Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL.—————————————————————————————————————comporta che:∂ u ′j∂uj+∂x∂xjj= 0[2.25]Mediando questa relazione, l’ultimo termine risulta nullo e quindi si ha che:∂ uj∂xj= 0[2.26a]Sottraendo la (2.26a) dalla (2.25), si ottiene l’equazione di continuità per variabili turbolente:∂u′∂xjj= 0[2.26b]Quanto ottenuto sta a significare che la forma matematica con cui si presenta l’equazione di continuitàscritta per le variabili medie è del tutto identica all’analoga equazione scritta per le variabili istantanee;ciò è ovviamente vero solo se si assume valida l’ipotesi di incomprimibilità. In questo caso, inoltre, èinteressante notare come l’equazione di continuità rappresenti una relazione diagnostica sia per lecomponenti medie del vento che per le rispettive fluttuazioni.2.2.4 LA CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTODall’ipotesi di Reynolds, la componente u i del vento (u, v, w) risulta pari a u i = u +u i ’. Anche lapressione p potrà essere decomposta in modo analogo (p= p +p’) ed anche la densità (ρ = ρ +ρ’). Seconsideriamo ora la (2.13), l’applicazione dell’operatore media (di insieme) porta a:∂( ui+ u'i) ∂( ) ( ui+ u'i)+ u + u'⋅ = −δg + f ε ( u + u')∂tjj∂xji31 ∂− ⋅ρ + ρ'cij32( p + p') ∂ ( ui+ u'i )∂xij+ ν ⋅j∂x2j[2.27]Il problema sta ora nel realizzare effettivamente le mediazioni indicate. Prima di ciò, va sottolineatoche, se si trascura uno strato molto sottile di PBL a stretto contatto col suolo e di spessore dell’ordinedel millimetro, l’ultimo termine della (2.27), che rappresenta lo stress dovuto alla viscosità, è moltoinferiore a tutti gli altri termini dell’equazione e quindi lo possiamo trascurare nelle considerazionisuccessive. Consideriamo ora i vari termini:• primo termine: applicando le proprietà della media, si vede immediatamente che:∂( u + u')i∂ti∂ui=∂t[2.28]—————————————————————————————————————- 69 -