Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...
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10.STIMA DEI PARAMETRI DELLA TURBOLENZA ATMOSFERICA—————————————————————⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯————————semplicemente realizzato una mediazione a blocchi dello spettro originario che ci ha consentito dipassare da uno spettro composto da N/2 densità spettrali (dell’ordine di parecchie migliaia) ad unospettro costituito da m valori (normalmente dell’ordine delle decine) e ciò ha contribuito ad una suasostanziale regolarizzazione senza comunque indurre una sua distorsione.Applicando questa procedura di regolarizzazione allo spettro di Fig. 10.6 otteniamo (con m pari a 30) lospettro di Fig.10.7, decisamente più regolare e comprensibile.La tecnica di costruzione degli spettri mediante la DFT non è l’unica possibile e nemmeno la migliore.Essa viene normalmente indicata col termine stima non parametrica, indicando con ciò il fatto che taletecnica non impiega alcuna informazione a priori sulla forma funzionale dello spettro. La cosa, arigore, non è completamente vera ed una breve discussione sull’argomento la si può trovare in Press(1992). Esistono però altre tecniche che vanno sotto il nome di tecniche di stima parametricaspettrale, che vengono ampiamente utilizzate in molte aree della Fisica, ma ancora troppo raramente inMicrometeorologia. Un esempio interessante e raro è presentato in Petenko e Bezverkhnii (1999).E’ oltre lo scopo di questo libro presentare i dettagli di questa tecnica. Rimandiamo gli interessati aPercival e Walden (1993) e a Candy (1988). Qui di seguito presentiamo una breve introduzione ad unodi questi metodi, noto come Metodo della Massima Entropia MESA (Maximum Entropy SpectralAnalysis). Mentre nel metodo classico l’ipotesi di base era che il segnale che si stava studiando fosse lasovrapposizione di un numero infinito di funzioni trigonometriche di varia ampiezza, per il metodo MESAil segnale è proprio come lo abbiamo introdotto, cioè la realizzazione nel tempo di un processostocastico. Consideriamo un segnale discreto {u i ; i = 1,2,…} a media nulla e privo di trend (peresempio l’evoluzione nel tempo della temperatura dell’aria privata del valor medio e di un trendeventualmente presente). A priori non è facile dire molto di un tale segnale, tuttavia sfruttando laclassificazione proposta da Box e Jenkins (1976), possiamo ipotizzare che esso possa essererappresentato come:ui= b1 , pui− 1 + b2,pui−2+ .... + bp,pui−p + εi[10.155]un tale processo prende il nome di Processo Autoregressivo di ordine p o, più brevemente AR(p), erichiede che il valore u i , assunto dalla variabile al tempo t i , dipenda:• dalla combinazione lineare dei valori assunti dalla stessa variabile in p istanti precedenti, pesati daopportuni coefficienti b i,p ;• dalla realizzazione di un processo stocastico gaussiano ε a media nulla e varianza σ 2 p (rumorebianco o White Noise Process).Questo modello stocastico si presta molto bene a rappresentare le variabili micrometeorologiche daesso è nato un celebre modello per la dispersione di inquinanti in estremamente realistico. Comunque, lacosa più importante è che le proprietà di un processo AR(p) sono state ampiamente studiate e, tra i varirisultati ottenuti, emerge il fatto che lo spettro di {u i } deve avere la forma seguente:Suu( f )=p1 − ∑ expi=1a( ) 2− j2πfi∆t[10.156]————————————————————————————————————————- 483 -
10.STIMA DEI PARAMETRI DELLA TURBOLENZA ATMOSFERICA—————————————————————⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯————————In pratica, la stima dello spettro di u si riduce alla determinazione dei p coefficienti b i,p e delcoefficiente a. Nei citati riferimenti sono presentati tutti i dettagli analitici che giustificano la (10.156) edi metodi più adatti all’identificazione dei p+1 coefficienti presenti in tale relazione.Il primo problema pratico che incontriamo nell’applicazione reale del metodo MESA sta nell’identificareil valore di p, cioè il grado del processo autoregressivo. Anche se nei riferimenti citati viene trattato ilproblema, non esiste finora un metodo univoco per operare una tale scelta. La sua applicazione nei casidi interesse micrometeorologico suggerisce che un valore di p dell’ordine delle decine è più chesufficiente per catturare l’essenza del fenomeno. In pratica il metodo MESA, come prima cosa,richiede che vengano stimati, sulla base della serie storica da analizzare, i p+1 coefficienti presentinella (10.156), quindi, per ogni frequenza compresa nell’intervallo ƒ min ÷ƒ max /2, la (10.156) fornisce larelativa densità spettrale. Si può quindi stimare la densità spettrale solo alle frequenze desiderate,evitando le N/2 stime obbligatorie richieste dalla FFT. In Fig.10.8 viene presentato lo spettro dellacomponente u del vento ottenuta:• con la FFT senza regolarizzazione (riga irregolare grigia)• con la FFT con regolarizzazione (riga tratteggiata)• col metodo MESA (riga continua)1E+31E+210Densità Spettrale10.10.011E-31E-41E-51E-61E-4 1E-3 0.01 0.1 1 10Frequenza (Hz)Fig.10.8: confronto tra lo spettro ottenuto con la FFT, lo spettro ottenuto dalla FFT conregolarizzazione e lo spettro ottenuto col metodo MESA.Analizzando tale figura si nota immediatamente come il metodo MESA produca naturalmente unospettro regolare, cosa molto utile alle alte frequenze dove si va a sovrapporre al metodo FFTregolarizzato, ma altrettanto utile alle basse frequenze dove la FFT regolarizzata permane irregolare.Viste le ottime caratteristiche del metodo MESA, varrebbe la pena usarlo più frequentemente. Unproblema, però, è la disponibilità di programmi di calcolo adeguati. A tal proposito, in APPENDICE10.2 è presentato un insieme di routines FORTRAN (tratte da Press e al., 1992) che realizzano la stimaspettrale MESA per un generico segnale discreto U i , a media nulla e privo di spikes e di trend.————————————————————————————————————————- 484 -
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10.STIMA DEI PARAMETRI DELLA TURBOLENZA ATMOSFERICA—————————————————————⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯————————In pratica, la stima dello spettro di u si riduce alla determinazione dei p coefficienti b i,p e delcoefficiente a. Nei citati riferimenti sono presentati tutti i dettagli analitici che giustificano la (10.156) edi metodi più adatti all’identificazione dei p+1 coefficienti presenti in tale relazione.Il primo problema pratico che incontriamo nell’applicazione reale del metodo MESA sta nell’identificareil valore di p, cioè il grado del processo autoregressivo. Anche se nei riferimenti citati viene trattato ilproblema, non esiste finora un metodo univoco per operare una tale scelta. La sua applicazione nei casidi interesse micrometeorologico suggerisce che un valore di p dell’ordine delle decine è più chesufficiente per catturare l’essenza del fenomeno. In pratica il metodo MESA, come prima cosa,richiede che vengano stimati, sulla base della serie storica da analizzare, i p+1 coefficienti presentinella (10.156), quindi, per ogni frequenza compresa nell’intervallo ƒ min ÷ƒ max /2, la (10.156) fornisce larelativa densità spettrale. Si può quindi stimare la densità spettrale solo alle frequenze desiderate,evitando le N/2 stime obbligatorie richieste dalla FFT. In Fig.10.8 viene presentato lo spettro dellacomponente u del vento ottenuta:• con la FFT senza regolarizzazione (riga irregolare grigia)• con la FFT con regolarizzazione (riga tratteggiata)• col metodo MESA (riga continua)1E+31E+210Densità Spettrale10.10.011E-31E-41E-51E-61E-4 1E-3 0.01 0.1 1 10Frequenza (Hz)Fig.10.8: confronto tra lo spettro ottenuto con la FFT, lo spettro ottenuto dalla FFT conregolarizzazione e lo spettro ottenuto col metodo MESA.Analizzando tale figura si nota immediatamente come il metodo MESA produca naturalmente unospettro regolare, cosa molto utile alle alte frequenze dove si va a sovrapporre al metodo FFTregolarizzato, ma altrettanto utile alle basse frequenze dove la FFT regolarizzata permane irregolare.Viste le ottime caratteristiche del metodo MESA, varrebbe la pena usarlo più frequentemente. Unproblema, però, è la disponibilità di programmi di calcolo adeguati. A tal proposito, in APPENDICE10.2 è presentato un insieme di routines FORTRAN (tratte da Press e al., 1992) che realizzano la stimaspettrale MESA per un generico segnale discreto U i , a media nulla e privo di spikes e di trend.————————————————————————————————————————- 484 -
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