Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

10.STIMA DEI PARAMETRI DELLA TURBOLENZA ATMOSFERICA—————————————————————⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯————————formulazione generale è del tipo (McKeown, 1980 e Bard, 1974):N2min F = ∑ f i xi=1m( ) x∈R[10.103]dove con x si è indicato il vettore (m-dimensionale) dei parametri da determinare (in questo casom=2) e la discussione si limiterà al caso con N > m cioè al caso in cui il numero di punti sperimentalisia superiore al numero di parametri. Ignoriamo per il momento la reale forma funzionale di F. Ingenerale, se indichiamo con f il vettore colonna:[ f ( x ) f ( x ) , ⋅ ⋅ , f ( x )] TM, 1 2⋅[10.104a]si ha che:TF = f f[10.105b]Il problema che ora ci poniamo è quello di determinare il valore del gradiente e della matriceHessiana di F. Per fare ciò, se deriviamo F rispetto a x j otteniamo:∂F∂xi= 2∑Nj=1fj∂fj∂xi[10.106c]e quindi il gradiente della funzione obiettivo risulta, in termini generali, pari a:∇ FT( x) = 2J f[10.106d]in cui J è la matrice Jacobiana (N x m) associata a F, data da:Jpq∂fp= [10.106e]∂xqDerivando nuovamente si ottiene:2∂ F∂x∂xik⎪⎧ N ⎡∂f= 2⎨∑⎢i=1 ⎪⎩ ⎢⎣∂xjk∂fj∂xi+fj∂2∂xxifjk⎤⎪⎫⎥⎬⎥⎦⎪⎭[10.106f]e quindi la matrice Hessiana risulta data da:∇( x) = 2(JT J + )2 FB[10.106g]Come si sa, un punto P dello spazio dei parametri corrisponde ad un minimo globale se il valore dellafunzione obiettivo in tale punto risulta minore o uguale al valore che detta funzione assume in qualsiasialtro punto ammissibile dello spazio. Se invece tale comportamento si ha solo in un intorno di P, alloraquesto punto si chiamerà minimo locale. Senza entrare nei dettagli delle condizioni di ottimalità (che si————————————————————————————————————————- 459 -