Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL.—————————————————————————————————————2.1.2 LE EQUAZIONI DI NAVIER-STOKESLe equazioni di Navier-Stokes (dal nome di coloro che le hanno derivate) esprimonomatematicamente la seconda legge di Newton per la conservazione della quantità di moto. Seconsideriamo ancora una volta una particella di aria di volume V circondata da una superficie chiusa Σ(Fig.2.1), la variazione temporale della quantità di moto totale dipenderà dall’azione combinataesercitata dalle forze di volume sull’intero volume della particella e da eventuali forze agenti sulla suasuperficie esterna, che rappresentano l’interazione dell’aria circostante con particella stessa. Ciò puòessere formalizzato nella relazione seguente, scritta per una generica direzione i (x o y o z):⎧ dui⎫⎨ρ⎬dVV14⎩ dt424⎭43∫∫∫ = ∫∫ + ∫∫∫VariazionedellaquantitàdimotonelvolumeVTi• dΣ14243ΣForzediSuperficieρGidVV14243Forzedi Volume[2.9a]in cui G i è una componente della forza esterna G (forza per unità di massa) che agisce sull’interovolume della particella e T i è una forza di superficie nella direzione i (dipendente dalla velocità delfluido). Applicando il teorema di Gauss è possibile riformulare la (2.9a) nei termini seguenti:duiρ = div Ti+ ρdtGi[2.9b]dove l’insieme dei vettori T i è il tensore degli sforzi, già descritto in precedenza, che descrive lo statodi sforzo della particella causato dall’interazione col fluido circostante e che è dato da:⎛ T1⎜⎜T2⎜⎝T3⎞ ⎛τ⎟ ⎜⎟ = ⎜τ⎟ ⎜⎠ ⎝τ112131τττ122232τττ132333⎞⎟⎟⎟⎠[2.10a]e la generica componente τ ij può essere interpretata come una forza per unità di area nella direzione x jagente sulla faccia del volume che risulta normale alla direzione x i (Fig.2.2).x 3 =zτ 33τ 31 τ 32τ 23τ 13 τ 22τ 21τ 11τ 12x 2 =yx 1 =xFig. 2.2: orientazione delle componenti del tensore degli sforziLe componenti diagonali τ ij della matrice sono le componenti normali e τ ij sono le componenti parallele(stress di taglio) e si può mostrare che il tensore degli stress è simmetrico, cioè che τ ij = τ ji . Se il—————————————————————————————————————- 62 -