Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...
Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ... Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯——⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯——⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Per definire il modello matematico del PBL è necessario individuare quelle relazioni matematiche(probabilmente differenziali) in grado di rappresentare l’evoluzione spazio-temporale delle principalivariabili che ne descrivono lo stato, cioè la dipendenza della componente longitudinale della velocità delvento u, della componente trasversale del vento v, della componente verticale w, della densità ρ, dellatemperatura T dell'aria, della pressione p e dell'umidità specifica dalla coordinate spaziali x, y e z e dallacoordinata temporale t. Per conseguire tale obiettivo, utilizziamo l’apparato teorico della Fluidodinamicache è basato sull’impiego:• della legge di conservazione della quantità di moto,• della legge di conservazione della massa,• della legge di conservazione dell’energia,• dell’equazione di stato dei gas,• della legge di conservazione del vapor d’acqua• della legge di conservazione di altre variabili scalari, come le varie specie chimiche di interessepresenti in aria.L’impiego di tali leggi fisiche e la loro applicazione allo specifico caso del PBL è finalizzatoall’individuazione di relazioni di tipo prognostico per ogni variabile fisica descrittrice dello stato diquesto sistema fisico. Va ricordato che una relazione di tipo prognostico è una relazione differenzialeche lega la variazione temporale di una variabile (per esempio una delle componenti del vento) con lavariazione spaziale della stessa variabile e di altre variabili rilevanti e con eventuali termini di sorgente.Una metodologia d’indagine consolidata in Fluidodinamica consiste nell’isolare una particella di fluido enell’applicare ad essa le leggi di conservazione. Se consideriamo, per esempio, uno generico scalare f(per esempio la temperatura dell’aria), è fisicamente corretto asserire che in un intervallo di tempoinfinitesimo dt la variazione di f è pari a df. In generale, f sarà funzione, tra l’altro, della posizione(x,y,z) della particella considerata, pertanto il differenziale totale di f sarà pari a:quindi∂f∂f∂f∂fdf = dt + dx+dy+dz[2.1a]∂t∂x∂y∂zdfdt∂f∂fdx ∂fdy ∂fdz= + + +[2.1b]∂t∂xdt ∂ydt ∂zdtIl significato di df/dt (derivata totale) è ben diverso da ∂f/∂t (derivata locale)! La df/dt è lavariazione temporale di f entro la particella (in generale in movimento entro il fluido), mentre ∂f/∂t è lavariazione di f riscontrata da un osservatore in un punto fisso dello spazio, che, col variare del tempo,apparterrà a particelle differenti. Se consideriamo il fatto che la posizione della particella (x(t),y(t),z(t))varia nel tempo, si ha che la sua velocità rispetto al sistema di riferimento fisso sarà data da:dx dy dzu = , v = , w =[2.2]dt dt dt—————————————————————————————————————- 59 -
2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL.—————————————————————————————————————quindi la (2.1b) si trasformerà nel modo seguente:dfdt∂f∂f∂f∂f= + u + v + w[2.3a]∂t∂x∂y∂zche, nella notazione sintetica di Einstein, si riduce a:dfdt∂f∂f= + ui[2.3b]∂t∂xidove i = 1,2,3 e u 1 = u, u 2 = v, u 3 = w e x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z. Dalle (2.3) risulta che la derivatatotale (rispetto al tempo) di uno scalare f è la somma della derivata locale di f rispetto al tempo (∂f/∂tche descrive le variazioni temporali locali) e dei cambi spaziali (avvezione) subiti dalla variabile inesame.Nei paragrafi che seguono viene presentato in modo sintetico il modello fluidodinamico del PBL,tralasciando la deduzione delle varie relazioni che lo costituiscono. Per una discussione dettagliata di ciòsi rimanda a a Mateev (1965), Holton (1992), Dutton (1995), Wallace e Hobbs (1977). Riferimenti piùspecifici alle problematiche del PBL sono Arya (1987), Blackadar (1997), Nieuwstadt e van Dop(1982), Stull (1988), Garratt (1992) e Sorbjan (1989).2.1 LE EQUAZIONI PER LE VARIABILI ISTANTANEEDal punto di vista teorico risulta ragionevole iniziare l’individuazione del modello matematico del PBLprendendo come riferimento il valore istantaneo che le variabili che lo descrivono assumono nellospazio. Ciò quindi equivale ad ignorare la natura stocastica di tali variabili e a focalizzarecompletamente l’attenzione sulle relazioni fisiche che comunque debbono legarle insieme, nello spazio enel tempo. E’ evidente il desiderio ed il tentativo di cercare un modello matematico che sia in grado didescrivere ogni possibile situazione in cui si possa incontrare il PBL. Anche se è intuitivo pensare chetutto ciò non porterà molto lontano, dal punto di vista pratico, tuttavia, questo percorso analitico ènecessario per ogni sviluppo che abbia una qualche rilevanza applicativa.2.1.1 L’EQUAZIONE DI CONTINUITÀLa prima legge fisica che consideriamo è la conservazione della massa. Si consideri una particella diaria di volume V, circondata da superficie laterale (chiusa) Σ. Sia ρ è la sua densità, v il vettore ventodi componenti u, v, w e con dΣ si indichi un vettore normale alla superficie Σ, la cui lunghezza sia pariall’elemento di superficie dΣ (Fig. 2.1). La variazione della massa della particella, che in generale saràin moto entro il fluido, dipende soltanto dal flusso uscente dalla superficie chiusa Σ e quindi l’equazioneche esprime la conservazione della massa è la seguente:∂− ∫∫∫ ρdV∂ t14 24V43∫∫= ( ρ v)• dΣ14243Σdiminuzionedellamassanel volumeVflussouscentesuperficieΣdalla[2.4]in cui il simbolo • indica il prodotto scalare. Ipotizzando che il volume V non vari nel tempo, utilizzando il—————————————————————————————————————- 60 -
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2. MODELLO MATEMATICO DEL PBL.—————————————————————————————————————quindi la (2.1b) si trasformerà nel modo seguente:dfdt∂f∂f∂f∂f= + u + v + w[2.3a]∂t∂x∂y∂zche, nella notazione sintetica di Einstein, si riduce a:dfdt∂f∂f= + ui[2.3b]∂t∂xidove i = 1,2,3 e u 1 = u, u 2 = v, u 3 = w e x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z. Dalle (2.3) risulta che la derivatatotale (rispetto al tempo) di uno scalare f è la somma della derivata locale di f rispetto al tempo (∂f/∂tche descrive le variazioni temporali locali) e dei cambi spaziali (avvezione) subiti dalla variabile inesame.Nei paragrafi che seguono viene presentato in modo sintetico il modello fluidodinamico del PBL,tralasciando la deduzione delle varie relazioni che lo costituiscono. Per una discussione dettagliata di ciòsi rimanda a a Mateev (1965), Holton (1992), Dutton (1995), Wallace e Hobbs (1977). Riferimenti piùspecifici alle problematiche del PBL sono Arya (1987), Blackadar (1997), Nieuwstadt e van Dop(1982), Stull (1988), Garratt (1992) e Sorbjan (1989).2.1 LE EQUAZIONI PER LE VARIABILI ISTANTANEEDal punto di vista teorico risulta ragionevole iniziare l’individuazione del modello matematico del PBLprendendo come riferimento il valore istantaneo che le variabili che lo descrivono assumono nellospazio. Ciò quindi equivale ad ignorare la natura stocastica di tali variabili e a focalizzarecompletamente l’attenzione sulle relazioni fisiche che comunque debbono legarle insieme, nello spazio enel tempo. E’ evidente il desiderio ed il tentativo di cercare un modello matematico che sia in grado didescrivere ogni possibile situazione in cui si possa incontrare il PBL. Anche se è intuitivo pensare chetutto ciò non porterà molto lontano, dal punto di vista pratico, tuttavia, questo percorso analitico ènecessario per ogni sviluppo che abbia una qualche rilevanza applicativa.2.1.1 L’EQUAZIONE DI CONTINUITÀLa prima legge fisica che consideriamo è la conservazione della massa. Si consideri una particella diaria di volume V, circondata da superficie laterale (chiusa) Σ. Sia ρ è la sua densità, v il vettore ventodi componenti u, v, w e con dΣ si indichi un vettore normale alla superficie Σ, la cui lunghezza sia pariall’elemento di superficie dΣ (Fig. 2.1). La variazione della massa della particella, che in generale saràin moto entro il fluido, dipende soltanto dal flusso uscente dalla superficie chiusa Σ e quindi l’equazioneche esprime la conservazione della massa è la seguente:∂− ∫∫∫ ρdV∂ t14 24V43∫∫= ( ρ v)• dΣ14243Σdiminuzionedellamassanel volumeVflussouscentesuperficieΣdalla[2.4]in cui il simbolo • indica il prodotto scalare. Ipotizzando che il volume V non vari nel tempo, utilizzando il—————————————————————————————————————- 60 -
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