale di rinforzo, l’acciaio.Queste curve sono definite così come di seguito descritto [12].6.4 – Dynamic Increase Factor (DIF)Il Dynamic Increase Factor (DIF), è un coefficiente numericoadimensionale, che moltiplicato per la resistenza meccanica delcalcestruzzo, calcolata in condizioni di carico quasi statico, fornisce una137

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOmisura delle caratteristiche dinamiche, al variare della velocità dideformazione ε (Strain Rate). La velocità di deformazione non è altroche la variazione della deformazione al variare del tempo [18].Per la simulazione numerica, è di fondamentale importanza definirel’andamento del DIF in funzione della velocità di deformazione.Trattandosi di un elemento strutturale in cemento armato, sottopostoall’azione dinamica prodotta da un’esplosione, si avrà una velocità dideformazione molto elevate, comprese tra 10 sec -1 e 1000 sec -1 [17]. Pervalori così elevati di Strain-Rate, le evidenze sperimentali hannomostrato un incremento di resistenza del calcestruzzo sia a compressionema soprattutto a trazione. Il DIF a compressione in alcuni casi èmaggiore di 2, mentre per la resistenza a trazione può raggiungere valorimaggiori di 6 [17].Per l’armatura metallica di rinforzo, si può arrivare ad un incremento diresistenza maggiore del 50% [17].Questo incremento di resistenza determina quindi un miglioramento delcomportamento meccanico d’entrambi i materiali. Inoltre, essendo larisposta dell’elemento strutturale in c.a. molto dipendente dalcomportamento a trazione del calcestruzzo, l’aumento di resistenza atrazione, enfatizza l’importanza che assume la descrizione delcomportamento dinamico del materiale.Volendo quindi considerare il cosiddetto effetto di Strain-Rate, nelcomportamento a compressione e a trazione del calcestruzzo, sottopostoad un carico dinamico impulsivo, si è scelto di simulare numericamentela prova sperimentale impiegando il software LS-Dyna [11]. Infatti, tra idiversi legami costitutivi che si possono implementare con questo codicedi calcolo strutturale, alcuni di questi forniscono la possibilità di138

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOdescrivere il comportamento costitutivo di un materiale in funzione dellavelocità di deformazione.Al variare del Material Model, scelto per la modellazione del materiale,il programma fornisce tre diverse opzioni nell’assegnare l’effetto diStrain-Rate [12]:• Cowper and Symonds.Questa prima scelta si fonda sulla teoria di Cowper and Symonds. Inquesto caso si assegnano nella Card che definisce le caratteristichedel materiale, due costanti C e p. In funzione delle quali il programmacalcola un fattore amplificativo (DIF) del tipo:1+⎛⎜⎜⎝•εCAl variare della velocità di deformazione ε , il fattore amplificativoche ne consegue, è moltiplicato per la resistenza meccanica delmateriale, migliorandone il comportamento sotto l’azione di carichidinamici.⎞⎟⎟⎠1p• Legame Tensione-Deformazione Parametrico.In questo caso, durante la fase d’input, s’inseriscono i tratti plasticidel legame costitutivo del materiale, ricavati per diversi valori di ε ,formando così una famiglia di legami costitutivi. In questo modo, alvariare della velocità di deformazione, il programma attinge dalegami costitutivi diversi, il valore della corrispondente tensione.139

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO• Curva di Strain-Rate.Il modo più semplice per assegnare l’effetto di Strain-Rate, consistenel definire una curva che lega alla velocità di deformazione ilcorrispondente DIF. Definita e in seguito assegnata la Curva diStrain-Rate alla Card del Material Model, al variare della velocità dideformazione, il programma estrapola da questa curva ilcorrispondente valore del DIF. Questo ultimo moltiplica la tensionedi rottura a trazione σ f , calcolata in condizioni di carico Quasi-Statico, ed assegnata nella Card che definisce le caratteristichemeccaniche del materiale. Così facendo al variare della velocità dideformazione, e quindi del corrispondente DIF, si avranno valorivariabili di resistenza a trazione.Sia lo Pseudo-Tensor sia il Concrete-Damage, che si è scelto diimpiegare nella modellazione del calcestruzzo, utilizzano quest’ultimapossibilità nell’assegnare l’effetto di Strain-Rate. Inoltre, mediantel’assegnazione di due curve ε –DIF, definite rispettivamente per ilcalcestruzzo e per l’acciaio, si avrà la possibilità di considerare ilfenomeno in maniera disaccoppiata per i due materiali, tra i quali siconsidera il calcestruzzo principale e l’armatura di rinforzo secondaria.Ovviamente, ciò presuppone la conoscenza delle curve di Strain-Rateper entrambi i materiali.6.4.1 – Definizione della Curva di Strain-RateNel definire l’andamento del DIF in funzione della velocità dideformazione, si è scelto di utilizzare il modello analitico proposto dalCEB-FIP Model Code 1990 [20]. Questo modello consente di calcolare,140

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOin funzione della velocità di deformazione, il valore numerico del DIFper il calcestruzzo, sia a trazione sia a compressione.6.4.2 – Origini della formulazione CEB-FIPLa formulazione proposta per il calcolo del DIF in funzione dellavelocità di deformazione, nasce ovviamente da osservazioni sperimentalie modelli numerici. Queste prove, condotte per caratterizzare ilcomportamento a compressione e a trazione del calcestruzzo, sottol’azione di carichi dinamici, hanno evidenziato come l’effetto di Strain-Rate sul calcestruzzo, sia a trazione sia a compressione, si possaesprimere attraverso un fattore adimensionale (DIF), inteso come ilrapporto tra lo sforzo dinamico e quello statico. Le prove sono statecondotte sottoponendo un provino di calcestruzzo cilindrico, di cui sononote a priori le caratteristiche meccaniche, per una velocità dideformazione Quasi-Statica, ad un carico dinamico-impulsivo. A diversiintervalli di velocità di deformazione si misurano valori differenti disforzi di trazione o compressione dinamici. Il DIF è semplicementecalcolato come rapporto tra le due caratteristiche meccaniche, quelladinamica e quella statica. Operando un confronto tra i dati sperimentalidisponibili, e i risultati conseguiti nel definire la curva di Strain-Rate conil modello teorico raccomandato dal CEB-FIP, si è giunti allacalibrazione del Model Code 1990, secondo il quale il DIF per sforzi dicompressione per il calcestruzzo sarà dato da [20].ffffccsccs⎛ ε ⎞=⎜ε⎟⎝ s⎠1.026α⎛ ε ⎞= γ⎜⎟s⎝ εs ⎠13perε ≤ 30 s -1per ε > 30 s -1141

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZODove:• f cè lo sforzo di compressione dinamico alla velocità di• f csfc•fcs• εdeformazione ε ;è lo sforzo di compressione statico alla velocità dideformazione εs ;300 sec -1 ;è il Dynamic Increase Factor (DIF);è la velocità di deformazione compresa tra 30 x 10 -6 sec -1 e• εs = 30 x 10 -6 sec -1 , è la velocità di deformazione quasi statica acompressione;• log γ s= 6.156 α − 2 ⇒6 .156 α − 0 .492γ s= 10;1• α =; f co = 10 Mpa⎛ f ⎞⎜ +cs5 9⎟⎝ fco ⎠Questa formulazione analitica, valida per il solo calcestruzzo incompressione, è stata ricavata su basi sperimentali.Invece, il DIF per gli sforzi di trazione è dato da [20]:ffffttstts⎛ ε ⎞=⎜ε⎟⎝ s⎠1.016δ⎛ ε ⎞= β⎜⎟⎝ εs ⎠13perε ≤ 30 s -1per ε > 30 s -1142

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZODove:• f tè lo sforzo di trazione dinamico alla velocità di• f tsdeformazione ε ;εs ;ft•fts• ε300 sec -1 ;è lo sforzo di trazione statico alla velocità di deformazioneè il Dynamic Increase Factor (DIF);è la velocità di deformazione compresa tra 3 x 10 -6 sec -1 e• εs = 3 x 10 -6 sec -1 , è la velocità di deformazione quasi statica atrazione;• log β = 7.11δ− 2. 33⇒7 . 11 δ − 2 . 33β = 10;1• δ =; f co = 10 Mpa⎛ fts⎞⎜10+ 6⎟⎝ fco ⎠Da queste espressioni si evince che, la relazione che sussiste tra il DIF ela velocità di deformazioneε , riportate in un grafico e in scalalogaritmica, è di tipo bilineare, con un cambio d’inclinazione che si haper ε = 30 sec -1 . Inoltre, più scadente è la qualità del calcestruzzoadottato, e maggiore sarà il valore del DIF, essendo sempre più piccolo ilvalore dello sforzo di trazione o di compressione, misurato per unacondizione di carico Quasi-Statica [20].143

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOQuesto modello è stato impiegato per la simulazione numerica, nellepagine a seguire si riportano in maniera schematica i risultati cosìottenuti:Compres. ε s ' [sec -1 ] 30x10 -6Trazione ε s ' [sec -1 ] 3x10 -6Tabella 6. 4 – Velocità di deformazione quasi statica.f cs [Mpa] 13,79f cs [Mpa] 1,38f co [Mpa] 10,00α 0,057γ 0,023δ 0,092β 0,021Tabella 6. 5 – Caratteristiche statiche del calcestruzzo e parametri numerici utilizzatiper il calcolo delle curve di Strain-Rate.Si riportano di seguito le Curve di Strain-Rate impiegate nellamodellazione:ε' [sec -1 ]DIF CalcestruzzoDIFcompressioneDIF trazione0,000003 ------ 1,0003,00E-05 1,000 1,2413,00E-04 1,145 1,5413,00E-03 1,312 1,9123,00E-02 1,503 2,3730,3 1,721 2,9463 1,971 3,6566 2,053 3,9029 2,103 4,05312 2,139 4,16415 2,167 4,25218 2,191 4,32621 2,211 4,38924 2,228 4,44427 2,244 4,49330 2,258 4,53832 2,307 4,670144

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO34 2,354 4,76636 2,399 4,85738 2,443 4,94640 2,485 5,03142 2,526 5,11444 2,565 5,19346 2,603 5,27148 2,640 5,34650 2,677 5,42052 2,712 5,49154 2,746 5,56056 2,780 5,62858 2,812 5,69460 2,844 5,75962 2,876 5,82264 2,906 5,88466 2,936 5,94568 2,966 6,00570 2,994 6,06372 3,023 6,12074 3,050 6,17676 3,078 6,23178 3,104 6,28580 3,131 6,33982 3,156 6,39184 3,182 6,44386 3,207 6,49388 3,232 6,54390 3,256 6,59392 3,280 6,64194 3,304 6,68996 3,327 6,73698 3,350 6,782100 3,372 6,828Tabella 6. 6 – Curve di Strain-Rate per il calcestruzzo a Trazione e Compressioneadottate nella modellazione.145

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZODIF (Calcestruzzo)10,0DIFCompressioneTrazione1,01E-05 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000ε 'Grafico 6. 2 – Funzione Bilineare in scala logaritmica del DIF per il calcestruzzo.Dal grafico precedente si può facilmente osservare come l’aumento diresistenza a trazione sia più del doppio di quello a compressione, edinoltre sì evidenzia l’andamento della curva bilineare, con il cambiod’inclinazione intorno al valore di ε = 30 sec -1 .Per convenzione il codice di calcolo LS-DYNA considera positive ledeformazioni di trazione e negative quelle di compressione [11], e cosìanche le rispettive velocità di deformazione. In conclusione, si è definitaun'unica curva di Strain-Rate, assegnando per valori negativi di velocitàdi deformazione l’andamento del DIF a compressione, e per valoripositivi l’andamento del DIF a trazione:146

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOGrafico 6. 3 – Input in LS-Dyna della Curva di Strain-Rate a Compressione eTrazione per il calcestruzzo.Avendo già premesso che il Material Model scelto per la simulazionenumerica permette di considerare in maniera disaccoppiata gli effettibenefici di Strain-Rate per l’acciaio e per il calcestruzzo, si dovràdefinire la curva ε -DIF anche per l’acciaio. Per gli acciai da armaturalenta, il bollettino n° 187 del CEB-FIP suggerisce una formulazioneanalitica per il calcolo del DIF, basato sul modello di Johnson and Cook.Questo ultimo, infatti, è tra tutti i modelli teorici, quello che più siavvicina ai risultati dei test sperimentali condotti su questo tipo dimateriale.Si ottengono così, per un tipico acciaio da carpenteria laminato a caldo laseguente formulazione, valida per la sola tensione di snervamento:ffydys⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜6.0 ⎟ε= 1+ln⎜⎟⎝ f ⎠ ⎝ ysε0⎠147

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZODove: f yd è la tensione di snervamento dinamica;f ysεε0è la tensione di snervamento statica;è la velocità di deformazione;è la velocità di deformazione Quasi-Statica, e siassume pari a 5·10 -10 s -1 ;Il DIF adoperato per l’acciaio sarà quindi dato da:DIF (Acciaio)f ys [Mpa] 388,17ε 0 ' [sec -1 ] 5E-10ε' [sec -1 ] Ln(ε/ε 0 )0,0000000005 0,000 1,0003,00E-05 11,002 1,1703,00E-04 13,305 1,2063,00E-03 15,607 1,2413,00E-02 17,910 1,2770,3 20,212 1,3122 22,110 1,3426 23,208 1,35910 23,719 1,36714 24,055 1,37218 24,307 1,37622 24,507 1,37926 24,675 1,38130 24,818 1,38435 24,972 1,38640 25,105 1,38845 25,223 1,39050 25,328 1,39255 25,424 1,39360 25,511 1,39465 25,591 1,39670 25,665 1,39775 25,734 1,39880 25,798 1,39985 25,859 1,40090 25,916 1,40195 25,970 1,401100 26,022 1,402104 26,061 1,403148

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO108 26,099 1,403112 26,135 1,404116 26,170 1,405120 26,204 1,405124 26,237 1,406128 26,268 1,406132 26,299 1,407136 26,329 1,407140 26,358 1,407144 26,386 1,408148 26,414 1,408152 26,440 1,409156 26,466 1,409160 26,492 1,409164 26,516 1,410168 26,540 1,410172 26,564 1,411174 26,575 1,411Tabella 6. 7 – DIF a trazione adoperato per L’acciaio.DIF (Acciaio)DIF1,61,51,41,31,21,11,00 20 40 60 80 100 120 140 160ε 'TrazioneGrafico 6. 4 – Curva di Strain-Rate a trazione adoperato per l’acciaio.6.3 – Equation of State Form 8 (Tabulated Compaction)Nel momento in cui si sceglie di adottare i Material Model PseudoTensor o Concrete Damage per la modellazione del calcestruzzo, inentrambi i casi sarà necessario per la definizione del modello, associare aquesti materiali un equazione di stato [11].149

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZONella trattazione teorica dei due Material Model, si fa espressa richiestadell’impiego dell’Equazione di Stato Tabulated Compaction. Questaequazione esprime la Pressione Media p in funzione della DeformazioneVolumetrica ε v [11].p = C( ε ) + γ T ( ε ) E ( 6 .1)vvLa pressione così calcolata sarà impiegata dal software per la definizionedelle varie superfici di rottura, in precedenza introdotte nella descrizionedei Legami costitutivi del calcestruzzo.Quella che indicata con p non è altro che la parte sferica del tensore delletensioni, o tensione sferica, definita come il valore medio delle tensioninormali principali σ 1 , σ 2 e σ 3 .Compito dell’utente è quello di assegnare in maniera tabulata i parametriC, γ, T ed E, da cui dipende la pressione.Dove:• C: Pressione espressa in Pa;• γ: Coefficiente numerico adimensionale;• T: temperatura espressa in gradi Kelvin;• E: è l’energia interna.Invece, la deformazione volumetrica ε v è definita come il logaritmonaturale del volume relativo V (LnV = ε v ).La deformazione volumetrica ε v di un elemento solido, quale ad esempioun semplice prisma di dimensioni iniziali x 0 , y 0 e z 0 , definite in unsistema di riferimento (x, y, z), si può calcolare come:ΔVV−0εv= = = ε1+ ε2+V0V0Vε3150

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZODove:• V 0 è il volume iniziale, V 0 = (x 0 y 0 z 0 );• ΔV è la variazione di volume, ΔV = Δx Δy ΔzΔx = ε x x o ; Δy = ε y y o ; Δz = ε z z o ;• V è il volume finale o relativo, V = V 0 + ΔV;Pertanto, il volume relativo V, da cui dipende la deformazionevolumetrica ε v , si esprime come:V = (x 0 y 0 z 0 ) + [(ε x x o )(ε y y o )(ε z z o )]Attraverso semplici passaggi matematici, e semplificando i terminid’ordine superiore, si giunge alla seguente conclusione:V = V 0 [1 + ε x + ε y + ε z ] ⇒ V = V 0 [1 + ε v ]Sapendo che la deformazione volumetrica si esprime come somma delletre deformazioni normali.In condizioni di simmetria assiale le due deformazioni radiali ε x e ε ysono tra loro uguali, quindi:ε v = ε z + 2 ε xsapendo che il coefficiente di Poisson ν, esprime il rapporto che sussistetra deformazione assiale e quella radiale, quest’ultima si esprime infunzione di quell’assiale come:ε x = −ν ε z ⇒ ε v = ε z (1- 2ν)151

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOavendo assunto per convenzioni, positive le deformazioni assiali se dicontrazione, e negative le rispettive deformazioni radiali di dilatazione.In definitiva il volume relativo V si esprime come:V = V 0 [1 + ε z (1- 2ν)]Per semplicità si assumerà un volume iniziale unitario (V 0 = 1).Nella Card dell’EOS8 si possono tabulare fino ad un massimo di 10valori di LnV. Ciononostante, anche soli due valori sono sufficienti perottenere un’estrapolazione della pressione [11].L’andamento della pressione in funzione della deformazionevolumetrica, è illustrato nel successivo grafico [11]:Grafico 6. 5 – Legame costitutivo Pressione-Deformazione Volumetrica.Durante la fase di carico, la pressione segue l’andamento dettatodall’equazione 6.1, quando il materiale è invece scaricato, la pressionesegue un percorso deformativo, la cui inclinazione è data dal Bulk152

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOModulus di Unloading, che è a sua volta funzione della deformazionevolumetrica.Il Bulk Modulus è una costante di elasticità del materiale, definita infunzione del Modulo di Young e del Rapporto di Poisson:K=E3 −( 1 2υ )Il Bulk Modulus viene calcolato in funzione del Modulo di Youngdinamico E d , allo Strain-Rate di 400 sec -1 , essendo questo il massimovalore di velocità di deformazione che si consegue nella modellazionenumerica, secondo CEB-FIP Model Code 1990 [20].ν 0,2ε' [sec -1 ] 400,00Es [Mpa] 17636,64Ed [Mpa] 27018,69Ku [Pa]1,501E+10Tabella 6. 8 – Bulk Modulus.Ad ogni valore di ε v in maniera tabulata è associato nella Carddell’Equazione di Stato il valore costante di K, così come sopra definito.Scaricando il materiale la pressione si riduce fino ad annullarsi, e siosserva un valore residuo di deformazione volumetrica. Durante la fasedi ricarico, la pressione aumenta seguendo lo stesso percorsodeformativo, fino a ricongiungersi con la curva descritta dall’equazione6.1, nello stesso punto in cui inizia la fase di scarico, per poi continuaread aumentare.153

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOAssumendo γ = 0, l’Equazione di Stato si riduce in una forma piùsemplice:p = C( ε )vIn questo modo per definire l’Equazione di Stato sarà sufficienteassegnare, in maniera tabulata, ad ogni valore di ε v il corrispondentevalore di pressione p.Non avendo a disposizione dati provenienti da prove sperimentali,finalizzate alla caratterizzazione dei materiali impiegati per losvolgimento della prova, si è costretti a ricavare numericamente questolegame costitutivo del calcestruzzo (ε v – p).A tal fine si è utilizzato il modello numerico Microplane Model forBrittle-Plastic Material, proposto da Bažant Z P, Professore presso ilDipartimento d’Ingegneria Civile, della Northwestern University,Evanston [21].Il modello formulato da Bažant e Prat nell’1988, è stato calibrato everificato su base sperimentale, comparando i risultati numerici con irisultati di diverse prove di compressione tri-assiali.Le superfici di rottura sono definite dalle stesse funzioni utilizzate nelMicroplane Model di Bažant and Prat 1988, per la relazione tensiodeformativavolumetrica e deviatorica. A noi interessa definire larelazione di tipo volumetrica, che sussiste tra la tensione e ladeformazione (σ v , ε v ).Nella teoria classica della plasticità, una volta definita la superficie disnervamento (Yeld Surface), la deformazione plastica inizia a crescerenel momento in cui la tensione raggiunge detta superficie. Invece, nelmodello proposto le regioni elastiche e plastiche non sono separate, si154

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOassume quindi che la transizione continua della superficie di rottura(Failure Surface) tra le due regioni, avvenga mediante una deformazioneplastica equivalente [21].La relazione tra tensione e deformazione volumetrica si può definiremediante la seguente relazione:σfv'c=1Ec− 2υ⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1+εapl⎞⎟⎠− s+⎛ ε⎜⎝ bpl⎞⎟⎠t⎤⎥ ε⎥⎦plDove:• σ v è la tensione volumetrica, che in condizione di caricoidrostatiche sarà equivalente alla sola σ 3 . Essendo σ v = p = (σ 1 +σ 2 + σ 3 )/3, in condizioni idrostatiche le tre tensioni principali sonouguali tra loro, quindi p = σ v = σ 3 .• ε pl è la deformazione plastica. Sapendo che la deformazionevolumetrica è somma delle due aliquote, plastica ed elastica, saràε pl = ε v – ε el . La deformazione elastica ε el , viene calcolata comerapporto tra la pressione p, incognita del problema, e il BulkModulus, in precedenza calcolato.• f ’ c è la resistenza a compressione del calcestruzzo nonconfinato. Il vantaggio nell’utilizzare questo metodo risiedeproprio nella possibilità d’adimensionalizzare la tensione σ vrispetto alle caratteristiche meccaniche del calcestruzzo, espressemediante il parametro f ’ c.• a, b, s e t sono coefficienti numerici adimensionali, definitimediante prove sperimentali. Nel momento in cui si definisce lasuperficie di rottura relativa ad uno stato tensionale idrostatico, talicoefficienti sono determinati mediante i risultati di prove155

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOidrostatiche tri-assiali. Si è scelto di utilizzare i coefficienti definitida Green and Swanson:a 0,000025b 2,5s 0,8t 1,15Tabella 6. 9 – Coefficienti numerici di Green and Swanson.All’equazione così descritta compete la seguente curva tensiodeformativavolumetrica [21]:Figura 6. 5 – Legame costitutivo Tensione-Deformazione Volumetrica.Fissato un valore di deformazione volumetrica ε v , si calcola quellaplastica ε pl come:εpl= εv− εeldove εel=pKDato che la pressione p, relativa alla deformazione volumetrica fissata, èl’incognita, sarà necessario ipotizzare un valore iniziale di pressionediverso da zero. Il valore di pressione p, per il quale si annulla laseguente differenza, sarà la soluzione del problema:156

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO− stp E ⎡ ⎛ ε⎤pl ⎞ ⎛ εcpl ⎞− ⎢ ⎜ 1 + ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ε' 1 − 2 ⎢⎥= plfcυ⎣ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦0Alla deformazione volumetrica ε v corrisponde il valore di pressione p,per il quale la precedente differenza si annulla.Iterando questo procedimento per sette valori differenti di ε v , siottengono i seguenti risultati numerici:Legame p - ε vε vp [Mpa]0,000000 0,000E+000,007009 4,430E+010,028545 1,131E+020,049701 2,241E+020,060903 2,959E+020,070039 3,595E+020,134452 896,27Tabella 6. 10 – Risultati Numerici del legame costitutivo calcolato.157

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOLegame P - ε v1000,0900,0800,0700,0-P [Mpa600,0500,0400,0300,0200,0100,00,00,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160−εvGrafico 6. 6 – Legame Tensio-Deformativo Volumetrico.In funzione della deformazione volumetrica, si calcola il volume relativoV, cosi come descritto in precedenza, se ne calcola il logaritmo naturaleLnV, e si associa a lui il corrispondente valore di pressione p, espressa inPa, così come richiesto nella Card dell’Equation of State [11].V lnV P [Pa]1,0000000 0,000000 0,0000000000,9929907 -0,007034 44300397,980,9714553 -0,028960 113129376,660,9502986 -0,050979 224085069,190,9390965 -0,062837 295858999,460,9299607 -0,072613 359539685,410,8655484 -0,144392 896273020,00Tabella 6. 11 – Valori Tabulati dell’equazione di stato.158

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOEquazione di Stato 81,E+099,E+088,E+087,E+08P[Pa]6,E+085,E+084,E+083,E+082,E+081,E+080,E+00-0,200 -0,150 -0,100 -0,050 0,000lnVEOS8Grafico 6. 7 – Equazione di Stato assegnata come input in LS-Dyna, per lamodellazione della piastra in c.a.Per una Card dell’Equation of State che si va così a comporre:*EOS_TABULATED_COMPACTION$# eosid gama e0 vo1 0.000 0.000 1.000000$# ev1 ev2 ev3 ev4 ev50.000 -0.00703000 -0.02896000 -0.05098000 -0.06284000$# ev6 ev7 ev8 ev9 ev10-0.07261000 -0.14439000$# c1 c2 c3 c4 c50.000 4.4300396e+007 1.1312938e+008 2.2408507e+008 2.9585901e+008$# c6 c7 c8 c9 c103.5953968e+008 8.9627302e+008$# t1 t2 t3 t4 t50.000 0.000 0.000 0.000 0.000$# t6 t7 t8 t9 t100.000 0.000 0.000 0.000 0.000$# k1 k2 k3 k4 k51.5010385e+010 1.5010385e+010 1.5010385e+010 1.5010385e+010 1.5010385e+010$# k6 k7 k8 k9 k101.5010385e+010 1.5010385e+010Tabella 6. 12 – Input per LS-Dyna dell’equazione di stato Tabulated Compaction.159

CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZOLe Card così definite per il Concrete Damage, il DIF dei materialiimpiegati, e l’Equation of State, si ripeteranno identicamente nei diversimodelli realizzati, sia in FEM sia in SPH.160

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHECapitolo 7Risultati delle Simulazioni NumericheIn conclusione si è svolto uno studio parametrico tra i modelli realizzaticon i due metodi descritti, FEM e SPH. Tale studio è reso possibile dalleevidenze sperimentali a disposizione. Operando, infatti, un confronto trai risultati numerici forniti dalla modellazione, e quelli risultanti dalleprove sperimentali realmente condotte, sarà possibile valutare quale deidue metodi fornisce risultati numerici quanto più prossimi a quellisperimentali.Per ogni prova sperimentale si avranno due modelli, uno realizzato inFEM e l’altro in SPH, entrambi costruiti secondo le modalità descrittenel corso della tesi.Per ogni elemento in cui è stata suddivisa la piastra, che sia questo unElement Solid o un Element SPH, si potranno leggere una seried’informazioni al variare del tempo.Queste ad esempio possono essere le Tensioni, gli Spostamenti e leVelocità del singolo elemento, misurate lungo gli assi del sistema diriferimento cartesiano, o le rispettive risultanti di spostamento e velocità.Il codice di calcolo consente anche di osservare dei risultati inerenti alcomportamento complessivo dell’intero elemento strutturale. A riguardosi possono misurare l’Energia Cinetica, Interna e Totale, lo Spostamento,la Velocità e l’Accelerazione del corpo rigido, nelle direzioni del sistemadi riferimento cartesiano, e le rispettive risultanti.Per i singoli nodi si possono avere delle misure riguardanti leCoordinate, gli Spostamenti, le Velocità, le Accelerazioni, e gliSpostamenti Relativi.161

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE7.1 – Prova Sperimentale I e IIPer queste prime due condizioni di carico, le prove sperimentali nonhanno mostrato risultati apprezzabili o quantificabili numericamente.In questi due casi sarà quindi sufficiente, per verificare la veridicità dellamodellazione, osservare che non si verifichino spostamenti,deformazioni o fessure di ampiezze apprezzabili sui modelli realizzati.In entrambi i casi si è stabilito un tempo di analisi di 0,1 sec, suddiviso inun numero complessivo di 52 Step. Ciò significa che il softwarerestituirà un output del calcolo effettuato ogni 0,002 sec.Per i modelli realizzati in SPH, tenendo presente che questo metodoimpiega un tempo maggiore per convergere numericamente, addifferenza del FEM, in questo caso si sceglierà un tempo di analisi di 0,2sec, per un totale 102 Step, uno ogni 0,002 sec.Ai fini della modellazione, e alla luce delle evidenze mostrate dalleprove sperimentali, si è scelto di evidenziare la Deformazione PlasticaEffettiva (Effective Plastic Strain), come risultato conseguito dallamodellazione delle prime due condizioni di carico. Non avendo lapossibilità di effettuare nessun confronto numerico con i risultati dellaprova realizzata in laboratorio, in questo caso si preferisce mettere inevidenza le differenze che sussistono tra gli stessi modelli realizzati inFEM e in SPH. Abbiamo quindi confrontato allo stesso istante di tempot = 0,1 sec, l’andamento della deformazione plastica effettiva,all’intradosso e all’estradosso della piastra.In maniera sintetica si riportano di seguito i risultati conseguiti per i duemodelli:162

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE• Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid,Prova 1:Figura 7. 1 – Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 1.Figura 7. 2 – Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 1.163

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEGrafico 7. 1 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’estradosso.• Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid,Prova 2:Figura 7. 3 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 2.164

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEFigura 7. 4 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 2.Grafico 7. 2 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’estradosso.165

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE• Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH,Prova 1:Figura 7. 5 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 1.166

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEFigura 7. 6 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 1.Grafico 7. 3 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’intradosso.167

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE• Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH,Prova 2:Figura 7. 7 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 2.Figura 7. 8 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 2.168

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEGrafico 7. 4 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’intradosso.7.2 – Prova Sperimentale IIILa terza condizione di carico, è quella che consente di osservaresperimentalmente i risultati più interessanti. Infatti, in questo caso sihanno misure effettuate al termine della prova, relative allo spostamentoresiduo valutato nel centro della piastra, e sulla mezzeria del bordoesterno non vincolato. Inoltre, si ha anche la misura della massimaampiezza della fessura, che si manifesta all’intradosso della piastra, pereffetto dei carichi dinamici a cui è stata sottoposta.Si ha quindi la possibilità di operare un confronto tra i risultati conseguitinumericamente, mediante la modellazione, e quelli derivanti dalla provasperimentale, eseguita in laboratorio.169

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEIn questo modo si può verificare quale tra i due modelli, realizzati con imetodi FEM e SPH, meglio approssima i dati sperimentali adisposizione.A tal fine, si misurerà lungo l’asse Z lo spostamento che la piastrasubisce nel centro e sul bordo, ed infine l’ampiezza della fessura che sipresenta centralmente all’intradosso dell’elemento strutturale.La prova sperimentale ha evidenziato i seguenti risultati:Figura 7. 9 – Immagine della piastra in seguito alla terza prova.W c [mm] Z r,c [cm] Z r,b [cm]3 2,1 1,1Tabella 7. 1 - Risultati numerici della terza Prova Sperimentale realizzata.Dove con W c s’indica l’ampiezza della fessura misurata, con Z r,c , Z r,b , siindicano rispettivamente gli spostamenti misurati lungo l’asse Z inprossimità del centro e della mezzeria del bordo esterno non vincolatodella piastra.170

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE• Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid,Prova 3:Così come per le prime due prove, anche in questo caso si è scelto untempo d’analisi di appena 0,1 sec. Si può, infatti, osservare che il metodonumerico utilizzato, converge asintoticamente ad un valore finito dellospostamento in tempi brevissimi. Si riporta di seguito il risultatoconseguito mediante la modellazione all’istante di tempo t = 0,1 sec.I nodi rispetto ai quali si sono misurati lo spostamento lungo l’asse Z,sono rappresentati nelle seguenti immagini, nelle quali è possibileosservare anche la deformazione che la piastra subisce, per effetto delcarico a cui è sottoposta all’istante di tempo t = 0,1 sec.Per apprezzare anche la riduzione di spessore della piastra, simisureranno gli spostamenti residui sia per elementi superiori siainferiori.Figura 7. 10 - Nodi centrali della Mesh.171

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEFigura 7. 11 - Nodi sul Bordo della Mesh.Si mostrano in seguito le deformazioni plastiche effettive all’estradosso eall’intradosso della piastra:172

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEFigura 7. 12 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 3.Figura 7. 13 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 3.173

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEGraficamente si rappresenta di seguito l’andamento degli spostamentinodali al variare del tempo e in precedenza individuati sulla piastra.Grafico 7. 5 – Spostamenti misurati nel centro della piastra all’intradosso eall’estradosso.Grafico 7. 6 – Spostamenti misurati sul bordo della piastra all’intradossoall’estradosso.174

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEGrafico 7. 7 – Ampiezza della fessura misurata all’intradosso della piastra inposizione centrale.Per misurare l’ampiezza della fessura, si calcola la distanza che sussistetra gli spostamenti di due elementi all’intradosso della piastra, adiacentitra loro. Tale differenza si misura lungo l’asse X, essendo questa ladirezione lungo la quale si ha l’apertura della lesione.A tale scopo sono stati individuati gli elementi 1176 e 1177all’intradosso della piastra e in posizione centrale.In maniera sintetica si riportano di seguito i risultati numerici conseguiti:Cond. Vincolo b 1 b 2 b 3 Damping t [sec]Incastrata 0.1 0.1 0.1 5% 0,1Tabella 7. 2 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970.W c [mm] 0,82Tabella 7. 3 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastraall'intradosso.175

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHENodicentraliZ r,c [cm]Estradosso 2,15Intradosso 1,52Nodi dibordoZ r,b [cm]Estradosso 0,86Intradosso 0,75Tabella 7. 4 - Spostamenti residui, centrali e di bordo, misurati all’estradosso eall’intradosso della piastra.Dove i nodi 13206 e 1201, sono quelli centrali, mentre i nodi 12030 e2377, sono quelli di bordo, rispettivamente superiori ed inferiori.Calcolando la differenza tra i due si può verificare di quanto la piastra siriduce di spessore.• Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH,Prova 3:Il metodo SPH, a differenza del FEM, presenta una maggiore instabilità.D’altra parte questo suo limite è già stato messo in evidenza nel Capitolo5. Ne consegue che il tempo necessario d’analisi affinché si possonoosservare dei risultati numerici asintotici ad un valore costante, deveessere maggiore di quello imposto nel caso precedente. A tal fine si èscelto di fare terminare l’analisi ad un istante di tempo t = 1,2 sec.Si riportano di seguito i risultati conseguiti mediante la modellazioneall’istante di tempo t = 1,2 sec.I nodi rispetto ai quali si è misurato lo spostamento lungo l’asse Z, sonorappresentati nelle seguenti immagini, nelle quali è possibile osservareanche la deformazione che la piastra subisce, per effetto del carico cui èsottoposta all’istante di tempo t = 1,2 sec.176

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEA differenza del modello realizzato in FEM, non si ha la possibilità diindividuare sia centralmente sia sul bordo un unico nodo, che sia questosull’estradosso o l’intradosso della piastra. In questo caso abbiamoquindi scelto come elementi nodali di riferimento, quelli riportati nellaseguente tabella:ParticelleCentrali Bordo10344 10345 9240 92415736 5737 4632 46331128 1129 24 2510392 103935784 57851176 1177Tabella 7. 5 - Elementi nodali centrali e di bordo sulla piastra discretizzata in SPH.Di seguito si riportano le immagini della piastra all’istante di tempot = 1,2 sec, sulla quale sono evidenziate alcune delle particelle di centroe di bordo, oltre alla deformazione della piastra stessa.Figura 7. 14 – Elementi Nodali Centrali e di Bordo.177

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEFigura 7. 15 – Elementi Nodali di Bordo.Si mostrano in seguito le deformazioni plastiche effettive all’estradosso eall’intradosso della piastra:Figura 7. 16 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 3.178

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEFigura 7. 17 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 3.Per quanto concerne gli spostamenti misurati al centro e sul bordo dellapiastra, e la conseguente misura dell’ampiezza massima della fessura, sirimanda ai successivi grafici:Grafico 7. 8 – Spostamenti misurati nel centro della piastra all’intradosso eall’estradosso.179

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEGrafico 7. 9 – Spostamenti misurati sul bordo non vincolato della piastra,all’intradosso e all’estradosso.Grafico 7. 10 – Ampiezza della fessura misurata nel centro della piastraall’intradosso.In maniera sintetica si riportano di seguito i risultati numerici conseguiti:Cond. Vincolo b 1 b 2 b 3 Damping t [sec]Incastrata 0,1 0,1 0,1 5% 1,2Tabella 7. 6 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970.180

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEW c [mm] 13Tabella 7. 7 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastra.ParticellecentraliZ r,c [cm]Estradosso 15,0Intradosso 11,8Nodi dibordoZ r,b [cm]Estradosso 10,61Intradosso 10,42Tabella 7. 8 - Spostamenti residui, centrali e di bordo, misurati all’estradosso eall’intradosso della piastra.Dove le particelle 10344 e 1128, sono quelle centrali, mentre 9240 e 24,sono quelli di bordo, rispettivamente superiori ed inferiori. Calcolando ladifferenza tra i due si può verificare la riduzione di spessore che lapiastra subisce per effetto dei carichi cui è sottoposta.7.3 – Prova Sperimentale IVPer la quarta prova sperimentale si sono realizzate delle condizioni dicarico tali da produrre la rottura dell’elemento strutturale. In questo casonon si hanno quindi termini di confronto, tra l’evidenza sperimentale e lamodellazione numerica, se non la rottura effettiva dell’elemento.Tuttavia, quest’ultima prova consente di apprezzare i vantagginell’utilizzare un metodo di discretizzazione particellare, quale l’SPHimpiegato nella modellazione, a fronte degli insuccessi mostrati dallamodellazione effettuata in FEM. In questo caso infatti, emerge uno deiprincipali limiti del Finite Element Method, dato che le condizioni dicarico sono tali da indurre una deformazione eccessiva della Mesh,realizzata per la discretizzazione dell’elemento continuo, che non181

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEconsente al metodo numerico di convergere. Per tale motivo non si ha lapossibilità di mostrare alcun risultato apprezzabile della modellazioneeffettuata, in quanto il codice di calcolo impiegato, data l’incapacità digestire una distorsione eccessiva della maglia, non fornisce nessunrisultato d’output del calcolo realizzato, in quanto la computazionenumerica termina all’istante.Lo Smoothed Particle Hydrodynamics, consente di superare questolimite, come già annunciato nel capitolo dedicato alla descrizione deidue metodi di discretizzazione. Uno dei principali vantaggi di talemetodo risiede proprio nella capacità di trattare facilmente grandideformazioni, essendo le connessioni tra i nodi generate come una partedella computazione stessa, che può subire variazioni nel tempo.Di conseguenza si riporteranno in questo caso i soli risultati relativi allamodellazione effettuata in SPH.Nelle immagini successive si evidenzia l’andamento della deformazioneplastica effettiva, per due diversi istanti di tempo, per la piastra vistadall’alto e lateralmente.L’istante di tempo a cui si riferiscono le immagini successive è t = 0,02sec. prima ancora che si consegua la condizione di rottura.182

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEFigura 7. 18 – Effective Plastic Strain all’estradosso, all’istante t=0,02 sec.Figura 7. 19 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,02 sec.Le immagini successive invece si riferiscono all’istante successivot = 0,04 sec. quando la piastra inizia a presentare segni di rottura.183

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEFigura 7. 20 – Effective Plastic Strain all’estradosso all’istante t = 0,04 sec.Figura 7. 21 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,04 sec.Si vuole mostrare in seguito, il risultato della modellazione che siconsegue all’istante di tempo t = 0,6 sec. in quest’immagine si possonoosservare le particelle che sono rimaste vincolate, e che quindi nonhanno subito spostamenti, e delle frange di calcestruzzo che restano aloro ancorate.184

CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHEFigura 7. 22 – Rottura della piastra all’istante t = 0,6 sec.185

CONCLUSIONICONCLUSIONIAlla luce dei risultati conseguiti mediante la modellazione numericadelle quattro prove sperimentali, si possono trarre le successiveconclusioni.Per quanto concerne lo studio parametrico condotto tra i due metodid’analisi adottati, FEM e SPH, per la modellazione d’elementi strutturalisottoposti a carichi da esplosione, si può affermare che fin quando lecondizioni di carico inducono velocità di deformazioni sufficientementebasse, in particolar modo inferiori a 300 sec -1 , a fronte di quelle che sipossono ottenere per carichi da esplosione, come si evince dai risultatinumerici in precedenza esposti, entrambi i metodi ben si prestano ai finidella modellazione. Tale dato emerge in particolar modo dai risultati chesi ottengono per la modellazione delle prime due prove sperimentali,nelle quali si possono osservare risultati simili tra i due metodi, nonessendoci, infatti, spostamenti apprezzabili della piastra in entrambi icasi.All’aumentare delle condizioni di carico, e facendo un esplicitoriferimento alla terza prova simulata numericamente, si può apprezzare ilvantaggio nell’utilizzare il Finite Element Method, piuttosto che il piùinnovativo Smoothed Particle Hydrodynamics. In virtù dei confrontioperati tra i risultati numerici e quelli messi in evidenza dalla provasperimentale, si osserva, infatti, che per la stessa condizione di carico, divincolo, a parità di Strain-Rate, di legami costitutivi, e facendo variare ilsolo metodo d’analisi, il FEM restituisce risultati numerici più prossimi aquelli sperimentali.186

CONCLUSIONIIn questo caso si osserva la variabilità di risultati che si possono ottenereal variare dell’infittimento della Mesh realizzata, e dei valori numericiassociati ai tre parametri b 1 , b 2 e b 3 , già descritti nel Capitolo 6.Per ognuno dei due metodi, FEM e SPH, fissata la dimensione dellaMesh realizzata, e facendo variare i soli valori numerici associati ai treparametri sopra indicati, si ottengono risultati in termini di spostamentiresidui differenti. Lo stesso risultato si può osservare mantenendoinalterati i valori numerici dei tre parametri sopra indicati, e facendovariare l’infittimento della Mesh in cui è stata suddivisa la piastra.Per i metodi FEM e SPH, dagli spostamenti residui misuratiall’intradosso della piastra, rispettivamente sui nodi centrali e di bordo1201 e 2377, e sulle particelle centrali e di bordo 1128 e 24, si riportano iseguenti risultati:F E MMesh b 1 b 2 b 3 t [sec] Z r,c [cm] Z r,b [cm] W c [mm]6912 Element Solid0,1 0,1 0,1 0,1 1,2 0,6 0,451 1 1 0,1 1,06 0,47 0,00411520 Element Solid0,1 0,1 0,1 0,1 1,47 0,74 0,821 1 1 0,1 0,99 0,45 0,36Tabella 8. 1 – Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensionidella Mesh e dei parametri b 1 , b 2 e b 3 .S P HMesh b 1 b 2 b 3 t [sec] Z r,c [cm] Z r,b [cm] W c [mm]6912 Element SPH0,1 0,1 0,1 1,81 5,8 2,8 1,161 1 1 2,7 10 4 4,211520 Element SPH0,1 0,1 0,1 1,2 11,8 10,42 131 1 1 1,94 9 3,4 9,9Tabella 8. 2 - Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensionidella Mesh e dei parametri b 1 , b 2 e b 3 .187

CONCLUSIONIPer il metodo SPH, data la sua maggiore instabilità numerica e lanecessità quindi di tempi d’analisi maggiore affinché si possanoosservare dei risultati finiti, avremo dei tempi d’analisi diversi rispetto aquelli adottati per il metodo FEM. Inoltre, nelle precedenti tabelle sievidenziano in grassetto i risultati ottenuti dalla modellazione.Da queste tabelle si evince che il metodo FEM rispetto all’SPH, è menosensibile alla variazione sia dell’infittimento della Mesh, sia al variaredei parametri numerici b 1 , b 2 e b 3 .Da quanto emerso si può quindi affermare che il metodo SPH, per questocaso specifico, necessità di una calibrazione su base sperimentale di taliparametri, i quali a loro volta come già evidenziato nel Capitolo 6,assumono valori diversi al variare della dimensione della stessa Mesh.Ai fini della modellazione, e per questo caso particolare, è quindipreferibile impiegare il metodo FEM, data la sua minor sensibilità neiconfronti di tali fenomeni.Dai risultati di questa stessa prova, si può altresì mettere in lucel’attinenza del legame costitutivo Concrete Damage, proposto daMalvar, ai fini della modellazione del calcestruzzo. Tenendo presenteche migliori risultati numerici si potrebbero conseguire, definendo iparametri richiesti dall’autore, attraverso lo svolgimento di provesperimentali preposte alla caratterizzazione del calcestruzzo, cosìcom’esposto nel Capitolo 6.Dai risultati della quarta prova modellata, emerge invece l’impossibilitàdi impiegare il metodo d’analisi FEM, data l’eccessiva deformazioneindotta nella Mesh realizzata, e le conseguenti incapacità numeriche delmetodo di gestire tale distorsione.In questo caso è quindi preferibile impiegare il metodo SPH, in quanto lesingole particelle non essendo legate tra loro da costrizioni di maglia,188

CONCLUSIONInon avranno problemi ad allontanarsi le une dalle altre simulando larottura dell’elemento, sotto l’azione dei carichi a cui sono sottoposte.Un successivo risultato che questa prova mostra, è l’incremento diresistenza del calcestruzzo per gli effetti di Strain-Rate. Si può, infatti,osservare come il valore di tensione di trazione alla quale si ha la rotturadell’elemento, sia maggiore di quell’assegnata in condizione di caricoquasi statica.Sulla base dei risultati conseguiti, e delle conclusioni che da loro sitraggono, si potrà in seguito indirizzare la ricerca sui seguenti aspetti:• Le stesse prove sperimentali andrebbero modellate utilizzandoaltri metodi d’analisi, quali ad esempio quelli Euleriani,l’Arbitrarian Lagrangian Eulerian (ALE), o altri metodi di tipoMeshfree.• Si potrebbero realizzare simulazioni numeriche di provesperimentali condotte su piastre interamente d’acciaio, o suelementi strutturali iperstatici, con il fine di valutare gli effetti diStrain-Rate, che potrebbero in questi casi essere più evidenti.• Altri studi potranno essere condotti sulla base dei risultatinumerici conseguiti dalla simulazione della quarta prova,provando a modellare in questo caso interventi di rinforzo conmateriali compostiti, messi tra loro a confronto, in modo tale daevitare che si possa conseguire la condizione di rotturadell’elemento, come già mostrato dalla modellazione edall’evidenza della prova sperimentale stessa.189

CONCLUSIONI• Si potranno calibrare mediante lo svolgimento di provesperimentali specifiche, i parameri numerici richiesti dal modelloConcrete Damage, per la caratterizzazione del calcestruzzo, adifferenza di quanto fatto nell’elaborato di tesi, in cui si èpervenuti numericamente alla definizione di tali parametri.190

INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLEIndice delle FigureFigura 1. 1 – Andamento qualitativo di una Curva di Pressione prodotta daun’esplosione. ............................................................................................................ 21Figura 2. 1 – Caratteristiche Geometriche della piastra, e dell’armatura metallica. 38Figura 2. 2 – Setup di Prova. .................................................................................... 38Figura 2. 3 – Immagine della piastra in seguito alla terza Prova.............................. 41Figura 2. 4 – Immagini della piastra in seguito alla quarta Prova. ........................... 42Figura 3. 1 – Curva di Pressione semplificata, usata dagli autori per la modellazionedella prova. 44Figura 3. 2 – Discretizzazione della superficie di carico.......................................... 46Figura 3. 3 – Distanza effettiva dell’i-esimo elemento dal centro d’esplosione. ..... 49Figura 4. 1 – Instabilità d trazione delle particelle. 92Figura 4. 2 - Stress Point Method in uno spazio bi-dimensionale............................ 94Figura 5. 1 - Modellazione di una Turbina con LS-Dyna. 98Figura 5. 2 - Sezione della Piastra sottoposta a Carico distribuito. ........................ 109Figura 6. 1 – Superficie di rottura massima e residua. 118Figura 6. 2 – Card Material Model_016. ................................................................ 120Figura 6. 3 – Andamento della superficie di rottura corrente Δσ, in funzione dellatensione sferica p. .................................................................................................... 121Figura 6. 4 – Superfici di Rottura. .......................................................................... 123Figura 6. 5 – Legame costitutivo Tensione-Deformazione Volumetrica. .............. 156Figura 7. 1 – Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 1.163Figura 7. 2 – Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 1.................................................................................................................................. 163Figura 7. 3 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 2.................................................................................................................................. 164Figura 7. 4 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 2.................................................................................................................................. 165Figura 7. 5 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 1.................................................................................................................................. 166Figura 7. 6 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 1.................................................................................................................................. 167Figura 7. 7 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 2.................................................................................................................................. 168Figura 7. 8 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 2.................................................................................................................................. 168Figura 7. 9 – Immagine della piastra in seguito alla terza prova............................ 170Figura 7. 10 - Nodi centrali della Mesh.................................................................. 171Figura 7. 11 - Nodi sul Bordo della Mesh. ............................................................. 172Figura 7. 12 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 3.................................................................................................................................. 173191

INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLEFigura 7. 13 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 3.................................................................................................................................. 173Figura 7. 14 – Elementi Nodali Centrali e di Bordo............................................... 177Figura 7. 15 – Elementi Nodali di Bordo. .............................................................. 178Figura 7. 16 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 3.................................................................................................................................. 178Figura 7. 17 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 3.................................................................................................................................. 179Figura 7. 18 – Effective Plastic Strain all’estradosso, all’istante t=0,02 sec.......... 183Figura 7. 19 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,02 sec...... 183Figura 7. 20 – Effective Plastic Strain all’estradosso all’istante t = 0,04 sec......... 184Figura 7. 21 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,04 sec...... 184Figura 7. 22 – Rottura della piastra all’istante t = 0,6 sec. ..................................... 185Indice dei GraficiGrafico 3. 1 - Estrapolazione numerica del coefficiente sperimentale α.................. 51Grafico 5. 1 – Andamento della Curva di Pressione, calcolata per l’area di caricoA-1 e relativa alla prima prova modellata. 107Grafico 6. 1 – Funzione di Danno, calcolata per b 1 = b 2 = b 3 = 0,1. 136Grafico 6. 2 – Funzione Bilineare in scala logaritmica del DIF per il calcestruzzo.................................................................................................................................. 146Grafico 6. 3 – Input in LS-Dyna della Curva di Strain-Rate a Compressione eTrazione per il calcestruzzo. .................................................................................... 147Grafico 6. 4 – Curva di Strain-Rate a trazione adoperato per l’acciaio.................. 149Grafico 6. 5 – Legame costitutivo Pressione-Deformazione Volumetrica. ............ 152Grafico 6. 6 – Legame Tensio-Deformativo Volumetrico...................................... 158Grafico 6. 7 – Equazione di Stato assegnata come input in LS-Dyna, per lamodellazione della piastra in c.a.............................................................................. 159Grafico 7. 1 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’estradosso.164Grafico 7. 2 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’estradosso.................................................................................................................................. 165Grafico 7. 3 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’intradosso.................................................................................................................................. 167Grafico 7. 4 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’intradosso.................................................................................................................................. 169Grafico 7. 5 – Spostamenti misurati nel centro della piastra all’intradosso eall’estradosso. .......................................................................................................... 174Grafico 7. 6 – Spostamenti misurati sul bordo della piastra all’intradossoall’estradosso. .......................................................................................................... 174Grafico 7. 7 – Ampiezza della fessura misurata all’intradosso della piastra inposizione centrale. ................................................................................................... 175Grafico 7. 8 – Spostamenti misurati nel centro della piastra all’intradosso eall’estradosso. .......................................................................................................... 179Grafico 7. 9 – Spostamenti misurati sul bordo non vincolato della piastra,all’intradosso e all’estradosso.................................................................................. 180192

INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLEGrafico 7. 10 – Ampiezza della fessura misurata nel centro della piastraall’intradosso............................................................................................................ 180Indice delle TabelleTabella 1. 1 – Parametri che caratterizzano fisicamente alcuni materiali esplosivi . 35Tabella 2. 1 – Proprietà elastiche dei materiali impiegati per la costruzione dellapiastra, allo Strain-Rate di 100 sec -1 . 39Tabella 2. 2 – Proprietà dinamiche del calcestruzzo allo Strain-Rate di 100 sec -1 ... 39Tabella 2. 3 – Tensione di Snervamento dell’acciaio, per due diversi valori di Strain-Rate. ........................................................................................................................... 39Tabella 2. 4 – Proprietà del calcestruzzo, per velocità di deformazione quasi statica.................................................................................................................................... 40Tabella 2. 5 – Condizioni di carico ed Evidenze Sperimentali ad esse associate..... 41Tabella 3. 1 – Calore specifico degli esplosivi e Coefficiente d’Equivalenza. 48Tabella 3. 2 - Distanza Effettiva Ri, Carico Equivalente W TNT , Distanza Ridotta Zi.................................................................................................................................... 52Tabella 3. 3 - Picco di Pressione Δp(Z), calcolato secondo le varie formulazioni, eper le singole prove sperimentali............................................................................... 53Tabella 3. 4 - Picco di Pressione medio, Coefficiente α........................................... 53Tabella 3. 5 - Durata della fase positiva t + , e costante numerica B. ......................... 53Tabella 3. 6 - Curve di Pressione P(Z, t), calcolate per le quattro prove sperimentali.................................................................................................................................... 54Tabella 5. 1 – Unità di Misure adottate dal LS-Dyna Version 970. 101Tabella 5. 2 – Element Solid................................................................................... 102Tabella 5. 3 – Part. .................................................................................................. 103Tabella 5. 4 – Section Solid. ................................................................................... 103Tabella 5. 5 – Set_Node_List Vincoli..................................................................... 105Tabella 5. 6 – Boundary Condiction....................................................................... 105Tabella 5. 7 – Curva di Pressione Tabulata. ........................................................... 107Tabella 5. 8 - Set_Segment. .................................................................................... 108Tabella 5. 9 – Load Set_Segment. .......................................................................... 109Tabella 5. 10 – Set_Part_List.................................................................................. 110Tabella 5. 11 – Carico da Peso Proprio................................................................... 110Tabella 5. 12 – Element SPH.................................................................................. 112Tabella 5. 13 – Section SPH. .................................................................................. 112Tabella 5. 14 – Set_Node_List Carico.................................................................... 114Tabella 5. 15 – Load_Node_Set.............................................................................. 115Tabella 5. 16 – Damping......................................................................................... 116Tabella 6. 1 – parametri che definiscono la Card del Material Model. 120Tabella 6. 2 – Parametri numerici che definiscono le superfici di rottura d’input perLS-Dyna................................................................................................................... 131Tabella 6. 3 – Input per LS-Dyna del material Concrete Damage, definiti per lamodellazione della piastra. ...................................................................................... 136Tabella 6. 4 – Velocità di deformazione quasi statica. ........................................... 144193

INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLETabella 6. 5 – Caratteristiche statiche del calcestruzzo e parametri numerici utilizzatiper il calcolo delle curve di Strain-Rate................................................................... 144Tabella 6. 6 – Curve di Strain-Rate per il calcestruzzo a Trazione e Compressioneadottate nella modellazione. .................................................................................... 145Tabella 6. 7 – DIF a trazione adoperato per L’acciaio. .......................................... 149Tabella 6. 8 – Bulk Modulus................................................................................... 153Tabella 6. 9 – Coefficienti numerici di Green and Swanson. ................................. 156Tabella 6. 10 – Risultati Numerici del legame costitutivo calcolato. ..................... 157Tabella 6. 11 – Valori Tabulati dell’equazione di stato.......................................... 158Tabella 6. 12 – Input per LS-Dyna dell’equazione di stato Tabulated Compaction.................................................................................................................................. 159Tabella 7. 1 - Risultati numerici della terza Prova Sperimentale realizzata. 170Tabella 7. 2 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970... 175Tabella 7. 3 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastraall'intradosso. ........................................................................................................... 175Tabella 7. 4 - Spostamenti residui, centrali e di bordo, misurati all’estradosso eall’intradosso della piastra. ...................................................................................... 176Tabella 7. 5 - Elementi nodali centrali e di bordo sulla piastra discretizzata in SPH.................................................................................................................................. 177Tabella 7. 6 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970... 180Tabella 7. 7 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastra.................................................................................................................................. 181Tabella 7. 8 - Spostamenti residui, centrali e di bordo, misurati all’estradosso eall’intradosso della piastra. ...................................................................................... 181Tabella 8. 1 – Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensionidella Mesh e dei parametri b 1 , b 2 e b 3 . 187Tabella 8. 2 - Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensionidella Mesh e dei parametri b 1 , b 2 e b 3 . ..................................................................... 187194

INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLEBibliografia1. Camillo Belgrano. Gli esplosivi. Ed. Hoepli, Milano, 1973.2. C. Giorgio. Tecnica degli esplosivi-Impiego degli esplosivi (2vol.). Ed. Bianco, Udine, 1964.3. A.Bacci, L’Esplosivistica in Campo Civile, pubblicato sugli Attidel “I° seminario Nazionale sugli Ordigni Esplosivi”, svoltopresso il Comando Generale dell’Arma dei Carabinieri - III°Reparto Armamenti ed Equipaggiamenti Speciali.4. H. von Dach, Der Totale Widerstand, Ed.SUOV, Biel, 19725. Pedro F.Silva, Binggeg. Lu & Antonio Nanni. Prediction ofblast loads on the expected damage level by using displacementbased method. Department of Civil, Architectural andEnvironmental Engineering, University of Missouri-Rolla, USA.6. Francesco Cesari. Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti.Ed. Pitagora, Bologna, ISBN 88-371-0013-2, 1989.7. Shaofan Li, Wing Kam Liu, Meshfree Particle Methods.Springer, 2005.8. Shaofan Li, Wing Kam Liu, Meshfree and Particle Methods andtheir applications. American Society of Mechanical Engineers,Appl Mech Rev vol 55, no 1, January, 2002.9. M.B. Liu, G.R. Liu, K.T. Lam, A one-dimensional Meshfreeparticle formulation for simulating shock waves. Shock Waves,vol 13, pag 200-211, 2003.10. Lu Young, Xu Kai, Numerical Simulation of Concrete Break-upunder Blast Loading. Civil Engineering Research, January, 2004.11. LS-DYNA, Theory Manual 2006 Version 970, Livemore SoftwareTechnology Corporation, LSTC Report.195

INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLE12. LSTC (1999). LS-DYNA keyword user’s manual, non-lineardynamic analysis of structures, version 970. Livermore SoftwareTechnology Corporation, LSTC report.13. Malvar L J, Crawford J E, Wesevich J W, Simons D: APlasticity Concrete Material Model for Hydrocodes. InternationalJournal of Impact Engineering, Vol. 19, No. 9-10, pp 847-873.Elsevier Science Ltd. 1997.14. Leonard E Schwer, L. Javier Malvar, Simplified ConcreteModeling with Mat_Concrete_Damage_Rel3. JRI LS-Dyna UserWeek, August, 2005.15. Bažant Z P, Fracture Mechanics of Concrete Structures, State-ofthe-Artand Proc. 1 st Int. Conf. Breckenridge, CO, 1992, ElsevierApplied Science, Amsterdam.16. Honggun Park, Jae-Yo Kim. Plasticity model using multiplefailure criteria for concrete in compression. International Journalof Solids and Structures , Volume 42, Issue 8 , April 2005, Pages2303-2322.17. Ezio Cadoni, Kamil Labibes, Mario Berra, Marco Ginagrasso,Carlo Albertini. Influence of Aggregate size on Strain-RateTensile, Behavior of concrete. ACI Material Journal, no 98-M24,May-June, 2001.18. Malvar L J, Crawford E J, Dinamic Increase Factor forConcrete. Twenty-Eighth DDESB Seminar. Orlando, FL, August1998.19. Mattias Unosson, Numerical simulations of penetration andperforation of high performance concrete with 75mm steelprojectile. Defence Research Establishment Weapons and196

INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLEProtection Division SE-147 25 TUMBA, SWEDEN. November2000. ISSN 1104-9154.20. Comité Euro-International du Béton, CEB-FIP Model Code1990, Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire, UK, 1993.21. Bažant Z P, Prat C, Microplane Model for Brittle-PlasticMaterial: Theory and Verification. Journal of EngineeringMechanics, Vol. 114, No. 10, October, 1988. ASCE, ISSN 0733-9399/88/0010. Paper No. 22823.22. Comité Européen du Béton, CEB-FIP Model Code 90, ThomasTelford Service, London, 1993.197

RINGRAZIAMENTIRingraziamentiIl conseguimento di un obiettivo importante è difficile da raggiungere,quale una Laurea in Ingegneria, è una gioia che va condivisa con lepersone più care. Appaiono scontati i ringraziamenti ai propri genitoriper gli sforzi profusi nel corso di questi anni, per consentirmi di tagliarequest’importante traguardo, più appropriati sono invece iringraziamenti nei loro confronti per la pazienza e la capacità disopportare i tanti momenti di nevrosi, di stress ed esaurimento, chehanno pervaso il mio corso di studi. A tal proposito mi sembra più cheopportuno ringraziare le mie care ed adorate sorelline, Rossana eYlenia, costrette a subire la medesima sorte. Come non poter ringraziarela mia fidanzata Fabiana, per tutte le volte che mi è stata vicinaascoltando le mie telefonate e leggendo i miei messaggi pregni di ansie epaure prima di ogni esame. Un amico sempre fedele, capace di farmiritrovare il sorriso nei momenti difficili, e che per tanto mi sento diringraziare è il mio Beagle, nonostante le tavole dei progetti, gliappunti, le matite e le penne da lui distrutte.Lunga sarebbe la lista di amici e parenti da ringraziare, compagni distudi con i quali in questi anni ho condiviso le gioie per gli esamisuperati,e qualche immancabile amarezza.Ma in particolar modo ringrazio gli amici di sempre, i cari vecchicompagni del liceo, Mauro, Ferruccio, Gennaro, Luca, Marcello, Rocco,Mino, Fonzie e tutti gli altri che non me ne vogliano se non nominati,per tutte le serate passate insieme, le partite di pallone, le feste, le nottibrave, le zingarate, e quanto altro fatto insieme che è servito adistogliermi dalle fatiche universitarie. Amici con i quali spero di198

RINGRAZIAMENTItornare a vivere momenti di spensieratezza, che tanto mi sono mancatiin questi ultimi mesi di sacrifici.Un ringraziamento di vero cuore lo devo alle mie care nonne, a loro chehanno sempre pregato nella speranza di potermi presto vedere laureato,sono consapevole di dare loro e alla mia famiglia un enorme gioia. Ilmio più grande rammarico è che i miei due meravigliosi nonni, entrambidi nome Giuseppe come me, non siano partecipi di questa stessa gioia. Aloro va la mia gratitudine, per tutte le volte che mi hanno protetto edaiutato, per tutte le preghiere che hanno sempre ascoltato.Infine, ma non per questo meno importante, non posso esimermi dalringraziare il mio amico non che correlatore Ing. Domenico Asprone,per la pazienza, il tempo e la disponibilità che mi ha concesso. È stataper me una vera fortuna incontrarlo e conoscerlo nel momento piùimportante del mio percorso universitario. Insieme a lui ringrazio ilProf. Ing. Gaetano Manfredi e il Prof. Ing. Andrea Prota, perl’opportunità concessami di prendere parte a questo interessantissimostudio di ricerca. Ringrazio l’intero Dipartimento di IngegneriaStrutturale, dottorandi, ricercatori e tecnici di laboratorio, per lasimpatia dimostratami.199