Capitolo 4. Il contributo di Boole alla logica. - Università degli Studi ...

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010Capitolo 4. Il contributo di Boole alla logica.4.1. Prima di Boole.L’opera di Boole è considerata una pietra miliare per la logica; il suo contributonon può essere compreso ed apprezzato senza che venga inquadrato nella culturamatematica del suo tempo e del suo paese. Per la peculiarità della produzionescientifica che si vuole illustrare, è bene prendere in considerazione lo stato dellericerche in Algebra e Logica che hanno influito direttamente sulla formazione delpensatore.George Boole(1815 – 1864)4.1.1. La situazione dell’Algebra nel Regno Unito. Alla fine del XVIII secolo, nel Regno Unito (chein quei giorni comprendeva sia la Gran Bretagna che l’Irlanda) si assisteva ad un progressivo isolamentodalle linee di ricerca attive nel resto di Europa. Dal punto di vista politico, questo isolamentoera, forse, una risposta ai sommovimenti rivoluzionari che stavano scuotendo il continente europeo.La stagione delle rivoluzioni, anticipata in Gran Bretagna e seguita poi dalla rivoluzione americana,spingeva i sudditi del Regno Unito a tentare di tenersi alla larga da quanto succedeva altrove.Isaac Newton(1642 - 1727)Maria G. Agnesi(1718 – 1799)Il motivo scientifico, una sorta di rifiuto ad immischiarsi in cose che provenivanoda Francia, Italia e Germania, allora nazioni leader per lo sviluppo della Matematica,era anche motivato da una polemica sorta all’inizio del XVIII secolo che avevaoccupato buona parte del secolo stesso, sulla priorità-paternità del Calcoloanalitico, tra Newton e Leibniz, continuata in modo acceso dai sostenitori dei duematematici. Ciò aveva creato una frattura tra la Matematica del continente e quellainglese. Nel continente le derivate venivano indicate con la scrittura ‘frazionaria’d , mentre in Inghilterra prevaleva la notazione flussionale (usata ancora oggi didxpreferenza dai fisici) in cui la derivata è indicata mediante un punto. Ad esempionel 1801, uno dei più fortunati trattati di Analisi matematica le Istituzioni analitichead uso della gioventù italiana, di Agnesi è stato tradotto in Inglese come testoe come notazioni, per adattarle allo stile del calcolo delle flussioni.La situazione di isolamento culturale era sembrata insostenibile ad alcuni studiosi di Cambridge. Inparticolare Robert Woodhouse (1773 – 1827) aveva iniziato (1803) a criticare la posizione di ostracismoper i risultati ottenuti sul continente.99

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicaCharles Babbage(1792 – 1881)Attorno a lui si riuniscono alcuni giovani e tra essi Babbage ePeacock. Si deve a questo movimento culturale, indicato colnome di Analytical Society, il cui primo risultato fu la pubblicazionenel 1816 della traduzione inglese del Traité de calculdifférentiel et intégral di François Lacroix (1765 – 1843), uscitoa Parigi tra il 1797 e il 1800. In questa traduzione si usavanoJohn William Herschel(1792 – 1881)per la prima volta, nel Regno Unito, i simboli leibniziani e il testo veniva poi integrato con due volumicontenenti esempi ed esercizi. Poco dopo, a cura di Babbage e di Herschel, appare un saggio dal titolo The principle of the pure D-ism in oppositionto the Dot-age of the university. La campagna condotta dalla AnalyticalSociety si può dire conclusa nel 1830.Il compito di questi giovani studiosi non si esauriva nella traduzione e nelladivulgazione delle notazioni di Leibniz. Come ‘sottoprodotto’ del nuovoclima culturale che li aveva portati a prendere posizione contro la tradizioneinglese, essi rivolgevano un’attenzione non già al contenuto, ma alla forma delle dimostrazioni, slegandoladal supporto geometrico prediletto da Newton. Per questi studiosi la Matematica pura applicaproprietà formali in campi diversi. Un esempio per tutti: in Analisi matematica si dimostra lacosiddetta regola della catena, cioè della derivata di funzione di funzione. La dimostrazione richiedeattenzione, ma la formula che spesso viene usata anche solo per scopi mnemonici, ponendo y = g(x)e (f◦g)(x) = f(y) èdf ( y)=dxdfdy⋅dydx, proponendo così un’improbabile semplificazione tra ‘numeratore’e ‘denominatore’ delle ‘frazioni’ differenziali.Così la matematica si libera del cliché di scienza delle quantità e delle grandezze, per iniziare unpercorso di scienza delle forme.È sintomatico del cambiamento in atto che l’attenzione dei membri della Analytical Society si rivolgamaggiormente all’Algebra, che non vedono più nel modo tradizionale, come generalizzazionedei fatti aritmetici, ma pensandola da un punto di vista strutturale. Si fanno carico di affermare, i-noltre, l’indipendenza dell’Algebra dalla Geometria e cercano di dare una giustificazione al problemalogico degli immaginari, che era ancora ampiamente dibattuto.George Peacock(1791 – 1858)Nel continente qualche cosa stava muovendosi nella stessa direzione. Ad esempio François-JosephServois (1767 – 1847) con un articolo del 1814 aveva presentato una sistemazione del cosiddettoprincipio di separazione dei simboli, l’affermazione, cioè, di ritenere indipendenti i risultatidell’applicazione delle operazioni analitiche dagli argomenti cui venivano applicati, cercando di in-100

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010dividuare le proprietà algebriche che governano le operazioni analitiche stesse,anticipando così l’idea moderna che tali operazioni siano degli operatori funzionali.Afferma Gregory :«Nell’algebra ordinaria si ha un certo numero di teoremi che, malgrado sembrino dimostratisoltanto per i simboli che rappresentano numeri, ammettono un’applicazione più estesa. Taliteoremi dipendono soltanto dalle leggi di combinazione a cui i simboli sono sottoposti, e quindisono veri per tutti i simboli, quale che sia la loro natura, che sono sottoposti alle stesse leggiDuncan Gregory(1813 – 1844)di combinazione. Le leggi di cui trattiamo sono poche e possono essere espresse come segue:siano a e b due operazioni e u e v due loro possibili argomenti; allora le leggi sono: 1) ab(u) = ba(u); 2) a(u+v) =a(u) + a(v); 3) a m a n (u) = a m+n (u). La prima di queste leggi è chiamata commutativa, la seconda distributiva,…Che queste siano le leggi usate nella dimostrazione dei principali teoremi in algebra può essere facilmente dimostratoda un breve esame dei procedimenti; ma esse non sono limitate ai simboli dei numeri: si applicano ancheal simbolo usato per denotare la differenziazione. Infatti se u è una funzione di due variabili x e y, da noti teoremid d d ddel calcolo differenziale si ha ( u)= ( u)… » (da Mangione & Bozzi (1993)) 1dx dy dy dxNello stesso anno Herschel riprende le idee di Servois e poi le ripresenta nel 1820 in trattatisull’analisi. L’applicazione del principio di separazione ed un trattamento più algebrico si incontrain un saggio di Woodhouse del 1834. Peacock compie un’ulteriore generalizzazione e presenta unadistinzione tra scienze “speculative” (astratte) e “fisiche” (applicate). Afferma infatti:«Nelle scienze speculative consideriamo soltanto i risultati della scienza stessa e il rigore logico del ragionamentocon cui essi vengono dedotti dai primi principi assunti e tutte le nostre conclusioni posseggono la necessariaesistenza indipendentemente dalla interpretazione più o meno aderente della natura delle cose. Nelle scienze fisichei nostri ragionamenti si basano ancora sui primi principi assunti, e analogamente osserviamo l’accuratezzalogica delle deduzioni; ma tanto nei principi quanto nelle conclusioni dedotte guardiamo al mondo esterno che cifornisce attraverso l’interpretazione principi e conclusioni corrispondenti… Pertanto i principi primi … nellescienze fisiche, non essendo assunzioni arbitrarie né verità necessarie, ma facendo parte delle proposizioni checostituiscono la scienza, non possono mai cessare di essere indagati ed esaminati in qualche punto delle nostrericerche… Ma nelle scienze astratte come la geometria e l’algebra i principi che ne costituiscono il fondamentorappresentano anche il limite proprio della nostra ricerca, perché, se in qualche modo quelle scienze speculativesono connesse con le scienze fisiche, la connessione è arbitraria e non tocca la verità delle nostre conclusioni,che riguarda soltanto la connessione coi principi primi e non richiede, benché permetta, l’aiutodell’interpretazione fisica.» (da Mangione & Bozzi (1993)).Peacock tenta di applicare concretamente queste idee all’algebra e pubblica nel 1830 il Treatise onalgebra. Di esso interessa principalmente la seconda edizione pubblicata in due volumi nel 1842 enel 1845. Il secondo è dedicato all’algebra simbolica ed in esso afferma che il “significato” delleoperazioni dipende dai postulati e non dall’interpretazione dei simboli. In questa affermazione c’è ilgerme del fatto che un sistema ipotetico deduttivo sia suscettibile di diverse interpretazioni, proprioHermann Hankel(1839 – 1873)negli stessi anni in cui si elaboravano le geometrie non euclidee.Il limite delle posizioni di Peacock consiste nel fatto che non riesca a sganciarsidel tutto dalla semantica ‘intesa’ e sottintesa dell’algebra come generalizzazionedi situazioni matematiche specifiche. Giunge infatti alla enunciazione del Principiodi permanenza delle forme equivalenti, anticipando il più famoso Principio di1 Mangione C. & Bozzi S. (1993). Storia della Logica. Da Boole ai nostri giorni. Garzanti: Milano. Da questo testo si traggono molteidee e citazioni de presente capitolo.101

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicapermanenza delle leggi formali, enunciato nel 1867 da Hankel che ispira la costruzione dei sisteminumerici e il concetto di estensione di campi. In base a tale principio, Peacock vede il ragionamentosimbolico come estensione delle consuete proprietà delle operazioni sui numeri reali a domini piùampi di oggetti, mantenendo la stessa struttura formale e lasciando cadere le limitazioninell’effettuazione delle cosiddette ‘operazioni inverse’.William Rowan Hamilton(1805 – 1885)Nel dibattito sull’algebra si inserisce William Rowan Hamilton, che purnon facendo parte della Analytical Society è in rapporto, talora molto critico,con i suoi adepti. W.R. Hamilton individua tre diversi aspettidell’algebra: il pratico, il filologico e il teoretico. La scuola di Cambridgeper lui era da considerare filologica, in quanto considera l’algebra un linguaggio.L’atteggiamento pratico è proprio di chi considera la disciplinacome uno strumento, mentre quello teoretico è propri di chi usa l’algebra per la contemplazione. PerW.R. Hamilton l’algebra non può essere assolutamente astratta e quindi afferma che parlare discienza per un insieme di simboli e regole per gestirli sia una “cortesia esagerata”. Concorda peròcon gli studiosi di Cambridge che non si possa più considerare la matematica come “teoria dellegrandezze”. Gli aspetti linguistici e simbolici, pur essendo importanti sono un primo passo e bisognapuntare a cercare il contenuto puro dei simboli che lui riconosce nel tempo, al modo di Kant,come possibilità di ordinare in modo progressivo. Ciò che pone Hamilton su una posizione diversarispetto ai suoi contemporanei è la sua ricerca di un modello e, nello stesso tempo una fondazioneche giustifichi razionalmente la validità e l’applicabilità delle regole algebriche. Questa ricerca loporta da un lato alla giustificazione “logica” dei numeri complessi come coppie ordinate di numerireali (1833) e poi (1853) all’introduzione dei quaternioni, come campo non commutativo.Quest’ultima proposta fece molto scalpore perché violava la diffusa sensazione che i numeri realicostituissero il modello (unico) dell’algebra.Eulero(1707 – 1783)4.1.2. La Logica inglese prima di Boole. L’indagine logica alla finedel XVIII secolo e all’inizio del XIX era concentrata ancora sulsillogismo (cfr. Cap.2) . In particolare sviluppando idee di Euleroe Leibniz (cfr. 2.5.) si investigava lo strumento logico dal punto divista estensionale. Condorcet aveva, di nuovo, messo in evidenzail ruolo di meccanismo insito nel trattamento del sillogismo comeargomentazione rigorosa, primo passo per il raggiungimento di una perfetta arte del ragionare. Conla Dialectique rationelle (1816 – 1817) Joseph-Diez Gergonne (1771 – 1859) afferma che la perfezioneauspicata da Condorcet si sarebbe potuta ottenere meccanizzando l’argomentazione.Condorcet(1741 – 1794)102

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010Per realizzare il suo piano propone di utilizzare cinque relazioni tra le estensioni del soggetto e delpredicato, di cui fornisce una rappresentazione graficaPSS P SHP S P SXP S P SIP S SCP P S⊃PL’autore spiega i motivi dei simboli usati come segue:«I segni che caratterizzano queste relazioni sono stati scelti in quello che ci sembrato il modo migliore per collegareil segno alla cosa significata, il che stimo di una certa importanza, per quanto a prima vista ciò possa apparirepuerile. La lettera H, iniziale della parola Hors designa il sistema di due idee completamente esterne l’unaall’altra, come appunto sono le due sbarre verticali di questa lettera. Queste due sbarre possono poi essere considerateincrociate a formare la lettera X con la quale si intende indicare il sistema di due idee che in qualche modosi intersecano. Infine le due sbarre possono coincidere sì da formare la lettera I che usiamo per rappresentare ilsistema di due idee esattamente coincidenti l’una con l’altra; inoltre questa lettera è l’iniziale della parola Identità,denominazione opportuna per il tipo di relazione in questione. Si noti che le tre lettere H, X, I sono simmetricheproprio come le relazioni che esse debbono rappresentare, cosicché non cambiano il loro aspetto se sono rovesciate.Questo non avviene per la lettera C che una volta rovesciata diventa ⊃ 2 ; quindi abbiamo riservato questalettera per indicare una relazione nella quale le due idee hanno un ruolo differente, una relazione che non è ingenerale reciproca. Questa lettera inoltre è l’iniziale comune di entrambe e parole Contenente e Contenuto cheCharles Peirce(1839 – 1914)esprimono adeguatamente la relativa situazione delle due idee» (da Mangione & Bozzi(1993)).L’attenzione che Gergonne riserva per i simboli da usare deriva, forse, da una primaintuizione sul ruolo degli insiemi e delle operazioni tra esse, divenendo i cerchiimpiegati per rappresentare, in certo senso, un esempio di oggetti simbolici su cuioperare.Con l’uso di queste cinque relazioni i quattro tipi di enunciati del sillogismo aristotelicopossono essere tradotti in vari modi, secondo lo schema seguente:A) Ogni S è P SIP oppure SCPI) Qualche S è P SXP oppure SIP oppure SCP oppure S⊃PE) Nessun S è P SHPO) Qualche S non è P SHP oppure SXP, oppure S⊃PPer giustificare con queste cinque relazioni il sillogismo nelle sue forme tradizionali, bisogna richiedereche le estensioni siano non vuote. Tra le estensioni di un soggetto ed un predicato sussisteuna ed una sola di queste relazioni, che pertanto sono esaustive (a differenza di quanto avviene conle forme tradizionali poste nella prima colonna della tavola precedente) e ‘disgiunte’.2 Nel quinto disegno Gergonne usa una C rovesciata che non sono riuscito a riprodurre con un carattere per cui ho usato il simboloinsiemistico (che è derivato da tale carattere rovesciato). In questa proposta compare esplicitamente, per la prima volta nella Logicamoderna il concetto di inclusione (propria), rappresentato simbolicamente. L’analisi del concetto sarà indagata in modo sistematicoda Peirce nel 1870.103

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicaCon questa proposta si ha una notevole semplificazione del sillogismo perché le prime tre relazioniBernhard Bolzano(1791 – 1848)Gerhard Gentzen(1909 – 1945)sono simmetriche e le ultime due sono la conversa una dell’altra. Assunta quindi una qualunque figuratradizionale del sillogismo (cfr. 2.3.2.), ad esempio la seconda104P…MS…MS…Pse si inseriscono, al posto dei puntini, le possibili relazioni tra ‘idee’, per ogni figurasi ottengono 5 3 possibilità tra cui individuare con le condizioni sui termini esulle proposizioni i sillogismi corretti.Una citazione a parte merita Bolzano che con due opere: Dottrina della Scienza(1837) e I paradossi dell’Infinito (pubblicati postumi nel 1851) elabora idee econcetti che contribuiranno sia allo sviluppo della teoria degliinsiemi, sia alla nozione di conseguenza logica. L’opera di Bolzanonon è ancora completamente nota, perché in vita ha pubblicatopoco e molti contributi all’Analisi matematica ed allaLogica sono rimasti o incompiuti o devono ancora essere evidenziatinella grande quantità di scritti che ha lasciato in forma non definitiva. Adesempio nella Grössenlehre, opera incompiuta, mostra di avere chiara la distinzionetra aspetti semantici e sintattici, mentre nell’introduzione di Del metodo matematico,opera altrettanto incompiuta, mostra come porre in equilibrio sintassi e semantica nelledimostrazioni e nelle definizioni, anticipando, di circa un secolo, studi di Gentzen. L’influenzadell’opera di Bolzano è stata, purtroppo, nulla sui suoi contemporanei.L’inizio del secolo XIX, probabilmente sotto la spinta delle opere di Kant, hamostrato poco interesse sulla Logica formale, ma ha dato contributi importantisulla Logica intesa come dottrina del sapere e dell’essere, attraverso gli studi deifilosofi post-kantiani nel continente e di Mill, William Hamilton, da non confondersicon William Rowan Hamilton e Bentham. È da notareche nel periodo di cui si sta parlando, la Logica era materiaJohn Stuart Mill(1806 – 1873)William Hamilton(1788 – 1856)propedeutica obbligatoria delle università inglesi, ma non nella accezione dellaLogica formale. Qualche contributo di Mill sembra sensibile al valore in sédell’argomentazione. I Lineamenti di un nuovo sistema di Logica (1827) di Ben-George Bentham tham, più noto come botanico, introducono la quantificazione del predicato:(1800 – 1884)«Nel caso in cui entrambi i termini di una proposizione siano entità collettive può avere luogoidentità o diversità: 1) Tra ogni individuo inteso dall’un termine e ogni individuo inteso dall’altro. Ad esempio:L’identità tra triangoli equilateri e triangoli equiangoli. 2) Tra ogni individuo inteso dall’un termine e ognuno diuna parte soltanto degli individui intesi dall’altro. Ad esempio: l’identità tra uomini e animali. 3) Tra ognuno diuna parte soltanto degli individui intesi dall’un termine e ognuno di una parte soltanto degli individui intesi

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010dall’altro. Ad esempio: l’identità tra i quadrupedi e gli animali che nuotano….Le proposizioni semplici consideraterispetto alle relazioni precedenti possono, di conseguenza, essere affermative o negative e ogni termine puòessere universale o parziale. Di conseguenza queste proposizioni sono riducibili alle otto forme seguenti, nellequali, allo scopo di astrarre ogni idea non connessa alla sostanza di ogni specie, ho espresso i due termini con lelettere X e Y, la loro identità col segno matematico =, la diversità col segno ||, l’universalità con le parole in toto,la parzialità con le parole ex parte; o, per brevità, premettendo le lettere t e p come segni di universalità e parzialità.Queste forme sono:1. X in toto = Y ex parte o tX = pY2. X in toto || Y ex parte o tX || pY3. X in toto = Y in toto o tX = tY4. X in toto || Y in toto o tX || tY5. X ex parte = Y ex parte o pX = pY6. X ex parte || Y ex parte o pX || pY7. X ex parte = Y in toto o pX = tY8. X ex parte || Y in toto o pX || tY.» (da Mangione & Bozzi (1993)).Poi Bentham riduce gli otto casi a 5 relazioni (che di fatto ripetono quelle di Gergonne) e segnalacome particolarmente importante la relazione tX = tY.Il problema della quantificazione del predicato ha avuto una notevole importanza nell’ambiente logicoinglese, in quanto è stato oggetto di una polemica (gratuita) tra William Hamilton e AugustusWilliam Whewell(1794 – 1866)de Morgan. Negli anni ’30 del 1800 si stava discutendo sull’ importanza dellaMatematica nell’educazione umanistica (caldeggiata da Whewell) cui Hamiltonaveva risposto con un saggio del 1836 invertendo i rapporti tra Logica e Matematica,in quanto riteneva che la Matematica non abbia alcun valore educativo, perché“blocca il pensiero” invece di educarlo. Per il filosofo Hamilton, fautore di unapproccio psicologistico alla Logica, l’impiego della quantificazione del predicatodoveva essere strumento per una “nuova analitica” che completasse e semplificassela proposta aristotelica. Per questo propone una tabella di otto proposizioni categoriche 3 :UIAYEωηOTutti gli S sono tutti i PAlcuni S sono alcuni PTutti gli S sono alcuni PAlcuni S sono tutti i PNessun S è nessun PAlcuni S non sono alcuni PNessun S è alcun PAlcuni S sono nessun PDove “tutti” va inteso collettivo e non distributivo e “alcuni” va inteso in ‘almeno alcuni e non tutti’.Appaiono evidenti le affinità con la sistemazione proposta da Bentham, quindi ogni pretesa dioriginalità e paternità da parte di Hamilton è priva di fondamento, ed inoltre si erano occupati delproblema anche Lambert, Leibniz ed altri ancora.3 La lista seguente non è quella originale di William Hamilton, ma è ripresa dall’opera di un suo discepolo, il quale ha aggiunto lelettere.105

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicaLa teoria della quantificazione del predicato semplifica la pratica della conversione, ma la propostadi Hamilton non rappresenta un avanzamento nell’analisi del sillogismo e nello sviluppo della logicaformale.Alcuni studiosi hanno sostenuto che senza Hamilton non avrebbe potuto maturare il pensiero di Boole,sicuramente la polemica tra Hamilton e De Morgan è stata la causa che ha spinto Boole a scriverenel 1847 The mathematical analysis of logic: being an essay toward a calculus of deductivereasoning. I seguenti brani, tratto il primo da una lettera scritta da Hamilton a il 13 marzo 1847, e ilsecondo dalla pronta risposta di De Morgan, mostrano a che punto era arrivata la disputa:«Sembra che Lei rivendichi a se stesso la scoperta indipendente della teoria fondamentale del sillogismo che ioLe avevo comunicato privatamente. … Non posso ammettere questa pretesa, anche se intesa a rivendicareun’originalità di seconda mano. Per me è manifesto che per quanto riguarda il principio della teoria Lei sia completamenteindebitato con me; e non posso fare a meno di pensare che se Lei presenta questa teoria come fruttodi una speculazione del Suo pensiero (anche se riconosce a me la priorità sulla questione), ebbene Lei si rendecolpevole – mi perdoni la franchezza – di un abuso di fiducia nei miei riguardi e di condotta sleale nei riguardidel pubblico.»«Mi pregio di informarLa che attenderò fino al 10 del mese prossimo per una delle due cose: o una Sua ritrattazioneo l’annuncio preciso del tempo e del luogo in cui Ella vorrà sostenere in pubblico la verità dell’accusa che– mi scusi l’espressione – Ella ha osato avanzare contro di me. Se per la data sopra specificata non avrò ricevutouna presa di posizione da parte sua in uno dei due sensi sopra citati, procederò immediatamente a stendere unadichiarazione, della pubblicazione della quale, non occorre dirlo, Ella sarà debitamente avvertito» (da Mangione& Bozzi (1993)).4.1.3. L’opera logica di De Morgan. La posizione di De Morgan nei confronti di Boole è abbastanzacomplessa. Dal punto di vista anagrafico sono quasi contemporanei, essendo nato il primo nel1806 e l’altro nel 1815. Molto diverso è stato il camino accademico dei due: De Morgan a 17 annientra al Trinity College di Cambridge ove conobbe Peacock a Whewell. Non riesce a raggiungereuna carica all’Università di Cambridge per motivi religiosi. Nel 1828 viene chiamato alla Universityof London (che diverrà poi la University College) come professore di Matematica, e in tale istituzionerimarrà fino alla morte nel 1871, a parte alcun brevi periodi in cui si allontanòdall’insegnamento per motivi religiosi. De Morgan si colloca a pieno titolo tra partecipanti allaScuola di Cambridge.George Boole, di famiglia assai modesta, studia come autodidatta le lingue classiche e moderne, poiè costretto da motivi economici ad insegnare alla scuola elementare. Mentre insegna si rivolge, ancoracome autodidatta, alla Matematica, e condivide le posizioni della Analytical Society, anchecome conseguenza della sua amicizia con Gregory. Dopo avere pubblicato alcune opere tra cui, nel1847, l’importante Mathematical logic, viene chiamato nel 1849 come professore al Queen’sCollege dell’Università di Cork (in Irlanda) ove insegna fino alla morte nel 1864.De Morgan pubblica testi importanti anche prima del 1847; i temi che affronta in questo periodocontinuano ad influenzarlo anche dopo la pubblicazione di Mathematical logic. Ma poi si avverte106

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010l’influenza esercitata da Boole sulla sua produzione. E sarà poi lui a comunicare alle Transactionsdi Cambridge un’opera postuma di Boole, divenendo da ‘precursore’ un ‘continuatore’ della rivoluzioneiniziata dal suo più giovane collega.De Morgan svolse la maggior parte delle sue ricerche nella sistemazione della logica classica e delsillogismo (anche se è noto un criterio di De Morgan per la convergenza delle serie). Da un certopunto di vista, nella polemica che ebbe con William Hamilton, il ruolo di entrambi era quello deisistematori della logica antica, piuttosto che quello degli innovatori.A Boole si assegna, invece, il ruolo di promotore di una nuova concezione.D’altra parte De Morgan anticipa temi della logica delle relazioni, famoso il suo ‘sillogismo’:| Il cavallo è un animale |La coda del cavallo è la coda di un animalee in questo sicuramente De Morgan si pone in una posizione più avanzata di Boole.Per quanto riguarda il sillogismo Boole affronta il processo inferenziale privilegiando in modo e-sclusivo l’uguaglianza di classi, quindi rimanendo nella considerazione del rapporto tra soggetto epredicato, De Morgan accentra l’attenzione alle proprietà delle relazioni, promuovendole in tal modoa oggetti logici come non erano (quasi) mai stati. Propone inoltre di sostituire alla copula, presentein quasi tutte le presentazioni del sillogismo tradizionale una generica altra relazione che godadelle stesse proprietà della copula, ma questo richiede, appunto, un’analisi delle proprietà stesse.Il confronto tra le opera di Boole e di De Morgan potrebbe andare avanti ancora a lungo, ma quipreferisco tratteggiare alcuni aspetti dell’opera del secondo, per mostrare come portino a compimentole idee della Analytical Society.Vi è un complesso di scritti algebrici in cui, da una parte, De Morgan presenta i fondamentidell’Algebra, mettendo in luce il contrasto tra aspetto descrittivo ed aspetto formale ed operativodella Matematica, dall’altra, illustra i rapporti tra Geometria sintetica e analitica (quando neiCollege di lingua inglese, Geometria voleva dire esclusivamente Elementi di Euclide). Tali scritti siinseriscono in un dibattito molto vivo, in epoca Vittoriana, tra coloro che nel Regno Unito volevanopromuovere l’importanza e la rilevanza sociale dell’insegnamento e della ricerca matematica controcoloro che riconoscevano alla Matematica solo un ruolo applicativo. In certi momenti, il dibattito,come visto anche in precedenza, si focalizza sulla contrapposizione tra logica e matematica (in connessioneall’insegnamento universitario). Per questo la pubblicazione della Mathematical logic diBoole ebbe una fondamentale importanza nel panorama culturale del Regno Unito.Nel volume On triple algebra pubblicato nel 1844, in cui risente delle posizioni di William RowanHamilton, De Morgan esplicita l’esigenza di una analisi logica dell’Algebra, distinguendo tra 1) Algebralogica, la scienza che tratta l’attribuzione di significato ai simboli primitivi edell’interpretazione dei risultati simbolici; 2) Algebra tecnica che sarebbe l’arte di usare i simboli107

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicasulla base delle regole stabilite. La prima è garanzia del processo ipotetico-deduttivo e formale delladisciplina.L’altra parte maggiore della produzione di De Morgan è relativa al sillogismo. Sull’argomento scrive6 memorie dal titolo cumulativo On the syllogism che iniziano ad apparire nel 1846 e continuanofino la 1868. In particolare il volume Formal logic, venne pubblicato nel 1847 lo stesso giorno diMathematical logic di Boole. Dalla terza memoria in poi compaiono i primi riflessi delle propostebooleane; d’altra parte alcune delle idee di De Morgan influenzano il suo collega più giovane, adesempio l’uso di termini positivi e termini “contrari”, il concetto di universo del discorso el’esplicitazione di quelle che oggi sono indicate come Leggi di De Morgan.Un brano del Syllabus of a proposed system of logic, del 1860 chiarisce bene le posizionidell’autore, che si possono ritenere implicite in molte ricerche svoltesi sotto l’egida della AnalyticalSociety:«1. La logica analizza le forme, o le leggi di attività del pensiero. 2. La logica è formale, non materiale: essaconsidera la legge di attività indipendentemente dalla materia su cui agisce. Essa non è psicologica né metafisica:essa non considera né la mente in sé né la natura delle cose in se stesse; ma la mente in relazione alle cose ele cose in relazione alla mente. Cionondimeno , essa è psicologica nella misura in cui si occupa dei risultati dellacostituzione della mente; ed è metafisica nella misura in cui si occupa del retto uso di nozioni circa la natura e ladipendenza delle cose che, siano esse vere o false, in quanto rappresentazioni dell’esistenza reale intervengononei modi comuni di pensare di tutti gli uomini.» (da Mangione & Bozzi (1993)).Le novità proposte da De Morgan nel Syllabus sono le seguenti: i termini negativi vengono indicaticon la stessa lettera dei termini positivi, ma i positivi con le maiuscole e i negativi con le minuscole;la considerazione dell’universo del discorso, nel senso che un qualunque termine (positivo) X assiemeal suo contrario x, esauriscono l’universo, qualunque esso sia; l’universo non è vuoto, quindiX oppure x non possono riferirsi entrambi a domini vuoti.Con queste premesse, perde di rilevanza il problema delle ‘non entità’ cioè quello delle classi vuotee del riflesso esistenziale delle proposizioni universali. Di fatto, inoltre, scompare la differenza traproposizioni affermative e negative. Così si hanno otto proposizione categoricheUniversaliParticolari1. Tutti gli X sono Y2. Tutti gli x sono Y3. Tutti gli X sono y4. Tutti gli x sono y5. Alcuni X sono Y6. Alcuni x sono Y7. Alcuni X sono y8. Alcuni x sono yLa proposta di De Morgan è innovativa anche per quanto riguarda il simbolismo, di cui tuttaviapresenta varie versioni. La definitiva si può ritenere quella del Syllabus, in cui indica come venganodistribuiti i termini e la qualità affermativa o negativa, tutto ciò mediante simboli molto semplici: leparentesi e i punti.108

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010Per chiarire: per indicare che un termine è distribuito (ovvero preso universalmente, cfr. 2.4.1.), usauna parentesi rotonda (che chiama spicula) immediatamente prima o dopo il nome del termine, conla concavità rivolta verso il termine, mentre per indicare che il termine non è distribuito usa la parentesicon la convessità verso il termine. Le otto proposizioni indicate sopra divengonoUniversaliParticolari1. Tutti gli X sono Y2. Tutti gli x sono Y3. Tutti gli X sono y4. Tutti gli x sono y5. Alcuni X sono Y6. Alcuni x sono Y7. Alcuni X sono y8. Alcuni x sono y1. X))Y2. x))Y3. X))y4. x))y5. X()Y6. x()Y7. X()y8. x()yPer indicare la presenza della negazione, ad esempio, per esprimere che ‘Tutti gli X non sono Y’, DeMorgan utilizza la simbolizzazione di ‘Tutti gli X sono Y’ introducendo un puntino: X).)Y. Si notiche non si tratta della negazione di ‘Tutti gli X sono Y’, che è ‘Alcuni X non sono Y’, simbolizzatoda X(.(Y.Alcuni aspetti complessi del sillogismo tradizionale vengono ora spiegati mediante l’uso dei simboli.Ad esempio si può cambiare la distribuzione dei termini scambiando concavità e convessità delleparentesi; poi due punti si annullano e sulla base di ciò è possibile cambiare un termine col corrispondentenegativo e al contempo modificare la qualità della proposizione. Così ciascuna delle ottoproposizioni della tabella ammette quattro forme equivalenti:UniversaliParticolari1. Tutti gli X sono Y2. Tutti gli x sono Y3. Tutti gli X sono y4. Tutti gli x sono y5. Alcuni X sono Y6. Alcuni x sono Y7. Alcuni X sono y8. Alcuni x sono y1. X))Y2. x))Y3. X))y4. x))y5. X()Y6. x()Y7. X()y8. x()yTabella 1(a) (b) (c) (d)1. X))Y = X).(y = x((y = x(.)Y2. x))Y = x).(y = X((y = X(.)Y3. X))y = X).(Y = x((Y = x(.)y4. x))y = x).(Y = X((Y = X(.)y5. X()Y = X(.(y = x)(y = x).)Y6. x()Y = x(.(y = X)(y = X).)Y7. X()y = X(.(Y = x)(Y = x).)y8. x()y = x(.(Y = X)(Y = X).)yÈ sorprendente come questo modo di esprimere le proposizioni permetta di gestire le trasformazioni(per equivalenza logica) delle stesse in modo da rispettare le regole della logica classica. Ad esempiole frasi universali si possono tutte simbolizzare nel modo, oggi, consueto come ∀u(φ(u) →ψ(u)) e le frasi particolari come ∃u(φ(u) ∧ ψ(u)), ove φ(u) è sempre X(u) o ¬X(u), mentre ψ(u) èsempre Y(u) oppure ¬Y(u). Si possono allora ‘parafrasare’ la terza e quarta colonna della tabellaprecedente scrivendo109

Capitolo 4Il contributo Boole alla logica1. ∀u(X(u) → Y(u)) ⇔ ¬∃u(X(u)∧¬Y(u)) ⇔ ∀u(¬Y(u)→¬X(u)) ⇔ ∀u(¬X(u)∨Y(u))2. ∀u(¬X(u) → Y(u)) ⇔ ¬∃u(¬X(u)∧¬Y(u)) ⇔ ∀u(¬Y(u)→X(u)) ⇔ ∀u(X(u)∨Y(u))3. ∀u(X(u) → ¬Y (u)) ⇔ ¬∃u(X(u)∧Y(u)) ⇔ ∀u(Y(u)→¬X(u)) ⇔ ∀u(¬X(u)∨¬Y(u))4. ∀u(¬X(u) → ¬Y (u)) ⇔ ¬∃u(¬X(u)∧Y(u)) ⇔ ∀u(Y(u)→X(u)) ⇔ ∀u(X(u)∨¬Y(u))5. ∃u(X(u) ∧ Y(u)) ⇔ ¬∀u(X(u)→¬Y(u)) ⇔ ¬∀u(¬X(u)∨¬Y(u)) ⇔ ¬∀u(Y(u)→¬X(u))6. ∃u(¬X(u) ∧ Y(u)) ⇔ ¬∀u(¬X(u)→¬Y(u)) ⇔ ¬∀u(X(u)∨¬Y(u)) ⇔ ¬∀u(Y(u)→X(u))7. ∃u(X(u) ∧ ¬Y(u)) ⇔ ¬∀u(X(u)→Y(u)) ⇔ ¬∀u(¬X(u)∨Y(u)) ⇔ ¬∀u(¬Y(u)→¬X(u))8. ∃u(¬X(u) ∧ ¬Y(u)) ⇔ ¬∀u(¬X(u)→Y(u)) ⇔ ¬∀u(X(u)∨Y(u)) ⇔ ¬∀u(¬Y(u)→X(u))Tabella 2In ogni riga della quarta colonna della Tabella 1, compare una ed usa sola scrittura con entrambi itermini positivi (messa in risalto dall’uso del grassetto). Con lo stesso colore, nella Tabella 2 si sonoevidenziate le proposizioni che sono in contraddizione.Si possono assumere tali otto proposizioni come rappresentanti delle altre e così De Morgan ottieneotto proposizioni fondamentali (alcune delle quali lette opportunamente):1. X))Y Tutti gli X sono Y2. X(.)Y Ogni cosa [dell’universo del discorso] è X oppure Y (o entrambi)3. X).(Y Nessun X è Y4. X((Y Alcuni X sono tutti gli Y [oppure Tutti gli Y sono X]5. X()Y Alcuni X sono Y6. X).)Y Tutti gli X non sono alcuni Y [oppure Alcuni Y non sono X]7. X(.(Y Alcuni X non sono Y8. X)(Y Alcune cose [dell’universo del discorso] non sono né X né Y.La lettura della 8 si comprende meglio se si scrive X)..(Y e ricordando che i due puntini si ‘elidono’.Anche la 2 è una interpretazione che non si trova nel sillogismo tradizionale: essa è equivalente aduna frase universale negativa. Infatti Tutti gli x sono Y, con i simboli adottati si può esprimere dicendoOgni cosa [dell’universo del discorso] che non sia X è Y.(Nel disegno il rettangolo con il bordo continuo rappresenta l’estensione diX, mentre quello con il bordo tratteggiato rappresenta l’estensione di Y;l’unione ‘ricopre’ tutto l’universo del discorso, quindi potrebbe essere unapartizione dell’universo del discorso). Per meglio comprendere la differenzatra la 2 e la 3, si confronti con la ‘traduzione’ della 3 mediante undiagramma di Eulero:Per altro la 3 non esclude che l’estensione di X e quella di Y rappresentino una partizionedell’universo del discorso, quindi per particolari termini X e Y, 2 e 3 possono essere equivalenti.Per l’equivalenza (in logica classica) tra l’implicazione e la negazione della protasi disgiunta conl’apodosi, e ricordando che due negazioni ‘affermano’ si ha la forma della 2 riportata sopra in cuiinterviene la disgiunzione delle due frasi affermative e in cui il quantificatore universale garantiscel’esaustività (dell’universo del discorso).XYYX110

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010Si noti che gli enunciati del sillogismo tradizionale sono riconoscibili come quelli qui enumeraticome 1 (A), 5 (I), 3 (E) e 7 (O); si noti inoltre che in questi casi la parentesi rivolge la concavitàverso il termine garantendo,coerentemente con quanto detto in 2.4.1., che il termine è distribuito opreso universalmente.Anche la 8 non si ritrova nel sillogismo tradizionale essendo la negazione della 2, come mostra latabella 2. La 8 garantisce che le estensioni di X e di Y non possono essere una partizionedell’universo del discorso e neppure che l’unione delle loro estensioni esaurisce l’universo del discorso.Quindi la 8 può essere compatibile con la 3, se non avviene che le estensioni di X e di Y sianouna partizione dell’universo del discorso.In questa formulazione del sillogismo il quadrato delle proposizioni (cfr. 2.3.4.) si arricchisce dirapporti. Sono coppie contraddittorie quelle tradizionali 1 – 7 e 3 – 5, con l’aggiunta di 2 – 8. Apparentementemanca la coppia 4 – 6, ma si tratta scambi del soggetto e del predicato per cui 4 si comportacome 1 e 6 si comporta come 7, quindi, volendo si possono aggiungere alle coppie di proposizionicontraddittorie. La contraddittorietà si coglie dal fatto che in ciascuna coppia una sola presentaun puntino e la concavità delle parentesi è scambiata.Con questo simbolismo, De Morgan ha successo nel sistemare il sillogismo nei suo vari aspetti, maha bisogno di scambiare il posto delle premesse, facendo diventare maggiore (quella che presenta ilpredicato della conclusione) come seconda e minore (quella che presenta il soggetto come prima).Presenta inoltre quattro schemi generali di deduzione:1. )) )) 2. () )) 3. (( () 4. (( (()) () () ((Prendendo i tre termini X, Y e Z e le loro negazioni x, y, z. Le possibili disposizioni in cui non puòessere presente una stessa lettera due volte maiuscola e minuscola, si ottengono 8 casi:1. XYZ, 2. XYz, 3. XyZ, 4. Xyz, 5. xYZ, 6. xYz, 7. xyZ, 8. xyz .Inserite queste terne nei quattro schemi e considerando anche altri schemi in cui le premesse sono(), ((; )), (); ecc.. si avrebbero a 64 sillogismi, di cui però sono corretti solo 32 (più dei 19-24 tradizionali)così suddivisi: 8 sillogismi universali (con premesse e conclusioni universali), 8 minoriparticolari(con premessa minore e conclusione particolari), 8 maggiori particolari (con premessamaggiore e conclusione particolari) e 8 particolari rafforzate (entrambe premesse universali maconclusione particolare).Le regole seguite per l’esclusione dei 32 dei possibili 64 sillogismi sono date dal fatto che in presenzadi almeno una premessa universale il termine medio deve essere preso universalmente (o distribuito,come dice De Morgan) una sola volta. Poi la conclusione si ottiene cancellando i terminemedio e le parentesi ad esso aderenti. Ad esempio De Morgan formula Barbara comeTutti i Greci sono Uomini, Tutti gli Uomini sono Mortali G))U U))M111

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicaTutti i Greci sono Mortali(si noti che si deve a De Morgan il termine di ‘transitivo’ per la proprietà delle relazioni);G))MAlcuni Bugiardi sono tutti i Cretesi, Alcuni Cretesi sono Ladri B((C C()LAlcuni Bugiardi sono LadriB()LNessun Cretese è Veritiero, Tutti sono Veritieri oppure Bugiardi C).(V V(.)B .Tutti i Cretesi sono BugiardiC)..)B cioè C))BCon questa presentazione diventa superflua la nozione di termini presi universalmente, in quanto ladistribuzione è chiaramente indicata, spariscono le quattro figure del sillogismo tradizionale, divengonosuperflue le conversioni e si possono eliminare alcune forme ridondanti. De Morgan risolvealcuni problemi lasciati aperti da William Hamilton.De Morgan affronta con questo strumento simbolico (introducendo alcuni altri simboli) sillogismicomposti, numericamente definiti, sillogismi dall’asserzione indecisa (con determinazioni numerichedi probabilità) e altre forme. Si può ritenere la proposta presentata la più completa realizzazionedegli aspetti formali studiati dalla Analytical Society.Si deve a De Morgan l’analisi della copula e il superamento di essa con l’individuazione del ruolodelle proprietà transitiva e simmetrica delle relazioni. Mediante esse offre un’ulteriore generalizzazionedel sillogismo tradizionale in cui viene posto in condizioni di anticipare la composizione direlazione (solitamente detta composizione di Peirce, per l’uso che ne farà in seguito il filosofo statunitense).4.2. L’opera di Boole.L’approccio di Boole alla logica risente fortemente degli studi algebrici della Analytical Society: e-gli infatti cerca di ricondurre la logica ad un’algebra di un sistema che assomiglia, per certi versi,all’aritmetica dei numeri reali. Ma procediamo con ordine.4.2.1. Influenza della disputa tra De Morgan e William Hamilton. Come si è detto, le posizioni deidue ‘contendenti’ non erano così distanti da quanto le lettere da essi scambiate fanno intravedere.Qui interessa comprendere i riflessi che tale polemica hanno avuto su Boole, divenendo la causa‘scatenante’ della sua elaborazione culminata nel 1847 con la pubblicazione di The mathematicalanalysis of logic: being an essay towards a calculus of deductive reasoning. Nella prefazione di taleopera egli scrive:«Nella primavera di quest’anno la mia attenzione fu attratta dalla disputa allora sorta fra Sir W. Hamilton e ilprofessor De Morgan; e fui indotto dall’interesse che la ispirava a riesumare trame, ormai quasi dimenticate, diindagini precedenti. Mi sembrava che, malgrado la logica possa essere riguardata con riferimento all’idea diquantità, essa fosse caratterizzata anche da un altro e più profondo sistema di relazioni. Se era legittimo riguar-112

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010darla dall’esterno come una scienza che attraverso la mediazione del Numero si connette con le intuizioni di spazioe tempo, era legittimo anche riguardarla dall’interno come basata su fatti di ordine diverso che hanno la lorosede nella costituzione della mente. […] Coloro che hanno familiarità con lo stato attuale della teoriadell’algebra simbolica sono consapevoli che la validità dei procedimenti dell’Analisi non dipendedall’interpretazione dei simboli che vi sono impiegati, ma soltanto dalle leggi che regolano la loro combinazione.Ogni sistema di interpretazione che non modifichi la verità delle relazioni che si suppone esistano tra tali simboliè ugualmente ammissibile, ed è così che il medesimo processo può, secondo uno schema di interpretazione, rappresentarela soluzione di una questione riguardante le proprietà dei numeri, secondo un altro schema quella diun problema di geometria e, secondo un altro ancora, quello di un problema di dinamica o di ottica. Questo principiopossiede un’importanza fondamentale e si può affermare che i recenti progressi dell’Analisi pura sono statiin larga misura promossi dall’influenza che esso ha esercitato nel dirigere l’indirizzo della ricerca. […] la caratteristicache definisce un calcolo autentico consiste in questo: che esso è un metodo fondato sull’impiego di simbolile cui leggi di combinazione sono note e generali, e i cui risultati ammettono un’interpretazione coerente. Ilfatto che alle forme oggi esistenti in Analisi venga assegnata un’interpretazione quantitativa è il risultato dellecircostanze che determinarono il sorgere di tali forme, e noi non dobbiamo farne una condizione universaledell’Analisi. Sulla base di questo principio generale, io intendo appunto fondare il calcolo logico, e reclamare peresso un posto fra le forme di analisi matematica ormai generalmente riconosciute, senza tenere conto del fattoche, dati il suo soggetto e gli strumenti di cui si avvale, esso deve, per il momento, rimanere isolato. » (daMangione & Bozzi, 1993).Da questo brano abbiamo l’informazione che l’argomento ‘Logica’ era presente da tempo nellamente di Boole, ma solo la polemica epistolare di cui si è detto sopra, ha messo in giusto valore iltipo di riflessioni che egli aveva svolto, facendo loro assumere dignità di pubblicazione. Il titolodell’opera è di per sé un manifesto in cui l’autore si schiera a favore della matematica nei riguardidella Logica, non per una sterile contrapposizione, ma perché ritiene che la matematica includa lalogica stessa. La seconda parte illustra la posizione assunta da Boole nei confronti dei risultati dellaAnalytical Society. Per lui, il calcolo, anche se nato in un contesto numerico, ha una natura formaleche ha permesso all’Analisi matematica nuovi risultati. Ma è la natura formale la cosa importanteperché da questa sono possibili diverse interpretazioni, come dice Boole, con cui risolvere problemiin vari ambiti differenti. Questo atteggiamento si può fare risalire alle intuizioni di Leibniz. Le affermazionisopra riportate fanno ritenere l’opera del 1847 una sorta di manifesto che propone unaorigine e natura della Logica del tutto nuova nel panorama culturale del tempo. D’altra parte nelbrano presente c’è la reminiscenza della impostazione filosofica kantiana, come per affermare cheanche ciò di cui si sta occupando ha la dignità di una scienza, perché trae la sua ispirazione dai giudizisintetici a priori.In un brano tratto dall’opera An investigation of the laws of thought, on which are founded themathematical theories of logic and probabilities, del 1854, Boole afferma, in modo ancora più radicale,che«non fa parte dell’essenza della matematica di essere intimamente connessa con le idee di numero e quantità»quindi una concezione moderna e spostata su aspetti qualitativi della matematica all’interno dellaquale egli ‘ritaglia’ il suo calcolo logico. Questa concezione viene talora indicata come “matematismo”.Non è però da trascurare l’impronta psicologistica che ispira tutta la produzione logica di Booleparticolarmente esplicita nel titolo dell’opera del 1854. Il Nostro propone che ci sia uno stretto113

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicarapporto tra le sue leggi del pensiero e la struttura della mente e di queste l’autore mette in luce leconnessioni algebriche. Ed è appunto a questi problemi che dedica la seconda opera specificando:«La presente opera non è una ripubblicazione di un precedente trattato dell’Autore, intitolato “L’analisi matematicadella logica”. La sua prima parte è in effetti dedicata allo stesso oggetto, ed essa comincia con lo stabilire lostesso sistema di leggi fondamentali, ma i suoi metodi sono più generali, e il suo campo di applicazione moltopiù vasto. Essa presenta i risultati maturati in alcuni anni di studi e riflessione, di un principio di indagine connessoalle operazioni intellettuali, la cui prima esposizione venne scritta in poche settimane dopo che ne avevoconcepito l’idea. […L’intera opera ha lo scopo di] investigare le leggi fondamentali di quelle operazioni dellamente mediante le quali si effettua il ragionamento; di dare ad esse espressione nel linguaggio simbolico di uncalcolo e di stabilire, su questi fondamenti, la scienza della Logica e costruire i suoi metodi; di rendere questostesso metodo la base di un metodo generale per l’applicazione della teoria matematica della probabilità; e, infine,di raccogliere dai vari elementi di verità portati alla luce nel corso di questa indagine alcune probabili indicazioniconcernenti la natura e la costituzione della mente umana.» (da Mangione & Bozzi, 1993)È quindi il problema della conoscenza che attira l’attenzione di Boole ed infatti dichiara«… il solo oggetto della logica non è quello di renderci capaci di dedurre inferenze corrette da date premesse; néil solo scopo del calcolo delle probabilità quello di permetterci di stabilire su basi sicure le questioni di assicurazionisulla vita … Entrambi questi studi hanno anche un interesse di altro tipo, che loro deriva dalla luce che essigettano sulle capacità intellettuali. Essi ci istruiscono relativamente al modo col quale il linguaggio e il numeroservono come aiuto strumentale al processo di ragionamento; essi ci rivelano in certo grado la connessione fradifferenti capacità dell’intelletto comune; essi ci mostrano quali siano, nei due domini della conoscenza probabilee dimostrativa, gli elementi essenziali della verità e della correttezza – elementi non derivati da alcunché, maprofondamente fondati nella costituzione delle facoltà umane.» (da Mangione & Bozzi, 1993).Sicuramente l’opera del 1854 mostra una maggiore maturità rispetto a quella del 1847. A me sembraquasi che la prima opera sia stata una sorta di ‘tentativo’ importante, di presentare in modo piùaccettabile al pubblico la nuova tematica di ricerca e poi, vista l’attenzione e l’accoglienza ricevute,Boole si sia sentito di riprendere, ancora una volta vecchie intuizioni e di spingersi oltre su una stradanon battuta.4.2.2. Impostazione della Logica di Boole. Dopo aver illustrato, mediante una piccola antologia degliscritti di Boole, quali fossero le idee guida delle sue indagini, vediamo nel concreto come presentagli argomenti. Sarà così facile vedere quanta influenza ha avuto la Analytical Society sulla suaopera.Egli accetta un universo del discorso come insieme di cose concrete oppure no, che viene indicatocon 1. Questo simbolo è introdotto nelle Laws del 1854 sulla base di motivazioni di carattere algebrico.Nella prima opera parla genericamente di un ‘contenitore’ che comprende ogni classe concepibiledi oggetti, sia esistenti che inesistenti. Poi diviene l’universo del discorso di una teoria, vale adire la collezione degli oggetti di cui si parla. Tale universo diviene l’oggetto di cui si illustrano leproprietà (e la struttura).Nell’opera del 1847 utilizza il simbolo 0 senza darne una definizione o giustificazione esplicita,mentre nella seconda opera viene giustificato, anch’esso, su basi algebriche ed interpretato come il“Nulla”.114

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010Nell’ambito dell’universo si possono isolare degli oggetti che godano di opportune proprietà. Booleparla di “compiere atti di elezione” ed indica con le lettere minuscole x, y, z, u, v, w,… quelli chechiama “simboli elettivi”. Con questi simboli vuole indicare, secondo dei casi, sia l’atto mentale di“elezione” sia la classe degli individui che godono delle rispettiva proprietà X, Y, Z, U, V, W,… Ipuntini stanno a dire che ci sono infiniti simboli elettivi.Ritiene, inoltre, possibile svolgere all’interno dell’universo due successivi atti di elezione, considerandoprima x la classe degli elementi che godono della proprietà X e successivamente scegliere traquelli prima selezionati, la classe degli y che godono della proprietà Y. Con x × y, o più brevementecon xy, si indica il risultato dei due atti consecutivi di elezione. L’elezione in ordine scambiato nonaltera il risultato, per cuixy = yx.Tale legge, proprietà del prodotto logico, viene quindi giustificata in termini linguistici. In essacompare il segno di uguaglianza, ‘=’ che indica l’uguaglianza in estensione, cioè che le classi scrittea sinistra e a destra del simbolo hanno gli stessi elementi. L’uguaglianza è il solo simbolo di relazioneutilizzato nel sistema di Boole.Dal significato attribuito al prodotto logico, si ricava con le stesse giustificazioni che1x = x = x1.Se si considera anche la classe vuota, si avrà, sempre con le stesse motivazioni, per ogni classe0x = 0 = x0.Un diverso tipo di elezione composta si può ottenere isolando dall’universo gli oggetti che soddisfanola proprietà X oppure la proprietà Y, ma non entrambe. Nel caso che le classi corrispondentisiano disgiunte, non abbiano elementi in comune, questa operazione verrà indicata con ‘+’, pensatacome una “aggregazione di parti in un tutto”, così si esprime Boole.Come si vedrà questa scelta, dettata forse dalla volontà di essere il più vicino possibile alla aritmeticaconsueta, è forse suggerita anche dalla necessità di introdurre una sottrazione tra le classi, cosicchéle due operazioni ‘+’ e ‘-’ risultino poi l’inversa una dell’altra.Viene però a mancare una ‘simmetria’ tra le operazioni di addizione e di moltiplicazione e sarannopoi evidenziate altre difficoltà, in particolare, grazie all’opera dei continuatori di Boole sulla stradaintrapresa. Secondo alcuni commentatori, la struttura risultante in base alle idee dell’autore non sarebbeneppure un anello, bensì una sorta di ‘algebra dei mucchi’ e ciò per conservare una sorta diparallelismo tra la somma logica di due proposizioni e la somma delle probabilità di due eventi. Secosì fosse, il Nostro stava curando una teorizzazione comune tra inferenza deduttiva ed inferenzaprobabilistica.115

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicaUna volta precisate le operazioni ‘×’, ‘+’ e ‘-’ e le costanti 0 e 1, nonché la relazione ‘=’, Boole definisceil “complemento” di x come 1 – x come la classe che isola nell’universo tutti gli oggetti chenon soddisfano la proprietà X. Il passo successivo è stabilire quella che chiama “legge degli indici”che si esprime come x 2 = x (nelle Laws, mentre nel testo del 1847 la formula – apparentemente – intermini più generali come x n = x). Tale legge è caratteristica del sistema. In modo esplicito, maqualche volta anche implicito, assume le seguenti “leggi del pensiero” per la gestione dei simboli“elettivi”:1. xy = yx Commutativa del prodotto2. x + y = y + x Commutativa della somma3. z(x + y) = zx + zy Distributiva del prodotto rispetto alla somma4. z(x – y) = zx – zy Distributiva del prodotto rispetto alla differenza5. Se x = y, allora:a. zx = zy Sostitutiva di ‘=’ rispetto al prodottob. z + x = z + y Sostitutiva di ‘=’ rispetto alla sommac. x – z = y – z Sostitutiva di ‘=’ rispetto alla differenza6. x 2 = x (equivalente a x(x – 1) = 0) Legge degli indici.Gli assiomi (le “leggi”) da 1 a 5 sono verificate anche nell’aritmetica dei numeri (reali), qualora aisimboli usati dal Nostro, si attribuisca il significato suggerito dalla prassi aritmetica e i simboli elettivisi interpretino come numeri.Con la 6. ci si allontana dalla situazione più familiare, anche se come si vedrà in seguito, tale leggesvolge un ruolo fondamentale. Se però ci si chiede quali siano i numeri reali che risolvonol’equazione x(x – 1) = 0, c’è una risposta immediata: 0 e 1. Boole rivela a questo punto come operareseguendo la sua impostazione generale ed afferma:«invece di determinare la misura dell’accordo formale dei simboli della logica con quelli dei Numeri in generale,è più immediatamente suggerito di confrontarli con i simboli di quantità che ammettano solo i valori 0 e 1. […]le leggi, gli assiomi e i processi di tale algebra saranno identici, nella loro estensione completa, alle leggi, gli assiomie i processi di un’algebra della logica. Esse sarebbero divise solo da differenze di interpretazione. E il metododi quest’opera è fondato su questo principio.» (da Mangione & Bozzi, 1993).Attenzione, non è che Boole affermi che il suo sistema sia un’algebra a soli due valori (anche se poisi giungerà a questa situazione come ‘esemplare’), in quanto non c’è una legge che espliciti chese x ≠ 0 allora x = 1,ma solo che il sistema è interpretabile assumendo come dominio di interpretazione {0,1} (insiemedi numeri reali). Casomai questo esempio permette di garantire della coerenza del sistema assiomatico,visto che in questa interpretazione tutte sei le leggi risultano vere.Si noti che nel presentare le idee che conducono alla formulazione delle leggi, abbiamo fatto implicitoriferimento ad un universo ed ai suoi sottinsiemi. Si è, quindi, implicitamente utilizzata l’idea diun insieme di parti ed in tale caso non si può affermare, in generale, che si tratti di una struttura suun insieme con due soli elementi.116

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010Una volta introdotti i simboli e gli assiomi che riguardano il loro trattamento, Boole fornisce indicazionisu come eseguire un ragionamento corretto, affermando:«1) ai simboli venga assegnata un’interpretazione fissata nell’espressione dei dati; e che le leggi di combinazionedi questi simboli siano correttamente determinate da quell’interpretazione;2) che i processi formali di soluzione o dimostrazione siano condotti sempre in obbedienza a tutte le leggi sopradeterminate, senza riferimento alla questione dei particolari risultati ottenuti;3) che il risultato finale sia interpretabile in forma e che esso sia effettivamente interpretabile in accordo con quelsistema di interpretazione che era stato impiegato nell’espressione dei dati.» (da Mangione & Bozzi, 1993)In questo brano è evidente che il Nostro non pensa ad una unicità di interpretazioni, ma che una voltafissatane una poi bisogna attenersi ad essa. Inoltre è anche chiaro il fatto che il ragionamento sisvolge in ambito sintattico, mediante le leggi formali che sono state enunciate, quindi non è possibilegiustificare una conclusione mediante il contenuto della stessa, ma solo a partire dalle leggi. Nonè però che sintassi e semantica vadano su binari paralleli e autonomi, ma hanno entrambi una lorofunzione. Il privilegio dato alla sintassi nel condurre l’argomento, mentre la semantica è attivaall’inizio ed alla fine.William Jevons(1835 – 1882)Applicando queste regole è stato osservato che i passaggi algebrici svolti in alcunicasi da Boole non sono semanticamente interpretabili, e questo secondo Jevons,rappresenta una pecca del sistema booleano.Il Nostro si accorge di questo, ma fa appello ad un principio generale che vieneutilizzato senza troppe giustificazioni nel processo del conoscere. Boole cita, perspiegare la sua posizione, il principio in base al quale per trovare radici reali diun’equazione di terzo grado a coefficienti reali nel caso irriducibile, si abbandonal’algebra dei numeri reali per fare intervenire la radice quadrata di -1 e, come dice lui, i “calcoli trigonometrici”.Sembra quindi dire che anche in quel caso, usando solo regole formali, si giunge allasoluzione corretta, anche se alcuni passaggi non possono essere correttamente interpretate nel contestodei numeri reali.Di fatto l’affermazione di Boole è prossima al Principio di Hankel (e quindi al Principio di permanenzadelle forme equivalenti di Peacock).L’argomentazione proposta centra un punto essenziale, una sorta di principio di trasfer: se una deduzioneè valida in una interpretazione lo sarà in ogni altra che soddisfi le stesse regole del calcolo.E in questo ha molta fortuna perché, per quanto riguarda le algebre di Boole, il ruolo di 2, qui usatacome garanzia di coerenza, è centrale e insostituibile.Con questa sua posizione Boole riesce, per la prima volta ad andare ben più in là del modello aristotelicodel sillogismo, anzi questo strumento aristotelico risulterà solo un caso particolare di un piùgenerale calcolo. Si recuperava così l’intuizione dei Leibniz, dandole concretezza.117

Capitolo 4Il contributo Boole alla logica4.2.3. Il calcolo di Boole. La scelta di utilizzare l’uguaglianza come simbolo relazionale, invece dellainclusione di classi ha un ‘costo’ importante quando si vuole esprimere il sillogismo. Le proposizionicategoriche debbono essere espresse con traducendo affermazioni che ‘qualcosa’ è uguale a 1o a 0, oppure utilizzando la quantificazione del predicato. È interessante notare che potrebbe fare ameno della quantificazione del predicato. Infatti è possibile la seguente traduzioneA x(1-y) = 0 Ogni x è y, vale a dire che x e il complemento di y non hanno elementi comuniE xy = 0 Nessun x è y, pertanto, la parte comune a x e y è vuota.I xy ≠ 0 Qualche x è y, quindi non è vuota la parte comune di x e yO x(1-y) ≠ 0 Qualche x non è y, così la parte comune a x e al complementare di y non è vuota.Con questa scelta è evidente che A e O sono contraddittorie, come E e I. Ma si è utilizzata la relazione‘≠’, l’uguaglianza letta negativamente. Per Boole ciò non è accettabile e pertanto negli enunciatiparticolari passa alla quantificazione del predicato, introducendo un particolare simbolo elettivo,v che ha la funzione di rappresentare i quantificatori linguistici ‘qualche’ o ‘alcuni’. Ne risultacosì una diversa formalizzazione degli enunciati particolariBooleA x(1-y) = 0 x(1-y) = 0Ogni x è y, vale a dire che x e il complemento di y non hanno elementicomuniE xy = 0 xy = 0 Nessun x è y, pertanto, la parte comune a x e y è vuota.I xy ≠ 0 xy = v Qualche x è y, quindi v è la parte comune a x e yO x(1-y) ≠ 0 x(1-y) = vQualche x non è y, quindi v è la la parte comune a x e al complementodi yLa natura del simbolo elettivo v è non è chiara, è paragonabile a quella delle costanti di integrazione.Boole afferma che può essere qualunque, purché non vuoto. Si tratta di un espediente, che peròpotrebbe essere pericoloso perché la natura di tale simbolo. Se quindi x = v e y = v, di qui non si potrebbeinferire che x = y! Ma Boole riesce sempre ad evitare casi di questo tipo. Per ‘uniformare’enunciati universali e particolari introduce un secondo simbolo elettivo w, del tutto simile a v. Conquesta scelta si haBooleA x(1-y) = 0 x = vy Ogni x è y, x è ottenuto come parte di yE xy = 0 x = v(1-y)Nessun x è y, pertanto x è ottenuto come parte del complemento diy.I xy ≠ 0 vx = wy Qualche x è y, c’è coincidenza tra una parte di x ed una di yO x(1-y) ≠ 0 vx = w(1-y)Qualche x non è y, cioè parte di x coincide con parte del complementodi yCon questa seconda proposta, si riesce a ‘tradurre’ tutta la teoria del sillogismo e dei vari tipi di trasformazionisugli enunciati riconducendola alle proprietà algebriche dei simboli, mediantel’eliminazione del simbolo elettivo utilizzato per il termine medio, dunque date due equazioni (lepremesse) la deduzione consiste nel determinarne una terza che non contiene il termine medio.118

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010Si noti che data la simmetria di ruoli di x e y in un enunciato universale negativo, si può considerareequivalente anche y = v(1 – x) (per una conversione semplice).Ad esempio è semplice perBarbara (1 a figura) y = vx, z = wyz = vwxPiù complessa è la giustificazione di altri esempi:Cesare (2 a figura) x = v(1-y), z = wyz = u(1-x)Darapti (3 a figura) y = vx, y = wzvx = wzha come premesse x = v(1-y), z = wy; dalla prima, mediante il metodo di eliminazione che si vedràin seguito si ha xy = 0, dalla seconda premessa, z = wy, moltiplicando entrambi i membri per x si hazx = wyx = 0, e questa può tradursi in z = u(1-x). Si osservi che in modo più semplice si potevaconvertire Cesare (2 a figura) in Celarent (1 a figura), in quanto il corrispondente della conversionesemplice porterebbe a y = v(1 – x), da cui z = vw(1-x).Per Fresison (4 a figura) x = v(1-y), wy = uzuz = v(1-x)Le premesse sono x = v(1-y), wy = uz, una volta ricavato dalla prima, con lo stesso procedimento, xy= 0 quindi si ha uzx = 0, da cui uz = v(1-x). Anche qui la conversione semplice condurrebbe a y =v(1-x) e pertanto a Ferio (1 a figura).Ma torniamo al calcolo generale. L’idea centrale di Boole è il concetto di sviluppo di una funzioneed infatti nel trattato del 1847 indica uno sviluppo molto simile a quello di Taylor, per altro senzagiustificarlo in modo adeguato. Il termine forse gli deriva dall’Analisi matematica. Si consideri unafunzione f(x), ove x sia un simbolo elettivo. Per chiarire cosa sia da ritenersi una funzione, bisognaabbandonare il concetto (allora assai diffuso) che la funzione sia un ente a valori numerici. Qui unaqualunque espressione contenente x si utilizza come funzione di x. Si ha una ovvia estensione a funzionidi più variabili. Quelle funzioni in cui le variabili sono simboli logici, vale a dire che possonoassumere solo i valori 0 e 1, quindi che (numericamente) soddisfano la legge degli indici, si riescea trovare una forma standard, lo sviluppo della funzione comef(x) = ax + b(1-x)in cui a e b sono determinati in modo che l’uguaglianza sussista, quindi se x = 0, f(0) = a0 + b(1-0)= b; f(1) = a1 + b(1-1) = a. Così si trovaUn esempio numerico sef(x) = f(1)x + f(0)(1-x).1+3xf ( x)= , si ha f(0) = 1,1+2x44f ( 1) = , per cui f ( x)= x + (1 − x). Ora il33119

Capitolo 4Il contributo Boole alla logica1+3x4risultato numerico così trovato non ci consente di dire che = x + (1 − x), ma l’uguaglianza1+2x3vale per i valori 0 e 1.La cosa, con un poco di pazienza, si estende a funzioni di più variabili (logiche). Un esempio:f(x,y,z) = f(1,1,1)xyz + f(1,1,0)xy(1-z) + f(1,0,1)x(1-y)z + f(1,0,0)x(1-y)(1-z) + f(0,1,1)(1-x)yz +f(0,1,0)(1-x)y(1-z) + f(0,0,1)(1-x)(1-y)z + f(0,0,0)(1-x)(1-y)(1-z).In ogni sviluppo i valori della funzione calcolata opportunamente si dicono coefficienti o modulidello sviluppo, mentre i termini che comprendono i simboli elettivi (con eventuali loro complementi)si dicono costituenti dello sviluppo. Si hanno poi le seguenti osservazioniSe t è un costituente, allora, t(1-t) = 0.In ogni sviluppo il prodotto di due arbitrari costituenti diversi è 0.In ogni sviluppo, la somma di tutti i costituenti è 1.Le prime due osservazioni sembrano abbastanza banali, ed in generale la prima vale per qualsiasisimbolo elettivo, la seconda discende dalla prima perché due costituenti diversi differiranno per ilfatto che in almeno uno di essi c’è un simbolo elettivo e nell’altro il complemento di tale simbolo eciò garantisce che si può considerare l’addizione dei singoli termini tra loro, perché ‘disgiunti’. Laterza condizione richiede una verifica, che si fa sull’esempio della funzione con tre variabli.xyz + xy(1-z) + x(1-y)z + x(1-y)(1-z) + (1-x)yz + (1-x)y(1-z) + (1-x)(1-y)z + (1-x)(1-y)(1-z) = xy(z +(1-z)) + x(1-y)(z + (1-z)) + (1-x)y(z + (1-z)) + (1-x)(1-y)(z + (1-z)). Prima di procedere si osservache z + (1-z) = z + 1 – z = 1, quindi la somma precedente può scriversi come xy + x(1-y) + (1-x)y +(1-x)(1-y)= x(y + (1-y)) + (1-x)(y + (1-y)) = x + (1-x) = 1.Boole osserva che tali proprietà valgono sempre e si possono interpretare quando i simboli assumonoesclusivamente i valori 0 e 1 e di lì generalizza che qualora i simboli usati siano interpretabili(anche se non assumono i valori detti) ed anche se la funzione non è interpretabile, dopo lo sviluppoil risultato è comunque in forma di equazioni interpretabili. I costituenti, per le proprietà dette, sonosempre interpretabili in quanto rappresentano partizioni dell’universo del discorso. Per questi motivipropone una regola del tipo: si consideri un’equazione e si sviluppi la funzione associata, poi si u-guaglia a 0 ogni costituente con coefficiente non nullo (avendo eliminato a priori i costituenti concoefficienti nulli). L’interpretazione complessiva della equazione risulta data in tale modo. Un e-sempio tratto dalla Bibbia: una prescrizione di purità riconosce puri i quadrupedi che hanno il piedecaprino e ruminano (La Bibbia ha strane idee biologiche, ad esempio il coniglio lo considera un ruminante!).Se ora x indica gli animali puri, y quelli col piede caprino e z quelli che ruminano, la prescrizionedi purità si può scrivere x = yz, vale a dire x – yz = 0. La funzione di tra variabili è pertantof(x,y,z) = x – yz. Applicando lo sviluppo a tale funzione si ha f(x,y,z) = f(1,1,1)xyz + f(1,1,0)xy(1-z)120

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010+ f(1,0,1)x(1-y)z + f(1,0,0)x(1-y)(1-z) + f(0,1,1)(1-x)yz + f(0,1,0)(1-x)y(1-z) + f(0,0,1)(1-x)(1-y)z + f(0,0,0)(1-x)(1-y)(1-z), ma nel caso particolare:f(1,1,1) = 1 - 1×1 = 1 – 1 = 0;f(1,1,0) = 1 - 1×0 = 1 – 0 = 1;f(1,0,1) = 1 - 0×1 = 1 – 0 = 1;f(1,0,0) = 1 - 0×0 = 1 – 0 = 1;f(0,1,1) = 0 - 1×1 = 0 – 1 = 1;f(0,1,0) = 0 - 1×0 = 0 – 0 = 0;f(0,0,1) = 0 - 0×1 = 0 – 0 = 0;f(0,0,0) = 0 - 0×0 = 0 – 0 = 0.Si ha pertanto 0 = x – yz = xy(1-z) + x(1-y)z + x(1-y)(1-z) + (1-x)yz. In base alla regola espressa daBoole l’interpretazione logica si ottiene ponendo xy(1-z) = 0, quindi non esistono animali puri chehanno il piede caprino e non ruminano (il maiale); ponendo x(1-y)z = 0 otteniamo che non esistonoanimali puri che non hanno il piede caprino e ruminano (il coniglio); ponendo x(1-y)(1-z) = 0 si hache non esistono animali puri che non hanno il piede caprino e non ruminano (il cane) ed infine da(1-x)yz = 0 la classe degli animali che ruminano e hanno il piede caprino e non sono puri è vuota. Siesaurisce così in modo completo l’informazione logica contenuta nella equazione x = yz. Si osserviperò una particolarità, che l’autore non chiarisce appieno. Nel valutare f(0,1,1), si è ‘imposto’ che-1 = 1, o, detto in altro modo che 1 + 1 = 0. Ciò può sorprendere, soprattutto se si associa (in modoerroneo) all’opposto il ruolo di complementare, costruzione che viene sempre indicata con (1- x),ma si ricordi che la somma logica è connessa con l’operazione insiemistica di unione di insiemi disgiunti,caso che non può realizzarsi quando gli addendi sono entrambi l’universo del discorso. Piùin generale si dovrebbe aggiungere alle leggi indicate da Boole (anche se è una conseguenza dellealtre leggi ed in particolare della legge degli indici) la legge, per qualunque x,x + x = 0,ma questo caso, secondo le idee di Boole, non può essere preso in considerazione in quanto è ovvioche la classe x non è disgiunta da se stessa.Al termine dell’esempio Boole osserva che ogni proposizione (categorica) può«essere risolta in una serie di negazioni di esistenza di certe definite classi di cose e, da questo sistema di negazioni,può essere a sua volta ricostruita […] la mente assume l’esistenza dell’universo non a priori come fatto indipendentedall’esperienza, ma a posteriori come deduzione dall’esperienza, o ipoteticamente come fondamentodella possibilità del ragionamento assertorio» (da Mangione & Bozzi, 1993).In questo modo Boole giustifica come sia possibile attraverso sole negazioni passare ad una affermazionepositiva. Per certi versi sembra esserci una influenza hegeliana.Ma lo sviluppo di funzioni può presentare problemi interpretativi, per esempio con funzioni che nonsiano della forma g = 0 oppure g = 1, ma abbiano invece la forma g = w, ove w è un simbolo elettivoindefinito. Per chiarire le sue idee, Boole fa un esempio che qui si ripete.121

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicaSi consideri lo stesso caso di prima x = yz. Risolvere rispetto a z porta a scrivere z = yx . Questo risultatonon è interpretabile logicamente, dato che la divisione non è contemplata tra le operazioniintrodotte. Però è possibile eseguire lo sviluppo, ottenendoz = xy + 1/0×x(1-y) + 0(1-x)y + 0/0×(1-x)(1-y)Bisogna ora interpretare le frazioni (con denominatore nullo) o più in generale, coefficienti numericiche possano risultare dalla generica funzione. Boole si avvale di analogie algebriche, che però risultanopoco convincenti, ed interpreta questi nuovi enti come ‘gradi di presenza’ (e di ‘assenza’).Ogni funzione ha un insieme di costituenti (un numero pari a 2 n , ove n è il numero delle variabili)che individuano lo “spazio logico” della proposizione data.« 1) Il simbolo 1 come coefficiente di un termine indica che va presa la totalità della classe che quel costituenterappresenta.2) Il coefficiente 0 indica che quella classe non va considerata.3) Il coefficiente 0/0 indica una porzione del tutto indefinita della classe, ossia che vanno presi alcuni, tutti onessuno dei sui membri.4) Ogni altro simbolo (quindi in particolare 1/0 e ogni altro valore diverso da 0 e da 1 come coefficiente), indicache il costituente cui esso è prefisso va uguagliato a 0.» (da Mangione & Bozzi, 1993)In uno scritto inedito posteriore alla Laws del 1854, Boole propone una interpretazione diversa di 1,0, 0/0 e 1/0, rispettivamente, come le quattro categorie del pensiero, ovvero: 1 l’universale; 0 ilnon esistente; 0/0 l’indefinito e 1/0 l’impossibile. Ritiene in questo modo di avere trovato categoriedel pensiero che migliorano quelle proposte da Kant. Solo in seguito Jevons proporràun’interpretazione di questi simboli puramente logica.Accanto allo sviluppo, Boole presenta un altro procedimento fondamentale del calcolo: la eliminazione.Sia data una funzione f e sia x un simbolo elettivo e si consideri l’equazione f(x) = 0. allora larelazione f(1)f(0) = 0 è vera indipendentemente da x. L’equazione f(1)f(0) = 0 rappresenta il risultatodell’eliminazione di x, dall’equazione f(x) = 0.Fornisce anche delle regole per l’eliminazione.1) Si portano tutti i termini al primo membro (con i relativi cambiamenti di segno).2) Si dà al simbolo da eliminare prima il valore 1, poi il valore 0.3) Si moltiplicano i due risultati delle sostituzioni dette e si uguaglia il prodotto a 0.Si consideri la frase, ‘Ogni x è y’, simbolizzata come x = vy; su essa compiamo l’eliminazione di v.1) x – vy = 02) per v = 1, si ha x –y = 0; per v = 0, si ha x = 0.3) x(x – y) = 0 , da cui, per la distributiva, xx – xy = 0 e per la legge degli indici, x – xy = 0, dacui x(1-y) = 0.Di questo esempio Boole fornisce un’interpretazione a parole. Su x sta per ‘è uomo’ e y sta per‘mortale’, allora x = vy traduce ‘Ogni uomo è mortale’, frase affermativa universale. Con x(1-y) = 0si afferma che non esistono uomini non mortali. Ma ulteriori informazioni si hanno dallo sviluppo:122

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010la relazione x(1-y) = 0 si ‘può’ scrivere come 1 – y = 0/x. Sviluppando la funzione f(x) data dal secondomembro si ha f(x) = f(1)x + f(0)(1-x) = 0x + 0/0 (1 – x) = (1 – y). Si ha pertanto 1 – y =0/0(1 – x). In coerenza con quanto detto prima , 0/0 “indica una porzione del tutto indefinita dellaclasse”, paragonabile cioè ad un simbolo elettivo indeterminato, il che traduce che “coloro che nonsono mortali non sono uomini”, ottenuta per contrapposizione dall’equazione di partenza.Applichiamo il procedimento di eliminazione alla equazione x = v(1 – y) incontrata sopra nel trattamentodel sillogismo Cesare. Boole propone di considerare x per ‘uomo’ e y per ‘perfetto’.L’equazione di partenza traduce ‘Nessun uomo è perfetto’. Procediamo come detto1) x – v(1-y) = 0;2) per v = 0 si ha x = 0; per v = 1 si ha x – 1 + y = x + y – 1 = 0;3) x(x + y – 1) = xx + xy – x = x + xy – x = xy = 0.Si può sviluppare la funzione data da y = 0/x come y = 0/0×(1-x), da leggersi, ‘nessun essere perfettoè uomo’. Sviluppando invece 1 – y = 1 – 0/x, si ha 1 – y = x + 0/0×(1 – x) da interpretarsi gliesseri non perfetti sono uomini più una porzione indeterminata degli esseri che non sono uomini’.Un ultimo processo è quello di riduzione, che permette di ricavare da più equazioni una sola equazioneche conservi l’interpretazione logica delle equazioni date.Per gli scopi del corso non è importante entrare in maggiori dettagli. Quello che emerge è che Boolepredispone un calcolo algebrico che gli permette di riottenere i procedimenti classici di inferenza,generalizzandoli. Si tratta quindi di un superamento effettivo della logica aristotelica presentata dalpunto di vista estensionale. La forza della proposta di Boole è che il calcolo delle classi (realizzatomediante i simboli elettivi e le loro combinazioni) ed il calcolo delle proposizioni hanno la stessastruttura e si differenziano solo a livello di interpretazioni. Ad esempio i costituenti di una funzionedi due variabili sono xy, x(1-y), (1-x)y, (1-x)(1-y) e queste espressioni, essendo costituenti hannoper somma 1. Se si considerano le proprietà X e Y corrispondenti ai simboli elettivi, si possono interpretarei costituenti (nel caso facciano 1 e quindi, per le proprietà di 1, nel caso che siano ugualia 1 entrambi i fattori) come i 4 casi di una tavola di verità, cioè, nell’ordine, X e Y vere contemporaneamente,X vera e Y falsa, X falsa e Y vera, X e Y false entrambe. Di qui si svolge un calcolo assaisimile a quello che si presenta oggi. Ma Boole va avanti, in quanto offre anche una ‘lettura’ probabilisticadei costituenti (dato che la loro somma è 1).4.2.4. Un breve confronto tra le opere d Boole e di De Morgan. Da quanto precede emergono alcunipunti fondamentali della produzione dei due logici. Entrambi sono stati influenzati dalle idee sviluppatenel seno della Analytical Society.123

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicaDe Morgan ha portato al massimo grado lo sviluppo del simbolismo sfruttandone aspetti, anche geometricidei segni, per recuperare la logica tradizionale, ma ampliandola con la considerazione dinuovi tipi di proposizioni. Continuando su questa strada ha aperto la considerazione alla logica dellerelazioni.Boole ha aperto un nuovo campo della matematica mostrando come essa si potesse applicare ad entinon numerici né legati ai numeri, ma con prevalenti aspetti qualitativi. Inoltre egli ha preferito mostrarela duttilità dell’algebra anche nello studio delle leggi del pensiero, costruendo quindi una sortadi logica algebrica (dicitura che ha mutato di significato nel tempo) in quanto con la sua investigazionesi mostra che è possibile individuare una struttura algebrica sottostante alla logica e che glistrumenti algebrici, anche se ‘localmente’ possono perdere di significato logico sono affidabili persvolgere analisi logiche (e probabilistiche). Si può ritenere che entrambi abbiano sviluppato al massimogrado idee presenti nella scuola di Cambridge ed aperto, con le loro anticipazioni, nuove stradealla logica ed alla matematica.4.3. Logica di Boole dopo Boole.Quindici anni dopo la morte di Boole, Frege propone una presentazione della Logica,ispirata a idee totalmente diverse, che supera l’approccio algebrico propostoin precedenza e che tutt’oggi è adottata rimanendo pressoché invariata. L’opera delErnst Schröder(1841 – 1902)Giuseppe Peano(1858 – 1932)Tedesco sarà interpretata come una contrapposizione da quantofatto dall’autore delle Laws. Ma nel frattempo gli studi logici avevanosviluppato e ‘migliorato’ l’approccio di Boole e il filone algebricoin esso inaugurato porterà altri contributi allo studio dellaLogica, soprattutto ad opera di Peirce e Schröder, fuori del RegnoUnito e di Jevons e Venn in Inghilterra. Di rilievo l’opera di LouisLiard: Les logiciens anglais contemporaines, del 1878, in cui siforniva un quadro abbastanza informativo di ciò che stava svolgendosinel Regno Unito nel campo della logica. Per l’Italia, le opere logiche piùrilevanti, anche se collegate a Boole in modo assai particolare, sono dovute a Peanoe ai suoi discepoli, Del Re e Nagy. Non mancarono però altri studiosi europei che sicimentarono con vari esiti nello studio della logica sia come loro ricerca principaleche come interesse secondario. Il tema ‘Logica’ nel XIX secolo ha avuto molta attenzione anche sulversante filosofico, nelle varie correnti post-kantiane, ma chi si è occupato di essa in modo scientificodopo il 1847 non ha potuto prescindere all’impianto booleano, ad eccezione di Frege.Gottlob Frege(1848 – 1925)John Venn(1834 – 1923)124

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/20104.3.1. I nei di Boole. Ancora vivo Boole, la sua opera, pur essendo riconosciuta come un caposaldodello studio della Logica, era stata sottoposta ad una revisione mirante a eliminare i ‘nei’ che rendevano‘oscura’ in certi punti la trattazione algebrica, nonché nei rapporti tra trattamento algebrico einterpretazione logica. Parlando in termini moderni, il trattamento algebrico della logica presentenelle Laws si può considerare analoga alla struttura di ciò che oggi viene chiamato un Anello di Boole,vale a dire un anello con unità in cui ogni elemento è idempotente (cioè vale la legge degli indici).La richiesta che sia un anello richiede le proprietà associativa, commutativa della addizione cheha elemento neutro e ogni elemento ha inverso. La condizione di idempotenza basta per dimostrareche anche la moltiplicazione è commutativa e che l’anello ha caratteristica 2, vale a dire per ogni x,x+x = 0. Si noti che l’identificazione tra la struttura algebrica usata nella Laws e quella di anello diBoole non è completamente adeguata, dato che Boole considera la somma solo come unione diclassi nel caso di classi disgiunte.In un certo senso c’è una dissimetria di richieste tra le proprietà dell’addizione, date come assiomi equelle della moltiplicazione ottenute come teoremi da altre richieste.Uno dei punti su cui si accentra l’attenzione dei continuatori dell’opera booleana è sul come toglierela limitazione imposta alla addizione che risulta un’operazione non ovunque definita. Altro puntodelicato è la divisione e i coefficienti ‘frazionari’ con denominatore 0, nonché la presenza di coefficientinumerici diversi da 1 e da 0; ed inoltre l’uso ‘vago’ della classe indeterminata v, per la qualesi attiva tutto il procedimento di eliminazione. Jevons, scolaro di De Morgan, nel 1864, ancora vivoBoole, presenta un testo, Pure logic, or the logic of quality apart from quantity: with remarks onBoole’s system and on relation of logic and mathematics, in cui si inizia la revisione dell’opera deldocente di Cork. In questo trattato ed in altri si precisano i filoni di ricerca principali che sono:1. la critica alla concezione esclusiva della addizione, con l’introduzione della disgiunzionenon esclusiva con le relative proprietà. A questa indagine contribuironoJevons, Peirce, Robert Grassmann (1815 – 1901), Hugh McColl (1837 –1909) e Schröder);2. come esprimere l’esistenza (Peirce e McColl), in quanto Peirce osservache«la notazione di Boole è solo capace di esprimere che qualche descrizione di cose nonesiste, e non è in grado di dire che qualcosa esiste»;3. l’analisi della relazione di identità ‘=’ (Jevons, Peirce e Schröder);4. introduzione di nuove notazioni per estendere l’algebra di Boole ad un’algebra di relazioni(De Morgan, Peirce, Macfarlane , Schröder).Alexander Macfarlane(1851 – 1913)125

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010La scelta del simbolo della disgiunzione non esclusiva, è fatta per identificare nettamente la differenzacon la interpretazione esclusiva usata da Boole, ma data per semplicità, si preferisce utilizzareancora il simbolo ‘+’, usato or con significato diverso. Si noti però che nel caso di classi disgiunte ilrisultato dell’operazione di Jevons coincide con quello dell’operazione booleana.Le leggi proposte da Jevons sono le seguentiLeggiSpiegazione1) Se A = B e B = C, allora A = C Transitiva di ‘=’2) AB = BA Commutativa della giustapposizione3) A(B + C) = AB + AC Distributiva4) AA = A “Legge di semplicità”5) A + A = A “Legge di unità”6) A + B = B + A Commutativa di +7) A + 0 = A Jevons la usa senza spiegarla8) A + AB = A Assorbimento (può essere estesa ad un numero qualunque di termini).9) A = A Identità10) A = AB + Ab Dualità (o terzo escluso)11) Aa = 0 ContraddizioneA Jevons manca un simbolo per l’universo del discorso. Afferma che applicando la legge di dualitàa due, tre, … termini, si sviluppa un alfabeto logico che corrisponde all’elenco dei costituenti diBoole. Come visto la somma (in senso di Boole) dei costituenti è 1, e quindi ciò tiene il postodell’universo del discorso.Come unica regola di inferenza, si usa la ‘sostituzione degli identici’. Si assume però che ogni termineabbia il suo contrario e questo permette di ridurre gli schemi di inferenza. Con queste posizionienuncia un “criterio di coerenza” dicendo:«Due o più proposizioni sono contraddittorie se e solo se, dopo aver effettuato tutte le possibili sostituzioni, esseoriginano la scomparsa totale di un qualunque termine, positivo o negativo, dell’alfabeto logico.» (da Mangione& Bozzi, 1993).Applicando questo criterio si giunge ad una sorta di semantica i cui modelli sono i ‘costituenti’ e suquesta semantica si trattano problemi di coerenza, equivalenza, deducibilità, fra insiemi di proposizioni.Vediamo come viene trattato il sillogismo. Anche in questo caso l’unica relazione ammessa èl’uguaglianza e per questo il trattamento non si discosta troppo da quello booleano. Le proposizionicategoriche del sillogismo tradizionale diventano (anche qui con l’uso della qualità indefinita)A ‘Ogni A è B’ A = ABE ‘Nessun A è B’ A = AbI ‘Qualche A è B’ CA = CABO ‘Qualche A non è B’ CA = CAbJevons presenta un esempio di una procedura assai simile alla eliminazione di Boole, ma invece disvolgere calcoli algebrici sviluppa l’alfabeto logico. Si consideri l’equazione A = BC, come premessa;si vuole esprimere b in dipendenza di tale premessa. Dato che l’equazione viene scritta con trelettere, l’alfabeto logico è dato dagli otto elementi127

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicaABC, ABc, AbC, Abc, aBC, aBc, abC, abc.Giustapponendo ciascuno di questi otto termini, rispettivamente, con i due membri della premessa,sulla base delle leggi logicheTermine Primo membro della premessa A Secondo membro della premessa BC1) ABC ABC ABC2) ABc ABc ABCc3) AbC AbC ABbC4) Abc Abc ABbCc5) aBC AaBC aBC6) aBc AaBc aBCc7) abC AabC aBbC8) abc Aabc aBbCcIn rosso si sono indicati i termini contraddittori. Con lo sfondo rosa si indicano quelle che Jevonschiama “soggetto escluso” in quanto generano combinazioni contraddittorie sia col primo, sia colsecondo membro della premessa. Con lo sfondo azzurro si indica il caso del “soggetto incluso”,cioè termini non contraddittori con entrambi i membri della premessa. Nei casi di soggetto escluso oincluso, si dice che sono combinazioni possibili, mentre nel caso di contraddizioni si dice che è un“soggetto impossibile”. Questa distinzione riguarda il fatto che la premessa è un’uguaglianza, quindinon può accadere essa sia soddisfatta se uno dei due membri è un termine non contraddittorio el’altro membro lo è. La possibilità è pertanto relativa al fatto che possa sussistere l’uguaglianza.Cancellate ora le combinazioni contraddittorie si cercano le combinazioni possibili che contengonob e si considerano i simboli del linguaggio logico (nella seconda colonna) corrispondenti: abC eabc, si pone allora b = abc + abC. Questo procedimento è assai simile ai moderni metodi di decisionefondati sulle forme normali disgiuntive e ciò giustifica il fatto della costruzione di un meccanismoper svolgere il calcolo logico.Questo metodo ha molti punti di contatto con quello dei diagrammi di Venn, ed è perfettamenteleggibile in termini booleani sostituendo linguaggio logico con costituenti.Offre però la possibilità di interpretare in senso logico i coefficienti ‘frazionari’ di Boole come segue:si considerino le varie possibilità date dal soggetto contraddittorio, dal soggetto incluso e dalsoggetto escluso ad esse corrispondono, rispettivamente, i coefficienti booleani 0, 1/0, 0/0 o il simboloelettivo indefinito v. L’identificazione è ottenuta considerando quali sono i termini che Booleuguaglia a zero. Si è però osservato che questo procedimento di Jevons ha il pregio della uniformità,ma ha il difetto della complessità: se si considerassero tre equazioni contenenti, complessivamente,6 termini, l’alfabeto logico sarebbe formato da 2 6 = 64 termini e ciascuno di essi dovrebbe essere‘confrontato’ con entrambi i membri delle tre equazioni per un totale di 192 coppie tra cui distinguerei tre casi di soggetto. A favore dell’approccio di Jevons si nota che con l’introduzione delladisgiunzione non esclusiva scompaiono la sottrazione e la divisione, inoltre non c’è più bisogno di128

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010coefficienti numerici diversi da 0 e 1. Ma il suo maggior vanto è di avere individuato il ruolo dellalegge di assorbimento che sarà poi assioma chiave nella teoria dei reticoli.4.3.3. Venn e altri. Con Venn la Logica torna a Cambridge, dove il matematico insegnava in qualitàdi lettore di logica e scienze morali. Le sue idee pù interessanti sono contenute nelle due edizioni diSymbolic Logic, la prima del 1881 e la seconda del 1884. Si deve a Venn l’attributo di ‘simbolica’riservato alla logica che sarà fatto proprio dalla più importante associazione mondiale di logici: laAssociation of Symbolic Logic e della più importante rivista del settore edita da tale associazione,Journal of Symbolic Logic. Alcuni commentatori ritengono Symbolic Logic il primo compito tentativodi presentazione della logica formale, così come la si intende oggi.L’obiettivo dichiarato da Venn è«l’esame della logica simbolica, ossia le sue relazioni con la logica comune e il pensiero e il linguaggio comuni:la determinazione e spiegazione di ogni regola ed espressione simbolica generale sulla base di principi puramentelogici, piuttosto che semplicemente sulle loro giustificazioni formali; l’invenzione e l’impiego di un nuovoschema di notazione diagrammatica che risulterà in perfetta armonia con le nostre generalizzazioni.» (da Mangione& Bozzi, 1993)I rapporti tra Logica e Matematica non sono, a suo parere, quelli di una forte contrapposizione, comeinvece era stata presentata da Whewell, De Morgan e William Hamilton (con l’implicita presunzionedi una superiorità di una disciplina sull’altra), in quanto considera«[…] la logica simbolica e la matematica come branche di un linguaggio di simboli che posseggono alcune, anchese assai poche, leggi di combinazione in comune. Questa comunanza di legislazione o uso, nella misura incui esiste, è la nostra principale giustificazione per l’adozione di un sistema uniforme di simboli per entrambe»(da Mangione & Bozzi, 1993).Non si può neppure pensare che si possa sostituire la logica “comune” con la logica formale, quindila seconda non è una schematizzazione imprescindibile del modo di ragionare comune, ma solo unodei vari modi con cui si può ragionare.Per illustrare più nei dettagli la proposta di Venn, facciamo un cenno ai simboli da lui usati: le classivengono indicate con lettere minuscole e la negazione si segnala con un soprassegno, per cuil’equazione scrittax y rappresenta la classe degli elementi appartenenti a x e non a y. Questo mododi scrivere la negazione si è conservato, dal 1881 ad oggi, su alcuni manuali scolastici, anche se nelleriviste scientifiche e nei manuali universitari di Logica è quasi scomparso. Utilizza il simbolo 0,non l’universo del discorso. Tra le relazioni considera l’identità e una relazione d’ordine, indicatacon ‘>’. Con questi simboli scrive le proposizioni categoriche tradizionali come:A: x y = 0;E: xy = 0;I: xy > 0;O: x y > 0.129

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicaLa relazione d’ordine mette in luce l’aspetto esistenziale delle proposizioni particolari e questo portacon sé l’impossibilità di praticare la conversione per accidens delle proposizioni universali positivie quindi il rapporto di subalternità, riducendo il numero dei sillogismi corretti. Questi aspetti, dacui prenderà le mosse Schröder, sono un primo esempio di considerazione della cosiddetta logicalibera quella che prende in considerazione anche domini eventualmente vuoti (che, tra le altre cose,sacrifica localmente la proprietà transitiva dell’implicazione).Venn svolge molta della sua trattazione mediante diagrammi (che nella scuola italiana vengono dettidiagrammi di Eulero-Venn) per la conduzione e verifica delle inferenze. Si tratta però, come mettein luce l’autore stesso di un metodo affine ma diverso da quello proposto nelle Lettere ad unaprincipessa, perché tiene conto di una “quantità di informazione” delle premesse permettendo unaspecifica conclusione, analizzata in modo completo.I diagrammi di Venn sono rappresentazioni delle classi con parti di piano ed ogni possibile combinazioneè associata ad una diversa parte, rendendo così in un disegno quello che Jevons chiama “alfabetologico”. Un esempio è dato dal sillogismo (nella disposizione di De Morgan sull’ordine dellepremesse)Ogni uomo è animaleOgni animale è mortaleOgni uomo è mortaleCi sono tre classi (quattro se si considera anche l’universo del discorso, il corrispondente diagrammadi Venn è dato da:uomo*animalemortaleIn esso il rettangolo è la rappresentazione dell’universo del discorso e in molti casi non viene neppurerappresentato. Le parti tratteggiate rappresentano classi vuote, in quanto, sulla base delle premessenon vi sono uomini che non siano mortali né animali e non vi sono animali che non sianomortali. Purtroppo per difficoltà grafiche non è tratteggiata la parte che indica gli uomini mortaliche non sono animali. L’asterisco indica che la corrispondente classe (quella degli oggetti che sonomortali, animali e uomini non è vuota. Il confronto con il metodo ed i simboli di Jevons è presto fatto:130

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010aMUamuamUAmuAmUaMuAMUAMuIn questo modo risulta evidente l’equivalenza tra le proposte di Venn e Jevons.Il metodo diagrammatici è teoricamente applicabile ad un qualsiasi numero di termini e sarebbepossibile utilizzare una generica linea chiusa. Ma ben presto si vede che i cerchi (se si vuole che ildiagramma sia in sintonia con l’alfabeto logico) possono applicarsi solo con due o tre termini (cuicorrispondono, rispettivamente 4 e 8 simboli dell’alfabeto logico. Con quattro e cinque (quindi con16 o 32 simboli) non è possibile utilizzare cerchi, ma è possibile avvalersi di ellissi; aumentando ilnumero dei termini, la complessità aumenta in modo esponenziale e diviene assaidifficile individuare curve chiuse semplici opportune.Citiamo in breve che anche altri studiosi del Regno unito hanno dato contributi aquesti studi. Un analogo metodo diagrammatico (diagrammi di Carroll) fu propostoda Dodgson che nel 1896 pubblicò un trattato dal titolo Symbolic Logic.Più rilevante l’opera di McColl: partendo da considerazioni probabilistiche affrontai problemi della logica delle proposizioni, indipendentemente dalle classi, rovesciando il puntodi vista di Boole. Questi, infatti, nella presentazione assiomatica dell’algebra delle classi implicitamenteaccetta che sia possibile avvalersi di una argomentazione proposizionale: si pensi al privilegiodato ai simboli elettivi x, y,… rispetto alle proposizioni corrispondenti X, Y,… Le leggi delcalcolo sono relative alle classi e solo occasionalmente si fa ricorso alle proposizioni.Il rovesciamento completo, vale a dire la subordinazione delle algebra delle classi al calcolo logicodelle proposizioni, sarà evidenziato da Frege nel 1879, ma già nel 1872 era stato affrontato daMcColl, seppure in modo non completamente esauriente. Per l’autore della Gran Bretagna, il momentologico fondamentale è la fase enunciativa, si deve però superare la predominanza data dallinguaggio comune al nesso soggetto – predicato. Pone la sua attenzione alla frasi condizionali deltipo ‘se A allora B’. Per l’implicazione egli usa il simbolo ‘:’, ma non accetta la interpretazione filonianadell’implicazione perché in questo modo si costituirebbero legami logici tra enunciati che nonsono logicamente necessari, ma dipendono dalla specificazione delle circostanze in cui si realizzano.McColl si attesta su una posizione vicina all’interpretazione dell’implicazione maturata da DiodoroCrono. Per questi motivi si colloca tra i precursori delle logiche modali e libere.Charles Dodgson(1832 – 1898)131

Capitolo 4Il contributo Boole alla logica4.3.4. Peirce e Schröder. Dall’esame sommario di cosa è accaduto già nel Regno Unito dopo lacomparsa delle opere di Boole si può cogliere una lenta evoluzione della ricerca in direzioni chesempre più si distaccano dai presupposti che sono alla base della Algebra della Logica, per approdaread altri lidi. La Mathematical analysis e le Laws rimangono comunque una sorta di fondamentocomune e pietra di paragone accettato dai ricercatori, seppure per criticarle e per migliorarne variaspetti, ma mai per rifiutarle. L’importanza delle opere di Boole (e di De Morgan) è tale da condizionarepesantemente la ricerca in Gran Bretagna, per cui gli aspetti più innovativi, provengono daaltri paesi (e da altre lingue). Si distinguono per originalità, acutezza e varietà gli apporti di Peirce(negli Stati Uniti) all’Algebra della Logica, mentre una sistemazione organica la si deve a Schröder(in Germania) e si può considerare il complesso degli scritti di questi due autori come l’analogo diquanto fece Paolo Veneto per la Logica della Scolastica, ma con l’aggiunta di nuove idee e linee disviluppo.I due pensatori ebbero numerosi rapporti epistolari, l’americano lesse e recensì le opere di Schröder;il tedesco, sistematico e pignolo traduce in modo operativo le suggestioni ed idee che gli provengonodal collega. Di fatto Peirce si muove in un ambito più indipendente da Boole, grazie ad una personalee profonda speculazione, Schröder è invece culturalmente più legato alle proposte booleane,che assume come unico metodo di ragionamento.4.3.4.1. Peirce. Figlio di un matematico che insegnava ad Harvard, dopo aver ottenuto i titoli accademiciin quella università, si applica alla statistica per conto di una agenzia statale, si dedicaall’insegnamento in varie università per singoli anni, alcune volte. Dal 1891, quindi a 52 anni divieneinsegnante presso la John Hopkins University di Boston e qui intorno a lui si forma un gruppo distudiosi che poi hanno avuto fama in campo matematico o in campo filosofico. Come filosofo è riconosciutoil fondatore del pragmatismo americano.La maggior parte dei suoi scritti rimasero inediti, ma le sue idee circolarono negli ambienti scientifici.La raccolta Collected papers, apparsa postuma, pubblicata in otto volumi dal 1931 al 1958, hadue volumi dedicati alla logica: Elements of logic e Exact logic. In essa sono presenti due scritti abbastanzasistematici, rimasti incompiuti, The grand logic o How to reason: a critic of arguments etre capitoli di Minute Logic.Nelle opere logiche di Peirce, di difficile lettura proprio per la loro a-sistematicità e la ricchezza dispunti, si individuano tre principali filoni di ricerca:1. Approfondimento e sistemazione del calcolo booleano nel contesto più ampio di una chiarificazionedei rapporti tra logica e matematica.132

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/20102. Interpretazione proposizionale del calcolo booleano con anticipazione dirisultati ritrovati indipendentemente da Frege, Henry Maurice Sheffer(1883 – 1964) e Wittgenstein.3. Impostazione e sviluppo della logica delle relazioni con notevoli anticipazionisulle opere di Russell e Frege, anticipando la sistemazione logicistadella logica.Nel primo filone di indagini, Peirce elaborò una serie di dodici scritti a partire dal1867, cioè dall’età di 28 anni, e continuò fino al 1902. Si tratta quindi di una costantepresenza nella sua ricerca. Boole aveva individuato la somma esclusiva eper mezzo di essa poteva introdurre la differenza, nel senso che se a + b = c alloraa = c – b, e così pure con il prodotto logico, se ab = c, allora a = c/b. Però questeoperazioni si comportano diversamente dalle operazioni numeriche. Ad esempio se con [x] si indicail numero (naturale - cardinalità) degli elementi che appartengono alla classe x, si ha [a+b] = [a]+ [b] e [a-b] = [a] - [b], purché sia soddisfatta la condizione di disgiunzione proposta da Boole.Quindi le operazioni di addizione logica e l’operazione inversa differiscono da quelle aritmeticheper il solo fatto di avere per elementi classi (e di conseguenza sono connesse a proprietà dei cardinalianche trasfiniti). Ben diversa è la posizione del prodotto logico e della operazione inversa. Si hainfatti [ab] = [a]×[b] solo se i valori numerici coinvolti sono 1 e 0, quindi se si sta trattando di classivuote o singoletti, ma in questo caso se a ≠ b, si ha che la classe ab è vuota, mentre [a]×[b] = 1. A-naloghe osservazioni per l’operazione inversa, con in più la condizione che potrebbe apparire anche0 a denominatore.Peirce era a conoscenza della proposta di Jevons di introdurre la somma non disgiuntiva, ma proponeuna strada diversa, anche se si rifà alla somma non disgiuntiva, ma da utilizzare solo in presenzadi identità. Queste considerazioni servono a Peirce per ‘disancorare’ la logica dalla matematica. Adesempio afferma che le operazioni inverse non hanno significato logico ed in particolare propone,con la sua scrittura, le due leggi a +,a = a e a,a = a, che mettono in evidenza una simmetria delleoperazioni già proposta da Jevons.Un ulteriore passo nella separazione tra logica e aritmetica è l’introduzione della inclusione, chenon ha una controparte aritmetica. Il simbolo utilizzato è ⎯< che esplicita essere una relazionetransitiva e antisimmetrica, quindi si tratta della stessa relazione che oggi, solitamente, si indicacome x ⊆ y. Con questo ottiene una sistemazione dell’algebra delle classi assai vicina a quella inuso oggi. Poi Peirce si accorge che la nuova relazione ha un aspetto importante: può essere posta afondamento di tutto il calcolo perché (essendo di fatto una relazione d’ordine tra le classi) permettedi definire la somma (unione) di due classi come il loro estremo superiore e il prodotto di due classi133Ludwig Wittgenstein(1889 – 1951)Bertrand Russell(1872 – 1970)

Capitolo 4Il contributo Boole alla logica(intersezione) come l’estremo inferiore delle due classi. Privilegiare così l’inclusione anticipa il trattamentoreticolare delle algebre di Boole (non ancora esplicitamente definite) e permette di assumerel’operazione logica di implicazione (filoniana) a fondamento.Per quanto riguarda il secondo filone di indagini, Peirce si accorge che la relazione A ⎯< B, da intendereora come “A implica B” o “se A è vero, allora B è vero”, non è applicabile solo alle proposizionicategoriche, ma anche alle proposizioni “ipotetiche”, vale a dire quelle in cui compaiono deiconnettivi (si veda 2.6.1.), purché si consideri l’interpretazione filoniana, che tra l’altro giustificaanche con motivazioni storiche. Successivamente realizza che si può impostare il calcolo (implicativo)con l’uso della sola regola del modus ponens. Questo avviene in uno scritto datato al 1885,quindi successivo alla pubblicazione nel 1879 del Begriffschrift – Eine der arithmetischen nachgebildeteFormelsprache das reinen Denken, ma pare che l’elaborazione di Peirce sia del tutto indipendente(anche come simboli) da quella di Frege.In uno scritto del 1880, il filosofo e matematico statunitense propone che invece di usare i segni =,> (come Venn, per esprimere le particolari), +, ×, -, 1, 0, uno solo, anticipando così lo “stroke” diSheffer del 1913. Peirce usa le tavole di verità, prima che siano esplicitate daSchröder e da Wittgenstein, per provare che una proposizione è tautologica edanticipa il metodo del controesempio, che sarà parte essenziale delle tavole diBeth . Dice Peirce:«Una proposizione della forma x ⎯< y è vera se x = f o y = v. Una proposizione della formaEvert Willem Beth ( x ⎯< y) è vera se x = v e y = f. Di conseguenza, per trovare se una formula è necessariamentevera [è una tautologia] si sostituiscono v e f alle lettere e si veda se può essere supposta(1908 – 1964)falsa mediante ognuno di tali assegnamenti di valore. Prendiamo ad esempio la formula(x⎯

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010C : A C : B C : C …… … … …Peirce definisce un “relativo generale” come un aggregato di un certo numero di relativi individuali.L’esempio è “… amante di ---”, indicata con l e si scrivel ( l)i j ij ( I : J )= ∑ ∑ove (l) ij è un coefficiente numerico che assume 0 o 1, secondo che I non sia amante o sia amante diJ. Con il linguaggio odierno, sarebbe una relazione binaria sottinsieme di un prodotto cartesiano dicui (l) ij è la funzione caratteristica di l. I simboli di somma sono un modo di indicare l’insieme definitomediante elencazione. Però la lettura di oggi tradisce il senso che Peirce dà ai simboli: il relatonon è considerato come una classe perché un relativo generale è una sorta di relativo individuale (unacoppia ordinata) non specificata. Così non si supera un problema già presente in De Morgan, diutilizzare lo stesso simbolo per indicare la classe o l’individuo che sta nelle relazione. Il simbolo(l) ij è visto come una funzione proposizionale, ove gli indici hanno il ruolo di variabili, è quindi dapensare come “i è amante di j” che può essere vera o falsa in corrispondenza dei valori che assumonoi e j, tra gli individui dell’universo del discorso. Peirce non si accontenta di questo, ma estende aqueste funzioni le operazioni logiche, facendo così il primo esempio di calcolo proposizionale.Anzi introduce anche la quantificazione, così come la si intende oggi, a partire da un lavoro del1883, identificando la possibilità di considerare forme prenesse e chiarendo il ruolo fondamentale di‘qualche’ e di ‘tutti’I lavori che presentano questi importanti risultati sono successivi al 1879, ma è assai probabile chesiano frutto delle riflessioni dell’americano indipendenti da Frege. Ma è anche da pensare che Fregeera allora considerato un filosofo e non si era ancora rivelato appieno il contenuto matematico dellasua opera, tanto che suoi lavori e le sue idee furono a lungo quasi ignoti ai matematici suoi contemporanei(e anche conterranei) o, se noti, valutati con poca attenzione.In realtà alcune delle idee di Frege erano implicite nel testo di Dedekind del 1888, Was sind undwas sollen di Zahlen? che era influenzato dalla posizione logicista di Frege, testo che Peirce conosceva.E contro l’interpretazione logicista della Logica, l’americano prende netta posizione. Questorifiuto da parte di Peirce che forse, professionalmente, doveva essere più sensibile alle idee filosoficheche tale approccio sottintende, furono invece da lui non accettate, dato che egli riteneva logica ematematica come una sorta di ricerca strutturale sul simbolismo. La possibile analisi e revisione criticadella matematica mediante la logica, secondo l’americano, non fa assumere a questa un ruolofondante della matematica stessa, considerando, di fatto, la logica come parte della matematica (retaggiobooleano).135

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicaPeirce ha poi un netto atteggiamento contro lo psicologismo che allora era sostenuto dai più famosilogici, e anche da Schröder ed in generale dalla logica europea, allora assai lontana dalla tesi diBolzano che la logica ha una natura oggettiva che ha per oggetto la verità in sé e le proposizioni insé, cioè rivolta all’oggetto del pensiero e non alle modalità del pensiero.Peirce ha avuto il ruolo di anticipatore di molti temi e ricerche che saranno sviluppate nella Logicamatematica del XX secolo. La scarsa produzione pubblicata da lui in vita non ha certo contributo ametterne in luce le sue doti di pensatore, e per questo è più famoso al grande pubblico come filosofoche come matematico.4.3.4.2. Schröder. Fu professore a Karlsruhe dal 1876 al 1902 e sicuramente ha dato un importantecontributo all’Algebra della Logica. Nella prima opera pubblicata nel 1877 su temi di logica, adottala posizione di Jevons riguardo alla considerazione della disgiunzione non esclusiva identificandol’importante (meta)legge di dualità (termine usato in senso diverso da Jevons) che permette discambiare somma logica (inclusiva) e prodotto logico, 1 e 0, ‘raddoppiando’ in questo modo i teoremi.Già in questa prima opera compaiono tutti i connotati della Algebra della Logica come è intesaoggi, anche se la presentazioni più rifinita compare nei tre volumi delle Vorlesungen über die Algebrader Logik (exacte Logik) pubblicati tra il 1890 e il 1905, quindi in parte postumi, destino cheebbe il secondo tomo della seconda parte, uscito nel 1905. Anche altre opere di Schröder sono statepubblicate nel 1910.La sistemazione della Algebra della Logica, dovuta all’autore tedesco, oggi non appare più moltointeressante, ma si tenga conto che ha costituito un punto di riferimento per la ricerca di molti altrilogici che si sono formati sui suoi testi. Sono più interessanti le motivazioni e le concezioni di fondoche traspaiono dagli scritti, e che giungono a giustificare un’opera così complessa e completa.Per Schröder la logica è un’indagine sulle «regole seguendo le quali si ricerca la conoscenzadella verità», ma in questo modo, visto che la conoscenza è un atto delpensiero, oggetto della logica è «il pensiero in quanto ha come suo fine ultimo il conoscere».Sono questi, appunto gli aspetti psicologistici che non trovavanod’accordo Peirce, e che il matematico tedesco deriva dal filosofo Sigwart.L’ideale di Schröder, che ispira la sua opera, è quello di:Cristoph von Sigwart(1830 – 1904)«portare alla coscienza le leggi del pensiero consequenzialmente corretto, di dar loroun’espressione generale che sia la più semplice possibile, di ridurle al minor numero di principi o assiomi e, soprattutto,di improntare tale pensiero ad una consapevole abilità» (da Mangione e Bozzi, 1993).Egli ritiene i tempi ormai maturi per una sistemazione migliore e perfezionata dell’intera Algebradella Logica, raccogliendo i risultati venutisi a stabilire dopo la pubblicazione delle opere di Boole.Con questo non ritiene che la materia sia una disciplina ormai completamente ‘sfruttata’ e chiusa in136

C. Marchini – Appunti delle lezioni di Fondamenti della Matematica Anno Accademico 2009/2010sé, anzi prospetta per essa uno sviluppo ulteriore illimitato. Progetta di discutere e commentare tuttii lavori usciti sull’argomento, allo scopo di preparare il terreno per gli ulteriori sviluppi, di cui si diceva.Così le Vorlesungen divengono essenziali come punto di riferimento sui quanto già fatto, main esse compaiono notevoli contributi tecnici, importanti e chiarificanti osservazioni delle opere dichi l’ha preceduto con una visione corretta della loro importanza.Alcuni commentatori hanno suggerito che questa esigenza di completezza ha, di fatto, fatto perderea Schröder l’occasione di una visione critica generale della logica del suo tempo, come mostra ilsuo atteggiamento nei confronti di Frege.Il punto di partenza dell’opera del matematico tedesco è il calcolo delle classi, quindi si muove inambito estensionale, ad esso tuttavia viene ricondotto l’aspetto intensionale considerando proposizionicon l’aggiunta di un postulato di bivalenza: «se x ≠ 1, allora x = 0 e se x ≠ 0, allora x = 1».Ma così facendo egli considera esclusivamente l’algebra di Boole 2, vincolando l’universo a conteneresolo due elementi. Può così introdurre in modo sistematico le tavole di verità per la valutazionedelle formule proposizionali.Il calcolo delle classi viene da lui chiamato “calcolo identico” per cui parla di somma e prodotto i-dentici e non di somma e prodotto logici, ciò perché per lui il calcolo delle classi è una sorta di disciplinaausiliaria, puramente matematica, che precede la logica.Anche se riprende da Boole numerosi concetti, si mette al riparo dai punti deboli che abbiamo evidenziatonell’opera dell’autore inglese, ad esempio le operazioni inverse e la non interpretabilità deisingoli passaggi. Gli aspetti più innovativi sono dati dall’introduzione della classe vuota, vista comeuna classe e non solo come etichetta del ‘Niente’, assume l’inclusione (che chiama “sussunzione”)come relazione fondamentale, usa costantemente la legge di dualità e si avvale di una esposizionedettagliata, minuziosa e precisa. Egualmente la lettura delle Vorlesungen non è agevole perl’intricata rete di considerazioni tecniche con altre intuitive e di carattere informale, presentate assiemein modo inestricabile. Un esempio di questo tipo è la discussione fatta da Schröder sul concettodi universo del discorso come presentato da Boole. Di essa mostra che può condurre a contraddizioni(anticipando in tal modo i paradossi matematici) e nella sua analisi presentatemi che saranno ripresi da Russell nella formulazione della teoria dei tipi, inquanto propone una sorta di gerarchia dell’universo del discorso. Altra importantedistinzione (che verrà ripresentata da Cantor ) è la distinzione tra molteplicità coerentie incoerenti. Questi aspetti sono stati introdotti da Schröder in modo del tuttoindipendente dalle antinomie della teoria degli insiemi.Georg Cantor(1845 – 1918)137

Capitolo 4Il contributo Boole alla logicaPer quanto riguarda la logica delle relazione Schröder esplicitamente si rifà a Peirce, ma la materiaviene presentata dal tedesco con la sistematicità che gli è propria e con la completezza che non sipuò riscontrare nell’americano.Il terzo volume delle Vorlesungen è stato il punto di riferimento per tutti i logici, come simbolismoAlfred North Withehead(1861 – 1947)e come concetti per una decina di anni, fino alla pubblicazione dei PrincipiaMatematica di Russell e Whitehead.Sono da notare due punti importanti: Schröder presenta una applicazionedella teoria delle relazioni alle ‘catene’ di Dedekind ed al processo di inferenzaper induzione matematica ad esse associato, ma il tentativo risulta abbastanzacomplicato e poco chiaro senza alcun vantaggio rispetto alla trattazionemediante ricursione.Un secondo esempio, più rilevante, è il tentativo di stabilire la validità ‘assoluta’ (indipendente daldominio di interpretazione) di una formula, ciò mediante un opportuno procedimento di decisione.Ed anche se pure questo tentativo non ha avuto successo, è stato poi ripreso da altri logici. Nel 1907Leopold Löwenheim(1878 – 1957)Alvin Korselt dimostra che la congettura che esista una siffatta procedura didecisione, è non applicabile a classi di formule, ma è proprio a partire da questorisultato negativo che Löwenheim dimostra nel 1915 in Über Möglichkeitenim Relativkalkül il primo teorema limitativo della Logica moderna.L’opera sistematica di Schröder ha mostrato in modo inconfutabile che lacomplessità della trattazione algebrica non era seguita da un approfondimentodi contenuti nella Logica e nella sua interpretazione filosofica. C’era dunquebisogno di lasciare questa via ed inoltre, invece di appropriarsi di vari ‘frammenti’ di sistemi filosoficiprecostituiti, bisognava affrontare il simbolismo che sembrava reggere tutta l’impalcatura dellalogica. Da un punto di vista filosofico diverso. Si può dire che ciò fu compiuto da Peirce e se la disorganicitàdelle sue proposte poteva sembrare, alla fine del XIX secolo una pecca nei confronti dellaproposta elaborata da Schröder, poi si è potuto apprezzare che la ricchezza dei contenuti ( e nondelle tecniche) era a favore dell’americano. Uguale paragone può essere fatto sostituendo al posto diPeirce, Frege, perché anche il filosofo ha contribuito maggiormente allo sviluppo della Logica.Ma l’Algebra della Logica, sviluppatasi fino alla sua sistemazione nelle Vorlesungen, assiemeall’impostazione logicista è stata poi il motore primo per la nascita, negli anni ’30 del XX secolo,della Logica algebrica, cui si deve la teoria dei reticoli, e di qui, filtri e ideali, strumenti poi applicatoin vari campi della Matematica, l’Algebra universale ed una parte consistente della Metamatematica.138