Appendice A Operatori Scalari e Vettoriali - INFN

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<strong>Appendice</strong> FCenni sulle funzioni di BesselRiassumiamo brevemente definizioni e proprietà delle funzioni di Bessel.L’equazione differenzialed 2 Rdx 2+ 1 x( )dRdx + 1 − ν2R = 0x 2(F.1)prende il nome di equazione di Bessel; le sue soluzioni sono chiamate funzionidi Bessel di ordine ν. La forma esplicita della soluzione, indicatacomunemente con J ν (x), è:J ν (x) =( x2) ν ∞ ∑j=0(−1) jj! Γ(j + ν + 1)( x2) 2j(F.2)e prende il nome di funzione di Bessel di prima specie di ordine ν; Γ è lafunzione di Eulero, la cui rappresentazione integrale è:Γ(z) =∫ ∞0e −t t z−1 dt(F.3)Si può dimostrare che la serie che definisce la J ν (x) converge per tutti i valorifiniti di x e per ogni ν. Se ν non è un numero intero, la funzione J −ν (x), cheè a sua volta soluzione della (F.1), risulta linearmente indipendente da J ν (x)e le due funzioni J ±ν (x) costituiscono una coppia di soluzioni linearmente indipendentidell’equazione differenziale di second’ordine di Bessel. Se, invece,ν è un numero intero, le due soluzioni sono linearmente dipendenti e vale larelazione:J −ν (x) = (−1) ν J ν (x)(F.4)
Pertanto è necessario trovare un’altra soluzione linearmente indipendentequando ν è intero. Normalmente, anche quando ν non è un intero, si sostituiscela coppia J ±ν (x) con la coppia costituita la J ν (x) e da N ν (x), lacosiddetta funzione di Neumann o funzione di Bessel di seconda specie:N ν (x) = J ν(x) cosνπ − J −ν (x)sin νπ(F.5)che è linearmente indipendente da J ν (x), qualunque sia ν.Accanto alle funzioni di Bessel di prima e di seconda specie è soventeutile considerare le cosiddette funzioni di Bessel di terza specie o funzioni diHankel, definite come particolari combinazioni lineari di J ν (x) e N ν (x):H ν(1) (x) = J ν(x) + iN ν (x)H ν (2) (x) = J ν(x) − iN ν (x)(F.6)esse formano un insieme fondamentale di soluzioni dell’equazione di Bessel, alpari delle J ν (x) e N ν (x). Si noti che, facendo un parallelismo tra le funzionidi Bessel e le funzioni trigonometriche, si può dire, in un certo senso, chele funzioni J ν (x) e N ν (x) stanno a cos x e sin x come le funzioni H ν (1)(x)eH ν(2) (x) stanno agli esponenziali e iz e e −iz ; come in certi problemi che portanoa considerare funzioni di tipo trigonometrico è più opportuno a volte servirsidi seno e coseno e a volte di esponenziali, così nei problemi che portano allefunzioni di Bessel si useranno, di volta in volta, come sistema fondamentaledi soluzioni, o le funzioni J ν (x) e N ν (x) o le funzioni di Hankel, a secondadel particolare problema.Tutte le funzioni J ν (x), N ν (x), H ν (1) (x), H ν(2) (x) soddisfano le formulericorrentiΩ ν−1 (x) + Ω ν+1 (x) = 2ν x Ω ν(x)Ω ν−1 (x) − Ω ν+1 (x) = 2 dΩ ν(x)dx(F.7)(F.8)dove Ω ν (x) è una qualsiasi delle funzioni suindicate. In particolare, tenutoconto della (F.4), per ν intero si ha J ′ 0(x) = (−1) J 1 (x).In figura F.1 sono riportate le funzioni di Bessel di prima e di secondaspecie di ordine 0 e 1; in figura F.2, invece, sono riportate le derivate primedelle funzioni J 0 (x), J 1 (x), N 0 (x) ed N 1 (x).Per completezza, riportiamo i comportamenti asintotici dei vari tipi difunzioni di Bessel per valori molto grandi e molto piccoli dell’argomento. Persemplicità indicheremo soltanto i termini dominanti dei rispettivi sviluppi:
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