L'Ultimo teorema di Fermat e le terne Pitagoriche - atuttoportale

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AbstractIn this paper, we show an arithmetic and geometry property of Fermat's last theoremby powers greater than two applied to Pythagorean triples.IntroduzioneIn questo lavoro didattico è illustrato un aspetto aritmetico e geometrico dell’ultimoteorema di Fermat attraverso potenze maggiori di due applicate alle terne pitagoriche.Terne Pitagoriche2 2 2Le terne di numeri naturali a , b,cper le quali vale l’eguaglianza a b c sidicono “Terne Pitagoriche”.Ad esempio le terne 3 ,4,5, 5 ,12,13e 7 ,24,25sono pitagoriche, infatti:2 23 42 52 23 4 9 16 255 2 252 25 122132 25 12 25 14416913 2 1692 27 242 252 27 24 49 576 625 25 2 625Per il teorema di Pitagora, il quale afferma che “In un triangolo rettangolo, l'area delquadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadraticostruiti sui due cateti.”, se i tre lati di un triangolo rettangolo sono interi allora laterna formata dalla misura dei tre lati è una terna pitagorica. Infatti, la virtù pitagoricadi queste terne prende il nome proprio dal teroema appena citato.3551372541224Esistono infinite terne pitagoriche ed Euclide formulò una regola generatrice perdeterminare appunto infinite terne di questo tipo:m2 22 2 n , 2mn,m n è una terna pitagorica se m,n Nm n2
L’ultimo teorema di FermatL’ultimo teorema di Fermat prende il nome dal matematico e magistrato francesePierre de Fermat che nell’anno 1637 ne formulò l’ipotesi e cioè che non esistonon n nsoluzioni all’equazione diofantea a b c quando n è maggiore di 2.É facile comprendere che se n 2 esistono infinite soluzioni dell’equazione2 2 2a b c che sono appunto le terne pitagoriche.Questo teorema è divenuto celebre grazie al fatto di essere rimasto indimostrato peroltre 3 secoli. Nomi come Eulero, Legendre e Sphie Germain hanno fallito neltentativo di formulare una dimostrazione. Solo nel 1993, dopo un lavoro durato 7anni, il matematico britannico Andrew Wiles dimostra definitivamente il teorema. Inonore di questa dimostrazione i matematici si riferiscono a questo teorema come ilteorema di Fermat-Wiles.Terne Pitagoriche con Potenza n-simaPer il teorema di Fermat-Wiles e per le formule di Eulero, le soluzioni all’equazionen n ndiofantea a b c si ottengono solo per n 2 . Infatti, per i cubi, e tutte le altrepotenze, invece questo non succede mai.Osserviamo aritmeticamente cosa succede alle terne pitagoriche quando applichiamouna potenza maggiore di 2.Ad esempio prendiamo la terna pitagorica più piccola 3 ,4,5: n 22 23 4 9 16 25 5 2 25 25 25 0 n 33 33 4 27 64 91 5 3 125 125 91 34 n 44 43 4 81256 337 5 4 625 625 337 288 n 55 53 4 243 102412675 5 3125 3125 1267 1858A partire dalla potenza 2, al crescere della potenza cresce anche la differenzan n nc a b . Per la stessa natura delle funzioni esponenziali, questo andamento ètipico di tutte le terne pitagoriche.Verifichiamo!Prendiamo la nostra equazione,n n n b c , se a b,can n nn 2 per il quale la differenza c a b 0., è una terna pitagorica risulta3
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