Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL.—————————————————————————————————————∂ v ∂v∂v'u'j+ uj= + fc( ug− u)−[2.39b]∂t∂x∂xj⎛*Q ⎞'∂θ∂θ1u ′ju⎜ ∂ ∂jLvE ⎟θ3+ = − ⋅ + −∂t∂xj ρC⎜ ∂z⎟ ∂xpj⎝ ⎠∂ qT∂qST q∂u'jq'TT+ uj= −∂t∂xρ ∂x∂ c+ u∂tj∂c∂xjj= Sc∂u'j−∂xjc'jj[2.39c][2.39d][2.39e]p= ρ ⋅T vR[2.39f]∂uj= 0∂x[2.39g]jNon è difficile accorgersi che questo sistema di equazioni non è un sistema chiuso, dato che il numerodi equazioni è inferiore al numero di variabili presenti. In pratica, l’adozione dell’ipotesi di Reynolds el’applicazione dell’operatore media ha generato un modello prognostico per le variabili medie, misurabiliin pratica, che però ha bisogno dei momenti centrali del secondo ordine (varianze e covarianze).Da ultimo esaminiamo il caso in cui si stia trattando una situazione caratterizzata da una spiccataomogeneità orizzontale. In questo caso ogni ∂/∂x e ∂/∂y sarà nulla e nell’ipotesi ancora più semplice incui venga ignorata la subsidenza, le relazioni precedenti si semplificano nel modo seguente:∂ u= − f∂t∂ v= + f∂tcc∂ θ 1= −∂tρC∂ qT∂t∂ c= S∂tSqT=ρc( v − v)g∂ u'w'−∂z[2.40a]− u∂ v'w'−∂z[2.40b]⎛*Q ⎞⎜ ∂3 w ′LvE ⎟ ∂ ' θ⋅ + −⎜ ∂z⎟ ∂z⎝ ⎠[2.40c]( u )gp∂ w'q'−∂z∂ w'c'−∂zT[2.40d][2.40e]2.3 LE EQUAZIONI PER I MOMENTI DEL SECONDO ORDINENelle equazioni prognostiche delle variabili medie derivate precedentemente compaiono i momenti delsecondo ordine che non sono noti a priori e, in generale, non sono nemmeno trascurabili. Anche per essiè possibile ricavare delle equazioni prognostiche che si derivano (operazione algebrica semplice, maestremamente laboriosa) dalle equazioni di conservazione per le variabili istantanee e dall'introduzionedell'ipotesi di Reynolds. Se queste nuove equazioni non contenessero ulteriori incognite, il sistemarisulterebbe chiuso. Sfortunatamente, si dimostrerà che queste equazioni introducono momenti del terzo—————————————————————————————————————- 74 -