Appendice A Operatori Scalari e Vettoriali - INFN

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hanno lo stesso significato e una segue dall’altra.Dal teorema della circuitazione seguono le relazioni:∮ ∫fd⃗s = ⃗n · ∇f dSe∮ssd⃗s × ⃗v =S∫SdS(⃗n × ∇) × ⃗v(B.19)(B.20)per la cui dimostrazione è sufficiente moltiplicare scalarmente i due membridelle equazioni con un vettore costante ⃗a, ricordando la definizione di prodottomisto, e poi applicare la (A.20), nel caso della (B.18), ed il teoremadella circuitazione (B.16).
<strong>Appendice</strong> CEspressione di operatoridifferenziali in diversecoordinateRicordiamo le espressioni degli operatori differenziali in un sistema di coordinatecartesiane (x, y, z).∇f = ⃗i ∂∂x + ⃗j ∂∂y + ⃗ k ∂ ∂z∇ · ⃗u = ∂u x∂x + ∂u y∂y + ∂u z∂z∇×⃗u = ⃗i( ∂uz∂y − ∂u ) (y ∂ux+⃗j∂z ∂z(C.1)(C.2)− ∂u ) (z+∂x⃗ ∂uyk∂x − ∂u )x(C.3)∂y∇ 2 f = ∇ · ∇f = ∂2 f∂x 2+ ∂2 f∂y 2+ ∂2 f∂z 2(C.4)∇ 2 ⃗u = ∇ 2 u x⃗i + ∇ 2 u y⃗j + ∇ 2 u z⃗ k(C.5)Capita assai comunemente che la simmetria di un particolare problemasuggerisca l’uso di un sistema di coordinate curvilinee diverso da quello cartesiano.Per questo motivo riportiamo di seguito le espressioni degli operatoridifferenziali suindicati in coordinate polari sferiche e cilindriche.In coordinate polari sferiche (r, θ, ϕ), con versori ⃗i r , ⃗i θ e ⃗i ϕ :∂f∇f = ⃗i r∂r + 1 ∂f⃗i θr ∂θ + 1 ∂f⃗i ϕr sin θ ∂ϕ(C.6)
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