Appendice A Operatori Scalari e Vettoriali - INFN

Inoltre:(⃗u × ⃗v) · (⃗t × ⃗z) = ⃗u · ⃗v × (⃗t × ⃗z)= ⃗u [ (⃗v · ⃗z) ⃗t − (⃗v ·⃗t) ⃗z ]= (⃗u ·⃗t)(⃗v · ⃗z) − (⃗u · ⃗z)(⃗v ·⃗t) (A.6)e(⃗u × ⃗v) × (⃗t × ⃗z) = (⃗u × ⃗v · ⃗z) ⃗t − (⃗u × ⃗v ·⃗t) ⃗z(A.7)Se indichiamo con f, un generico campo scalare, possiamo definirel’operatore vettoriale nabla ∇, come:∇ ≡ ⃗i ∂∂x + ⃗j ∂∂y + ⃗ k ∂ ∂zed in funzione di questo l’operatore vettoriale gradiente:∇ f ≡ ⃗i ∂f∂x + ⃗j ∂f∂y + ⃗ k ∂f∂z(A.8)(A.9)Consideriamo, ora, un campo scalare U(x, y, z); se partendo da un puntoP = (x, y, z) si esegue uno spostamento infinitesimo:d⃗s = ⃗i dx + ⃗j dy + ⃗ k dz = ⃗n ds(A.10)con (ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 , la variazione corrispondente di U è:dU = U(x + dx, y + dy, z + dz) − U(x, y, z)= ∂U ∂U ∂Udx + dy +∂x ∂y ∂z dz= ∇U · d⃗s = ∇U · ⃗nds (A.11)In un punto P = (x, y, z) la derivata direzionale di U nella direzionespecificata dal versore ⃗n è definita come:dUds≡ ∇U · ⃗n(A.12)cioè è la componente del vettore ∇U nella direzione orientata fissata dallospostamento d⃗s. Da questa ultima relazione si ricava che:1. il gradiente di U è un vettore di modulo uguale al valore assolutomassimo della derivata direzionale;2. la direzione e il verso coincidono con quelli per i quali la derivatadirezionale è massima;