Appendice A Operatori Scalari e Vettoriali - INFN

3. in ogni punto il vettore gradiente è perpendicolare alla superficie divalore U = cost passante per il punto considerato.Due grandezze frequentemente usate in relazione ad un generico campovettoriale ⃗v sono l’operatore scalare divergenza:∇ · ⃗v ≡ ∂v x∂x + ∂v y∂y + ∂v z∂z(A.13)(che si ottiene applicando formalmente la definizione dell’operatore ∇ scalarmenteal vettore ⃗v) e l’operatore vettoriale rotore tale che:∇ × ⃗v≡( ∂vz∂y − ∂v )y⃗i +∂z( ∂vy∂x − ∂v )x ⃗ k∂y( ∂vx∂z − ∂v z∂x)⃗j(A.14)che, di nuovo, si ottiene applicando formalmente l’operatore ∇ vettorialmenteal vettore ⃗v e che si può ottenere anche come lo sviluppo del determinante:∇ × ⃗v ≡ ∂∂x⃗i ⃗j ⃗ k∂∂y∂∂zv x v y v zPer la linearità dell’operatore ∇ si ha:∇ (f + g) = ∇ f + ∇ g∇ (f g) = f∇ g + g∇ f∇ · (⃗u + ⃗v) ≡ ∇ · ⃗u + ∇ · ⃗v∇ × (⃗u + ⃗v) = ∇ × ⃗u + ∇ × ⃗v∇ · (f ⃗u) = ⃗u · ∇f + f∇ · ⃗u∇ × (f ⃗u) = ∇f × ⃗u + f∇ × ⃗u(A.15)(A.16)(A.17)(A.18)(A.19)(A.20)Si definisce anche l’operatore di Laplace o laplaciano ∇ 2 come:∇ · ∇f ≡ ∇ 2 f(A.21)