Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL.—————————————————————————————————————• il primo termine permette alla gravità di agire verticalmente;• il secondo termine descrive l’influenza della rotazione terrestre (effetto di Coriolis) e, come sivede, tale influenza è limitata alle sole componenti orizzontali;• il terzo termine descrive le forze legate al gradiente di pressione;• il quarto termine rappresenta l’influenza dello sforzo viscoso.2.1.3 L’EQUAZIONE DI STATO DEI GASIl sistema di quattro equazioni differenziali costituito dall’equazione di continuità e dalle equazioni diNavier-Stokes contiene 5 incognite (ρ, p, u, v, w), quindi tale sistema non è chiuso. D’altro canto,finora abbiamo considerato solo relazioni fisiche di tipo meccanico, senza considerare in alcun modo leleggi della termodinamica. La prima legge termodinamica presa in considerazione è l’equazione distato di un gas perfetto che abbiamo visto valere anche per il PBL. La sua espressione è la seguente:p = ρRT[2.14]p è la pressione, R la costante dei gas perfetti (R=287 J⋅K -1 kg -1 ) e T la temperatura assoluta. Talerelazione varrebbe rigorosamente solo nel caso in cui nel PBL fosse assente l'umidità. In sua presenza,come si è visto, l’equazione di stato assume una forma leggermente diversa. Il contenuto di vaporeacqueo può essere descritto dall’umidità specifica q e dalla tensione di vapore e. Sotto l’ipotesi chel’aria ed il vapore acqueo siano gas ideali, si ha che:( 1 + 0. q)p = pd + e = ρdRT + ρvRvT= ρ RT 61[2.15]dove p d è la pressione parziale dell’aria secca e R v =1.61R. Definendo come temperatura virtualeT = T( 1+0 v. 61 q)quella temperatura che deve avere una quantità di aria secca ad una certa pressionep perché la sua densità sia la stessa di un pacchetto d’aria con umidità specifica q alla stessa pressione,la forma dell’equazione di stato diventa la seguente:p = ρRT v[2.16] .2.1.4 LA PRIMA LEGGE DELLA TERMODINAMICALo stato di un sistema (e quindi di una generica particella d'aria) è completamente definito una voltanoti due dei tre parametri seguenti: la pressione p, il volume V e la temperatura T v . Se il sistema subisceuna trasformazione, se la quantità di calore scambiata attraverso le pareti è dQ e se la variazione divolume dovuta ad una pressione p è dV, allora la prima legge della termodinamica afferma che lavariazione di energia interna dU è data da:dU= dQ−pdV[2.17]In altre parole, il sistema scambia energia con l’esterno o acquistando una quantità di calore dQ oppurecompiendo del lavoro dV. Senza entrare in dettaglio, la prima legge della termodinamica consente lascrittura di una equazione differenziale che esprime la variazione temporale della temperaturapotenziale virtuale θ v (seguito indicata semplicemente come θ) in funzione della avvezione, delladiffusività molecolare, dei flussi di radiazione e dei cambiamenti di fase dell’acqua presente in aria. In—————————————————————————————————————- 64 -