Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL.—————————————————————————————————————fluido è a riposo, tutti gli stress di taglio si annullano e restano nell’equazione solo le componenti normaliche sono in relazione con la pressione attraverso la relazione:( τ + + )/3 = − piiτ 22τ 33[2.10b]da cui risulta che la pressione è invariante rispetto alla trasformazione del sistema di coordinate.Si può mostrare (Sorbjan, 1989; Blackadar, 1997) che τ ij è dato da:τij= − pδij⎡⎛⎢⎜∂u+ µ⎢⎣⎝∂xij∂u+∂xij⎞⎟ 2− δ⎠ 3ij∂U∂xkk⎤⎥⎥⎦[2.10c]dove µ è il coefficiente di viscosità molecolare dell’aria e δ ij è la delta di Kronecker (1 se i = j, 0altrimenti). Utilizzando la definizione di sforzo e tenendo in considerazione l'ipotesi di incomprimibilitàdel fluido, la (2.9) si trasforma in:duidt1 ∂p∂u2i= − + ν2ρ ∂xi∂xj+ Gi[2.11]dove ν = µ ρ è la viscosità molecolare cinematica. La (2.11) è valida in un sistema di riferimentoinerziale. Dal momento però che il moto dell’atmosfera è relativo alla terra (sistema non inerziale), èpiù conveniente riscrivere le equazioni di Navier-Stokes in un sistema di coordinate fisso rispetto allaterra, quindi non inerziale ed in rotazione insieme alla terra, giungendo alle seguenti equazioni del moto:∂ui∂t+ uj∂u∂xij= −δi3g − 2εijkΩjuk1−ρ∂p∂xi∂ u+ ν∂2i2xj[2.12]dove Ω =(0,ω cosφ,ω senφ) è la velocità angolare della Terra il vettore della velocità angolare dellarotazione terrestre (φ è la latitudine e ω è la velocità angolare della terra pari a 7.27⋅10 -5 rad⋅s -1 ), g èl’accelerazione di gravità e il simbolo ε ijk è il tensore definito come:ε ijk⎧+1⎪= ⎨−1⎪⎩0per ijk = 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2per ijk = 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2altrimentiSpesso il quarto termine della (2.12) si esprime come f c = ε ijk u j dove f c è il parametro di Coriolisdefinito come f c =2ω senφ=1.45⋅10 -4 senφ (s -1 ). Dopo tali trasformazioni e semplificazioni, le equazioni diNavier-Stokes assumono il seguente aspetto:∂ui∂t∂ui1 ∂p∂ u+ u j = −δi3g+ fcεij3uj − + ν[2.13]∂xρ ∂x∂ji2i2xjdove ogni termine dell'equazione riveste un significato specifico. Il membro di sinistra della (2.13) è laderivata totale (lagrangiana) della componente u i della velocità del fluido (del vento quindi). Talevariazione temporale è dovuta ai fenomeni descritti dai membri di destra dell’equazione, che hanno ilsignificato seguente:—————————————————————————————————————- 63 -