Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————aξi + 1,j + bξi−1,j + cξi,j+1 + dξi,j−1+ eξi,j =f[8.59a]Il metodo SOR è un procedimento iterativo che ad un generico passo n opera nel modo seguente:• si conosca il calore di ξ al passo n-1 in tutti i nodi della griglia di calcolo;• si determini al generico nodo (i, j) una prima approssimazione di ξ nel modo seguente:ξ*i,j1e[ f − ( aξ+ bξ+ cξdξ)]=i+ 1, j i−1,j i,j+1+i,j−1[8.59b]• l’approssimazione di ξ i,j al passo n sarà data da:ξn *i, j = ωξ i,j + (1 − ω)ξn−1i,j− ωξ[ aξ+ bξ+ cξ+ dξ+ eξ− f ]i+1, jn−1i,j=i−1,ji,j+1ei,j−1i,j[8.59c]Il coefficiente ω è il overrelaxation parameter che dovrà avere valori compresi tra 1 e 2.Ritornando alla risoluzione del sistema di equazioni lineari generato dallo schema (8.57), l’applicazionedel metodo SOR comporta che alla iterazione n+1 si abbia:n+1nλ ( i+ 1 / 2, j+1/ 2, k + 1/ 2) = λ( i+1/ 2, j+1/ 2, k+1/ 2) + ωR( i+1/ 2, j+1/ 2, k + 1/ 2)[8.60a]dove:R( i+1/ 2, j+1/ 2, k+1/ 2)nn[ Axλ( i+3/ 2, j+1/ 2, k+1/ 2)+ Cxλ( i−1/2, j+1/ 2, k+1/ 2)⎛ ∆x⎞n+ Ay⎜ ⎟ λ⎝ ∆y⎠+ A α+z22⎧⎨⎪⎩⎪⎧= ⎨B⎪⎩( i+1/ 2, j+3/ 2, k+1/ 2) y( i+1/ 2, j−1/2, k + 1/ 2)2⎛ ∆x⎞⎜ ⎟ λ⎝ ∆z⎠nx⎛ ∆x⎞+ ⎜ ⎟ B⎝ ∆y⎠( i+1/ 2, j+1/ 2, k+3/ 2) z( i+1/ 2, j+1/ 2, k −1/2)222 0 ⎪ ⎛ ∆x⎞2⎛∆x⎞ ⎪2 α1ε − Bx+ ⎜ ⎟ B y + α ⎜ ⎟ Bz⋅ λ+⎝ ∆y⎠2y+ α2⎛ ∆x⎞+ C ⎜ ⎟ λ⎝ ∆y⎠+ C α⎝ ∆z⎠⎛ ∆x⎞⎜ ⎟⎝ ∆z⎠22+n2⎫⎬⎪⎭B2z⎛ ∆x⎞⎜ ⎟ λ⎝ ∆z⎠⎪⎫⎬⎪⎭n−1•+n( i+1/ 2, j+1/ 2, k 1/ 2) ]+[8.60b]Il processo iterativo termina quando il residuo R risulta inferiore ad un valore predeterminato. Perquanto riguarda il valore di ω, nonostante la teoria indichi la possibilità di individuare un valoreottimale, è più conveniente adottare una strategia che si è rivelata appropriata nelle applicazionipratiche. In particolare, alla prima iterazione, ω è posto pari a 1. Alle iterazioni successive ω è posto alvalore seguente:ωn−1= 2 1+1−∆λ n ∆λ[8.61a]—————————————————————————————————————- 299 -