Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL.—————————————————————————————————————2∂c∂c∂ c+ u j = ν c + S[2.20]2∂t∂x∂xjjdove ν c è la diffusività molecolare di c e S è la somma dei processi non rappresentati esplicitamentenell’equazione, come ad esempio le reazioni chimiche. In S, a rigore, sarebbero contenuti anche glieffetti dell’interazione tra la presenza della specie chimica considerata ed i parametri meteorologici.Tali effetti esistono effettivamente ed un esempio è rappresentato dai processi fotochimici che,riducendo la trasparenza dell’atmosferica, alterano i flussi energetici al suolo. Ciò ovviamente altera leforzanti del PBL e da tale alterazione nasce un accoppiamento molto stretto tra parametri chimici eparametri meteorologici. Tuttavia questi fenomeni estremi non sono la normalità e quindi spesso èpossibile trascurare l’effetto della presenza di inquinanti sulla meteorologia del PBL.2.1.7 OSSERVAZIONIIl sistema di equazioni differenziali individuato costituisce un sistema chiuso, dato che consiste in seiequazioni differenziali nelle sei variabili (ρ, u, v, w, p, θ, q). Stiamo considerando, però, le variabiliistantanee e le equazioni individuate ci dicono semplicemente che per esse valgono le leggi dellaFluidodinamica. In teoria, un sistema di equazioni differenziali chiuso, una volta definite opportunecondizioni iniziali ed al contorno, dovrebbe essere risolubile, ma finora non è nota alcuna soluzioneanalitica di questo sistema in situazioni reali. Se si abbandonasse l’idea di una risoluzione analitica e sipropendesse per una soluzione numerica, la difficoltà non diminuirebbe, come si vedrà al prossimoparagrafo. In effetti vale subito la pena di sottolineare una circostanza importante. Immaginiamo pure dipossedere le tecniche di risoluzione numerica per questo sistema di equazioni: esiste un uomo (o piùuomini) in grado di dire con certezza quali siano le condizioni iniziali ed al contorno di un sistema cosìcomplesso, che si presenta all’osservazione con marcati tratti stocastici? Si tratterebbe di dare, peresempio, ad un dato istante iniziale i campi istantanei certi delle diverse variabili di interesse in undominio spaziale reale. La non linearità di tanti termini presenti nelle equazioni di bilancio fa sospettareche piccoli errori nella determinazione delle condizioni iniziali ed al contorno possano avere effettidrammatici sui risultati ottenibili dall’integrazione del sistema. In effetti il comportamento caotico delleequazioni di bilancio è stato ampiamente evidenziato nelle sperimentazioni numeriche (Sorbjan, 1989).Pur supponendo di poter superare queste difficoltà, la risoluzione di tale sistema è proibitiva anche dalpunto di vista numerico. Infatti, la difficoltà sta nel fatto che risolvere in maniera corretta tale sistema diequazioni differenziali significa risolvere tutte le scale spazio-temporali caratteristiche della turbolenzadel PBL. Ricordando che lo spettro tipico della turbolenza si estende per oltre cinque decadi, èimmediato constatare quanto questo problema sia ben al di la delle attuali capacità degli strumenti dicalcolo disponibili. Pertanto il modello istantaneo, pur avendo il pregio teorico di descrivere in modonaturale, esauriente e corretto l’evoluzione spazio-temporale del PBL, risulta totalmente inapplicabileallo stato attuale della tecnologia. Ciò ci spinge a ricercare un modello matematico alternativo che siacompatibile con gli strumenti di calcoli di cui disponiamo e con la strumentazione di misura disponibile.2.2 LE EQUAZIONI PER LE VARIABILI MEDIEInvece di considerare le variabili istantanee, adottiamo ora la visione stocastica illustrata in precedenza,secondo cui le variabili che definiscono l’evoluzione spazio-temporale del PBL sono variabilistocastiche definibili o attraverso la pletora di funzioni di densità di probabilità o, forse più—————————————————————————————————————- 66 -