Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL.—————————————————————————————————————ordine, innestando quindi un processo degenerativo secondo cui più elevato è il grado del momento percui si è derivata l'equazione, maggiore è il numero di nuove incognite coinvolte, tutte costituite damomenti di ordine superiore al momento desiderato. Questo è il ben noto problema della chiusuradelle equazioni fluidodinamiche che per primi misero in evidenza Keller e Friedmann nel 1924 e cheporta alla conclusione che il sistema di equazioni fluidodinamiche descrittive del PBL non puòessere mai chiuso congruentemente con la visione stocastica del PBL. Questo non significa che taleapparato matematico non possa portare ad un modello operativo per la previsione dell'evoluzionespazio-temporale del PBL.Come sarà più chiaro nel seguito, riveste comunque notevole importanza poter disporre di equazioniprognostiche per i momenti del secondo ordine. Per arrivare a ciò la procedura operativa consisteprima di tutto nel ricavare delle equazioni per le fluttuazioni delle variabili e successivamente, conl’introduzione dell’operatore media, generare le equazioni dei momenti desiderati. Non dedurremoqueste equazioni prognostiche (operazione algebrica noiosissima). Chi fosse interessato alla lorodeduzione (soprattutto alla deduzione delle equazioni per i momenti del secondo ordine) può trovare idettagli in Stull (1989) e Sorbjan (1989). Per l’importanza applicativa rivestita, qui presentiamosinteticamente l’equazione prognostica per la varianza della temperatura potenziale virtuale e perl’energia cinetica turbolenta che è la semisomma delle varianze delle tre componenti del vento.2.3.1 LA VARIANZA DELLA TEMPERATURASenza entrare nei dettagli della sua derivazione (Stull, 1989; Sorbjan, 1989), l’equazione prognostica perla varianza della temperatura è la seguente:∂θ′∂t*′∂u′θ ′ ⎛ ⎞⎟∂Qj2 θ ′⎟⎝ ⎠∂xj2 22∂θ′ ∂θjuju⎜ 2+ = − θ ′ ′j− − 2εΘ−∂xj∂xj∂x⎜jρCp[2.41]Ogni termine della relazione precedente rappresenta un processo specifico che interviene neldeterminare la varianza della temperatura. In particolare:• primo termine: è il termine prognostico, cioè la variazione temporale locale;• secondo termine: è il termine avvettivo;• terzo termine: è il termine di produzione, associato ai moti turbolenti, dovuti al gradiente ditemperatura;• quarto termine: rappresenta il trasporto turbolento di varianza di temperatura. Si noti che questo èun momento terzo;• quinto termine: è il termine di dissipazione molecolare che vale:2⎛ ' ⎞⎜ ∂θε Θ = ν Θ⎟[2.42]⎝ ∂xj ⎠dove ν Θ è la diffusività molecolare termica;—————————————————————————————————————- 75 -