Appendice A Operatori Scalari e Vettoriali - INFN

Appendice BTeoremi notevoli del CalcoloDifferenzialeSia f(x, y, z) uno scalare qualsiasi; consideriamone una superficie di livello,cioè una superficie tale che su di essa sia f(x, y, z) = cost. Per definizione disuperficie di livello, su di essa df = 0, ovvero, se d⃗s è l’elemento infinitesimodi arco su tale superficiesi avrà:d⃗s = dx ⃗i + dy ⃗j + dz ⃗ k(B.1)0 ≡ df = d⃗s · ∇f (B.2)come già visto dalla definizione di gradiente (A.9) e di derivata direzionale(A.12).Si definisce la circuitazione di un vettore ⃗v come l’integrale di ⃗v · d⃗svalutato lungo una qualche linea s:∫I = ⃗v · d⃗s(B.3)sSe ⃗v è tale cheabbiamo⃗v = ∇fdf = ∇f · d⃗s(B.4)(B.5)Quindi, se P 1 e P 2 sono gli estremi della curva s, la circuitazione I definitain (B.3) diventa semplicementeI =∫ P2P 1df = f(P 2 ) − f(P 1 ) (B.6)