simulazione e ottimizzazione per un modello di stoccaggio in una diga

POLITECNICO DI MILANOCorso di Studi di Ingegneria MatematicaOrientamento Metodi StatisticiElaborato di Laurea di primo livelloSIMULAZIONE E OTTIMIZZAZIONEPER UN MODELLO DI STOCCAGGIOIN UNA DIGARelatore: Prof. Fuhrman Marco AlessandroCarminati Jennifer Matr. 656966Carozzi Giuliana Matr. 651439ANNO ACCADEMICO 2005-2006

RingraziamentiRingraziamo il Prof. Marco Fuhrman per l’attenzione e la professionalitàcon cui ci ha seguito, per i preziosi consigli che ci ha dato durante la stesura diquesto elaborato, e soprattutto per la disponibilità e la gentilezza dimostratanei nostri confronti.Ringraziamo anche tutti coloro i quali hanno partecipato, più o menodirettamente, alla stesura di questo elaborato. Ringraziamenti speciali aiprofessori del Dipartimento di Idraulica, che ci hanno aiutato con la partetecnica, ed al personale delle Biblioteche di Matematica e Idraulica, che ciha assistito nella ricerca del materiale.Giuliana e JenniferRingrazio la mia famiglia per il sostegno, la comprensione, la capacitàdi sopportarmi anche quando sono insopportabile (cosa che capita spessopurtroppo) e per l’affetto che mi dimostra tutti i giorni.Ringrazio i miei genitori e i miei nonni anche per la possibilità che mihanno dato di arrivare fin qui, di frequentare l’università e di studiare ciòche desidero.Ringrazio mia nonna Anna, perché sono sicura che da Lassù vigila su dime; il suo ricordo, ogni giorno, mi aiuta ad andare avanti cercando sempredi trovare un motivo per cui sorridere, anche di fronte alle difficoltà.Ringrazio la persona più importante della mia vita, Marco, per essermisempre vicino quando ne ho bisogno, per il supporto che mi dà in ogni sceltache faccio, giusta o sbagliata che sia, e per la pazienza che porta nei mieiconfronti, e ne ha davvero tanta. Lo ringrazio inoltre di accettarmi per comesono, con i miei pochi pregi e molti difetti.Un ringraziamento speciale alla mia compagna di tesi, Giuliana, semplicementeper tutto.JenniferIl mio più grande ringraziamento va alla mia stella polare, perchè nonpotevo desiderare un modello migliore a cui ispirarmi. Anche se il giornodella mia laurea sarà uno di quelli in cui mi mancherà maggiormente, so chein questo modo mi sarà ancora più vicina.1

2Ringrazio mio padre e mia sorella per tutto l’amore che mi danno e per illoro sostegno, perchè per me è fondamentale anche se non lo dimostro mai.Ringrazio tutta la mia famiglia perchè il loro aiuto sempre presente èstato quello che mi ha permesso di arrivare fino a qua.Ringrazio Jennifer, socia non solo di tesi ma anche di molte altre avventurein questi tre anni.Last but not the least, Emanuel: you’re the piece that makes me whole.Giuliana

Indice1 Introduzione 92 Richiami teorici sui modelli stocastici 102.1 Catene di Markov a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Catene di Markov a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Processi di nascita e morte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Classificazione di semplici code . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.1 Disciplina delle code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.2 Coda M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Cenni ai modelli di inventario 193.1 Descrizione dei modelli di inventario . . . . . . . . . . . . . . 203.2 I modelli di stoccaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.1 Primo esempio: i rischi assicurativi . . . . . . . . . . . 213.2.2 Secondo esempio: le telecomunicazioni . . . . . . . . . 224 Il modello di Moran per le dighe 234.1 Cenni sulle opere di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Introduzione al modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Il modello di Moran a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . 254.3.1 Il comportamento transitorio di Z n . . . . . . . . . . . 254.3.2 La distribuzione invariante dello stoccaggio . . . . . . 275 Simulazione 305.1 Determinazione della distribuzione stazionaria . . . . . . . . . 325.1.1 Implementazione del modello . . . . . . . . . . . . . . 325.1.2 Analisi con ingresso di tipo Esponenziale e validazionedell’algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.1.3 Analisi con ingresso di tipo Beta . . . . . . . . . . . . 425.2 Analisi delle probabilità di secca e di overflow . . . . . . . . . 466 Problema dell’ottimizzazione 596.1 Determinazione della funzione guadagno . . . . . . . . . . . . 606.1.1 Determinazione dei costi . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

INDICE 46.1.2 Determinazione dei ricavi . . . . . . . . . . . . . . . . 616.1.3 Determinazione della funzione guadagno . . . . . . . . 636.2 Simulazione della funzione guadagno nei casi in analisi . . . . 646.2.1 Simulazione a breve termine . . . . . . . . . . . . . . . 656.2.2 Simulazione a lungo termine . . . . . . . . . . . . . . . 656.3 Determinazione delle regioni ammissibili per l’ottimizzazione 726.4 Metodo di ottimizzazione adottato . . . . . . . . . . . . . . . 746.4.1 Definizione dell’algoritmo per l’ottimizzazione non vincolata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4.2 Convergenza del metodo compass search . . . . . . . . 766.4.3 Estensione dell’algoritmo al caso di ottimizzazione vincolata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.5 Risultati dell’ottimizzazione nei casi in analisi . . . . . . . . . 796.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A Script del software sviluppato 86A.1 errestar.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.2 stazionariagamma.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.3 stazionariabeta.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88A.4 ritornadensita.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89A.5 densitaanalitica.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A.6 frazioneoverexp.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.7 frazioneoverbeta.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93A.8 frazioneseccaexp.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A.9 frazioneseccabeta.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.10 overflowanalitico.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.11 seccaanalitica.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99A.12 guadagno.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100A.13 centratura.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101A.14 ottimoexp.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.15 ottimobeta.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Bibliografia 107

Elenco delle figure2.1 Grafo di una coda M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.1 Distribuzione Esponenziale p=0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Distribuzione di R*, ingresso Exp p=0.5, parametri diga m=0.75e k=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Distribuzione Esponenziale p=0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Distribuzione di R*, ingresso Exp p=0.8, parametri diga m=1e k=5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.5 Confronto tra H(y) teorica e H(y) simulata, ingresso Expp=0.5, parametri diga k=3, m=0.75 . . . . . . . . . . . . . . 395.6 Confronto tra H(y) teorica e H(y) simulata, ingresso Expp=0.8, parametri diga k=5, m=1 . . . . . . . . . . . . . . . . 395.7 Errore tra H(y) teorica e H(y) simulata, ingresso Exp p=0.5,parametri diga k=3, m=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.8 Errore tra H(y) teorica e H(y) simulata, ingresso Exp p=0.8,parametri diga k=5, m=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.9 Distribuzione Beta, a=3 e b=4, dilatata su [0,4] . . . . . . . . 445.10 Distribuzione di R*, ingresso Beta a=3 b=4, parametri digam=1.5 e k=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.11 Confronto tra la distribuzione simulata di R* per ingressoBeta (blu) e distribuzione data dagli stimatori di massimaverosimiglianza(rosso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.12 Frazione di tempo passata in overflow, in caso di ingressoEsponenziale p=0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.13 Curve di livello della frazione di tempo passata in overflow,in caso di ingresso Esponenziale p=0.5 . . . . . . . . . . . . . 495.14 Frazione di tempo passata in overflow, in caso di ingressoEsponenziale p=0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.15 Curve di livello della frazione di tempo passata in overflow,in caso di ingresso Esponenziale p=0.8 . . . . . . . . . . . . . 505.16 Frazione di tempo passata in overflow, in caso di ingresso Betadilatata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

ELENCO DELLE FIGURE 65.17 Curve di livello della frazione di tempo passata in overflow,in caso di ingresso Beta dilatata . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.18 Frazione di tempo passata in secca, in caso di ingresso Esponenzialep=0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.19 Curve di livello della frazione di tempo passata in secca, incaso di ingresso Esponenziale p=0.5 . . . . . . . . . . . . . . 525.20 Frazione di tempo passata in secca, in caso di ingresso Esponenzialep=0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.21 Curve di livello della frazione di tempo passata in secca, incaso di ingresso Esponenziale p=0.8 . . . . . . . . . . . . . . 535.22 Frazione di tempo passata in secca, in caso di ingresso Betadilatata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.23 Curve di livello della frazione di tempo passata in secca, incaso di ingresso Beta dilatata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.24 Confronto tra frazione in overflow simulata (superficie verde)e calcolata in via teorica (stelle rosse) per ingresso Esponenzialecon p=0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.25 Confronto tra frazione in overflow simulata (superficie verde)e calcolata in via teorica (stelle rosse) per ingresso Esponenzialecon p=0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.26 Confronto tra frazione in secca simulata (superficie verde) ecalcolata in via teorica (stelle rosse) per ingresso Esponenzialecon p=0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.27 Confronto tra frazione in secca simulata (superficie verde) ecalcolata in via teorica (stelle rosse) per ingresso Esponenzialecon p=0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.28 Analisi dell’errore di simulazione per frazione di tempo inoverflow, per ingresso Esponenziale con p=0.5 . . . . . . . . . 575.29 Analisi dell’errore di simulazione per frazione di tempo inoverflow, per ingresso Esponenziale con p=0.8 . . . . . . . . . 575.30 Analisi dell’errore di simulazione per frazione di tempo insecca, per ingresso Esponenziale con p=0.5 . . . . . . . . . . 585.31 Analisi dell’errore di simulazione per frazione di tempo insecca, per ingresso Esponenziale con p=0.8 . . . . . . . . . . 586.1 Sezione laterale della diga, che evidenzia il funzionamentodella centrale idroelettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 Funzione guadagno determinata per ingresso Esponenzialecon p=0.5, calcolata su orizzonte temporale di 30 anni . . . . 666.3 Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoEsponenziale con p=0.5, calcolata su orizzonte temporaledi 30 anni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4 Funzione guadagno determinata per ingresso Esponenzialecon p=0.8, calcolata su orizzonte temporale di 30 anni . . . . 67

ELENCO DELLE FIGURE 76.5 Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoEsponenziale con p=0.8, calcolata su orizzonte temporaledi 30 anni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.6 Funzione guadagno determinata per ingresso Beta dilatatacon a=3, b=4; calcolata su orizzonte temporale di 30 anni . . 686.7 Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoBeta dilatata con a=3, b=4; calcolata su orizzontetemporale di 30 anni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.8 Funzione guadagno determinata per ingresso Esponenzialecon p=0.5, calcolata su orizzonte temporale di 100 anni . . . 696.9 Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoEsponenziale con p=0.5, calcolata su orizzonte temporaledi 100 anni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.10 Funzione guadagno determinata per ingresso Esponenzialecon p=0.8, calcolata su orizzonte temporale di 100 anni . . . 706.11 Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoEsponenziale con p=0.8, calcolata su orizzonte temporaledi 100 anni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.12 Funzione guadagno determinata per ingresso Beta dilatatacon a=3, b=4; calcolata su orizzonte temporale di 100 anni . 716.13 Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoBeta dilatata con a=3, b=4; calcolata su orizzontetemporale di 100 anni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.14 Analisi dei parametri ottimali per ingresso Esponenziale (p=0.5):linea di livello di probabilità di secca pari a 0.05 (rosso), lineadi livello di probabilità di overflow pari a 0.2 (verde), vincolok > m (blu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.15 Analisi dei parametri ottimali per ingresso Esponenziale (p=0.8):linea di livello di probabilità di secca pari a 0.05 (rosso), lineadi livello di probabilità di overflow pari a 0.2 (verde), vincolok > m (blu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.16 Analisi dei parametri ottimali per ingresso Beta dilatata (a=3,b=4, dilataz=4): linea di livello di probabilità di secca pari a0.05 (rosso), linea di livello di probabilità di overflow pari a0.2 (verde), vincolo k > m (blu). . . . . . . . . . . . . . . . . 736.17 Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Esponenziale diparametro p=0.5; calcolato su orizzonte temporale di 30 anni. 826.18 Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Esponenziale diparametro p=0.8; calcolato su orizzonte temporale di 30 anni. 826.19 Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Beta dilatata diparametri a=3 e b=4; calcolato su orizzonte temporale di 30anni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.20 Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Esponenziale diparametro p=0.5; calcolato su orizzonte temporale di 100 anni. 83

ELENCO DELLE FIGURE 86.21 Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Esponenziale diparametro p=0.8; calcolato su orizzonte temporale di 100 anni. 846.22 Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Beta dilatata diparametri a=3 e b=4; calcolato su orizzonte temporale di 100anni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Capitolo 1IntroduzioneMolti aspetti della probabilità sono utilizzati all’interno di diverse aree,tra questi, la teoria delle code non è solo uno dei più antichi, ma ancheuno dei più importanti, per questo tra i più studiati. Problemi relativialle code emergono in un’infinità di situazioni nella vita quotidiana ed hannoper questo stimolato la nascita di molta letteratura a riguardo, sia ditipo matematico teorico, che di tipo applicativo. Ci sono molte situazioniquotidiane in cui ci troviamo di fronte a file d’attesa, alcune delle quali vengonosubito alla mente, per esempio: clienti alla cassa di un supermercato,utenti in attesa ad un centralino telefonico. Più recenti invece, sono le applicazionidella teoria delle code a molti problemi collegati alla trasmissionedati, piuttosto che alla gestione del traffico via web.A partire dalle code nascono dei processi stocastici, denominati metodidi stoccaggio, che applicano la teoria sviluppata a problemi di gestione diquantità immagazzinate. Essi possono essere facilmente rivisitati allo scopodi modellizzare ciò che avviene nell’ambito del funzionamento di una diga.Questa affermazione trova sostegno sia nelle argomentazioni proposte nellatrattazione che nella descrizione tecnica su cosa sia un’opera di derivazione.Scopo principale di questa tesi è l’adattamento dei generici modelli distoccaggio al caso particolare delle dighe, al fine di effettuare simulazioniche permettano, partendo dalla teoria relativa a questa classe di processistocastici, di sviluppare una serie di risultati originali, che non sono presentinella letteratura del campo.La parte centrale del lavoro consiste nello sviluppo di numerosi programmiin ambiente Matlab che permettono, a fronte di una precedentestima sulla distribuzione di probabilità degli ingressi alla diga, di ricavarequantità fondamentali nella gestione della stessa, per le quali non esistonoespressioni analitiche esplicite. Utilizzando i risultati ottenuti si è effettuatoun processo di ottimizzazione sui parametri caratteristici delle dighe, al finedi rendere il più efficiente possibile il funzionamento delle stesse.9

Capitolo 2Richiami teorici sui modellistocastici2.1 Catene di Markov a tempo discretoUna catena di Markov è un modello matematico che serve per descrivereun fenomeno che può trovarsi in tanti stati diversi. Si introducono lenotazioni relative agli elementi della catena:I = insieme, finito o al più numerabile, che indica lo spazio degli stati;i, j, k = generici elementi di I;p ij = probabilità di transizione dallo stato i allo stato j.Nel caso in cui il numero di stati sia finito, è possibile rappresentare le p ijattraverso una matrice di transizione, detta matrice stocastica.Definizione 1 (matrice stocastica). Una famiglia di numeri (p ij ) coni,j ∈ I è detta matrice stocastica se valgono le seguenti proprietà:1. p ij ≥ 0.2. ∑ +∞j=0 p ij = 1 ∀i.Si indichi ora con X n lo stato del sistema al tempo n, dove n assume valoriall’interno di un intervallo discreto; X n assumerà quindi valori in I. Considerandogli stati del sistema nei diversi istanti di tempo si ha la generazionedi un processo stocastico.Definizione 2 (processo stocastico). Una famiglia di variabili aleatorie X 0 ,X 1 ... a valori in I è detta processo stocastico a tempo discreto nello spaziodegli stati I.10

CAPITOLO 2. RICHIAMI TEORICI SUI MODELLI STOCASTICI 11Definizione 3 (distribuzione di una variabile aleatoria (v.a.)). Si definiscelegge della v.a. XSe valgono le seguenti proprietà:1. λ i ≥ 02. ∑ +∞i=0 λ i = 1 ∀iλ i = P (X = i) con i ∈ I.il vettore λ = (λ i ) è chiamato distribuzione su I e viene spesso indicato conΠ = (Π i ).Definizione 4 (catena di Markov). Il processo stocastico (X n ) n≥0 è dettocatena di Markov associata a λ e P se valgono le seguenti:1. P (X 0 = i) = λ i con i,j ∈ I2. P (X n+1 = j | X n = i, ..., X 0 = i 0 ) = p ij con n = 0,1,2...dove le p ij sono dette probabilità di transizione dallo stato i allo stato j.Osservazione 1. Il sistema ha dimenticato la traiettoria passata, ovveroha mancanza di memoria, non ricorda gli stati attraversati in precedenza edevolve perciò indipendentemente dalla sua storia precedente.Teorema 1 (Probabilità di transizione a n passi). Si consideri una catenadi Markov (λ, P ) con (X n ) n≥0 . Si definisce probabilità di transizione a npassi la seguente quantità:P (X n = j) = (λP n ) jP (X n = j|X 0 = i) = (P n ) ij = (p ij ) n = p (n)ijdove i p (n)ijsono gli elementi della matrice P n .Si introduce ora la seguente notazione:P i (A) = P (A | X 0 = i)con A generico evento, per indicare una catena che parte inizialmente dallostato i.Definizione 5. Lo stato i conduce allo stato j (i −→ j) se:P i (X n = j per qualche tempo n ≥ 0) > 0.

CAPITOLO 2. RICHIAMI TEORICI SUI MODELLI STOCASTICI 12Definizione 6 (stati comunicanti). Due stati i e j si dicono comunicanti sevalgono le seguenti relazioni:i ←→ j o equivalentemente i −→ j e j −→ iDefinizione 7 (catena irriducibile). Una catena si dice irriducibile se tuttigli stati comunicano tra loro.Definizione 8 (stato transitorio). Uno stato i si dice transitorio seP i (X n = i per infiniti n) = 0.Definizione 9 (stato ricorrente). Uno stato i si dice ricorrente seP i (X n = i per infiniti n) = 1.Teorema 2. Si hanno le seguenti proprietà per stati ricorrenti e transitori:se i è ricorrente allora ∑ +∞n=0 p(n) ii= ∞.se i è transitorio allora ∑ +∞n=0 p(n) ii< ∞.Teorema 3. Tutti gli stati di una stessa classe (comunicante) sono tuttiricorrenti oppure tutti transitori. Si parla quindi di classe ricorrente oppuredi classe transitoria.Definizione 10 (misura). Una misura su I è definita come un vettoreλ = (λ i ) con 0 ≤ λ i ≤ ∞.Evidentemente, ogni distribuzione è una misura, però ci sono delle misureche non sono distribuzioni.Definizione 11 (misura invariante). Una misura λ si dice invariante peruna matrice stocastica P seλP = λ.Definizione 12 (distribuzione invariante). Se in aggiunta alla condizioneprecedente si ha che+∞∑λ i = 1.i=0Si indica ora con T k = inf {n ≥ X n = k} il tempo di primo passaggioper lo stato k.Definizione 13. Uno stato k si dice ricorrente positivo se E k [T k ] < ∞.

CAPITOLO 2. RICHIAMI TEORICI SUI MODELLI STOCASTICI 132.2 Catene di Markov a tempo continuoValgono tutte le definzioni sopra, quello che cambia è l’intervallo in cuivaria il tempo, infatti ora si ha che t ∈ [0, ∞).Osservazione 2. Lo spazio degli stati I resta discreto.Quella che nel caso discreto è definita come matrice di transizione Pviene ora definita come Q-matrice:Definizione 14 (Q-matrice). Una Q-matrice, i cui elementi sono definiticome (q ij ) i,j∈I, soddisfa le seguenti condizioni:1. q ii ≤ 02. q ij ≥ 0 se i ≠ j3. ∑ +∞j≠i q ij = −q ii < ∞Osservazione 3. ∑ +∞jq ij = 0.Ad ogni Q-matrice si associa un’altra matrice stocastica che si indica conΠ = (Π ij ) detta matrice dei salti, i cui elementi si trovano come:• nel caso in cui q i > 0 si ha che:- Π ij = q ijq iise i ≠ j- Π ij = 0 se i = j• nel caso in cui q i = 0 si ha che Π ij ≡ δ ij .Definizione 15 (misura invariante). Una misura λ si dice invariante peruna Q-matrice seλQ = 0.Vale inoltre il seguente:Teorema 4. Sia Q una Q-matrice e Π la matrice dei salti associata.Sia λ = (λ i ) una misura e sia µ = (µ i ) tale che µ i = λ i q i alloraλQ = 0 ←→ µ = µΠ.2.3 Processi di nascita e morteCon l’espressione processo di nascita-morte si intende una catena diMarkov {X t } t≥0che partendo dallo stato n può muoversi solo verso lo staton-1 (il precedente) oppure n+1 (il successivo). Con la notazione X t = nsi indica che al tempo t, ci sono n individui in una certa situazione. Una

CAPITOLO 2. RICHIAMI TEORICI SUI MODELLI STOCASTICI 14transizione verso destra indica la nascita di un individuo, mentre una transizioneverso sinistra ne indica la morte.Indicando con β n l’intensità di nascita e con δ n l’intensità di morte, lamatrice di transizione associata è del tipo:⎛⎞−β 0 β 0 0 0 · · ·δ 1 − (δ 1 + β 1 ) β 1 0 · · ·Q = ⎜⎝ 0 δ 2 − (δ 2 + β 2 ) β 2 · · · ⎟⎠.. .. .. .La quale è sempre irriducibile.La matrice dei salti {Y n } associata è caratterizzata invece dalla seguentematrice di transizione:dove p n =⎛Q = ⎜⎝0 1 0 0 · · ·q 1 0 p 1 0 · · ·0 q 2 0 p 2 · · ·.. .. .βn(β n +δ n ) mentre q n = 1 − p n = δn(β n +δ n ) .Proposizione 1. La ricorrenza di {X t } t≥0o equivalentemente di {Y n }corrisponde alla seguente condizione:+∞∑n=1⎞⎟⎠δ 1 · · · δ n+∞∑ q 1 · · · q n== ∞.β 1 · · · β n pn=1 1 · · · p nProposizione 2. Un processo di nascita e morte si dice non esplosivo se e solose R < ∞ doveR =+∞∑n=1r n , r n =n∑k=0δ k+1 · · · δ nβ k · · · β n.Corollario 1. Nel caso ricorrente, la misura invariante µ = (µ n ) n∈Nperla catena dei salti {Y n } è data daµ n = p 1 · · · p n−1q 1 · · · q nµ 0 , n = 1,2 · · · .2.4 Classificazione di semplici codeMa che cos’è una coda? Una coda è una classe particolare di fenomeniche rappresentano situazioni reali in cui ci sono delle file d’attesa.La struttura di una coda può essere descritta attraverso queste quantità:

CAPITOLO 2. RICHIAMI TEORICI SUI MODELLI STOCASTICI 15• il processo di arrivo, ovvero il modo in cui arrivano i clienti;• il tipo di servizio, ovvero il modo in cui il cliente viene servito;• la disciplina della coda, ovvero l’algoritmo che determina l’ordine conil quale sono serviti i clienti.L’utilizzo di queste, in certe situazioni, può divenire complicato e spessopoco informativo. Una notazione più utilizzata oggi, introdotta da Kendallnel 1953, è di immediata comprensione e consiste, per esempio, nel sostituirel’espressione coda con un singolo server, arrivi completamente casualie tempo di servizio generico con l’acronimo M/G/1.In generale si utilizza una stringa del tipo α/β/m, dove:• α indica la distribuzione dei tempi di attesa;• β indica la distribuzione dei tempi di servizio;• m indica il numero dei server.I valori più comuni per α e β sono i seguenti:• M, la distribuzione esponenziale (M = Markoviana. Altri valori possibilisono completamente casuale e Poissoniana.).• D, la distribuzione degenera in un singolo punto d ∈ (0, ∞), di solitod=1 (D = deterministica).• G, distribuzione generale, non meglio specificata.2.4.1 Disciplina delle codeUna lista, non completa, di possibili discipline delle code è la seguente:FIFO First In, First Out. I clienti sono serviti in ordine di arrivo.LIFO Last In, First Out. L’ultimo cliente arrivato è il primo ad essereservito. Utilizzato per esempio negli inventari, in cui si utilizzano piledi oggetti.SIRO Service In Random Order. I clienti sono serviti in modo casuale.Utilizzato per esempio nei centralini telefonici, dove il sistema nonricorda quando il cliente è arrivato.La disciplina più comune è la prima sopra menzionata, in cui sostanzialmenteè rispettato l’ordine di arrivo dei clienti, come accade per esempio nelle filedi attesa della posta, piuttosto che ad un casello autostradale.

CAPITOLO 2. RICHIAMI TEORICI SUI MODELLI STOCASTICI 162.4.2 Coda M/M/1Questo tipo di coda corrisponde a un processo di nascita e morte in cuiβ n = β e δ n = δ ,si hanno cioè valori indipendenti da n.Valori comunemente utilizzati per β e δ sonoβ = λ e δ = µ,mentre n indica lo stato del sistema, ovvero il numero di clienti presenti nelsistema stesso.Figura 2.1: Grafo di una coda M/M/1

CAPITOLO 2. RICHIAMI TEORICI SUI MODELLI STOCASTICI 17Per questo tipo di coda si hanno le seguenti ipotesi:1. Tempi di attesa tra un cliente e il successivo con legge esponenziale diparametro λ, S ∼ Exp (λ).2. Tempi di servizio con legge esponenziale di parametro µ, T ∼ Exp (µ).3. Tempi di attesa e di servizio tra loro indipendenti.4. Un solo server.5. Nessun cliente viene scartato, la lunghezza della coda non ha limite.Definizione 16 (intensità di traffico). Si definisce intensità di traffico laseguente quantità:ρ = λ µProposizione 3. Una coda M/M/1 con intensità di traffico ρ si dice ricorrentese e solo se ρ ≤ 1.Proposizione 4. Una coda M/M/1 con intensità di traffico ρ si dice transientese e solo se ρ > 1.Proposizione 5. La distribuzione invariante, che quando esiste (quandoρ < 1) è unica, vale:Π n = P (X t = n) = ρ n (1 − ρ)∀nIndica la probabilità di trovare la catena nello stato n in qualunqueistante di tempo t lo si osservi.Indici di prestazioneSi calcolano ora su questo tipo di coda alcune quantità interessanti, utiliper dare un’idea delle prestazioni della coda stessa. Si suppone ρ < 1,un’unica distribuzione invariante, e che la coda sia in equilibrio, ovveroP (X t = n) = Π n . L’evento {X t = n} indica che al tempo t nel sistema cisono n clienti. Se n > 0 il primo cliente è servito e gli altri sono in coda.Quindi:P (X t = n) = Π n = ρ n (1 − ρ)• Si può essere interessati a voler sapere quanti clienti in media ci sononel sistema, e questo valore lo si ottiene facendo:E [X t ] =+∞∑n=0nP (X t = n) =+∞∑n=0nρ n (1 − ρ) =ρ1 − ρ = λµ − λ .

CAPITOLO 2. RICHIAMI TEORICI SUI MODELLI STOCASTICI 18• Si potrebbe voler conoscere l’affaticamento del server, ovvero la probabilitàche nel server ci siano 0 clienti al tempo t, dato da:P (X t = 0) = Π 0 = 1 − ρ = 1 − λ µ .Se questo numero è grande non va bene, perchè vuole dire che il serversta lavorando poco.• Si calcoli ora il tempo medio di permanenza di un cliente nel sistema,che, attenzione, non è il tempo di servizio.Introducendo la variabile aleatoria:L = tempo di permanenza nel sistemae supponendo che quando il cliente arriva nel sistema abbia davanti asè un numero n di clienti noto, si ha che:E [L | X t = n] = n + 1µ .Ma come si calcola il valore atteso condizionato?E [L] =+∞∑n=0E [L | X t = n] P (X t = n) =+∞∑n=0n + 1µ Π n =1+∞∑(n + 1) Π n = 1 +∞∑Π n + 1 +∞∑nΠ n =µµ µn=0n=0 n=01µ + 1 +∞∑nΠ n = 1 µµ + 1 λµ µ − λ = 1µ − λ ,n=0quantità corrispondente anche al tempo medio di servizio ininterrotto.• Indicando con C il numero di clienti che aspettano di essere serviti, siha che:λ 2E [C] =µ (µ − λ) .

Capitolo 3Cenni ai modelli diinventarioIn questo capitolo si sono voluti approfondire i modelli di inventario,classe particolare dei modelli stocastici sulla quale è stata posta attenzionea partire dagli anni Sessanta. Questo approfondimento trova motivazionenel fatto che le opere di derivazione, descritte nei dettagli nel capitolo successivo,possono essere viste come un modello di inventario, anche se nondi tipo convenzionale. Risulta quindi utile incominciare questa trattazioneconsiderando la teoria generale di questa classe di modelli. A questo scopo siillustrano sia il modello generale, a cui tutta la classe fa riferimento, che unaparticolare sottoclasse data dai modelli di stoccaggio, alla quale appartengonoanche le opere di derivazione. All’interno dei modelli di stoccaggio siconsiderano poi due importanti applicazioni, a scopo esemplificativo. La primaapplicazione analizzata è di tipo economico e fa riferimento alla gestionedei rischi assicurativi, mentre la seconda è di tipo ingegneristico e fa riferimentoall’ambito delle telecomunicazioni. Tuttavia si descrivono soltanto lelinee generali di questi due modelli specifici, poichè una trattazione completaesula dai nostri scopi.19

CAPITOLO 3. CENNI AI MODELLI DI INVENTARIO 203.1 Descrizione dei modelli di inventarioUn inventario è una quantità di materiale immagazzinata allo scopo diuna futura vendita o per la produzione. Questa quantità immagazzinata èdescritta dalla variabile Z n , che rappresenta il livello dell’inventario al tempon, ed è descritta tramite la funzione di inventario. Per tempi discreti questafunzione è definita tramite la seguente relazione ricorsiva:Z n+1 = Z n + X n − Y n , (3.1)dove X n è la quantità ordinata al tempo n, per n = 0,1,2,..., ovvero l’input,in accordo con una specifica politica d’ordine; mentre Y n è la quantitàvenduta, ovvero l’output, nell’intervallo di tempo (n, n + 1). Si consideripoi la domanda di materiale durante l’intervallo di tempo (n, n + 1) e lasi indichi con ξ n ; si assume quindi che X n , Y n e ξ n sono variabili aleatorie.Dalla relazione di ricorrenza si deduce che Z n assume valori in R, dove valorinegativi indicano il fatto che la domanda non è stata soddisfatta.Come casi particolari della (3.1) si hanno i seguenti modelli di inventario:1. La domanda ξ n è considerata come una variabile casuale con una certadistribuzione di probabilità nota, mentre X n è la quantità ordinata altempo n in accordo con una certa politica d’ordine prestabilita. Laquantità venduta è allora una funzione della domanda e della quantitàdisponibile; così si ha che Y n = f(ξ n , Z n + X n ), dove la funzione f(·)è specificata dalla politica d’ordine.2. La fornitura di materiale è sotto controllo nel senso che la quantitàvenduta soddisfa una relazione del tipo (3.1). Ci sono comunque situazioniin cui la fornitura è una variabile casuale, anche se la domandaè supposta nota e soddisfa una precisa politica d’ordine.I principali problemi riguardanti l’analisi di modelli di inventario sono iseguenti:• Il problema dell’ottimizzazione: si consideri un modello di tipo (1),dove la politica d’ordine comunemente adottata è quella di soddisfarela domanda se questo è fisicamente possibile, così si ha,{ξn se ξY n =n ≤ Z n + X nZ n + X n se ξ n > Z n + X n .Un importante problema nella teoria riguardante gli inventari è trovareuna politica d’ordine ottima tale che il profitto sia massimo o, equivalentemente,i costi siano minimi.

CAPITOLO 3. CENNI AI MODELLI DI INVENTARIO 21• Lo studio dei processi stocastici che stanno alla base della teoria riguardantegli inventari: è chiaro che la funzione di stoccaggio Z n associataad un modello di inventario è un processo stocastico; questo processodipende dal tipo di politica adottata, dalla fornitura e dalla domanda,ma non influisce sulla struttura dei costi del modello. Di particolareimportanza è lo studio della distribuzione invariante di Z n , per potercosì minimizzare i costi sul lungo periodo. In altre parole, se si èinteressati alla struttura dei costi per più di un certo periodo di tempolimitato, si deve conoscere il comportamento transitorio del processo.3.2 I modelli di stoccaggioI modelli di stoccaggio sono una particolare categoria dei modelli di inventario.Mentre i secondi sono caratterizzati da precise politiche di ordinamento,nei modelli di stoccaggio sia input che output sono variabili aleatorie.Lo scopo della loro analisi è regolare la richiesta (uscita) in maniera che lostoccaggio mantenga un livello desiderato. Si capisce quindi come le digheappartengano a questa classe di modelli: il loro scopo è infatti quello diregolare l’uscita (con il vincolo che la regolazione rimanga costante per tuttol’arco di funzionamento) affinchè il livello dell’acqua stoccata sia semprecompreso tra la quota di massimo svaso e la quantità massima di invaso.Il modello che sta alla base del funzionamento delle dighe trova trattazioneampia nel capitolo successivo.A scopo esemplificativo si riportano due importanti applicazioni deimodelli di inventario, in due ambiti molto diversi tra loro, per mostrarecome questa classe di modelli sia ampiamente utilizzata.3.2.1 Primo esempio: i rischi assicurativiLa teoria dei rischi assicurativi è un esempio di modelli di inventariosviluppati a tempo discreto. Essa riguarda la gestione delle compagnieassicurative ed è soggetta alle seguenti assunzioni:• La quantità totale di richieste X(t) che vengono avanzate nell’intervallodi tempo (0, y] possiede una distribuzione di Poisson composita:K(x, t) =+∞∑n=0−λt (λt)ne P n (x)n!(−∞ < x < +∞).• La compagnia riceve premi assicurativi ad un rate costante β.La funzioneZ(t) = x + βt − X(t)(−∞ < β < +∞)

CAPITOLO 3. CENNI AI MODELLI DI INVENTARIO 22è chiamata riserva di rischio, con valore iniziale Z(0) = x ≥ 0. Ariserva negativa la compagnia fallisce. Questo evento avviene a epocheT ≡ T (x), doveT = inf {t : Z(t) < 0} .Il punto fondamentale della teoria riguardante i rischi assicurativi è lo studiodella distribuzione della variabile casuale T, detto “problema del fallimento”.La compagnia è infatti interessata a scegliere la dimensione iniziale dellariserva, sufficiente ad evitare il fallimento in un arco di tempo finito. Quindiè necessario trovare x tale che:P {T (x) > t} ≥ α (0 < α < 1)oppureP {T (x) = ∞} ≥ α (0 < α < 1).3.2.2 Secondo esempio: le telecomunicazioniLe telecomunicazioni sono un’importante applicazione dei modelli di inventarioa tempo continuo e sono l’ambito di ricerca più in crescita in questomomento. La trattazione difficoltosa, derivante appunto dalla presenza deltempo continuo all’interno del modello, non permette un’analisi agevole e cisi limita perciò soltanto a delinearne le linee principali.Si ipotizzi che ci siano N sorgenti di messaggi, che possono essere attiveo inattive a seconda dell’istante di tempo considerato. Un ricetrasmettitorericeve questi messaggi ad un determinato ritmo, dipendente dal numerodi sorgenti attive, e trasmette parte di essi, immagazzinando quelli nontrasmessi in un buffer di capacità infinita.Sia X(t) l’ingresso totale dei dati nel buffer nell’intervallo (0, t] e sia J(t)il numero di sorgenti attive al tempo t. Si assume che {X(t), J(t)} sia uninput di Markov di tipo additivo, e le componenti non additive siano nonnegative e con zero drift. Il contenuto del buffer al tempo t, identificatodalla variabile Z(t), soddisfa quindi la seguente equazione integrale:Z(t) = Z(0) + X(t) −∫ t0r(Z(s), J(s))ds,dove r(x, j) è il ritmo di trasmissione quando il contenuto del buffer è x e ilnumero di sorgenti attive è j. Per esempio,r(x,j)= d(j) per x>0r(x,j)= 0 per x=0dove d(j) è la richiesta di trasmissione quando il numero di sorgenti è j.

Capitolo 4Il modello di Moran per ledighe4.1 Cenni sulle opere di derivazioneLe opere di derivazione, nella loro concezione più generica, sono costruzionisviluppate allo scopo di sottrarre, da un dato complesso idrografico, determinateportate d’acqua, in vista della loro utilizzazione per numerosi scopi:fornitura d’acqua per uso irriguo, approvvigionamento idrico di centri urbani,costruzione di vie d’acqua navigabili, produzione di energia elettrica.Quest’ultimo proposito ha senza dubbio l’importanza maggiore: innanzituttoassicura una richiesta costante di acqua durante l’intero arco dell’annoed, inoltre, è l’attività che fornisce maggiori introiti.Riferendosi a queste motivazioni, la regolazione degli impianti di derivazioneè volta soprattutto a massimizzare la produzione di energia idroelettrica.Richiesta fondamentale delle centrali per la produzione di elettricità èche il flusso d’acqua sia il più regolare possibile. Negli impianti ad acquafluente, ovvero quelli che sfruttano soltanto il naturale corso d’acqua, laregolazione dei macchinari può essere fatta o solo sulle caratteristiche delcorso nei periodi di magra o solo su quelle nei periodi di piena.Come è facile intuire, questo non permette di sfruttare appieno le potenzialitàdelle centrali, lasciandole per parte dell’anno inattive. Ecco allora lanecessità di progettare una struttura che regolarizzi al massimo la portatadel corso, rendendola il più costante possibile alle sezioni di presa.Il metodo principale per questo scopo è chiudere la valle del corso conuna diga di sbarramento, ottenendo così un serbatoio, a monte della presa,che trattiene i volumi d’acqua in eccesso durante i periodi di portata abbondante,per poi utilizzarli per integrare le portate naturali dei periodi dimagra. Il pelo dell’acqua immagazzinata varierà perciò tra la quota massima(detta quota massima di invaso), calcolata in funzione delle onde che si23

CAPITOLO 4. IL MODELLO DI MORAN PER LE DIGHE 24sviluppano sulla superficie ed in genere 2-3 metri sotto il ciglio della diga,e la quota minima (detta quota di massimo svaso) fissata a qualche metrosopra il greto del corso. Il volume d’acqua compreso tra queste due quote,ovvero il volume che possiamo far intervenire nelle attività di regolazione, èdenominato capacità utile.La regolazione del corso d’acqua è, come affermato prima, riferita all’annoidrologico (che possiede un primo periodo di piena ed un secondodi magra), ma le strutture più importanti prestano la loro attenzione allacompensazione di successive annate idrologiche diverse. Inoltre i progettipiù complessi, sviluppati in tempi più recenti, prevedono impianti chepotenzino ancor di più la produzione. Alcuni di questi sono delle linee ditrasporto d’acqua tra centrali idroelettriche, altri sono dati dalla presenzadi più serbatoi idrici collegati tra loro.Per quanto riguarda gli ingressi alle opere di derivazione, essi sono principalmentele precipitazioni e gli stessi corsi d’acqua entranti. Le prime,costituite da piogge e nevicate, vengono misurate attraverso pluviometri eposseggono scarti anche accentuati tra valori di annate successive. La caratteristicafondamentale dei corsi d’acqua è invece la portata che defluisceattraverso la sezione del corso: essa è fortemente correlata ai valori delleprecipitazioni sull’intero bacino imbrifero relativo, a meno di un valore dettocoefficiente di deflusso, che si riferisce alla perdita d’acqua per evaporazione.4.2 Introduzione al modelloCome già accennato precedentemente, le dighe sono modelli di stoccaggionei quali si immagazzina acqua per due diversi scopi: produzione di energiaelettrica (espressa in termini di volume di acqua richiesta per produrla) efornitura di acqua potabile o acqua per irrigazione. Possono inoltre esisteresorgenti supplementari (stazioni termali oppure strutture di trasporto diacqua da dighe vicine) che permettono di incrementare l’ingresso di acquanella diga, a fronte di determinati costi e comunque in maniera limitata.La trattazione statistica di modelli di stoccaggio per sistemi idroelettriciè stata sviluppata da numerosi autori a partire dagli anni Cinquanta. Laprima formulazione probabilistica di una diga come modello di stoccaggiovenne data da P.A.P. Moran nel 1954. All’interno di questo capitolo si analizzain maniera approfondita questo modello, poichè punto di partenza perle argomentazioni trattate nei capitoli successivi. Come precedentementeenfatizzato, una parte importante dello studio dei modelli di inventarioè la determinazione della distribuzione invariante della quantità stoccata.La parte centrale di questo capitolo verte perciò su questo tipo di analisi,dal punto di vista teorico, per il modello di Moran. Ulteriori analisi sulladistribuzione invariante, dal punto di vista simulativo, sono effettuate nelcapitolo successivo.

CAPITOLO 4. IL MODELLO DI MORAN PER LE DIGHE 254.3 Il modello di Moran a tempo discretoIl modello fondamentale per le opere di derivazione fu anche il primopresentato da Moran. Esso venne dato in termini di tempo discreto e con leseguenti assunzioni:1. INPUT: si indichi con X n la quantità di acqua in ingresso alla diga nell’intervallodi tempo (n, n + 1) con n = 0,1,...; si assume che le variabilialeatorie X 0 , X 1 , X 2 ... siano i.i.d., ovvero indipendenti e identicamentedistribuite.2. OVERFLOW: si indichi con k la capacità finita della diga, e con Z n ,la quantità di acqua immagazzinata nella diga al tempo n, prima chel’input X n fluisca all’interno della diga stessa; allora, se Z n +X n > k laquantità d’acqua data da Z n + X n − k strariperà, ma se Z n + X n ≤ k,non ci sarà fuoriuscita di acqua dalla diga; la diga contiene quindi unaquantità d’acqua data dal min (k, Z n + X n ).3. REGOLA DI RILASCIO COSTANTE: nell’istante di tempo (n + 1)una certa quantità d’acqua pari a:• m(< k) , se Z n + X n ≥ m• Z n + X n , se Z n + X n < mè rilasciata dalla diga. Il rilascio è così il min (m, Z n + X n ).Da queste assunzioni segue che la funzione di stoccaggio Z nseguente equazione ricorsiva:soddisfa laZ n+1 = min (k, Z n + X n ) − min (m, Z n + X n )con n = 0,1,2...La sequenza di variabili casuali Z n forma così una catena di Markov a tempodiscreto che ora andremo a studiare nei dettagli.4.3.1 Il comportamento transitorio di Z nPer prima cosa si consideri il caso in cui gli ingressi hanno distribuzionedi probabilità discreta. Ovvero:P {X n = j} = g j con (j = 0, 1, 2...) . (4.1)La catena di Markov {Z n } ha quindi un numero finito di stati: 0,1,2,...,k-m.Si indichino le probabilità di transizione tra stati come:P (n]ij= P {Z n = j | Z 0 = i} con (i, j = 0, 1, 2, ..., k − m, n ≥ 1) .

CAPITOLO 4. IL MODELLO DI MORAN PER LE DIGHE 26Inoltre, sia P (0)ij= δ ij dove δ ij simbolo di Kronecker. Si ha quindi che lamatrice P delle probabilità di transizione è data da:⎛P =⎜⎝⎞G m g m+1 g m+2 . . g k−1 h kG m−1 g m g m+1 . . g k−2 h k−1. . . . . . .. . . . . . .G 0 g 1 g 2 . . g k−m−1 h k−m0 g 0 g 1 . . g k−m−2 h k−m−1. . . . . . .⎟. . . . . . . ⎠0 0 0 . . g m−1 h mdove G i = g 0 + g 1 + · · · + g i , h i = g i + g i+1 + · · · (i ≥ 0) e si assume chem < 1 2 k.( )Con riferimento al capitolo 2 si ha che = P n con n ≥ 1; si ha inoltreP (n)ijche P 0 = I, dove I indica la matrice identità di ordine k − m + 1.Per n ≥ 2 si ha:P n = P · P n−2 · P.Si ottiene così la seguente relazione:P (n)ij= Q i · P n−2 · R j (n ≥ 2) , (4.2)dove Q i è la i-esima riga e R j la j-esima colonna di P, così cheQ i = (P i0 , P i1 , ..., P i,k−m )R j = (P 0j , P 1j , ..., P k−m,j ) ′ .Si definisce ora la seguente trasformata:P ij (z) =+∞∑n=2Con riferimento alla (4.2) si ha cheP (n)ijz n (|z| < 1) .∑+∞P ij (z) = z 2 Q i P n−2 z n−2 R jn=2= z 2 Q i (I + zP + z 2 P 2 + · · · )R j= z 2 Q i (I − zP ) −1 R j ,dove l’esistenza della matrice inversa (I − zP ) −1 è assicurata se si sceglie zcosì che il max i,j |zP ij | < 1.

CAPITOLO 4. IL MODELLO DI MORAN PER LE DIGHE 274.3.2 La distribuzione invariante dello stoccaggioSi analizzi ora il caso in cui m, la quantità di acqua rilasciata al tempon+1, è unitaria. Si prenda (g i ) come distribuzione di probabilità di X n ,come nella (4.1); inoltre, si consideri la seguente funzione generatrice deimomenti di (g i ):eG(z) =+∞∑j=0ρ = G ′ (1) =g j z j (|z| < 1)Si assume ρ < ∞.La matrice di transizione associata alla catena di Markov {Z n } è la seguente:⎛g 0 + g 1 g 2 · · · g k−1 h k⎞0 0 · · · g 0 h 1 g 0 g 1 · · · g k−2 h k−1P =0 g 0 · · · g k−3 h k−2⎜ . . · · · . .⎟⎝ . . · · · . . ⎠dove h i = ∑ +∞j=i g j con (i = 1, 2, ..., k). Si assume che g j > 0 ∀j; la catena èirriducibile e aperiodica, così esiste la distribuzione invariante (u i ),i = 0, 1, ..., k − 1, dove+∞∑j=0g j j.u i = limn→∞ P {Z n = i} .Questa è l’unica soluzione dell’equazione seguente:unita a∑k−1u j = u i P ij (j = 0, 1, ..., k − 1) (4.3)i=0u 0 + u 1 + · · · + u k−1 = 1.Si enuncia ora un teorema che permette di ottenere il metodo generalecon cui trovare la distribuzione invariante (u i ) per una diga con inputdiscreto di capacità finita k:Teorema 5. Valgono i seguenti due enunciati:[ ]1. se u (k)i, (i = 0, 1, ..., k−1) è la distribuzione invariante dello stoccaggiodi acqua in una diga di capacità k, allora la frazione data daè indipendente da k;v i = u(k) iu (k)0, (i = 1, 2, ..., k − 1) (4.4)

CAPITOLO 4. IL MODELLO DI MORAN PER LE DIGHE 282. i valori v i sono dati dai coefficienti z i di V(z), doveV (z) = g 0(1 − z)G(z) − z . (4.5)Dimostrazione. La prima parte del teorema è subito provata; infatti, scrivendoper esteso i termini dell’equazione (4.3) si ha che:u 0 = (g 0 + g 1 )u 0 + g 0 u 1u 1 = g 2 u 0 + g 1 u 1 + g 0 u 2.u k−2 = g k−1 u 0 + g k−2 u 1 + · · · + g 0 u k−1u k−1 = h k u 0 + h k−1 u 1 + · · · + h 1 u k−1Risolvendo questa equazione successivamente si ottiene che:v 1 = 1 − g 0 − g 1g 0, v 2 = 1 − g 1g 0v 1 + g 2g 0(4.6)da cui, in generale, si nota che i coefficienti v i (i = 1, 2, ..., k − 1) sonoindipendenti da k.Si riprende ora la funzione V (z) definita nella (4.5). Risulta prima necessarioprovare che V (z) può essere espansa come serie di potenza convergenteper opportuni valori del |z|. Si distinguono due casi.1. Caso in cui ρ ≤ 1:dato[G(z) − z = (1 − z) 1 − 1 − G(z) ],1 − zpoichè1 − G(z)1 − zsi ottiene, per |z| < 1,1 − G(z)∞∣ 1 − z ∣ < ∑=∞∑∞∑n=0n=0 i=n+1z ng i =∞ ∑i=n+1g i∞∑ig i = ρ ≤ 1,così che |G(z) − z| ≠ 0, e si ha così l’espansione in serie di potenze[V (z) = g 0 1 − 1 − G(z) ] −1= v 0 + v 1 z + v 2 z 2 + · · ·1 − zconvergente per |z| < 1.i=1

CAPITOLO 4. IL MODELLO DI MORAN PER LE DIGHE 292. Caso in cui ρ > 1:in questo caso esiste un λ positivo, con |z| < λ, tale che si ha laseguente espansione in serie di potenzeg 0G(z) − z = c 1 + c 2 z + c 3 z 2 + · · · .Di conseguenza anche V (z) possiede un’espansione in serie di potenzeconvergente per |z| < λ.In entrambi i casi V (z) ha un’espansione in serie di potenze data da:V (z) = g 0(1 − z)G(z) − z = v 0 + v 1 z + v 2 z 2 + · · · .I coefficienti v i sono determinati dalla relazioneg 0 (1 − z) = [G(z) − z]∞∑v i z ie quindi si può notare che v 0 = 1, mentre v 1 , v 2 ,...,v k−1 soddisfano la (4.6)e rappresentano quindi le quantità definite nella (4.4).i=0

Capitolo 5SimulazioneNel capitolo precedente si sono affrontati i modelli relativi alle dighe daun punto di vista teorico, permettendo di comprendere meglio i processinella loro formulazione puramente analitica. Per meglio visualizzare ciò cheessi descrivono, si è ritenuto utile sviluppare una parte simulativa, che dalleargomentazioni precedenti trae ispirazione e sviluppa inoltre una serie dirisultati originali, non presenti nella letteratura del campo.L’attenzione si è perciò rivolta a sviluppare programmi che permettono diricavare quantità fondamentali nella gestione delle dighe, per le quali in letteraturanon esistono espressioni analitiche esplicite, e che dal punto di vistapuramente empiristico sarebbero difficili da valutare in fase di progettazione.Nello sviluppare questi software si è fatto in modo che essi fossero utilizzabilianche con parametri diversi da quelli presi in considerazione. Si è sceltoquindi di passare gran parte dei parametri simulativi in ingresso alle routines,cosicchè essi siano impostabili dall’utente. Lo script di questi programmi,realizzati in ambiente Matlab, è interamente riportato nell’Appendice allatesi.Innanzitutto ci si è concentrate sulla distribuzione stazionaria della catenadi Markov associata al modello. Questo perchè la distribuzione stazionariapossiede un’importanza notevole dal punto di vista matematico, ma soprattuttoperchè essa rappresenta il comportamento caratteristico della digain regime stazionario, ovvero quel comportamento limite che la diga possiededopo un transitorio iniziale. Si è quindi costruito un algoritmo che interpretasseil comportamento della diga attraverso simulazione di differentiingressi, provenienti da diverse distribuzioni di probabilità, per sufficientipassi temporali.Il passaggio successivo è stato la validazione dell’algoritmo, attraversoil confronto con i risultati teorici conosciuti, necessaria per assicurarsi cheeffettivamente il software interpretasse in maniera corretta il modello.La seconda parte del capitolo è invece incentrata sulla valutazione difenomeni caratteristici nella gestione delle dighe, quali l’overflow (ovvero30

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 31quando la quantità di acqua presente nella diga eccede la capacità utile) ela secca (ovvero quando si ha assenza di acqua nella diga), in funzione deiparametri caratteristici della diga (capacità utile e flusso d’acqua in uscita)e delle diverse tipologie di ingressi.

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 325.1 Determinazione della distribuzione stazionariaLa prima simulazione svolta è stata la ricerca del comportamento a lungotermine della diga, ovvero della distribuzione stazionaria del contenuto delladiga R n , sotto precise politiche di gestione della stessa. La valutazione delladistribuzione stazionaria è un passo utile da compiere in ambito simulativopoichè permette una buona valutazione del comportamento della digaquando essa raggiunge la situazione di regime. Il modello a cui ci si riferisceè sempre il modello di Moran a tempo discreto, nel caso in cui gli ingressiX n nella diga avvengano in maniera continua, come effettivamente avvienenella realtà.5.1.1 Implementazione del modelloL’algoritmo sviluppato per la simulazione del modello si basa sulle argomentazionipresentate da Loynes, [1962] riguardo le distribuzioni stazionarie.Esse infatti dimostrano come effettivamente il modello possieda unadistribuzione stazionaria, sebbene essa sia difficile da calcolare e ancor piùda manipolare dal punto di vista analitico.Si riprendono quindi le argomentazioni sviluppate nel capitolo precedente.Sia la funzione di distribuzione degli ingressi indicata da G(x) cosìche:P {X n ≤ x} = G (x)dove (X n ) n≥0 successione di variabili aleatorie i.i.d., rappresentanti la quantitàdi acqua in ingresso. Si avrà quindi G(x) = 0 se x ≤ 0. Il processo adessa collegato sarà una catena di Markov con stati appartenenti all’intervallochiuso [0, k − m].Sia Z n la quantità di acqua stoccata nella diga al tempo n, prima che l’inputX n fluisca nella diga. Si consideri la relazione di ricorrenza descriventeil processoZ n+1 = min(k, Z n + X n ) − min(m, Z n + X n ) (n = 0, 1, 2, ...),e si riscriva come:Z n+1 = f(Z n + X n ),dove la funzione f(u) è definita nel seguente modo:⎧⎨ 0 se u ≤ mf(u) = u − m se m < u < k⎩k − m se u ≥ kSi può notare che la funzione f(u) è non decrescente e non negativaper ogni u ≥ 0. Poichè la distribuzione di X n è indipendente da n, sipuò affermare che la sequenza {X n , −∞ < n < ∞} è composta da variabilialeatorie indipendenti e identicamente distribuite, con distribuzione G(x).

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 33Lemma 1. Se Z 0 = 0, allora la distribuzione stazionaria di (Z n ) n≥0 esisteed è supportata nell’intervallo chiuso [0 , k-m].Dimostrazione. Ci si avvale di una nuova successione, definita per ogni interoN come {}, −∞ < n < ∞dove:Si ha quindi la proprietà che:Z (N)nZ (N)n = 0 se n ≤ −NZ (N)n+1 = f(Z(N) n + X n ) se n ≥ −N.Z (N+1)n≥ Z (N)n(∞ < n < ∞).Infatti, per n < −N, Z (N)nZ (N)n= 0 mentre Z (N+1)n= 0 = Z n(N+1) per definizione; per n = −N,= f(Z (N+1)n+1 + X n−1 ) ≥ 0; per n ≤ −N,si procedeper iterazione. Si assume infatti che la proprietà sia vera per qualche n;poichè f(u) è non decrescente si ha:Z (N+1)n+1 = f(Z n(N+1) + X n ) ≥ f(Z n(N) + X n ) = Z (N)n+1 ,che dimostra che la proprietà vale anche per n + 1. Di conseguenza si puòaffermare che la proprietà vale ∀n.In particolare, la proprietà fa sì che Z (N+1)0 ≥ Z (N)0 e di conseguenzasi può generare una successione non decrescente Z (N)0 di variabili aleatorie.Questo comporta che Z (N)0 → Z ∗ , dove Z ∗ è a sua volta variabile aleatoria,che assume valori nell’intervallo [0, +∞]. Si consideri ora la serie Z (0)Nottenutaattraverso la relazione di ricorrenza con Z (0)0 = Z 0 = 0. Poichè nelcalcolare Z (0)Nsi sfrutta in effetti la stessa relazione utilizzata per ricavareZ (N)0 , si può concludere che Z (0)Ntende allo stesso limite Z∗ . Osservandoinoltre l’intervallo di appartenenza di Z (0)N, ovvero [0, k − m], allora ancheZ ∗ possiederà lo stesso intervallo di appartenenza.Lemma 2. Se Z 0 appartiene all’intervallo chiuso [0, k−m] e tende al limiteZ ∗ , allora Z n tende allo stesso limite Z ∗ .Questo lemma risulta essere di notevole importanza, perchè assicura chela distribuzione limite ottenuta è effettivamente indipendente dallo stato inizialeposseduto dalla catena. Esso è stato sviluppato da Prabhu, [1965].Nell’analisi della distribuzione limite è di maggiore significato considerarequella posseduta dalla variabile aleatoria R n , contenuto della diga all’istanten; è infatti di semplice calcolo, una volta ottenuta la distribuzione

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 34della variabile limite Z ∗ , ma di più pratico significato.EssendoR n = Z n + X n ,R n sarà una nuova catena di Markov, di densitàChiamandoP (x; y) = P {R n+1 ≤ y|R n = x} .H n (x; y) = P {R n ≤ y|R 0 = x} ,al limite di n → ∞, R n → R ∗ , dove R ∗ < ∞ con probabilità uno. Diconseguenza si avrà che H n (x; y) → H(y), dove H(y) è la distribuzionestazionaria ricercata.Si enuncia ora una proposizione riassuntiva riguardante la distribuzionestazionaria:Proposizione 6. La catena di Markov collegata al processo di stoccaggio,con stati appartenenti all’intervallo chiuso [0, k − m], rappresentata dallarelazione di ricorrenzaZ n+1 = min(k, Z n + X n ) − min(m, Z n + X n ) (n = 0, 1, 2, ...),possiede un’unica distribuzione invariante continuaH(y) = P {R ∗ ≤ y} ,dove R ∗ è il limite della variabile R n = X n + Z n .Partendo da questi risultati analitici, è stato implementato un programmache simulasse il funzionamento della diga per sufficienti passi temporali eche ricavasse la distribuzione stazionaria. Si tratta della funzione errestar.m,che descrive il vero e proprio funzionamento della diga a fronte di determinatiingressi. Questa routine restituisce una realizzazione della variabile R ∗ ,a fronte dei parametri della diga e del vettore contenente la serie temporaledegli ingressi nella diga, inseriti in ingresso. Essa restituisce anche la serietemporale delle quantità di acqua stoccate nella diga durante la simulazione.5.1.2 Analisi con ingresso di tipo Esponenziale e validazionedell’algoritmoCome prima distribuzione di ingressi in analisi è stata scelta l’Esponenziale.Essa consente infatti di ottenere risultati significativi per l’analisi delcomportamento del sistema, ed inoltre permette la validazione dell’algoritmodi simulazione, poichè in letteratura esistono risultati utili per il confronto.

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 35La simulazione è implementata dalla routine stazionariagamma.m, checombina la funzione errestar.m, descritta nel paragrafo precedente, alla generazionedi numeri random provenienti da distribuzione Gamma. Essa infatticrea, per ogni simulazione, il vettore di ingressi alla diga, lo passa ad errestar.m,ne prende la realizzazione della variabile limite in uscita e lo inseriscenel vettore di realizzazioni di R ∗ , che avrà quindi ampiezza pari allesimulazioni richieste. La funzione richiede perciò in ingresso solo i parametridella diga e quelli della distribuzione Gamma, poichè contiene già al suo internoil processo di generazione delle serie temporali in ingresso alla diganelle varie simulazioni. Per la simulazione di ingresso Esponenziale bastaquindi porre il parametro n della Gamma pari a 1, ottenendo così il vettoredi realizzazioni della variabile limite corrispondente.La prima distribuzione in analisi è di probabilità p=0.5 con parametridella diga fissati a m=0.75 e k=3. La valutazione è stata svolta con una precisionedi 5000 simulazioni e con ampiezza delle serie temporali in ingressoalla diga di 100 passi. Questa scelta del grado di precisione permette infattidi stimare, con buona approssimazione, la distribuzione della variabile limiteattraverso un campione di 5000 realizzazioni, mentre in 100 passi temporalisi ha un buon compromesso tra velocità di computo e la depurazione del processodal transitorio iniziale. In figura 5.1 è stata plottata la distribuzionedell’Esponenziale, mentre in figura 5.2 si osserva la distribuzione della quantitàstoccata nella diga, ottenuta mediante la funzione ritornadensita.m. Essa,inserendo il vettore di realizzazioni di una variabile e la distanza tra ipunti in cui si vuole valutare la cumulata, restituisce sia il plottaggio delladistribuzione che i vettori dei punti in cui la cumulata viene valutata e deivalori della stessa.Si è quindi proceduto ad una seconda analisi, variando tutti i parametridella simulazione: si è posto il parametro dell’Esponenziale pari a p=0.8,mentre i parametri della diga sono stati fissati a m=1, k=5; il grado diprecisione è sempre di 5000 realizzazioni della variabile limite e di 100 passitemporali per simulazione. La distribuzione dell’ingresso è rappresentata infigura 5.3, mentre la distribuzione della quantità stoccata è stata plottatain figura 5.4, sempre ottenuta tramite ritornadensita.m.

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 3610.90.80.70.60.50.40.30.20.100 2 4 6 8 10 12 14 16Figura 5.1: Distribuzione Esponenziale p=0.510.90.80.70.6H(y)0.50.40.30.20.100 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20yFigura 5.2: Distribuzione di R*, ingresso Exp p=0.5, parametri diga m=0.75e k=3

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 3710.90.80.70.60.50.40.30.20.100 2 4 6 8 10 12 14Figura 5.3: Distribuzione Esponenziale p=0.810.90.80.70.6H(y)0.50.40.30.20.100 5 10 15yFigura 5.4: Distribuzione di R*, ingresso Exp p=0.8, parametri diga m=1 ek=5

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 38Per validare l’algoritmo sviluppato ci si è affidati ai risultati teorici presentatida Prabhu, [1965]: egli riuscì a calcolare in maniera analitica l’espressionedella distribuzione stazionaria per ingressi di tipo Gamma di parametri(n, p) , ovvero con distribuzione:dG(x) =p n(n − 1)! e−px x n−1 dx (0 < x < ∞)dove p > 0 e n intero positivo.I risultati ottenuti da Prabhu subiscono notevoli semplificazioni quando siipotizza una distribuzione di tipo Gamma con parametri (1, p) e si considerail valore k multiplo di m. Si ha perciò un ingresso di tipo Esponenziale diparametro p, con distribuzione:dG(x) = p e −px dx(0 < x < ∞).Siano λ = pe −pm e k = (N + 1)m (con N intero positivo) costanti caratteristichedel problema. Prabhu indica allora come distribuzione stazionaria lafunzione H(y) data da:⎧⎪⎨H(y) =⎪⎩N−s∑1 − ce p(k−y)q=0(−λ) q(k − y − qm) qq![ se (sm ≤ y < sm + m; s = 0, 1, . . . , N − 1)]1 − ce p(k−y) se (y ≥ Nm),dove la costante c è ricavata grazie alla condizione al contorno H(0) = 0.Perciò:e −pkc = ∑ N (−λ) qq=0 q!(k − qm) qNella fase di validazione del modello sono state calcolate, per via analitica,le distribuzioni stazionarie relative agli ingressi Esponenziali presentatinella sezione precedente ed, inoltre, il loro grafico è stato sovrapposto algrafico nel caso simulato. In figura 5.5 si osservano la distribuzione H(y)simulata (colore blu) e la distribuzione H(y) analitica (colore rosso) relativeai valori di m=0.75, k=3, p=0.5 , mentre in figura 5.6 sono osservabili ledistribuzioni correlate ai parametri m=1, k=5, p=0.8.Tutto questo è stato ottenuto tramite il programma densitaanalitica.m,che traduce la formulazione teorica della distribuzione stazionaria e permettela valutazione dell’errore commesso durante la simulazione. Essa infattirichiede in ingresso il vettore dei valori della cumulata simulata e quello deipunti in cui è stata valutata, proprio allo scopo di effettuare il confrontocon la cumulata teorica e di calcolare l’errore. Inserendo quindi in ingressol’output della simulazione e i parametri della diga e dell’Esponenziale, sihanno in uscita il vettore dei valori della cumulata teorica e quello deglierrori commessi (entrambi calcolati negli stessi punti di valutazione dellasimulata).

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 3910.90.80.70.6H(y)0.50.40.30.20.100 5 10 15 20 25yFigura 5.5: Confronto tra H(y) teorica e H(y) simulata, ingresso Exp p=0.5,parametri diga k=3, m=0.7510.90.80.70.6H(y)0.50.40.30.20.100 5 10 15 20 25yFigura 5.6: Confronto tra H(y) teorica e H(y) simulata, ingresso Exp p=0.8,parametri diga k=5, m=1

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 40In entrambi i casi si hanno distribuzioni molto aderenti tra loro, e diconseguenza è lecito affermare che la nostra verifica ha avuto esito positivo:l’algoritmo implementato risulta corretto e rappresentativo del modello diMoran.Si è comunque approfondita l’analisi degli scarti tra la distribuzioneanalitica e quella simulata, dati dal valore assoluto della differenza tra ledistribuzioni. Essi sono stati plottati in figura 5.7 per l’Esponenziale diparametro p=0.5 e in figura 5.8 per l’Esponenziale di parametro p=0.8.Analizzando i risultati ottenuti per l’Esponenziale con p=0.5 si ha che l’erroremedio commesso nella simulazione è di 1.6·10 −3 , mentre per l’Esponenzialecon p=0.8 l’errore medio è di 2.5·10 −3 . L’errore commesso nel simulareil modello è quindi nell’ordine del 0.02% ed è perciò lecito affermare che lasimulazione è corretta.

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 410.0150.010.00500 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Figura 5.7: Errore tra H(y) teorica e H(y) simulata, ingresso Exp p=0.5,parametri diga k=3, m=0.750.0140.0120.010.0080.0060.0040.00200 5 10 15Figura 5.8: Errore tra H(y) teorica e H(y) simulata, ingresso Exp p=0.8,parametri diga k=5, m=1

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 425.1.3 Analisi con ingresso di tipo BetaIn questa sezione si analizzano i risultati ottenuti per ingressi di tipoBeta, per i quali non è nota una descrizione esplicita della distribuzioneinvariante. Questa analisi è stata ottenuta tramite l’utilizzo della routinestazionariabeta.m. Essa procede in modo analogo alla precedente routinestazionariagamma.m, generando però numeri random provenienti da unadistribuzione Beta dilatata per la simulazione dell’ingresso.Per distribuzione Beta dilatata di parametri (a, b) si intende la variabilealeatoria Y, definita sull’intervallo [0, c], dove:Y = cXcon f(x) = x a−1 (1 − x) b−1Per la simulazione si sono scelti parametri della distribuzione Beta pari aa=3 e b=4; la densità di probabilità dell’ingresso è quindi f(x) = x 2 (1−x) 3 ,dilatata poi sull’intervallo chiuso [0,4]. La distribuzione dell’ingresso è rappresentatain figura 5.9. Sono stati inoltre modificati i parametri della diga,stimandoli ai valori m=1.5 e k=4, mentre il grado di precisione è identico allesimulazioni precedenti, 5000 realizzazioni della variabile limite ciascuna ottenutada ingressi di 100 passi temporali. La risultante quantità stoccata R ∗possiede la distribuzione riportata in figura 5.10 tramite ritornadensita.m,il cui funzionamento è gia stato descritto nel paragrafo precedente.Per la stima di questa distribuzione si è ipotizzato, grazie ad una primaanalisi grafica, si trattasse nuovamente di una Beta, dilatata ora sull’intervallochiuso [0,6]. Per ottenere una stima corretta dei parametri delladistribuzione si è spezzato il vettore dei risultati della simulazione in duesottovettori di dimensone 1000: uno è stato utilizzato per la stima deiparametri, mentre l’altro per la validazione degli stimatori ottenuti. Perottenerne gli stimatori di massima verosimiglianza dei parametri i valoridello stoccaggio all’intervallo [0,1] sono stati riscalati e, attraverso la routinebetafit.m dell’ambiente Matlab, si sono ottenute le stime â = 4.3586e ˆb = 2.9768. Questa routine è già impostata per fornire automaticamentegli stimatori di massima verosimiglianza, inserendo in ingresso il vettore dicampioni provenienti dalla distribuzione con parametri ignoti. In figura 5.11si osserva il confronto tra le distribuzioni di R ∗ simulata e stimata, entramberiscalate sull’intervallo [0,1]. Si può quindi concludere che la variabile R ∗ ,per questo tipo di ingresso, possiede le seguenti caratteristiche:dove f(x) = xâ−1 (1 − x)ˆb−1R ∗ = 6Xcon â = 4.5005 e ˆb = 3.0848Per valutare la bontà della stima ottenuta si è effettuato un test di buonadattamento tra il semivettore di R ∗ destinato alla validazione della stimae la distribuzione stimata. Si è scelto di utilizzare il test di Kolmogorov-Smirnoff sui parametri stimati; in questo test le ipotesi messe a confronto

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 43sono:H 0 : la distribuzione reale coincide con la distribuzione stimataH 1 : la distribuzione reale è differente dalla distribuzione stimata.Questo test è già implementato nella routine kstest.m presente in Matlab.Questa funzione ha diversi utilizzi in base agli ingressi forniti ed agli outputsrichiesti. Nel caso in esame si è posto in ingresso il campione su cui effettuareil test, la distribuzione cumulata stimata, un livello di significatività del testpari a 0.05 e la tipologia di default del test, che rappresenta proprio l’ipotesialternativa da noi desiderata. Gli outputs richiesti sono stati il risultato deltest e il p-value.Il test, restituendo un p-value pari a 0.6232, ha dato risultato positivo,confermando che non è possibile rifiutare l’ipotesi di uguaglianza delle duedistribuzioni.

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 4410.90.80.70.60.50.40.30.20.100 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Figura 5.9: Distribuzione Beta, a=3 e b=4, dilatata su [0,4]10.90.80.70.6H(y)0.50.40.30.20.100 1 2 3 4 5 6yFigura 5.10: Distribuzione di R*, ingresso Beta a=3 b=4, parametri digam=1.5 e k=4

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 451.41.210.8H(y)0.60.40.200 1 2 3 4 5 6yFigura 5.11: Confronto tra la distribuzione simulata di R* per ingresso Beta(blu) e distribuzione data dagli stimatori di massima verosimiglianza (rosso)

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 465.2 Analisi delle probabilità di secca e di overflowIl passo successivo all’interpretazione di casi particolari è stato quellodi valutare come diversi ingressi si comportino nel caso di dighe generiche,ovvero con i parametri caratteristici k (capacità utile) e m (uscita della diga)variabili su range ampi, non più quindi per valori prefissati.Si sono analizzati ingressi Esponenziali, utili anche in questo caso per validarel’algoritmo, ed un ingresso Beta, per il quale non si hanno risultatinoti. L’attenzione, in questo paragrafo, si è spostata non più sulla ricercadi una distribuzione stazionaria, ottenuta in un caso ben specifico, ma nell’ottenererisultati importanti per la progettazione delle dighe, in funzionedi parametri variabili.Le quantità di maggior interesse nella fase di progettazione sono, comegià accennato nei capitoli precedenti, la frazione di tempo passata in overflow(ovvero quando la quantità di acqua presente nella diga eccede la capacitàutile) e quella passata in secca (ovvero quando si ha assenza di acqua nelladiga e l’uscita risulta quindi essere sotto il livello m).Nella simulazione si sono scelti i parametri variabili nei seguenti intervalli:k assume valori discreti nell’intervallo [1, 15] con passo unitario, mentrem assume valori discreti nell’intervallo [0, 5] con passo pari a 0.1. Sono statiscelti questi valori poichè, pur essendo ipotizzati, sono rappresentativi di casiverosimili se si assumono come unità di misura [km 3 ] per k e [km 3 /anno]per m.Nell’implementazione delle routines necessarie ci si basa sui programmigià creati per la distribuzione stazionaria, generalizzandoli sui diversiparametri della diga. I programmi utilizzati in questa fase di simulazionesono i seguenti:• frazioneoverexp.m : Questa routine riceve in ingresso il parametro delladistribuzione Esponenziale in considerazione, l’intervallo di tempo percui si vuole analizzare il comportamento della diga, gli intervalli entrocui si vogliono fare variare i parametri della diga e il numero di simulazionidesiderate. Genera quindi al suo interno una matrice contenentegli ingressi aleatori alla diga, provenienti da distribuzione Esponenziale,dove ciascuna colonna rappresenta una simulazione ampiaquanto l’intervallo di tempo in considerazione. Questo processo dimemorizzazione degli ingressi permette una maggiore velocità di calcolodel programma. In seguito valuta la porzione di tempo in cuiil contenuto d’acqua della diga supera la capacità utile della stessa,ovvero la frazione di tempo in cui la diga si trova in overflow. L’outputdella routine è una matrice contenente i valori delle frazioni ditempo in funzione degli intervalli di variazione dei parametri.• frazioneoverbeta.m : Il funzionamento è analogo alla routine precedente;si hanno in ingresso i parametri della distribuzione Beta (com-

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 47preso il coefficiente di dilatazione), l’intervallo di tempo, gli intervallidei parametri della diga e il numero di simulazioni desiderate.• frazioneseccaexp.m : Il funzionamento è analogo alle routines precedenti;riceve in ingresso il parametro della distribuzione Esponenziale,l’intervallo di tempo, gli intervalli entro cui variano i parametri delladiga e il numero di simulazioni desiderate. Genera al suo interno lamatrice di ingressi aleatori ed in seguito valuta la porzione di tempoin cui il contenuto d’acqua stoccato nella diga è nullo, ovvero la digasi trova in secca.• frazioneseccabeta.m : Il funzionamento è analogo alla routine precedente;riceve in ingresso i parametri della distribuzione Beta (compresoil coefficiente di dilatazione), l’intervallo di tempo, gli intervalli entrocui variano i parametri della diga e il numero di simulazioni desiderate.Le simulazioni sono state effettuate sulle tipologie di ingressi già analizzatenella determinazione della distribuzione stazionaria: Esponenziale diparametro p=0.5, Esponenziale di parametro p=0.8, Beta di parametri a=3e b=4 dilatata sull’intervallo chiuso [0,4]. Il parametro k è stato fatto variarenel range tra 1 e 15 con passo unitario, mentre il parametro m nel range tra0 e 5 con passo 0.1 . L’accuratezza della simulazione effettuata è di 1000simulazioni di serie di ingressi alla diga, ciascuna di 200 passi temporali.I risultati ottenuti sono stati tradotti nei grafici contenuti nelle figure da5.12 a 5.23. Si noti che le superfici tridimensionali sono troncate lungo la curvala cui proiezione sul dominio è rappresentata dalla linea k = m. Questoavviene a causa della restrizione del dominio posta dal vincolo k > m, percui la superficie in questa regione non è definita.Grazie alla descrizione analitica della distribuzione stazionaria (per ingressidi tipo Esponenziale), si è inoltre riuscito a confrontrare, allo scopodi validare il software per il calcolo delle frazioni di tempo, i risultati dellesimulazioni con i valori teorici, calcolati al variare dei parametri k e m. Ci siriferisce a questo proposito al lavoro di A. Ghosal, “Emptiness in the finitedam”.Siano Π O la frazione di tempo passata in overflow e Π S quella passatain secca. Siano inoltre O = [k, +∞), ovvero l’insieme degli stati che provocaoverflow nella diga, e S = [0, m], ovvero l’insieme degli stati che provocasecca nella diga. Sfruttando una variante del teorema ergodico si ottienecosì:Π O =n−11 ∑lim χ O (R i ) = P (R ∗ > k) = 1 − P (R ∗ ≤ k) = 1 − H(k)n→+∞ nΠ S =i=0n−11 ∑lim χ S (R i ) = P (R ∗ ≤ m) = H(m)n→+∞ ni=0

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 48dove χ(R) indica la funzione indicatrice dell’insieme R.I valori di Π O e di Π S sono stati calcolati sui diversi intervalli deiparametri grazie alle routines overflowanalitico.m e seccaanalitica.m, chevalutano i valori della distribuzione ed effettuano anche i controlli sui diversiparametri di k e m (si ricorda che per ottenere la distribuzione stazionariaanalitica è necessario, oltre alla condizione generale k > m, che k sia multiplointero di m). In queste due routines è stata tradotta la distribuzioneanalitica, già presentata nel paragrafo relativo all’analisi dell’ingresso Esponenziale,ed attraverso cicli for concatenati vengono effettuati i controlli suiparametri della diga e la valutazione della cumulata analitica. Gli ingressialle routines sono quindi gli intervalli entro cui variano i parametri della digaed il parametro della distribuzione Esponenziale. L’output delle routines èuna matrice contenente i valori delle frazioni di tempo rispettive in funzionedegli intervalli di variazione dei parametri.Nelle figure da 5.24 a 5.27 si sono sovrapposti i risultati ottenuti tramitesimulazione e i risultati teorici, valutati nei punti in cui è stato possibilefarlo, date le limitazioni per il calcolo della R ∗ teorica.Si è quindi proceduto al calcolo dell’errore effettuato durante la simulazione,confrontando valori ottenuti durante la simulazione e quelli teorici.Esso è rappresentato nelle figure da 5.28 a 5.31 . Per la simulazione dellafrazione di tempo passata in overflow si è ottenuto un errore medio del0.0037 per Esponenziale in ingresso di parametro p=0.5 ed un errore mediodel 0.0017 per p=0.8. Gli errori relativi rispettivi sono del 2% e del 2.5%,per cui ci si può dire soddisfatti della simulazione. Per la simulazione dellafrazione in secca si sono ottenuti errori medi del 0.0029 per p=0.5 e del0.0019 per p=0.8, con rispettivi errori relativi di 1% e 0.5%, per cui anchein questo caso si può validare l’algoritmo di simulazione.

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 49porzione10.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.90.80.70.60.50.40.30.2k51015543m2100.1Figura 5.12: Frazione di tempo passata in overflow, in caso di ingressoEsponenziale p=0.5141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 5.13: Curve di livello della frazione di tempo passata in overflow, incaso di ingresso Esponenziale p=0.5

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 5010.90.90.80.80.70.7porzione0.60.50.40.30.60.50.20.40.1000.30.25k1015543m2100.1Figura 5.14: Frazione di tempo passata in overflow, in caso di ingressoEsponenziale p=0.8141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 5.15: Curve di livello della frazione di tempo passata in overflow, incaso di ingresso Esponenziale p=0.8

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 51porzione10.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.90.80.70.60.50.40.350.2k1015543m2100.1Figura 5.16: Frazione di tempo passata in overflow, in caso di ingresso Betadilatata141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 5.17: Curve di livello della frazione di tempo passata in overflow, incaso di ingresso Beta dilatata

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 520.90.8porzione10.90.80.70.60.50.40.30.20.70.60.50.40.30.10543m2101510k500.20.1Figura 5.18: Frazione di tempo passata in secca, in caso di ingressoEsponenziale p=0.5141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 5.19: Curve di livello della frazione di tempo passata in secca, in casodi ingresso Esponenziale p=0.5

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 530.9porzione10.90.80.70.60.50.40.80.70.60.50.40.30.30.20.100.20543m2101510k50.1Figura 5.20: Frazione di tempo passata in secca, in caso di ingressoEsponenziale p=0.8141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 5.21: Curve di livello della frazione di tempo passata in secca, in casodi ingresso Esponenziale p=0.8

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 5410.9porzione10.90.80.70.60.50.40.30.20.80.70.60.50.40.30.10543m2101510k500.20.1Figura 5.22: Frazione di tempo passata in secca, in caso di ingresso Betadilatata141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 5.23: Curve di livello della frazione di tempo passata in secca, in casodi ingresso Beta dilatata

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 5510.90.80.7porzione0.60.50.40.30.20.1005k1015543m210Figura 5.24: Confronto tra frazione in overflow simulata (superficie verde)e calcolata in via teorica (stelle rosse) per ingresso Esponenziale con p=0.510.90.80.70.6porzione0.50.40.30.20.1005k1015543m210Figura 5.25: Confronto tra frazione in overflow simulata (superficie verde)e calcolata in via teorica (stelle rosse) per ingresso Esponenziale con p=0.8

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 5610.90.80.7porzione0.60.50.40.30.20.100543m2101510k5Figura 5.26: Confronto tra frazione in secca simulata (superficie verde) ecalcolata in via teorica (stelle rosse) per ingresso Esponenziale con p=0.510.8porzione0.60.40.201510k50012m345Figura 5.27: Confronto tra frazione in secca simulata (superficie verde) ecalcolata in via teorica (stelle rosse) per ingresso Esponenziale con p=0.8

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 570.030.0250.02errore0.0150.010.0050151045k50123mFigura 5.28: Analisi dell’errore di simulazione per frazione di tempo inoverflow, per ingresso Esponenziale con p=0.50.0250.020.015errore0.010.0050151045k50123mFigura 5.29: Analisi dell’errore di simulazione per frazione di tempo inoverflow, per ingresso Esponenziale con p=0.8

CAPITOLO 5. SIMULAZIONE 58x 10 −38765errore43210151045k50123mFigura 5.30: Analisi dell’errore di simulazione per frazione di tempo in secca,per ingresso Esponenziale con p=0.5x 10 −38765errore432101510k50123m45Figura 5.31: Analisi dell’errore di simulazione per frazione di tempo in secca,per ingresso Esponenziale con p=0.8

Capitolo 6Problema dell’ottimizzazioneIn questo capitolo si presentano i risultati relativi alla parte più concretadi questa trattazione. Si affronta infatti il problema di ottimizzare i guadagnigenerati da una diga, scegliendo i parametri migliori di capacità utile k e diportata in uscita m. Questo permette infatti, in sede di progetto, di sceglierei parametri ottimali che, a fronte di una distribuzione di probabilità degliingressi, permettano di massimizzare i guadagni attesi.Per prima cosa si è presentato il metodo utilizzato per la definizione diuna funzione guadagno realistica, dipendente dai soli parametri k e m. Essatiene conto della maggior parte dei fenomeni presenti all’interno di un’operadi derivazione; tuttavia i valori assegnati sono puramente esemplificativi. Incompenso, la trattazione generica è facilmente applicabile a qualsiasi altrostudio particolare.Si è poi proceduto alla simulazione del valore atteso di questa funzione,sia sul breve termine (30 anni di funzionamento), che sul lungo termine(100 anni di funzionamento). Nel paragrafo relativo alla simulazione si fariferimento alla routine centrale di questa tesi, che è riportata interamentenell’Appendice.Ottenuta la funzione di guadagno atteso si è passato al processo di ottimizzazionedella stessa. Come sarà meglio specificato nei paragrafi relativisi è utilizzato un metodo di ottimizzazione facente parte di un’ampia classedi modelli detti di “ricerca diretta”, denominato compass search. Attraversol’implementazione di questo metodo si è quindi arrivati ai parametri ottimiper le tipologie di ingressi di densità Esponenziale con parametri p = 0.5 ep = 0.8 e Beta dilatata con parametri a = 3, b = 4, c = 4.59

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 606.1 Determinazione della funzione guadagnoPer definire accuratamente il problema dell’ottimizzazione della gestionedella diga, dal punto di vista economico, si devono per prima cosa determinarecorrettamente tutti i costi e le possibilità di guadagno presenti nellagestione. Per fare questo si devono associare ai valori generati nelle simulazionile rispettive unità di misura. Per quanto riguarda la capacità utilek della diga si tratta di [km 3 ], mentre per la portata annuale in uscita m sitratta di [km 3 /anno].6.1.1 Determinazione dei costiIn questa sezione si dà spiegazione dei diversi costi implicati nella progettazionedella diga. Essi consistono nell’investimento iniziale per la costruzionedella struttura e nei costi di manutenzione e fiscali. Nello sviluppare lecaratteristiche di ciascun costo si fà riferimento all’articolo di Avi-Itzhak eBen-Tuvia [1963], “A problem of optimizing a collecting reservoir system”.Per una trattazione più ampia si faccia invece riferimento al lavoro redattoda Prabhu [1998], “Stochastic storage processes: queues, insurance risk,dams, and data communication”.Il lavoro di Avi-Itzhak e Ben-Tuvia ci indica che non è possibile costruiregeneriche descrizioni dei costi, poichè esse variano a seconda della tipologiadella diga, del paese in cui la si vuole costruire e delle tipologie di politicheeconomiche utilizzate per gestire gli investimenti. La discussione sarà perciòcostruita su di un caso esemplificativo, ipotizzando funzioni di costoverosimili. La discussione effettuata può essere facilmente rimodellata sudiversi casi, così pure i programmi sviluppati per la successiva analisi sonostati progettati per un utilizzo più generico.L’investimento iniziale per la costruzione della struttura è composto siadalla spesa per la costruzione del serbatoio (della diga vera a propria) cheda quella riferita alla costruzione della centrale per la produzione di energia.Esso è espresso in funzione della grandezza k della diga e verrà indicatodalla funzione C 1 (k). Per il caso esempio abbiamo fatto riferimento ai costiiniziali sostenuti durante la costruzione della Diga delle Tre Gole sul fiumeChang Jang, in Cina, ottenendo la funzioneC 1 (k) = 4500 · √k[10 6 Euros]dove k è espresso sempre in [km 3 ].Altra voce di costo è rappresentata dai costi aggiuntivi alla struttura,quali ad esempio manutenzione, tasse, ammortamenti. Essi possono essereconsiderati complessivamente e valutati come una percentuale del valoreassunto da C 1 (k) per ogni k. Nel caso preso come esempio questa percentualeè stata fissata pari al 10%. Avremo così la funzione di costo totale C(k):C(k) = 4950 · √k[10 6 Euros]

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 616.1.2 Determinazione dei ricaviNella discussione sulla determinazione dei ricavi dati dalla gestione delladiga si è considerato il caso di una diga volta alla sola produzione dienergia idroelettrica, trascurando gli altri possibili utilizzi, quali il rifornimentodi acqua per irrigazione o l’utilizzo della superficie d’acqua a scopi dinavigazione. Per determinare la funzione dei ricavi sarà necessaria una valutazionedell’energia prodotta dall’impianto idroelettrico posto a valle delladiga.Il processo di produzione dell’energia è di per sè molto semplice: l’acqua,che cade dal serbatoio ad altezza elevata, mette in moto delle turbine all’internodella centrale, le quali mettono a loro volta in moto dei generatori cheproducono elettricità. L’energia idroelettrica generata da questo processo èdata dalla formula:mP = η · ρ · g ·1000 · H [KW],nel caso in cui si abbiano i valori di m e H espressi rispettivamente in [m 3 /s]e [m]. Modificando la formula per introdurre le unità di misura utilizzate,si ottiene quindi:P = η · ρ · g ·m · 10 931536000 · H [KW],dove η è l’efficienza delle turbine, ρ [Kg/m 3 ] è la densità dell’acqua (assuntaa 1000), g [m/s 2 ] è l’accelerazione di gravità (assunta a 9.81), m [km 3 /anno]è la portata in uscita della diga e H [km] è l’altezza netta effettiva dell’acquaall’interno della diga.Poichè lo scopo è quello di ottenere i KJ prodotti dalla diga nell’annodi esercizio, si modifica la formula precedente in modo da ottenere latrasformazione da KW a KJ/anno:P = η · ρ · g · m · 10 9 · H[KJ/anno].Si procede con il calcolo di H, altezza netta effettiva dell’acqua. Per ottenereH è necessario determinare prima l’altezza totale H 0 , ovvero la differenzatra il pelo d’acqua all’interno del serbatoio e il livello al quale è posta lacentrale idroelettrica. Si ipotizza che la centrale idroelettrica sia posta al disotto di 100m dal livello delle fondamenta della diga.Per la determinazione di H è necessario effettuare delle ipotesi sulla geometriadella diga: si può assimilare con buona approssimazione la strutturadi una generica diga ad un semicono rovesciato, a pareti lisce. Sotto questeipotesi si può quindi dire che il legame tra H 0 n, l’altezza posseduta dall’acquaal tempo n, e R n , ovvero il volume d’acqua contenuto all’interno della digaal tempo n, è dato da una relazione cubica:H 0 n = 3√ α · R n + 0.1[km]

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 62dove α è una costante caratteristica della forma propria della diga e l’addendo0.1 è dovuto alla differenza di livello tra fondamenta e centrale idroelettrica,come ipotizzato precedentemente.L’altezza d’acqua disponibile per la produzione di energia al tempon, H n , sarà perciò l’altezza totale, H 0 n, alla quale vengono sottratte leperdite di energia, espresse in altezza (vedi figura 6.1). Queste perdite sonocausate principalmente dal trasporto, attraverso un sistema di condutture,dell’acqua dal serbatoio alla centrale a valle; parte dell’energia potenzialeposseduta dall’acqua viene infatti dissipata a causa dei fenomeni idrologiciche si sviluppano durante il trasporto. Si traduce quindi questa energiadissipata come un’altezza, che è direttamente proporzionale alla portata inuscita m. Si ha quindi che la prevalenza Loss è espressa da:Loss = β · m[km]dove β costante di proporzionalità. L’espressione complessiva dell’altezzanetta effettiva al tempo n sarà perciò:H n = H 0 n − Loss = 3√ α · R n + 0.1 − β · m[km].Fissando ora le costanti relative al caso preso come esempio pari a α = 0.8 eβ = 0.3 (valori ragionevoli per un caso verosimile) si ottiene il valore di H 0in funzione della capacità utile e dell’uscita della diga:H n = 3√ 0.8 · R n + 0.1 − 0.3 · m[km].Fissando ora l’efficienza delle turbine a η = 0.9, la densità dell’acqua aρ = 1000Kg/m 3 e l’accelerazione di gravità a g = 9.81m/s 2 si ottiene unapotenza complessiva prodotta dalla centrale idroelettrica al tempo n pari a:P n = 0.9 · 1000 · 9.81 · m · 10 9 · ( 3√ 0.8 · R n + 0.1 − 0.3 · m)[KJ/anno]ovvero:P ≈ 883 · 10 10 · m · ( 3√ 0.8 · R n + 0.1 − 0.3 · m)[KJ/anno].Ipotizzando un ricavo di 0.05 Euros per KJ, si ha che la funzione complessivadi ricavo per l’anno n risulta essere:Q n (k, m) = 44.15 · 10 4 · m · ( 3√ 0.8 · R n + 0.1 − 0.3 · m)[10 6 Euros].

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 63Figura 6.1: Sezione laterale della diga, che evidenzia il funzionamento dellacentrale idroelettrica6.1.3 Determinazione della funzione guadagnoSfruttando i risultati dei paragrafi precedenti è ora possibile trovare inmaniera semplice la funzione guadagno al termine del t − esimo anno diesercizio, che non è altro che la differenza tra i ricavi effettuati durante i tanni di esercizio ed i costi iniziali. Si avrà perciò:ovvero,t∑G t (k, m) = Q n (k, m) − C(k)n=1G t (k, m) = 44.15·10 4·mt∑( 3√ 0.8 · R n +0.1−0.3·m)−4950 √ k [10 6 Euros].n=1

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 646.2 Simulazione della funzione guadagno nei casiin analisiPer la simulazione della funzione guadagno si è sviluppata una routinegenerica, guadagno.m, analizzante sia gli ingressi di tipo Esponenziale chegli ingressi di tipo Beta, poichè riceve in ingresso una matrice contenentegli ingressi delle simulazioni. La generalità di questa routine risiede nel fattoche tutti i parametri della simulazione vengono passati in ingresso, siaquelli relativi alle distribuzioni degli ingressi alla diga che le definizioni dellefunzioni di ricavo e di costo. Questo permette l’utilizzo della routine inqualsiasi simulazione desiderata dall’utente, senza necessitare di modificheal programma.Dapprima si illustrano i diversi parametri che la funzione riceve in ingresso:• La matrice contenente gli ingressi aleatori alla diga, provenienti dallarispettiva distribuzione, dove ad ogni colonna corrisponde una simulazionedi ampiezza temporale data dalla somma di transitorio e orizzontetemporale.• Gli intervalli entro cui si vogliono far variare i parametri della diga,ovvero la capacità utile k e l’uscita costante m.• La stima della durata del transitorio, valutata in precedenza dall’utente.• L’orizzonte temporale di funzionamento a regime della diga, valutatoa partire dalla fine del transitorio.• La funzione di costo, passata come stringa di caratteri.• La funzione di ricavo, passata come stringa di caratteri.• Il numero di simulazioni considerate, ovvero il numero di colonne dellamatrice passata in ingresso.A fronte di questi ingressi la routine restituisce una matrice contenente iguadagni medi sviluppati dalla diga e funzioni della capacità utile, dell’uscitae dell’orizzonte temporale. Per ogni valore di k ed m la funzione effettuadapprima il controllo k > m necessario alla simulazione, poi calcola il costoin funzione di k. Per ogni simulazione valuta la sequenza dei contenutid’acqua nella diga e ne memorizza il guadagno totale che ne deriva. Nellamatrice memorizza quindi la media dei guadagni risultante dalle simulazionie plotta la funzione guadagno e le rispettive linee di livello.Operativamente la simulazione si è svolta nel seguente modo. Innanzitutto sisono considerate le tipologie di ingressi già analizzate nel capitolo precedente:

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 65• Distribuzione Esponenziale con parametro p=0.5.• Distribuzione Esponenziale con parametro p=0.8.• Distribuzione Beta con parametri a=3 e b=4, dilatata sull’intervallochiuso [0,4].Si è valutata poi la durata del transitorio, effettuata tramite diversi tentativi.Possedendo dal capitolo precedente la distribuzione stazionaria, sisono ricavate diverse distribuzioni dei contenuti d’acqua nella diga, relativea diversi archi di tempo di funzionamento. La durata del transitorio è statastimata come l’arco di tempo in cui la distribuzione ottenuta si discostavasufficientemente dalla distribuzione stazionaria. La durata del transitoriorisultante dalle stime è di 20 passi temporali.I parametri della diga sono stati fatti variare all’interno degli intervalli giàconsiderati nel capitolo precedente: k nell’intervallo chiuso [1,15] con passounitario, mentre m nell’intervallo chiuso [0,5] con passo 0.1. Le funzioni dicosto e di ricavo sono state inserite traducendo in stringa Matlab di caratterile funzioni ottenute nel paragrafo precedente:costo = ’4950*sqrt(k)’;ricavo=’441500*m*((0.8.*r).^(1/3)+0.1-0.3*m)’;Infine si è scelto di effettuare 1000 simulazioni per ogni valore di k e m.6.2.1 Simulazione a breve termineI primi risultati ottenuti dalle simulazioni sono riferiti agli ingressi inanalisi su un arco di tempo breve: è stato considerato un funzionamento aregime della durata di 30 anni, successivo ad un transitorio della durata di4 anni (come stimato in precedenza). I risultati di queste simulazioni sonoriportati nelle figure da 6.2 a 6.7.6.2.2 Simulazione a lungo termineLe simulazioni successive sono sempre relative agli ingressi in analisi, mavalutati su un arco di tempo a lungo termine: si è considerato un funzionamentoa regime di durata 100 passi temporali, a seguito di un transitoriodella durata di 4 anni (come da stima). I risultati di queste simulazioni sonoriportati nelle figure da 6.8 a 6.13.

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 66x 10 7x 10 7342.5321.52110.500−0.5−1−1−215−1.5−3510−20 1 2 3 4 5m0kFigura 6.2: Funzione guadagno determinata per ingresso Esponenziale conp=0.5, calcolata su orizzonte temporale di 30 anni141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 6.3: Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoEsponenziale con p=0.5, calcolata su orizzonte temporale di 30 anni

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 6732x 10 7x 10 721.510.5100−1−0.5−1−1.5−2−2−315−2.5−40 1 2 3 4 50510k−3mFigura 6.4: Funzione guadagno determinata per ingresso Esponenziale conp=0.8, calcolata su orizzonte temporale di 30 anni141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 6.5: Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoEsponenziale con p=0.8, calcolata su orizzonte temporale di 30 anni

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 684x 10 7x 10 7332.52211.501−10.5−20−3−0.515−1k10500 1 2 3 4 5m−1.5−2Figura 6.6: Funzione guadagno determinata per ingresso Beta dilatata cona=3, b=4; calcolata su orizzonte temporale di 30 anni141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 6.7: Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoBeta dilatata con a=3, b=4; calcolata su orizzonte temporale di 30 anni

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 69x 10 7121086420−2−4−6−815x 10 71086420−210−4k5−60012m345Figura 6.8: Funzione guadagno determinata per ingresso Esponenziale conp=0.5, calcolata su orizzonte temporale di 100 anni141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 6.9: Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoEsponenziale con p=0.5, calcolata su orizzonte temporale di 100 anni

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 701x 10 8x 10 7860.5402−0.50−2−1−1.515−4−610−8k500123m45−10Figura 6.10: Funzione guadagno determinata per ingresso Esponenziale conp=0.8, calcolata su orizzonte temporale di 100 anni141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 6.11: Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoEsponenziale con p=0.8, calcolata su orizzonte temporale di 100anni

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 71x 10 7x 10 712101088646204−22−4−60−815−2k10−450012m345−6Figura 6.12: Funzione guadagno determinata per ingresso Beta dilatata cona=3, b=4; calcolata su orizzonte temporale di 100 anni141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 6.13: Linee di livello della funzione guadagno determinata per ingressoBeta dilatata con a=3, b=4; calcolata su orizzonte temporale di 100anni

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 726.3 Determinazione delle regioni ammissibili perl’ottimizzazionePer l’identificazione delle regioni ammissibili per l’ottimizzazione ci si èriferite ai risultati ottenuti nel precedente capitolo per le frazioni di tempopassate dalla diga in overflow ed in secca. Si è stabilito che ai fini di un buonfunzionamento della diga e di contenimento delle perdite finanziarie dovutea questi due fenomeni, fosse auspicabile che le probabilità di overflow e disecca non superassero rispettivamente il 20% ed il 5%. Questa differenza èdovuta al fatto che la perdita che si affronterebbe nel fermare la produzioneelettrica è molto più alta di quella della semplice fuoriuscita di acqua dalserbatoio. Questi valori di percentuali sono stati scelti poichè verosimili, mala discussione è facilmente generalizzabile per qualsiasi valore scelto.Per la determinazione dei parametri entro i quali è utile effettuare l’ottimizzazionesono state tracciate le linee di livello delle superfici già trovatenel capitolo precedente, ai livelli corrispondenti alle percentuali fissate perciascuno dei due fenomeni. Le coppie di parametri utili sono quindi quellerappresentate dai punti residenti nella regione superiore, di forma triangolare,compresa tra le due linee di livello.Nelle figure da 6.14 a 6.16 sono rappresentate le regioni di parametriammissibili per gli ingressi analizzati.141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 6.14: Analisi dei parametri ottimali per ingresso Esponenziale(p=0.5): linea di livello di probabilità di secca pari a 0.05 (rosso), lineadi livello di probabilità di overflow pari a 0.2 (verde), vincolo k > m (blu).

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 73141210k86420 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 6.15: Analisi dei parametri ottimali per ingresso Esponenziale(p=0.8): linea di livello di probabilità di secca pari a 0.05 (rosso), lineadi livello di probabilità di overflow pari a 0.2 (verde), vincolo k > m (blu).141210k86421 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5mFigura 6.16: Analisi dei parametri ottimali per ingresso Beta dilatata (a=3,b=4, dilataz=4): linea di livello di probabilità di secca pari a 0.05 (rosso),linea di livello di probabilità di overflow pari a 0.2 (verde), vincolo k > m(blu).

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 746.4 Metodo di ottimizzazione adottatoIl problema di ottimizzazione che si deve affrontare nella simulazioneè riassumibile come un problema di massimizzazione vincolata, nella qualenon si ha espressione esplicita della funzione obiettivo, quindi espressione esplicitadelle derivate e del gradiente della stessa. Per affrontare questo tipodi problema, tra la miriade di metodi di possibile utilizzo si è scelto uno difacile implementazione, tratto da un articolo di rassegna di Kolda, Lewise Torczon “Optimization by direct search” (riferimento bibliografico [6]) incui si analizza in maniera completa questa tipologia di ottimizzazione e sistudiano algoritmi efficienti per la ricerca dei punti di ottimo. Lo studio èaffrontato sia dal punto di vista analitico, fornendo risultati esatti per la convergenzadegli algoritmi, sia dal punto di vista computazionale, analizzandopregi e difetti degli algoritmi in termini di implementazione informatica.I metodi di ottimizzazione per il tipo di problema in analisi si chiamanometodi di ricerca diretta. A questa classe appartengono numerosi algoritmi,con diverse caratteristiche computazionali. Per affrontare l’ottimizzazioneoggetto in questa tesi ci si è riferiti all’algoritmo di base di questaclasse di metodi, denominato compass search, sviluppato da E. Fermi e N.Metropolis. Questa scelta è stata dettata dai numerosi lati positivi che l’algoritmopossiede: è semplice da implementare, non è oneroso computazionalmente,possiede basi teoriche forti e ne è dimostrata la convergenza. Presentaperò un lato negativo: si tratta di un algoritmo molto veloce nei primipassi che compie, ma più converge alla soluzione più la velocità diminuisce,e questo lo rende uno degli algoritmi più lenti all’interno della classe deimetodi di ricerca diretta. Tuttavia si è preferito sacrificare la velocità dicalcolo a favore dell’efficienza dell’algoritmo.La descrizione generale dell’algoritmo è molto semplice, soprattutto nelcaso di funzione di due variabili: partendo da un generico punto del dominioci si sposta in quattro diverse direzioni: nord, est, sud e ovest; se almenouno di questi passi porta ad un aumento del valore della funzione allorail punto rispettivo al maggiore aumento diventa la nuova iterata. Se nessunpunto porta ad un miglioramento, allora si provano passi di lunghezzadimezzata. Si nota subito che quando l’algoritmo approssima la soluzione,si riduce la lunghezza dei passi compiuti; questo è proprio il punto centralenella dimostrazione della convergenza del metodo. L’algoritmo termina infattiquando la lunghezza del passo scende al di sotto di un certo valore ditolleranza fissato.In questa sezione si sono descritti, dapprima, il metodo in maniera piùchiara e formale nel caso di ottimizzazione non vincolata, ed, in seguito,si è fornita la dimostrazione della convergenza del metodo. Infine è statoillustrato come è possibile estendere il metodo in caso di ottimizzazione convincoli generici sul dominio della funzione.

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 756.4.1 Definizione dell’algoritmo per l’ottimizzazione non vincolataIl problema di ottimizzazione non vincolato risulta essere:Max f(x)dove f(x) : R n → R è detta funzione obiettivo. Le variabili x sono quelledirettamente manipolate dall’algoritmo di ottimizzazione. La dimensionedel problema è n, numero di variabili considerato.Si formalizza ora il metodo compass search nel caso di ottimizzazionenon vincolata. Sia k l’indice di ogni iterazione. Sia x k ∈ R n la k − esimaiterata, con x 0 il punto iniziale dell’algoritmo, scelto in maniera casuale. SiaD ⊕ l’insieme delle 2n direzioni coordinate definite dai versori coordinati:D ⊕ = {e 1 , e 2 , ..., e n , −e 1 , −e 2 , ..., −e n } .Sia ∆ k il parametro che controlla la lunghezza dello spostamento; esso dovràquindi essere inizializzato ad un valore di partenza ∆ 0 a scelta. L’iterazioneè detta proficua quando si trova almeno una direzione nella quale avvieneuna crescita nella funzione obiettivo. La direzione che produce il maggiorincremento all’interno di una iterazione proficua è detta d k e la sottosequenzadelle iterazioni proficue è indicata con S. Nel caso in cui nessuno dei 2n puntidi prova x k + ∆ k d, d ∈ D ⊕ produca una crescita nella funzione obiettivo,l’iterazione è detta fallimentare e la lunghezza del passo viene dimezzata.La sottosequenza di iterazioni fallimentari è indicata con U. Inoltre, dopociascuna iterazione fallimentare (dove ∆ k è dimezzata), ∆ k viene confrontatacon la tolleranza ∆ tol , per osservare la convergenza dell’algoritmo. Quandoil parametro di controllo della lunghezza scende al di sotto della tolleranza,la ricerca termina con x ∗ = x k+1 . Si noti che ∆ k viene dimezzato solo dopoun’iterazione fallimentare, mentre la ricerca non termina finchè non vi èun’iterazione soddisfacente.Per maggiore chiarezza si descrive l’algoritmo compass search in manieraschematica, per meglio capire anche l’implementazione dello stesso nel programmacompass.m.

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 76Inizializzazione.Sia f(x) : R n → R data.Sia x 0 ∈ R n il punto iniziale, arbitrario.Sia ∆ tol > 0 la tolleranza fissata per verificare la convergenza.Sia ∆ 0 > ∆ tol il valore iniziale del parametro di controllo della lunghezza.Algoritmo.Per ciascuna iterazione k = 1,2,...Passo 1. Sia D ⊕ l’insieme delle direzioni coordinate {±e i |i = 1, ..., n}, dove e iè l’i-esimo versore in R n . Sia D = {d ∈ D ⊕ , f(x k + ∆ k d) > f(x k )}.Passo 2. Se D è non vuoto allora d k ∈ D è tale che massimizza l’incremento.• fissare x k+1 = x k + ∆ k d k (cambiare l’iterata).• fissare ∆ k+1 = ∆ k (nessun cambio nel parametro di controllo dellalunghezza dei passi).Passo 3. Altrimenti, D è vuoto, allora :• fissare x k+1 = x k (mantenere l’iterata).• fissare ∆ k+1 = 0.5 · ∆ k (contrazione del parametro di controllo dellalunghezza dei passi).• se ∆ k+1 < ∆tol, allora terminare il programma.6.4.2 Convergenza del metodo compass searchEssendo alla ricerca di un massimo locale, si ipotizza la differenziabilitàdi f e l’esistenza del ∇f. Si considerino le direzioni coordinate contenutenell’insieme D ⊕ . Come facilmente visualizzabile nel caso di funzione di duevariabili, se non si è già in un punto di massimo, almeno una direzionecontenuta in questo insieme sarà una direzione di crescita per la funzione:trattandosi di direzioni coordinate, almeno una si troverà in un arco di 45 ◦dalla direzione del gradiente, indipendentemente da essa.Si suppone ora che all’iterazione k si stia effettuando un passo di lunghezza∆ k > 0 lungo ciascuna direzione coordinata, ma nessuno di questi passiproduca una crescita:f(x k ) ≥ f(x k + ∆ k d) per ogni d ∈ D ⊕ . (6.1)Come già spiegato prima questa disuguaglianza rappresenta una iterazionefallimentare, ed è proprio ciò che accade in questo tipo di iterazione cheprova la convergenza del metodo.

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 77La dimostrazione inizia formalizzando quanto detto. Si prenda un vettorearbitrario v e la più vicina direzione coordinata, il coseno dell’angolopiù grande tra essi è limitato superiormente dal fattore √ 1n. Questo significache indipendentemente dalla direzione del gradiente, ci sarà almeno unadirezione d ∈ D ⊕ tale per cui:1√ n‖∇f(x k )‖ ‖d‖ ≤ ∇f(x k ) T d. (6.2)Se l’iterazione k è fallimentare si ha la situazione in (6.1), allora per ilteorema del valore medio si ha0 ≤ f(x k ) − f(x k + ∆ k d) = −∇f(x k + α k ∆ k d) T ∆ k ddove α k valore arbitrario che prende valori nell’intervallo chiuso [0,1].sommino ad ambi i membri la quantità ∆ k ∇f(x k ) T d e si ottieneSi∆ k ∇f(x k ) T d ≤ ∆ k (∇f(x k ) − ∇f(x k + α k ∆ k d)) T d.Semplificando entrambi i membri per ∆ k si ha∇f(x k ) T d ≤ (∇f(x k ) − ∇f(x k + α k ∆ k d)) T d,applicando la (6.2) si ottiene quindi1√ n‖∇f(x k )‖ ‖d‖ ≤ (∇f(x k ) − ∇f(x k + α k ∆ k d)) T d. (6.3)Si ipotizza ora che f sia differenziabile con continuità e che il ∇f sia diLipschitz con costante M > 0 (ipotesi che, oltre ad essere ragionevoli nelproblema di ottimizzazione in esame, semplificano notevolmente la dimostrazionedella convergenza). Queste ipotesi permettono quindi di scrivere la seguentecatena di disuguaglianze a partire dalla disuguaglianza (6.3):1√ n‖∇f(x k )‖ ‖d‖ ≤ M ‖α k ∆ k d‖ ‖d‖ ≤ M∆ k ‖d‖ 2 .Poichè d è versore per definizione si ha che ‖d‖ = 1, che porta quindi alladisuguaglianza‖∇f(x k )‖ ≤ √ nM∆ k . (6.4)Ciò significa che, anche non avendo un’espressione esplicita del ∇f adogni iterazione fallimentare si ha un controllo dall’alto implicito, che è funzionedel solo parametro di controllo della lunghezza ∆ k . Si può dimostrareche per ogni k appartenente alla sottosequenza di iterazioni fallimentari U,il limite all’infinito di ∆ k è uguale a 0, ovverolim ∆ k = 0 k ∈ U.k→∞

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 78Applicando il passaggio al limite alla disuguaglianza (6.4) si conclude chelim ‖∇f(x √k)‖ ≤ lim nM∆k = 0 k ∈ U,k→∞ k→∞ovvero, ogni sottosuccessione di iterazioni fallimentari converge ad un puntodi ottimo, dove il gradiente si annulla.Poichè la convergenza della sottosuccessione implica la convergenza dellasuccessione delle iterate, si ha che l’algoritmo converge al punto di ottimo.6.4.3 Estensione dell’algoritmo al caso di ottimizzazione vincolataNel caso di ottimizzazione vincolata il problema da analizzare diventapiù complesso; si ha:Max f(x) dove x ∈ Ω.Ω è detta regione ammissibile ed è la regione entro cui x può prendere valore.Come nel paragrafo precedente, si descrive dapprima l’algoritmo in manieraintuitiva. Data una funzione di due variabili, si provano passi suldominio diretti a nord, est, sud e ovest. Se uno di questi passi porta adun aumento nella funzione obiettivo e soddisfa il vincolo allora il puntodiventa una nuova iterata. Se nessun passo porta ad un incremento ammissibile,l’iterazione è fallimentare, il punto fuori dalla regione ammissibileviene posto a −∞ e si dimezza la lunghezza del passo. Come nell’algoritmoper l’ottimizzazione non vincolata, esso termina quando il parametro dicontrollo della lunghezza scende al di sotto di una data tolleranza.Ovviamente, applicare la versione del compass search ad un problemavincolato produce le stesse iterate che l’applicazione del metodo al problemanon vincolato:Max ˆf(x)dove{ f(x) se x ∈ Ωˆf(x) =−∞ altrimentiUtilizzare questo tipo di approccio al problema vincolato assicura sia chele iterate rimangano ammissibili (dalla definizione stessa del problema), siache il metodo converga (dalla convergenza per il problema non vincolato).

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 796.5 Risultati dell’ottimizzazione nei casi in analisiIl metodo di ottimizzazione vincolata compass search è stato implementatoattraverso l’unione delle routines ottimoexp.m (caso di ingressi Esponenziali)o ottimobeta.m (caso di ingressi Beta) con la routine centratura.m.Le prime due funzioni implementano il vero e proprio metodo e permettonola ricerca del punto di ottimo, mentre l’ultima effettua il controllo diappartenenza dei punti alla regione ammissibile.Si procede dapprima con la descrizione della routine centratura.m. Essariceve in ingresso il punto da analizzare e i limiti destro e sinistro (descrittiper punti) e restituisce 1 se il punto appartiene alla regione ammissibile oppure0 se il punto non vi appartiene. Per valutare l’appartenenza confrontale coordinate del punto con le serie di coordinate dei vincoli.Le routines ottimoexp.m e ottimobeta.m contengono al loro interno centratura.m,e sono sostanzialmente molto simili, poichè varia soltanto la partedi programma atta a generare la matrice degli ingressi aleatori. Le funzionisono anch’esse sviluppate per essere le più generiche possibili e contengonoquindi in ingresso tutti i parametri sia della simulazione che dell’ottimizzazione.Questo per far si che l’utente le possa utilizzare qualunque siala situazione che egli voglia analizzare e qualunque siano l’accuratezza e lavelocità dell’algoritmo da lui desiderate. I parametri in ingresso sono quindi:• I parametri caratterizzanti le distribuzioni possedute dagli ingressi alladiga: p parametro della distribuzione Esponenziale (ottimoexp.m) oppurea, b, c parametri della distribuzione Beta dilatata (ottimobeta.m).• La stima della durata del transitorio, valutata in precedenza dall’utente.• L’orizzonte temporale di funzionamento a regime della diga, valutatoa partire dalla fine del transitorio.• La funzione di costo, passata come stringa di caratteri.• La funzione di ricavo, passata come stringa di caratteri.• Il numero di simulazioni desiderate.• Il punto di partenza dell’algoritmo di ottimizzazione.• La lunghezza iniziale del passo dell’algoritmo di ottimizzazione.• La tolleranza dell’algoritmo di ottimizzazione.• Le descrizioni per punti dei vincoli destro e sinistro. Questo perchè siconsiderano solo casi in cui la regione è delimitata superiormente dauna retta e inferiormente da 0.

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 80• I massimi valori assumibili dall’ascissa (il massimo valore di m, uscitadella diga, considerato) e dall’ordinata (il massimo valore di k, capacitàutile della diga, considerato; il minimo è posto a 0 in entrambi).A fronte dei numerosi ingressi la routine restituisce le coordinate sul dominiodel punto di ottimo e il valore della funzione guadagno valutata nel punto.Il processo che implementa la funzione non è altro che l’algoritmo compasssearch per l’ottimizzazione vincolata descritto precedentemente.La ricerca dell’ottimo è avvenuta sulle funzioni guadagno già analizzate,ovvero quelle corrispondenti agli ingressi Esponenziali con parametro p = 0.5e p = 0.8 e Beta dilatata con parametri a = 3, b = 4 e coefficiente didilatazione c = 4. Operativamente la ricerca è avvenuta fissando i seguentiparametri per la simulazione e l’ottimizzazione:• Stima della durata del transitorio pari a 20, come valutato in precedenza.• Orizzonti temporali di funzionamento a regime pari a 30 anni (per lasimulazione a breve termine) e 100 anni (per la simulazione a lungotermine).• Funzione di costo:costo=’4950*sqrt(k)’• Funzione di ricavo:ricavo=’441500*m*((0.8.*r).^(1/3)+0.1-0.3*m)’• Numero di simulazioni desiderate: 1500.• Punto di partenza dell’algoritmo di ottimizzazione scelto come le coordinatecorrispondenti al massimo valore discretizzato restituito comeoutput della routine guadagno.m (vedi paragrafi precedenti). Questascelta è stata fatta per agevolare i passi iniziali dell’algoritmo di simulazione,fornendo già un punto iniziale vicino al punto di massimo eappartenente alla regione ammissibile.• Lunghezza iniziale del passo: 0.1 .• Tolleranza: 0.005 .• Descrizioni per punti dei vincoli destro e sinistro: descrizioni per puntidelle linee di livello corrispondenti a 0.2 per la frazione di tempopassata in overflow (vincolo sinistro) e 0.05 per la frazione di tempopassata in secca (vincolo destro).• Massimi valori assumibili da m e k: rispettivamente 5 e 15.Si elencano ora i risultati ottenuti dal processo di ottimizzazione sulbreve periodo (30 anni):

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 81• Ingresso Esponenziale di parametro p = 0.5: guadagno ottimo pari a3.40 · 10 13 [Euros] corrispondente a un’uscita di 1.61 [km 3 /anno] e auna capacità utile di 15 [km 3 ].• Ingresso Esponenziale di parametro p = 0.8: guadagno ottimo pari a2.16 · 10 13 [Euros] corrispondente a un’uscita di 1.025 [km 3 /anno] e auna capacità utile di 15 [km 3 ].• Ingresso Beta dilatata di parametri a = 3, b = 4, c = 4: guadagnoottimo pari a 3.08 · 10 13 [Euros] corrispondente a un’uscita di 1.305[km 3 /anno] e a una capacità utile di 15 [km 3 ].I valori ottenuti dal processo di ottimizzazione sul lungo periodo (100anni) risultano essere:• Ingresso Esponenziale di parametro p = 0.5: guadagno ottimo pari a1.18 · 10 14 [Euros] corrispondente a un’uscita di 1.6313 [km 3 /anno] ea una capacità utile di 15 [km 3 ].• Ingresso Esponenziale di parametro p = 0.8: guadagno ottimo pari a8.13 · 10 13 [Euros] corrispondente a un’uscita di 1.0438 [km 3 /anno] ea una capacità utile di 15 [km 3 ].• Ingresso Beta dilatata di parametri a = 3, b = 4, c = 4: guadagnoottimo pari a 1.14 · 10 14 [Euros] corrispondente a un’uscita di 1.513[km 3 /anno] e a una capacità utile di 15 [km 3 ].I risultati ottenuti numericamente sono stati plottati sovrapponendoli allefunzioni guadagno calcolate nei paragrafi precedenti, sia per confermarne lacorrettezza che per meglio visualizzarli. Le figure di riferimento sono quelleda fig.6.17 a fig.6.22.

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 82x 10 7343210x 10 72.521.510.50−0.5−115−1−210−1.5−3012m34505k−2Figura 6.17: Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Esponenziale diparametro p=0.5; calcolato su orizzonte temporale di 30 anni.32x 10 7x 10 721.510.5100−1−0.5−1−1.5−2−2−315−2.5−40 1 2 3 4 50510k−3mFigura 6.18: Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Esponenziale diparametro p=0.8; calcolato su orizzonte temporale di 30 anni.

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 834x 10 7x 10 7332.52211.501−10.5−20−3−0.515−1k10500 1 2 3 4 5m−1.5−2Figura 6.19: Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Beta dilatata diparametri a=3 e b=4; calcolato su orizzonte temporale di 30 anni.x 10 7x 10 712101088646204−22−4−60−815−210−4k50012m345−6Figura 6.20: Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Esponenziale diparametro p=0.5; calcolato su orizzonte temporale di 100 anni.

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 841x 10 8x 10 7860.540−0.5−1−1.51520−2−4−610−8k500123m45−10Figura 6.21: Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Esponenziale diparametro p=0.8; calcolato su orizzonte temporale di 100 anni.x 10 7x 10 712101088646204−22−4−60−815−2k10−450012m345−6Figura 6.22: Plottaggio del punto di ottimo per ingresso Beta dilatata diparametri a=3 e b=4; calcolato su orizzonte temporale di 100 anni.

CAPITOLO 6. PROBLEMA DELL’OTTIMIZZAZIONE 856.6 ConclusioniDall’analisi dei grafici del valore atteso del guadagno, sia a breve termineche a lungo termine, si osserva che la regione in cui la funzione assume valorimaggiori corrisponde proprio alla regione ammissibile identificata. Questoconferma ulteriormente che la funzione guadagno atteso è strettamente correlatacon le frazioni di tempo in cui la diga si trova in secca e in overflow,come si era inizialmente ipotizzato.Analizzando i risultati sia a breve termine che a lungo termine, si osservache i valori ottenuti rispecchiano situazioni verosimili. Per quanto riguardai valori ottimi delle portate in uscita si ha che essi corrispondono a valoriragionevoli. Facendo riferimento al registro italiano delle dighe, si ha che ivalori da noi ottenuti sono nell’ordine delle portate in uscita possedute damolte dighe realmente costruite.Per quanto riguarda invece il valore della capacità utile ottenuta, si devonoevidenziare principalmente due fatti. Innanzitutto, come per le portatein uscita, si ha che i valori sono nell’ordine delle capacità utili di molte digherealmente costruite. Il risultato più importante è però legato all’andamentodei guadagni attesi simulati: si osserva infatti che le funzioni sono monotonerispetto alla capacità utile e che il punto ottimo si trova proprio in corrispondenzadella capacità utile massima analizzata. Questo lascia intendere chei guadagni maggiori si abbiano costruendo dighe più grandi possibili, compatibilmentecon la situazione ambientale, e spiega la recente tendenza allacostruzione di opere di derivazione sempre più grandi.

Appendice AScript del softwaresviluppatoA.1 errestar.merrestar.m è il programma che simula il funzionamento della diga perdeterminati passi temporali e che ritorna la distribuzione stazionaria. Essodescrive il vero e proprio funzionamento della diga a fronte di determinatiingressi. Questa routine restituisce una realizzazione della variabile R ∗ ,a fronte dei parametri della diga e del vettore contenente la serie temporaledegli ingressi nella diga. Essa restituisce anche la serie temporale dellequantità di acqua stoccate nella diga durante la simulazione.function [R,r,z]=errestar(x,m,k)% [R,r,z]=errestar(x,m,k)% routine che simula il funzionamento della diga% attraverso il modello di Moran% output:% R = realizzazione della variabile limite% r = vettore delle quantità d’acqua presenti nella diga% nei vari passi del processo% z = vettore delle quantità d’acqua stoccate nella diga% nei vari passi del processo% input:% x = vettore degli ingressi nella diga% m = uscita costante della diga% k = grandezza della digaz=zeros(1,length(x));z(1)=0;86

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 87for n=1:(length(x)-1);d=z(n)+x(n);if dm & d=kz(n+1)=k-m;endendfor i=1:length(x)r(i)=z(i)+x(i);endR=r(length(r));A.2 stazionariagamma.mstazionariagamma.m è il programma che implementa la simulazione peringresso della diga di tipo Gamma. Esso combina la funzione errestar.m,descritta nella sezione precedente, alla generazione di numeri random provenientida distribuzione Gamma. Crea, per ogni simulazione, il vettore diingressi alla diga, lo passa ad errestar.m, ne prende la realizzazione dellavariabile limite in uscita e lo inserisce nel vettore di realizzazioni di R ∗ , cheavrà quindi ampiezza pari alle simulazioni richieste. La funzione richiedeperciò in ingresso solo i parametri della diga e quelli della distribuzioneGamma, poichè contiene già al suo interno il processo di generazione delleserie temporali in ingresso alla diga nelle varie simulazioni. Per la simulazionedi ingresso Esponenziale basta quindi porre il parametro n dellaGamma pari a 1, ottenendo così il vettore di realizzazioni della variabilelimite corrispondente.function r=stazionariagamma(m,k,n,p,sim,lungh)% r=stazionariagamma(m,k,n,p,sim,lungh)% routine che simula il funzionamento della diga con ingresso% Gamma e calcola la distribuzione stazionaria.% output:% r = vettore realizzazioni della variabile% aleatoria limite% input:% m = uscita costante della diga% k = grandezza della diga

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 88% n , p = parametri della distribuzione Gamma% sim = simulazioni del processo effettuate% lungh = lunghezza periodo di funzionamento% in considerazioner=zeros(1,sim);for t=1:simx=zeros(1,lungh);for i=1:lunghu=rand(n,1);s=1;for j=1:ns=s*u(j);endx(i)=-(1/p)*log(s);end[R,v,z]=errestar(x,m,k);r(t)=R;endA.3 stazionariabeta.mstazionariabeta.m è il programma che implementa la simulazione per ingressodella diga di tipo Beta. Esso procede in modo analogo alla routinestazionariagamma.m descritta nella sezione precedente, generando però numerirandom provenienti da una distribuzione Beta dilatata per la simulazionedell’ingresso.function r=stazionariabeta(m,k,a,b,c,sim,lungh)% r=stazionariabeta(m,k,a,b,c,sim,lungh)% routine che simula il funzionamento della diga con ingresso% Beta e calcola la distribuzione stazionaria.% output:% r = vettore realizzazioni della variabile% aleatoria limite% input:% m = uscita costante della diga% k = grandezza della diga% a , b = parametri della distribuzione Beta% c = estremo destro dell’intervallo [0,c] su cui si vuole% dilatare la distribuzione% sim = simulazioni del processo desiderate% lungh = lunghezza periodo di funzionamento

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 89% in considerazioner=zeros(1,sim);for j=1:simx=zeros(1,lungh);z=0:0.01:1;y=(z.^(a-1)).*((1-z).^(b-1));m=max(y);for i=1:lunghu1=rand;u2=rand;while u2>=((u1.^(a-1)).*((1-u1).^(b-1)))/mu1=rand;u2=rand;endx(i)=u1;endx=x.*c;[R,v,z]=errestar(x,m,k);r(j)=R;endA.4 ritornadensita.mritornadensita.m è il programma che calcola la distribuzione di una variabilealeatoria. Inserendo il vettore di realizzazioni di una variabile e ladistanza tra i punti in cui si vuole valutare la cumulata, restituisce sia ilplottaggio della distribuzione che i vettori dei punti in cui la cumulata vienevalutata e dei valori della stessa.function [x,hx]=ritornadensita(r,passo)% [x,hx]=ritornadensita(r,passo)% dato il vettore r di realizzazioni della variabile aleatoria% ne restituisce il plottaggio della distribuzione% output:% x = vettore dei punti di valutazione della cumulata% hx = valori assunti dalla cumulata% input:% r = vettore delle realizzazioni della variabile% passo = distanza tra i punti di valutazionex_min=min(r);x_max=max(r);

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 90dx=passo;x=linspace(x_min,x_max,(x_max-x_min)/dx);istnorm=histc(r,x)/(length(r)*dx);hx=zeros(1,length(istnorm));hx(1)=istnorm(1)*dx;for i=2:length(hx)hx(i)=istnorm(i)*dx+hx(i-1);endfigureplot(x,hx)A.5 densitaanalitica.mdensitaanalitica.m è il programma che permette il calcolo della distribuzioneanalitica della quantità di acqua presente nella diga a fronte diingressi di tipo Esponenziale. Traduce la formulazione teorica della distribuzionestazionaria e permette la valutazione dell’errore commesso durantela simulazione. Esso infatti richiede in ingresso il vettore dei valoridella cumulata simulata e quello dei punti in cui è stata valutata, proprioallo scopo di effettuare il confronto con la cumulata teorica e di calcolarel’errore. Inserendo quindi in ingresso l’output della simulazione e i parametridella diga e dell’Esponenziale, si hanno in uscita il vettore dei valori della cumulatateorica e quello degli errori commessi (entrambi calcolati negli stessipunti di valutazione della simulata).function [h,scarti]=densitaanalitica(k,m,p,x,hx)% [h,scarti]=densitaanalitica(k,m,p,x,hx)% routine che restituisce la distribuzione stazionaria% analitica per il modello di Moran con ingresso esponenziale% e il vettore degli scarti risultanti dalla simulazione% output :% h = vettore distribuzione analitica% scarti = vettore degli scarti in valore assoluto% input :% m = uscita della diga% k = grandezza della diga% p = parametro dell’esponenziale% x = vettore contenente i punti in cui la cumulata% simulata viene valutata (output di ritornadensita)% hx = vettore dei valori della cumulata% (output di ritornadensita)

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 91y=x;h=zeros(1,length(y));n=(k/m)-1;N=floor(n);L=p*exp(-p*m);t=1;qt=1;for j=1:Nqt=qt*j;t=t+((-L)^j)*((k-j*m)^j)/qt;endcost=exp(-p*k)/t;for i=1:length(y)for s=0:(N-1)if y(i)>=s*m & y(i)=N*mh(i)=1-cost*exp(p*(k-y(i)));endendplot(y,h,’r’);figureplot(y,h,’r’);hold onplot(x,hx,’b’);figurescarti=abs(h-hx);plot(x,scarti);

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 92A.6 frazioneoverexp.mfrazioneoverexp.m è il programma per il calcolo della frazione di tempoin cui la diga con ingresso Esponenziale si trova in overflow. Riceve iningresso il parametro della distribuzione Esponenziale, l’intervallo di tempoper cui si vuole analizzare il comportamento della diga, gli intervalli entrocui si vogliono fare variare i parametri della diga e il numero di simulazionidesiderate. Genera quindi al suo interno una matrice contenente gli ingressialeatori alla diga, dove ciascuna colonna rappresenta una simulazione ampiaquanto l’intervallo di tempo in considerazione. In seguito valuta la porzionedi tempo in cui il contenuto d’acqua della diga supera la capacità utiledella stessa, ovvero la frazione di tempo in cui la diga si trova in overflow.L’output della routine è una matrice contenente i valori delle frazioni ditempo in funzione degli intervalli di variazione dei parametri.function matrix=frazioneoverexp(p,tempo,K,M,sim)% matrix=frazioneoverexp(p,tempo,K,M,sim)% routine che calcola la porzione di tempo passata in overflow% da parte della diga, valutata sull’arco di tempo% in parametro% output:% matrix = matrice contenente le frazioni di tempo% in funzione dei parametri% input:% p = parametro della distribuzione Esponenziale% tempo = intervallo di tempo in valutazione% K = vettore di capacità utili in valutazione% M = intervallo di uscita della diga in valutazione% sim = simulazioni del processo desiderateE=[];for i=1:simx=exprnd(p,tempo,1)E=[E x];endfor i=1:length(K)for j=1:length(M)if K(i)>M(j)prop=zeros(1,sim);for v=1:length(prop)[R,b,z]=errestar(E(:,v),M(j),K(i));s=0;for t=1:length(z)

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 93if z(t)==K(i)-M(j)s=s+1;endendprop(v)=s/tempo;endmatrix(i,j)=mean(prop);elsematrix(i,j)=NaN;endendendfiguresurf(M,K,matrix);colormap(summer);figurecontour(M,K,matrix);colormap(summer);A.7 frazioneoverbeta.mfrazioneoverbeta.m è il programma per il calcolo della frazione di tempoin cui la diga con ingresso Beta dilatata si trova in overflow. Il funzionamentoè analogo alla routine contenuta nella sezione precedente; si hanno in ingressoi parametri della distribuzione Beta (compreso il coefficiente di dilatazione),l’intervallo di tempo, gli intervalli dei parametri della diga e il numero disimulazioni desiderate. L’output della routine è una matrice contenente ivalori delle frazioni di tempo in funzione degli intervalli di variazione deiparametri.function matrix=frazioneoverbeta(a,b,c,tempo,K,M,sim)% matrix=frazioneoverbeta(a,b,c,tempo,K,M)% routine che calcola la porzione di tempo passata in overflow% da parte della diga, valutata sull’arco di tempo% in parametro% output:% matrix = matrice contenente le frazioni di tempo% in funzione dei parametri% input:% a , b , c = parametri della distribuzione Beta dilatata% tempo = intervallo di tempo in valutazione% K = vettore di capacità utili in valutazione% M = intervallo di uscita della diga in valutazione

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 94% sim = simulazioni del processo desiderateE=[];for i=1:simx=betarnd(a,b,tempo,1)x=4*x;E=[E x];endfor i=1:length(K)for j=1:length(M)if K(i)>M(j)prop=zeros(1,sim);for v=1:length(prop)[R,l,z]=errestar(E(:,v),M(j),K(i));s=0;for t=1:length(z)if z(t)==K(i)-M(j)s=s+1;endendprop(v)=s/tempo;endmatrix(i,j)=mean(prop);elsematrix(i,j)=NaN;endendendfiguresurf(M,K,matrix);colormap(summer);figurecontour(M,K,matrix);colormap(summer);A.8 frazioneseccaexp.mfrazioneseccaexp.m è il programma per il calcolo della frazione di tempoin cui la diga con ingresso Esponenziale si trova in secca. Il funzionamentoè analogo alle routines precedenti; riceve in ingresso il parametro della distribuzioneEsponenziale, l’intervallo di tempo, gli intervalli entro cui varianoi parametri della diga e il numero di simulazioni desiderate. Genera al suointerno la matrice di ingressi aleatori ed in seguito valuta la porzione di

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 95tempo in cui il contenuto d’acqua stoccato nella diga è nullo, ovvero la digasi trova in secca. L’output della routine è una matrice contenente i valoridelle frazioni di tempo in funzione degli intervalli di variazione dei parametri.function matrix=frazioneseccaexp(p,tempo,K,M,sim)% matrix=frazioneseccaexp(p,tempo,K,M,sim)% routine che calcola la porzione di tempo passata in secca da% parte della diga, valutata sull’arco di tempo in parametro% output:% matrix = matrice contenente le frazioni di tempo% in funzione dei parametri% input:% p = parametro della distribuzione Esponenziale% tempo = intervallo di tempo in valutazione% K = vettore di capacità utili in valutazione% M = intervallo di uscita della diga in valutazione% sim = simulazioni del processo desiderateE=[];for i=1:simx=exprnd(p,tempo,1)E=[E x];endfor i=1:length(K)for j=1:length(M)if K(i)>M(j)prop=zeros(1,sim);for v=1:length(prop)[R,l,z]=errestar(E(:,v),M(j),K(i));s=0;for t=1:length(z)if z(t)==0s=s+1;endendprop(v)=s/tempo;endmatrix(i,j)=mean(prop);elsematrix(i,j)=NaN;endendend

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 96figuresurf(M,K,matrix);colormap(summer);figurecontour(M,K,matrix);colormap(summer);A.9 frazioneseccabeta.mfrazioneseccabeta.m è il programma per il calcolo della frazione di tempoin cui la diga con ingresso Beta dilatata si trova in secca. Il funzionamentoè analogo alle routines precedenti; riceve in ingresso i parametridella distribuzione Beta (compreso il coefficiente di dilatazione), l’intervallodi tempo, gli intervalli dei parametri della diga e il numero di simulazionidesiderate. Genera al suo interno la matrice di ingressi aleatori ed in seguitovaluta la porzione di tempo in cui il contenuto d’acqua stoccato nella digaè nullo, ovvero la diga si trova in secca. L’output della routine è una matricecontenente i valori delle frazioni di tempo in funzione degli intervalli divariazione dei parametri.function matrix=frazioneseccabeta(a,b,c,tempo,K,M,sim)% matrix=frazioneseccabeta(a,b,c,tempo,K,M,sim)% routine che calcola la porzione di tempo passata in secca da% parte della diga, valutata sull’arco di tempo in parametro% output:% matrix = matrice contenente le frazioni di tempo% in funzione dei parametri% input:% a , b , c = parametri della distribuzione Beta dilatata% tempo = intervallo di tempo in valutazione% K = vettore di capacità utili in valutazione% M = intervallo di uscita della diga in valutazione% sim = simulazioni del processo desiderateE=[];for i=1:simx=betarnd(a,b,tempo,1)x=c*x;E=[E x];endfor i=1:length(K)for j=1:length(M)if K(i)>M(j)

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 97prop=zeros(1,sim);for v=1:length(prop)[R,l,z]=errestar(E(:,v),M(j),K(i));s=0;for t=1:length(z)if z(t)==0s=s+1;endendprop(v)=s/tempo;endmatrix(i,j)=mean(prop);elsematrix(i,j)=NaN;endendendfiguresurf(M,K,matrix);colormap(summer);figurecontour(M,K,matrix);colormap(summer);A.10 overflowanalitico.moverflowanalitico.m è il programma che valuta la frazione di tempo incui la diga con ingresso Esponenziale si trova in overflow, attraverso la distribuzionestazionaria teorica della quantità di acqua presente nella diga. Siè tradotta la distribuzione analitica ed attraverso cicli for concatenati vengonoeffettuati i controlli sui parametri della diga e la valutazione della cumulataanalitica. Gli ingressi alla routine sono quindi gli intervalli entro cuivariano i parametri della diga ed il parametro della distribuzione Esponenziale.L’output della routine è una matrice contenente i valori delle frazionidi tempo rispettive in funzione degli intervalli di variazione dei parametri.Nella seguente funzione viene richiamata la routine analitica.m. Si trattadella identica densitaanalitica.m, alla quale sono stati eliminati tutti i comandigrafici, allo scopo di utilizzarla agevolmente all’interno di un ciclo for,e l’analisi degli scarti, poichè essa è necessario farla a funzione conclusa (perproblemi legati alle restrizioni sui parametri per il calcolo della distribuzionestazionaria teorica).

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 98function matrix=overflowanalitico(K,M,p)% matrix=overflwanalitico(K,M,p)% routine che calcola la porzione di tempo passata in overflow% da parte della diga, valutata sull’arco di tempo% in parametro% attraverso la distribuzione stazionaria.% output:% matrix = matrice contenente le frazioni di tempo% in funzione dei parametri% input:% p = parametro della distribuzione Esponenziale% K = vettore di capacità utili in valutazione% M = intervallo di uscita della diga in valutazionex=0.1:0.1:max(K);for i=1:length(K)for j=1:length(M)if K(i)>M(j)r=(K(i)/M(j));w=floor(r);if w==r[y,h]=analitica(K(i),M(j),p,x);E=0;for t=1:length(y)if y(t)

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 99A.11 seccaanalitica.mseccaanalitica.m è il programma che valuta la frazione di tempo in cui ladiga con ingresso Esponenziale si trova in secca, attraverso la distribuzionestazionaria teorica della quantità di acqua presente nella diga. Si è tradottala distribuzione analitica ed attraverso cicli for concatenati vengono effettuatii controlli sui parametri della diga e la valutazione della cumulata analitica.Gli ingressi alla routine sono quindi gli intervalli entro cui variano iparametri della diga ed il parametro della distribuzione Esponenziale. L’outputdella routine è una matrice contenente i valori delle frazioni di temporispettive in funzione degli intervalli di variazione dei parametri.Nella seguente funzione viene richiamata la routine analitica.m. Si trattadella identica densitaanalitica.m, alla quale sono stati eliminati tutti i comandigrafici, allo scopo di utilizzarla agevolmente all’interno di un ciclo for,e l’analisi degli scarti, poichè essa è necessario farla a funzione conclusa (perproblemi legati alle restrizioni sui parametri per il calcolo della distribuzionestazionaria teorica).function matrix=seccaanalitica(K,M,p)% matrix=seccaanalitica(K,M,p)% routine che calcola la porzione di tempo passata in secca da% parte della diga, valutata sull’arco di tempo in parametro% attraverso la distribuzione stazionaria.% output:% matrix = matrice contenente le frazioni di tempo% in funzione dei parametri% input:% p = parametro della distribuzione Esponenziale% K = vettore di capacità utili in valutazione% M = intervallo di uscita della diga in valutazionex=0.1:0.1:max(K);for i=1:length(K)for j=1:length(M)if K(i)>M(j)r=(K(i)/M(j));w=floor(r);if w==r[y,h]=analitica(K(i),M(j),p,x);E=0;for t=1:length(y)if y(t)

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 100endendendendmatrix(i,j)=E;endelsematrix(i,j)=NaN;endA.12 guadagno.mguadagno.m è il programma per la simulazione dell’andamento della funzioneguadagno, analizzante sia gli ingressi di tipo Esponenziale che gli ingressidi tipo Beta, poichè riceve in ingresso una matrice contenente gli ingressidelle simulazioni. Possiede numerosi parametri in ingresso, per cui sirimanda allo script dell’help per la loro descrizione accurata. L’output dellaroutine è una matrice contenente i valori del guadagno atteso in funzionedegli intervalli di variazione dei parametri.function G=guadagno(E,M,K,trans,tempo,costo,ricavo,sim)% G=guadagno(E,M,K,trans,tempo,costo,ricavo,sim)% routine che valuta il valore del guadagno atteso dato un% orizzonte temporale di calcolo.% output:% G = matrice contenente i valori di guadagno atteso in% funzione dei parametri% input:% E = matrice contenente le simulazioni degli ingressi alla% diga (dove ogni colonna rappresenta una simulazione)% M = intervallo di uscita della diga in valutazione% K = vettore di capacità utili in valutazione% trans = valore stimato della durata del transitorio% tempo = periodo di funzionamento in analisi% (escluso transitorio)% costo = (stringa) funzione di costo relativa alla diga,% nella quale k rappresenta la capacità utile;% per esempio: costo=’4950*sqrt(k)’% ricavo = (stringa) funzione di costo relativa alla diga,% nella quale k rappresenta la capacità utile,% m l’uscita della diga e r la quantità di acqua% presente nella diga; per esempio:% ricavo=’441500*m*((0.8.*r).^(1/3)+0.1-0.3*m)’

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 101% sim = numero di colonne della matrice Efor i=1:length(K)for j=1:length(M)if K(i)>M(j)k=K(i);m=M(j);c=eval(costo);g=zeros(1,sim);for s=1:sim[r,R,z]=errestar(E(:,s),m,k);S=0;z=1;for t=trans:tempo+transif R(t)>kr(z)=k;elser(z)=R(t);endz=z+1;endv=eval(ricavo);g(s)=sum(v);endG(i,j)=mean(g)-c;elseG(i,j)=NaN;endendendA.13 centratura.mcentratura.m è il programma che effettua il controllo di appartenenzadi determinati punti ad una regione ammissibile, caratterizzata dal limiteinferiore pari a zero, dal limite superiore pari a una retta (il cui valore èpassato in ingresso) e dai limiti laterali generici (il cui andamento descrittoper punti è passato in ingresso). Esso restituisce 1 se il punto appartienealla regione ammissibile oppure 0 se il punto non vi appartiene. Per valutarel’appartenenza confronta le coordinate del punto con le serie di coordinatedei vincoli.

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 102function a=centratura(seme,vindx,vinsx)% a=centratura(seme,vindx,vinsx)% routine che determina l’appartenenza di un punto% a un data regione di ammissibiità.% output:% a = risultato della valutazione% a = 1 il punto appartiene alla regione% a = 0 il punto non appartiene alla regione% input:% seme = punto in analisi% vindx = descrizione per punti del bound di destra% (ogni colonna rappresenta le coordinate% (x,y) di ogni punto)% vinsx = descrizione per punti del bound di sinistra% (ogni colonna rappresenta le coordinate% (x,y) di ogni punto)ld=length(vindx);ls=length(vinsx);vd=vindx(2,2:ld);vs=vinsx(2,2:ls);for i=1:length(vd)-1if vd(i)=seme(2)b=vindx(1,i+1);elseb=vindx(1,ld);endendfor i=1:length(vs)-1if vs(i)=seme(2)d=vinsx(1,i+1);elsed=vinsx(1,ls);endendif seme(1)>d & seme(1)

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 103A.14 ottimoexp.mottimoexp.m è il programma che implementa il metodo di ottimizzazionevincolata compass search per la ricerca dei parametri ottimi di dighe coningressi Esponenziali (per la descrizione dell’algoritmo si veda il paragrafo6.4.1). Contiene al suo interno centratura.m, descritto nella sezione precedente.In ingresso sono posti tutti i parametri sia della simulazione chedell’ottimizzazione, perciò essi sono molto numerosi. Si rimanda allo scriptdell’help per la loro descrizione accurata. La routine restituisce le coordinatesul dominio del punto di ottimo e il valore della funzione guadagno valutatanel punto.function [ott,G]=ottimoexp(p,trans,tempo,costo,ricavo,sim,seme,s,tol,vindx,vinsx,maxx,maxy)% [ott,G]=ottimoexp(p,trans,tempo,costo,ricavo,sim,seme,s,% tol,vindx,vinsx,maxx,maxy)% routine che restituisce il punto di ottimo della funzione% guadagno (in caso di ingressi Esponenziali alla diga)% e i rispettivi valori di uscita m e capacità utile k.% output:% ott = coordinate (m,k) del punto di ottimo% G = valore della funzione guadagno nel punto di ottimo% input:% p = parametro dell’ingresso esponenziale% trans = valore stimato della durata del transitorio% tempo = periodo di funzionamento in analisi% (escluso transitorio)% costo = (stringa) funzione di costo relativa alla diga,% nella quale k rappresenta la capacità utile;% per esempio: costo=’4950*sqrt(k)’% ricavo = (stringa) funzione di costo relativa alla diga,% nella quale k rappresenta la capacità utile,% m l’uscita della diga e r la quantità di acqua% presente nella diga; per esempio:% ricavo=’441500*m*((0.8.*r).^(1/3)+0.1-0.3*m)’% sim = numero di simulazioni desiderato per il calcolo% della funzione guadagno% seme = punto di partenza dell’algoritmo di ottimizzazione% s = lunghezza iniziale del passo nell’algoritmo% di ottimizzazione% tol = tolleranza dell’algoritmo di ottimizzazione% vindx = descrizione per punti del bound di destra% (ogni colonna rappresenta le coordinate

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 104% (x,y) di ogni punto)% vinsx = descrizione per punti del bound di sinistra% (ogni colonna rappresenta le coordinate% (x,y) di ogni punto)% maxx = massimo valore assunto dall’ascissa% maxy = massimo valore assunto dall’ordinataE=[];for i=1:simx=exprnd(p,tempo+trans,1);E=[E x];endg=guadagno(E,seme(1),seme(2),trans,tempo,costo,ricavo,sim);M=-inf;w=0;while w==0g=max(M,g);puntix=[seme(1)+s seme(1) seme(1)-s seme(1)];puntiy=[seme(2) seme(2)+s seme(2) seme(2)-s];punti=[puntix;puntiy];for i=1:4t=punti(:,i);a=centratura(t,vindx,vinsx);if a==1 & t(1)

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 105A.15 ottimobeta.mottimobeta.m è il programma che implementa il metodo di ottimizzazionevincolata compass search per la ricerca dei parametri ottimi di dighe coningressi Beta (per la descrizione dell’algoritmo si veda il paragrafo 6.4.1).Contiene al suo interno centratura.m, descritto precedentemente. In ingressosono posti tutti i parametri sia della simulazione che dell’ottimizzazione,perciò essi sono molto numerosi. Si rimanda allo script dell’help per la lorodescrizione accurata. La routine restituisce le coordinate sul dominio delpunto di ottimo e il valore della funzione guadagno valutata nel punto.function [ott,G]=ottimobeta(a,b,c,trans,tempo,costo,ricavo,sim,seme,s,tol,vindx,vinsx,maxx,maxy)% [ott,G]=ottimobeta(a,b,c,trans,tempo,costo,ricavo,sim,% seme,s,tol,vindx,vinsx,maxx,maxy)% routine che restituisce il punto di ottimo della funzione% guadagno (in caso di ingressi Beta alla diga)% e i rispettivi valori di uscita m e capacità utile k.% output:% ott = coordinate (m,k) del punto di ottimo% G = valore della funzione guadagno nel punto di ottimo% input:% a , b , c = parametri dell’ingresso beta dilatata% (dove c coefficiente di dilatazione)% trans = valore stimato della durata del transitorio% tempo = periodo di funzionamento in analisi% (escluso transitorio)% costo = (stringa) funzione di costo relativa alla diga,% nella quale k rappresenta la capacità utile;% per esempio: costo=’4950*sqrt(k)’% ricavo = (stringa) funzione di costo relativa alla diga,% nella quale k rappresenta la capacità utile,% m l’uscita della diga e r la quantità di acqua% presente nella diga; per esempio:% ricavo=’441500*m*((0.8.*r).^(1/3)+0.1-0.3*m)’% sim = numero di simulazioni desiderato per il calcolo% della funzione guadagno% seme = punto di partenza dell’algoritmo di ottimizzazione% s = lunghezza iniziale del passo nell’algoritmo% di ottimizzazione% tol = tolleranza dell’algoritmo di ottimizzazione% vindx = descrizione per punti del bound di destra% (ogni colonna rappresenta le coordinate

APPENDICE A. SCRIPT DEL SOFTWARE SVILUPPATO 106% (x,y) di ogni punto)% vinsx = descrizione per punti del bound di sinistra% (ogni colonna rappresenta le coordinate% (x,y) di ogni punto)% maxx = massimo valore assunto dall’ascissa% maxy = massimo valore assunto dall’ordinataE=[];for i=1:simx=betarnd(a,b,tempo+trans,1);x=c.*x;E=[E x];endg=guadagno(E,seme(1),seme(2),trans,tempo,costo,ricavo,sim);M=-inf;w=0;while w==0g=max(M,g);puntix=[seme(1)+s seme(1) seme(1)-s seme(1)];puntiy=[seme(2) seme(2)+s seme(2) seme(2)-s];punti=[puntix;puntiy];for i=1:4t=punti(:,i);a=centratura(t,vindx,vinsx);if a==1 & t(1)

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