L'Ultimo teorema di Fermat e le terne Pitagoriche - atuttoportale

L’Ultimo teorema di Fermat e le ternePitagoricheAspetto aritmetico e geometricoA cura diFrancesco Di NotoEugenio Amitrano( http://www.atuttoportale.it/)Contenuti dell’articolo:TitoloPag.‣ Abstract . . . . . . . . . 2‣ Introduzione . . . . . . . . 2‣ Terne pitagoriche . . . . . . . . 2‣ L’ultimo teorema di Fermat . . . . . . 3‣ Terne pitagoriche con potenza n-sima. . . . . 3‣ Aspetto geometrico . . . . . . . 4‣ Conclusioni . . . . . . . . 5‣ Riferimenti . . . . . . . . 5

AbstractIn this paper, we show an arithmetic and geometry property of Fermat's last theoremby powers greater than two applied to Pythagorean triples.IntroduzioneIn questo lavoro didattico è illustrato un aspetto aritmetico e geometrico dell’ultimoteorema di Fermat attraverso potenze maggiori di due applicate alle terne pitagoriche.Terne Pitagoriche2 2 2Le terne di numeri naturali a , b,cper le quali vale l’eguaglianza a b c sidicono “Terne Pitagoriche”.Ad esempio le terne 3 ,4,5, 5 ,12,13e 7 ,24,25sono pitagoriche, infatti:2 23 42 52 23 4 9 16 255 2 252 25 122132 25 12 25 14416913 2 1692 27 242 252 27 24 49 576 625 25 2 625Per il teorema di Pitagora, il quale afferma che “In un triangolo rettangolo, l'area delquadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadraticostruiti sui due cateti.”, se i tre lati di un triangolo rettangolo sono interi allora laterna formata dalla misura dei tre lati è una terna pitagorica. Infatti, la virtù pitagoricadi queste terne prende il nome proprio dal teroema appena citato.3551372541224Esistono infinite terne pitagoriche ed Euclide formulò una regola generatrice perdeterminare appunto infinite terne di questo tipo:m2 22 2 n , 2mn,m n è una terna pitagorica se m,n Nm n2

L’ultimo teorema di FermatL’ultimo teorema di Fermat prende il nome dal matematico e magistrato francesePierre de Fermat che nell’anno 1637 ne formulò l’ipotesi e cioè che non esistonon n nsoluzioni all’equazione diofantea a b c quando n è maggiore di 2.É facile comprendere che se n 2 esistono infinite soluzioni dell’equazione2 2 2a b c che sono appunto le terne pitagoriche.Questo teorema è divenuto celebre grazie al fatto di essere rimasto indimostrato peroltre 3 secoli. Nomi come Eulero, Legendre e Sphie Germain hanno fallito neltentativo di formulare una dimostrazione. Solo nel 1993, dopo un lavoro durato 7anni, il matematico britannico Andrew Wiles dimostra definitivamente il teorema. Inonore di questa dimostrazione i matematici si riferiscono a questo teorema come ilteorema di Fermat-Wiles.Terne Pitagoriche con Potenza n-simaPer il teorema di Fermat-Wiles e per le formule di Eulero, le soluzioni all’equazionen n ndiofantea a b c si ottengono solo per n 2 . Infatti, per i cubi, e tutte le altrepotenze, invece questo non succede mai.Osserviamo aritmeticamente cosa succede alle terne pitagoriche quando applichiamouna potenza maggiore di 2.Ad esempio prendiamo la terna pitagorica più piccola 3 ,4,5: n 22 23 4 9 16 25 5 2 25 25 25 0 n 33 33 4 27 64 91 5 3 125 125 91 34 n 44 43 4 81256 337 5 4 625 625 337 288 n 55 53 4 243 102412675 5 3125 3125 1267 1858A partire dalla potenza 2, al crescere della potenza cresce anche la differenzan n nc a b . Per la stessa natura delle funzioni esponenziali, questo andamento ètipico di tutte le terne pitagoriche.Verifichiamo!Prendiamo la nostra equazione,n n n b c , se a b,can n nn 2 per il quale la differenza c a b 0., è una terna pitagorica risulta3

n n nLa funzione c a b a c è crescente per n 2nn b c n, infatti, se dividiamo tutto per cotteniamo 1 che è a sua volta una funzione crescente per 2Essendo , b cuna terna pitagorica sappiamo che aa ,b0 1, pertantoca c nn b c a cne b cnc e bn .c quindi 0 1 e casono funzioni decrescenti e conferma la crescenza din n n1 che a sua volta conferma la crescenza di c a b .Aspetto geometricoCome abbiamo visto prima, nel paragrafo “Terne Pitagoriche”, geometricamente unaterna pitagorica corrisponde alle misure intere dei 3 lati di un triangolo rettangolo, incui l’area del quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree deiquadrati costruiti sui due cateti. Per quanto abbiamo osservato invece nel paragrafo“Terne Pitagoriche con potenza n-sima” possiamo affermare che il volume del cubocostruito sull’ipotenusa e minore della somma dei volumi dei cubi costruiti su duecateti.4

In questo caso n 3 ed n esprime il numero delle dimensioni della figura geometricacostruita sui lati del triangolo. Di conseguenza per n 3 le figure che andremo acostruire sui lati del triangolo rettangolo sono degli ipercubi.Più in generale, essendo l'ipercubo una forma geometrica regolare immersa in unospazio di quattro o più dimensioni ( n 3 ), possiamo dire che in ogni triangolorettangolo, qualunque ipercubo costruito sull’ipotenusa ha l’ipervolume minore dellasomma degli ipervolumi degli ipercubi costruiti sui due cateti.ConclusioniGli aspetti descritti nel presente articolo non mostrano elementi utilizzabili performulare un’alternativa dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat ma illustra unasimpatica proprietà della funzioni esponenziali legata all’equazione diofantea diFermat applicata alle terne pitagoriche che si riflette geometricamente sui triangolirettangoli e sul teorema di Pitagora.Riferimenti1) Terna PitagoricaWikipediahttp://it.wikipedia.org/wiki/Terna_pitagorica2) Ultimo teorema di FermatWikipediahttp://it.wikipedia.org/wiki/Ultimo_teorema_di_Fermat5