Appendice A Operatori Scalari e Vettoriali - INFN

((2l − 1) !!n l (x) → − 1 −x l+1x 2 )2(1 − 2l) + ...(F.14)Analogamente si ottengono le espressioni asintotiche per grandi valori di x:j l (x) → 1 (x sin x − lπ )2n l (x) → − 1 (x cos x − lπ )2h (1)l+1 eixl (x) → (−i)xLe funzioni di Bessel sferiche soddisfano le relazioni ricorrenti:2l + 1z l (x) = z l−1 (x) + z l+1 (x)xz ′ l (x) = 12l + 1 [lz l−1(x) − (l + 1)z l+1 (x)](F.15)(F.16)(F.17)dove z l (x) rappresenta una qualsiasi delle funzioni j l (x), n l (x), h (1)l (x), h (2)l (x).Accenniamo, infine, alle funzioni di Bessel modificate. Esse sonosoluzioni dell’equazione differenziale:d 2 R+ 1 ( )dRdx 2 x dx − 1 + ν2R = 0(F.18)x 2e, come evidente, non sono altro che funzioni di Bessel con argomento immaginariopuro. Ordinariamente, nella scelta di una coppia di soluzioni linearmenteindipendenti, queste sono indicate come I ν (x) e K ν (x), e sono definitedalle:I ν (x) = i −ν J ν (ix)(F.19)K ν (x) = π 2 iν+1 H (1)ν (ix) (F.20)che sono funzioni reali per x e ν reali. Le loro espressioni asintotiche per xpiccolo e per x grande, supponendo x reale e positivo o nullo, sono:• x