Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL.—————————————————————————————————————semplicemente, mediante gli infiniti momenti centrali. A questo punto il ruolo della Fluidodinamica èquello di definire dei vincoli che devono rispettare le variazioni spazio-temporali delle differentivariabili. Per esempio, la pressione, la densità e la temperatura dell’aria avranno sicuramente andamenticasuali, ma la legge di stato dei gas sempre porrà un vincolo alla loro variazione e ad ogni istante i trenumeri casuali (pressione, temperatura e densità) dovranno rispettare questa legge fisica.Come si è visto, la piramide dei momenti ha come vertice la media su cui si fonda qualsiasi definizionedi momento centrale e quindi risulta naturale l’adozione dell’ipotesi di Reynolds secondo cui ognivariabile meteorologica caratteristica del PBL può essere decomposta nella somma di un valore medioe di una fluttuazione a media nulla. Ma il termine media non è un termine univoco e già si è visto comela scelta naturale (dal punto di vista teorico) della media di insieme non sia in pratica applicabile. Daqui la necessità pratica di adottare una definizione di media più vicina alle possibilità sperimentali e lamedia temporale sembra attualmente la scelta più adeguata.La scelta di adottare una visione stocastica del fenomeno non è senza inconvenienti. Infatti alladifficoltà di dover dare condizioni iniziali e al contorno per le variabili istantanee e a risolvere vortici lecui dimensioni si estendono su cinque decadi (difficoltà della visione istantanea), si contrapponel’impresa ancor più ardua di dover scrivere infinite equazioni di bilancio per gli infiniti momenti chedescrivono il PBL. L’intuizione ci dice che le varie distribuzioni di probabilità probabilmente potrannoessere descritte in maniera soddisfacente con un numero di momenti ridotto.Ciò premesso, in questo paragrafo rivisitiamo le relazione di bilancio alla luce di queste considerazionicon l'obiettivo di costruire un nuovo modello matematico del PBL riferito non tanto alle variabiliistantanee, quanto piuttosto alla previsione dell'evoluzione media delle stesse e dei principali momenti diinteresse. Per prima cosa è opportuno formulare dettagliatamente l'ipotesi proposta nel 1895 daReynolds secondo cui ogni variabile istantanea viene decomposta in una quantità media ed in unafluttuazione turbolenta:ρ = ρ + ρ ′u = u + u′v = v + v′w = w + w′p = p + p′θ = θ + θ ′q = q + q'[2.21]Nei paragrafi che seguono la media presa in considerazione sarà la media di insieme, anche se nellapratica, quando le equazioni che deriveremo verranno impiegate, si sostituirà a questo tipo di media lamedia temporale, che è quella più utilizzata nelle misure realizzate entro il PBL.2.2.1 PROPRIETÀ DELLA MEDIASeguendo Reynolds, se A e B sono due variabili dipendenti dal tempo e dalle variabili spaziali x j e c unacostante, è possibile dimostrare le seguenti proprietà della media, soddisfatte esattamente dalla media diinsieme ed in maniera approssimata dagli altri tipi di media:—————————————————————————————————————- 67 -