Appendice A Operatori Scalari e Vettoriali - INFN

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E.2 Definizione di tensoreSi consideri un sistema di coordinate x i i=1, 2, ... n nello spazio a n dimensionied un secondo sistema di coordinate x ′ l l=1, 2, ... n. Siano A ij...kle componenti di un tensore nel sistema delle x i e A ′ lm...n le sue componentinel sistema delle x ′ l . Si supponga che i due sistemi delle x i e delle x ′ j sianolegati da una trasformazione di coordinate che non sia singolare, cioè che leequazioni che esprimono le x ′ l in funzioni delle x i siano invertibili in modo dapoter esprimere le x i in funzione delle x ′ j, e che le funzioni che specificano latrasformazione x ′ l = f(x i ) siano derivabili tante volte quanto è necessario.Un’entità con componenti A ij...k nel sistema delle x i e A ′ lm...n nel sistemadelle x ′ l si comporta per definizione come un tensore covariante per latrasformazione x i → x ′ l seA ′ lm...n = ∑ i∑j... ∑ kA ij...k∂x i∂x ′ l∂x j∂x ′ m... ∂x k∂x ′ n(E.1)Similmente A ij...k si comporta per definizione come un tensore controvarianteper la trasformazione x i → x ′ l seA ′ lm...n = ∑ i∑j... ∑ kA ij...k ∂x′ l∂x i∂x ′ m∂x j... ∂x′ n∂x k(E.2)Infine A i...jk...l si comporta per definizione come un tensore misto per la trasformazionex i → x ′ l seA ′ m...np...q= ∑ i... ∑ j... ∑ k... ∑ lA i...jk..l∂x ′ m∂x i... ∂x′ n∂x j∂x k∂x ′ p... ∂x l∂x ′ q(E.3)Se si afferma semplicemente che una entità è un tensore si intende che essasi comporta come un tensore per tutte le trasformazioni delle coordinatepertinenti, non singolari e derivabili. Si può osservare che in ogni dato puntole ∂x′ sono numeri puri, per cui le trasformazioni di tensori (E.1)–(E.3) sono∂xlineari: le componenti nel nuovo sistema sono funzioni lineari delle componentinel vecchio, con coefficienti uguali a prodotti di derivate parziali primecalcolate nel punto dato.Tensori covarianti comportano derivate delle vecchie coordinate rispettoalle nuove e vengono indicati con indici posti a pedice; tensori controvarianticomportano derivate delle nuove coordinate rispetto alle vecchiee vengono indicati con indici posti ad apice; tensori misti, infine comportanoderivate di entrambi i tipi e vengono indicati con indici ad apice e a pedice incorrispondenza delle coordinate per le quali si hanno trasformazioni di tipocontrovariante e covariante rispettivamente.
Le definizioni date, applicate ad un tensore di rango zero (scalare)comportano che A ′ = A; perciò uno scalare è funzione solo della posizione, èindipendente dal sistema di coordinate e viene detto invariante.Ricordiamo, infine, il teorema principale del calcolo tensoriale: se duetensori dello stesso tipo sono uguali in un sistema di coordinate, lo sono intutti i sistemi.
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