galleria del vento (pdf) - INFN

GALLERIA DEL VENTOSCOPI DELL’ESPERIENZACon la galleria del vento ci si propone:la verifica delle leggi di continuità (o di Leonardo) e di Bernoullila misura della resistenza aerodinamica di diversi corpila determinazione del profilo delle velocità attraverso la sezione del canalela determinazione della polare di un’alaDinamica dei fluidiSi potrebbe descrivere il moto di un fluido suddividendo idealmente il fluido stesso inelementi, a cui applicare le leggi della dinamica. Seguire il moto di ciascuna‘particella’ sarebbe però un lavoro molto complesso. Si può invece definire, per ognipunto del fluido e per ogni istante di tempo, il valore delle diverse grandezze cheservono per descrivere il fluido stesso (ad esempio la densità o la velocità)concentrando così l’attenzione sul quanto succede in un dato punto al passare deltempo, invece che seguire il moto del singolo elemento.Il moto del fluido può essere stazionario (quando la velocità del fluido è, in ognipunto, costante nel tempo) o non stazionario. Nel caso di fluido stazionario, ogniparticella che arriva, in qualsiasi istante, in un certo punto, assume la stessa velocità,(mentre particelle in punti diversi possono naturalmente assumere velocità diverse).Il moto del fluido può essere rotazionale (se in ogni punto gli elementi di fluidohanno velocità angolare non nulla attorno a quel punto) o irrotazionale .Il fluido può essere comprimibile ( = m/V non costante) o incomprimibile.Il fluido può essere viscoso (con conseguente dissipazione di energia durante il moto)o non viscoso.Nel caso di moto stazionario, seguendo il percorso di una particella troviamo che essoè lo stesso che verrà seguito da qualsiasi altra particella che, in un certo momento,transiterà per quel punto. Possiamo allora pensare di congiungere tutti i punti diquesto ‘percorso fisso’, ottenendo una linea di flusso, tale che la velocità risulta inogni punto tangente alla linea di flusso in quel punto. Inoltre due linee di flusso nonpossono mai incrociarsi. Si determina pertanto una configurazione delimitatadall’insieme delle linee di flusso, detta tubo di flusso, che si comporta come uncondotto dal quale nessuna particella può uscire durante il moto.

La massa m che attraversa in un certo istante una sezione A del tubo di flusso èapprossimativamente:m = V = A vtDove vt rappresenta la lunghezza percorsa nell’intervallo di tempo t dall’elementodi fluido che si muove con velocità v.Supponendo costante questa massa, per qualsiasi sezione del tubo di flusso possiamoscrivere: A 1 v 1 t = A 2 v 2 tcioè: A vcostQuesto risultato esprime il principio della conservazione della massa nella dinamicadei fluidi e viene conosciuto anche come principio di continuità. La grandezza Av,che risulta costante nel caso di fluido a densità costante, è detta portata.Il moto di un punto materiale può essere descritto attraverso la legge di conservazionedell’energia meccanica, che lega la variazione di energia cinetica con lacontemporanea variazione di energia potenziale. Nel caso del moto di un puntomateriale, non dobbiamo considerare altre azioni, perché il punto è un’entità a sé,che, in assenza di attrito dell’aria, si muove come entità isolata. Quando si consideraun fluido, come l’aria, ogni elemento di fluido fa parte di un tutt’uno che interagiscecon gli altri elementi del fluido stesso. Ci si aspetta quindi che questo introduca, nellalegge di conservazione dell’energia meccanica, un termine aggiuntivo, che esprimaproprio questo tipo di ‘legame’. Possiamo utilizzare il teorema delle forze vive, oteorema dell’energia cinetica, per ricavare questa espressione ‘estesa’ della legge diconservazione dell’energia. Sappiamo quindi che la variazione dell’energia cinetica èuguale alla somma dei lavori dovuti alle varie forze in gioco: in particolare alla forzadi gravità ed alla forza legata alla pressione.Il lavoro della forza di gravità (forza conservativa), può essere espresso attraverso ladifferenza fra il valore iniziale ed il valore finale dell’energia potenzialegravitazionale. Il lavoro della forza di pressione può essere scritto come pV, dove p èla pressione che agisce sull’elemento di fluido nel punto considerato.

Visto che il moto del fluido è ‘provocato’ dalla spinta del fluido che sta dietrol’elemento il questione (forza parallela al moto) e reso più difficile dalla presenza delfluido che sta oltre l’elemento in questione (forza antiparallela al moto), il lavoroviene espresso come differenza dei due termini p i V – p f V.Poiché la posizione iniziale e finale sono prese in modo casuale e non determinano,con la loro scelta, la validità del risultato, possiamo raggruppare i termini relativi allaposizione iniziale e quelli relativi alla posizione finale, giungendo ad una espressioneche resta costante durante il modo del fluido:mgh + ½ m v 2 + pV = costDividendo ogni termine per V e ricordando la definizione di densità = m/V,possiamo riscrivere la relazione precedente (che costituiva una espressione dellaconservazione dell’energia) come una somma di pressioni:gh + ½ v 2 + p = costL’equazione di Bernoulli ha parecchie applicazioni. Ricordiamo ad esempio il caso incui un condotto orizzontale presenti in strozzatura. Per il principio di continuità nellastrozzatura la velocità deve essere maggiore, ma questo implica, per il principio diBernoulli, che la pressione debba essere minore; questo effetto può essere evidenziatocon l’applicazione di un manometro differenziale, che viene immerso in un fluido permisurarne la velocità di flusso (tubo di Venturi)Il tubo di Pitot è un dispositivo impiegato per misurare la velocità di flusso di un gas.Per capirne il funzionamento immaginiamo di poter confrontare la pressione in unpunto A, in cui il fluido è in quiete, con quella in un punto C in cui il fluido havelocità v. Supponiamo che l’altezza sia la stessa per i due punti.

L’applicazione del teorema di Bernoulli permette di scrivere:p C + ½ v 2 = p Adove C è un punto in cui la velocità del fluido non è alterata dalla presenza del corpo.Nella disposizione più moderna del tubo di Pitot la pressione non perturbata vienemisurata direttamente su un ramo laterale del tubo, dove l’imboccatura del ramodestro (b) è perpendicolare rispetto alla direzione del flusso e di conseguenza lavelocità si riduce a zero. In a invece il fluido ha velocità v.Applicando l’equazione di Bernoulli si ha:p a + ½ v 2 = p bcioè p a < p b . Se h è la differente altezza del liquido manometrico di densità ’, ladifferenza di pressione può essere anche espressa come:p b – p a = ’hga cui è possibile ricavare la velocità del gas:v = (2gh’ /) 1/2Il tubo di Pitot può essere tarato in modo che vi si legga direttamente la velocità delgas. Nella configurazione descritta sopra ricavare la velocità equivale a ricavare lapressione dinamica, cioè quella pressione legata al moto del fluido con velocità v:p din = ½ v 2

E’ importante però ricordare che la densità dell’aria non è una costante, ma dipendedalla temperatura e dall’umidità dell’aria: se necessario, bisogna applicare leopportune correzioni.Viene detta pressione statica quella riferita al punto in cui la velocità è nulla (b, nelcaso precedente) e pressione totale la somma p a + ½ v 2Il manometro differenziale non da direttamente un valore di pressione, ma permettedi leggere il valore di una differenza di pressione fra i due punti ai quali il manometroè collegato.Se una estremità del manometro differenziale è libera e l’altra è collegata con laboccola perpendicolare della sonda, possiamo leggere la differenza di pressione:p = p amb – p bLa pressione ambiente può però anche essere letta sul barometro di Fortin e quindi,dal confronto del valore letto, in questa seconda configurazione, sul manometrodifferenziale e quello letto sul barometro di Fortin si può ottenere p b , cioè la pressionestatica.Dalla somma della pressione statica e della pressione dinamica si può infine ottenereanche la pressione totale (essendo i vari punti alla stessa altezza, il termine gh è lostesso in ogni posizione), il cui valore, secondo la legge di Bernoulli, deve restarecostante.La spinta dinamica è una forza che agisce su un corpo in virtù del suo motoall’interno di un fluido (la spinta statica è invece quella espressa dalla spinta diArchimede). Anche quando sia il corpo in moto in un fluido fermo risulta spessocomodo considerare il corpo fermo e il fluido in movimento, come è effettivamentenel caso delle esperienze con la galleria del vento. Il comportamento del fluido puòessere visualizzato con le linee di flusso, che indicano una velocità maggiore là dovesono più raddensate.pallina ferma, fluido in moto pallina in rotazione somma dei due motiA velocità maggiore corrisponde minore pressione: nel caso dell’ala dell’aereo, lamaggiore velocità si ottiene, per la forma stessa dell’ala, sopra ad essa. Ne segue unapressione maggiore sotto l’ala che sopra, con una conseguente spinta dell’aria sull’aladal basso verso l’alto.

la forma delle ali viene realizzata i modo tale che la superficie superiore abbia unraggio di curvatura minore di quello della superficie inferiore. L’aria che scorre sullasuperficie superiore segue un percorso maggiormente incurvato di quello dell’aria acontatto con la superficie inferiore.La velocità dell’aria che si avvicina è orizzontale, mentre quella che si allontana dalprofilo dopo essere fluita lungo l’ala ha una componente verso il basso. Vi è stataquindi una forza applicata sull’aria, diretta verso il basso; l’aria deve esercitaresull’ala una forza diretta verso l’alto (terza legge di Newton). La componenteverticale di questa forza è detta portanza aerodinamica (F a ), la componenteorizzontale resistenza (F W ).La portanza dipende da vari fattori: velocità dell’aereo, area dell’ala, sua curvatura,angolo fra l’ala e la direzione orizzontale. A parità degli altri termini, possiamoconsiderare l’effetto della variazione dell’angolo : quando quest’ultimo aumenta, ilflusso turbolento al di sopra dell’ala riduce la spinta prevista dall’effetto Bernoulli. Ilgrafico della resistenza in funzione della portanza, per diversi valori dell’angolo diattacco, costituisce la ‘polare’ dell’ala.Il moto di un fluido viene detto laminare quando in ogni punto del liquido la velocitàsi mantiene costantemente parallela ad una direzione fissa ed i diversi strati di liquidofra loro adiacenti, avendo velocità differenti, scorrono uno sull’altro senzamescolarsi.

Nel moto di un fluido, la viscosità è l’analogo dell’attrito nel moto dei corpi solidi. Siconsideri un fluido tra due piani paralleli. Si applichi una forza F sul piano superiore,in modo da mantenerlo in moto con velocità costante v rispetto al piano inferiore, cheinvece è in quiete. Si può immaginare il fluido diviso in tanti strati paralleli ai piani.La viscosità non agisce solo tra il piano superiore ed il fluido, ma anche fra ciascunostrato del fluido: la velocità di ciascuno di essi differisce di una quantità dv da quellodello strato adiacente. Lo sforzo tangenziale è definito come F/A, con A area dellostrato di fluido. Il fluido reagisce variando la velocità di ogni strato e possiamoesprimere ciò con la quantità dv/dy. La forza necessaria per tenere in moto la lastrasuperiore con velocità v risulta essere proporzionale alla dimensione della piastra Aed alla velocità ed inversamente proporzionale alla distanza d fra le piastre; ilcoefficiente di proporzionalità viene chiamato viscosità e la sua unità di misura èNsm -2 nel sistema SI. Nel sistema CGS l’unità di misura prende il nome di poise,essendo 1 poise = 0.1 Nsm -2 . Si ha perciò:F/A = v/dIn una conduttura cilindrica gli strati di fluido sono sottili anelli cilindrici di raggiovariabile, ma il moto è ancora laminare e la velocità di flusso varia con il raggio:sull’asse del tubo si ha il valore massimo, mentre il minimo (che si pone uguale azero) si ha sulle pareti. La velocità sull’asse dipende dalla differenza di pressione tragli estremi della conduttura di lunghezza L. Se si considera il flusso di fluidoattraverso ogni anello cilindrico si può mostrare che il flusso totale di massa dm/dt è:dm/dt = (pR 4 p) / (8L)dove R è il raggio del condotto (legge di Poiseuille).Conoscendo la differenza di pressione che fa scorrere un fluido in un tubo emisurando il flusso di massa si può determinare la viscosità del fluido stesso. Neiliquidi la viscosità diminuisce con la temperatura, mentre nei gas aumenta.Se delle polveri colorate vengono mescolate ad un liquido in moto laminare lungo untubo, si vedono i granuli muovesi lungo linee non intersecatesi che sono i tubi diflusso. Se si fa aumentare la velocità di scorrimento del fluido, per un valore critico v cdella velocità il moto dei granuli diviene disordinato ed il colore si sparpaglia pertutto il tubo: il moto è diventato turbolento. Le particelle del fluido cominciano afluttuare in maniera disordinata, generando turbinii e fluttuazioni. A parità didifferenza di pressione agli estremi del tubo, la portata risulta assai minore di quella

che si avrebbe in regime laminare. Nel moto turbolento la direzione della velocità inun punto cambia di istante in istante e le particelle del fluido possiedono motirotazionali vorticosi. Si trova sperimentalmente che la velocità critica v c dipendedalla densità del liquido, dal coefficiente di viscosità e dal raggio del tubo nelquale scorre il liquido. Si può quindi impostare una equazione dimensionale,trovando che la velocità critica deve essere proporzionale a /D, con D diametro deltubo. La costante di proporzionalità è un numero puro e viene chiamato numero diReynolds: R = Dv/A parità di numero di Reynolds,il flussoavrà lo stesso ‘aspetto’, pur variando lavelocià e, corrispondentemente, il diametro del cilindro. Questo fatto permette adesempio di studiare quale sarà il comportamento del flusso d’aria su un’ala di unaeroplano anche senza costruirlo effettivamente: sarà sufficiente effettuare dellemisure in un tunnel aerodinamico con un modellino in scala ridotta, adoperandonaturalmente delle velocità che diano lo stesso numero di Reynolds. A questo scopole ‘gallerie del vento’ sono costruite in modo che la velocità di ogni strato paralleloall’asse sia parallela all’asse stesso, non abbia variazioni temporali e non presentiturbolenze. Naturalmente non è possibile realizzare gallerie che soddisfinopienamente questi requisiti e diventa importante chiedersi e verificare a quale livellouna particolare galleria soddisfi queste ipotesi.Dal punto di vista fisico, il numero di Reynolds corrisponde al rapporto tra la forzainerziale F i e la forza viscosa F v .Consideriamo un liquido in moto con velocità media v m in una tubatura di diametro De sezione A. La forza d’inerzia si può scrivere:F i = v m dm/dt = v m (Av m ) = Av m2e la forza viscosa:F v = A dv/dt = A(v m) / DIl rapporto è: R=Dv/Dato che la forza di inerzia è prevalente nel flusso turbolento e quella viscosa nelflusso laminare, i grandi valori del numero di Reynolds possono essere associati allaturbolenza e quelli piccoli al flusso laminare.Quando il numero di Reynolds è dell’ordine di 30, il flusso del fluido è ben descrittodalla teoria di Poiseuille. Per numeri di Reynolds più grandi, la teoria di Poiseuille siapplica solo ad una certa distanza dall’ingresso nella galleria, e solo da lì in poi potràstabilirsi il caratteristico profilo di velocità parabolico. Indicata con X la distanza allaquale la velocità massima scarta meno del 5% dal valore dato dalla teoria diPoiseuille, si può ricavare che X ≈ RD/30, dove R è il numero di Reynolds e D ildiametro del condotto.Spesso si verifica la presenza di un moto relativo fa un oggetto ed un fluido:pensiamo ad esempio al moto di un aeroplano nell’aria o a quello del vento che soffiasulle case. Le situazioni reali sono molto complicate, ma si può cercare dicomprendere le caratteristiche del fenomeno usando delle situazioni geometricamentepiù semplici: possiamo pensare ad esempio all’effetto sul moto del fluido della

presenza di un cilindro di diametro d, posto con l’asse normale al flusso di un fluidoche si muove con velocità v (La situazione è poi perfettamente equivalente a quelladel moto del cilindro attraverso un fluido fermo).Anche in questo caso le caratteristiche del moto del fluido possono essere classificatein base al valore del numero di Reynolds, definito come R=dv/essendo d il diametro del cilindro, e rispettivamente la densità e la viscosità delfluido. Anche in questo caso le caratteristiche del flusso saranno le stesse a parità dinumero di Reynolds, mentre varieranno al variare del numero stesso.Quando il numero di Reynolds è molto minore di 1 il flusso è simmetrico prima edopo il corpo immerso, essendo il lato destro copia speculare del lato sinistro. Alcrescere del valore del numero di Reynolds questa simmetria svanisce. Dietro alcilindro compaiono alcuni vortici ed il percorso delle particelle del fluido è disturbatodalla presenza del cilindro molto più lontano a valle, piuttosto che a monte delcilindro stesso. Per R > 40 il flusso cambia ancora: uno dei vortici dietro al cilindrodiventa così lungo che si rompe e se ne va con la corrente del fluido, mentre nuovivortici si formano dietro al cilindro. Soprattutto ciò che differenzia le prime duesituazioni da quelle successive è che la velocità nelle prime è costante, mentre poivaria nel tempo in ogni punto: il flusso non è più stazionario.Via via che il numero di Reynolds cresce ancora, la vorticità tende a riempire unabanda sottile, detta strato limite, nella quale il flusso è caotico ed irregolareConsideriamo la forza di trascinamento che agisce su un corpo di sezione A immersoin un fluido, di densità che si muove con velocità v. Essa risulta F = - ½ C R v 2 Adove C R è noto come coefficiente di resistenza; esso risulta essere dipendente dalvalore del numero di Reynolds (che a sua volta è proporzionale alla velocità delfluido, se tutto il resto è mantenuto costante)

Nel diagramma è riportato il coefficiente di resistenza in funzione del numero diReynolds, ottenuto sperimentalmente, per un ostacolo di forma sferica.