Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

10.STIMA DEI PARAMETRI DELLA TURBOLENZA ATMOSFERICA—————————————————————⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯————————possono trovare per esempio in Archetti e al., 1984,) si può affermare che:- una condizione necessaria perché un punto P sia un ottimo locale del problema dato è che:( P) = 0∇F [10.107]- una condizione necessaria e sufficiente perché un punto P sia un minimo locale del problemadato è che , oltre alla condizione precedente, sia soddisfatta anche la condizione( P) positiva∇2 F = matrice definita[10.108]Se questa condizione è soddisfatta in ogni punto ammissibile dello spazio dei parametri, la funzioneobiettivo sarà convessa e il punto P sarà un minimo globale.A priori non è possibile dimostrare che la condizione di ottimalità globale sia soddisfatta per il problemaposto dal metodo dei profili; in effetti si può solo dire che J è, nel caso peggiore, semidefinida positiva eB è simmetrica, però a priori non si può affermare che sia definita positiva o semidefinida positiva.Pertanto, non è possibile dimostrare l’esistenza di un minimo globale ma è comunque sempre possibilecercare un minimo locale (come spesso si fa nelle applicazioni pratiche).Rimandando a Murray (1972) e McKeown (1980) per una rassegna esaustiva sui possibili algoritmirisolutivi del problema generale, qui consideriamo solo l’algoritmo di Newton base; tale algoritmo è ditipo iterativo ed al passo k-esimo aggiorna la stima del vettore dei parametri x fatta al passo k-1 sullabase del valore assunto dal gradiente e dalla matrice Hessiana al passo precedente, nel modo seguente:xk= xk−−11− H • q[10.109]dove, per semplicità, con q si è indicato il vettore gradiente e con H la matrice Hessiana. Spesso neiproblemi pratici di stima parametrica non si usa direttamente la matrice H nella relazione precedente,ma una sua forma semplificata. In questo caso si è scelta la semplificazione seguente:H = J T J[10.110]Se il metodo iterativo (10.109) fa uso della semplificazione (10.110) allora, prende il nome di metodo diGauss-Newton. Su questa semplificazione si basa anche il metodo Levenberg-Marquardt (Bard, 1974),frequentemente usato nella stima parametrica non lineare. In pratica la semplificazione (10.110)esprime gli elementi di H solo mediante le derivate prime del funzionale. Le motivazioni che portano atrascurare la matrice B in un problema di identificazione parametrica fondato su un modello realistico(come è il caso in esame) è discusso in Press et al. (1992).Nel caso dell’applicazione di questo metodo alla stima dei parametri del SL sulla base della conoscenzadel profilo verticale della velocità media del vento si può affermare quanto segue. E’ immediato vedereche il metodo si presenterà in una forma differente a seconda che si stiano considerando situazioniconvettive o stabili, dato che le funzioni di Similarità nei due casi sono differenti. Come sia possibiletener conto di ciò sarà chiaro nel seguito. Questa differenza si riscontra anche nella scelta deiparametri che si vuol ottimizzare In particolare considerazioni di stabilità numerica dell’algoritmoconsigliano ciò che segue:————————————————————————————————————————- 460 -