Appendice A Operatori Scalari e Vettoriali - INFN

D.2 Integrale di FourierLe considerazioni precedenti possono essere estese al caso di una funzionequalsiasi (cioè non periodica o , che è lo stesso, periodica con periodo infinito)se, formalmente facciamo il limite T → ∞ nelle equazioni precedenti. Perquesto poniamo2πn≡ k n(D.12)TeA n = 1 ∫ T/2e −iknx f(x) dx = √ 1 F(k n ) ∆k (D.13)T −T/22πoveF(k n ) ≡ √ 1 ∫ T/2e −iknx f(x) dx(D.14)2π−T/2e ∆k = 2π/T. Le (D.10) e (D.11) divengono allora quando T → ∞ esupponendo convergenti tutti i limiti coinvoltif(x) = √ 1 ∫ ∞F(k) e ikx dk(D.15)2π−∞F(k) = 1 √2π∫ ∞−∞f(x) e −ikx dx(D.16)Convenzionalmente si dice che F(k) è la trasformata di Fourier di f(x) e chef(x) è l’ antitrasformata di Fourier di F(k).Considerando le condizioni sotto le quali il passaggio al limite dalcaso discreto al caso continuo può essere effettuato, si può dimostrare checondizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione ammetta trasformatadi Fourier è che essa sia di classe L 2 , cioè che l’integrale del suo modulo quadrotra −∞ e +∞ sia finito.In maniera analoga e sotto condizioni del tutto simili, il formalismodelle trasformate di Fourier si estende al caso tridimensionale:∫1f(⃗r) = F((2π) ⃗ k) e i⃗k·⃗r d 3 ⃗ k (D.17)3/2F( ⃗ k) =∫1(2π) 3/2f(⃗r) e −i⃗ k·⃗r d 3 ⃗r(D.18)Per una descrizione più completa dell’argomento si faccia riferimentoagli appunti del Corso di Metodi Matematici 1 (reperibili all’indirizzo:http://www.ph.unit.it/ccl/riforma/progr 2000 comdid.html)