Appendice A Operatori Scalari e Vettoriali - INFN

Si può dimostrare che se f(x) è sommabile nell’intervallo x(0, 2π) edè di classe C 1 nell’intorno di un punto x 0 , la serie di Fourier corrispondenteconverge puntualmente af(x 0 ) = 1 2[f(x+0 ) + f(x − 0 )] (D.5)avendo indicato con f(x + 0 ) e f(x − 0 ) i limiti destro e sinistro della funzione inx 0 . Una funzione pari nell’intervallo (0, 2π) si sviluppa in serie di soli coseni,mentre una funzione dispari si sviluppa in serie di soli seni.Per le formule trigonometriche di Eulero, la (D.1) si può equivalentementescrivere nella formaf(x) =+∞ ∑−∞A n e inx(D.6)Per calcolare i coefficienti A n moltiplichiamo ambo i membri della (D.6) pere −imx e integriamo tra 0 e 2π. Usando la relazione di ortonormalità∫ 2π0e ix(n−m) dx = 2 π δ nm(D.7)ove δ nm è il simbolo di Kronecker e vale 0 se n ≠ m, 1 se n = m, abbiamo∫1 2πf(x)e −ixm dx =2π 0∞∑A n δ nm = A m−∞(D.8)Se ora consideriamo lo sviluppo (D.6) e usiamo la (D.7) abbiamo∫1 2π| f(x) | = 1 ∑∫ 2πA n A ∗ m e ix(n−m) dx2π 02π n,m 0∞∑= | A n | 2 (D.9)n=−∞che stabilisce la completezza della serie di Fourier e prende il nome di teoremadi Parseval. Di consueto, per simmetria, si considera lo svilupponell’intervallo simmetrico (−π, π), per cui le (D.6) e (D.8) diventanof(x) = ∑ nA n e inx(D.10)A n = 1 ∫ πf(x)e −ixn dx2π −π(D.11)