Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————Nonostante la complessità della relazione (8.56), si può notare come λ nella cella di Fig.8.3 sia legatada una relazione algebrica lineare al valore di λ nelle celle adiacenti. Riorganizzando i vari terminipresenti nella relazione (8.56) si ottiene alla fine l’espressione seguente:⎡− ⎢B⎢⎣x⎛ ∆x⎞+ ⎜ ⎟⎝ ∆y⎠CC α( ) ( )( i−1/2, j+1/ 2, k+1/ 2) y( i+1/ 2, j+3/ 2, k+1/ 2)22B2⎛ ∆x⎞C y⎜ ⎟ λ⎝ ∆y⎠zxλy+ α( i+1/ 2, j−1/2, k + 1/ 2) z( i+1/ 2, j+3/ 2, k + 3/ 2)2⎛ ∆x⎞⎜ ⎟ λ⎝ ∆z⎠2⎛ ∆x⎞⎜ ⎟⎝ ∆z⎠2+ A⎤B ⎥zλ⎥⎦i+1/ 2, j+1/ 2, k+1/ 22⎛ ∆x⎞⎜ ⎟ λ⎝ ∆y⎠+ A α22⎛ ∆x⎞⎜ ⎟ λ⎝ ∆z⎠+ A λi+3/ 2, j+1/ 2, k+1/ 22 2 0( i+1/ 2, j+3/ 2, k −1/2) = −2α1( ∆x) ε ( i + 1/ 2 + j + 1/ 2, k + 1/ 2)x+++[8.57]in cui, per una cella interna al dominio di calcolo, i coefficienti A x , A y , A z , C x , C y e C z valgono 1 ed icoefficienti B x , B y e B z valgono 2. Il termine ε 0 è la divergenza residua della cella considerata che vale:⎡ 0 0 0 0 0 0− v⎤+ − v0ui+1uij 1 j wk+ 1 − wkε ( i+1/ 2, j+1/ 2, k + 1/ 2)= ⎢ + + ⎥[8.58]⎢⎣∆x∆y∆z⎥⎦Nel caso in cui la cella considerata abbia una o più superfici in corrispondenza di una delle frontiere deldominio di calcolo, i valori dei coefficienti A, B e C risulteranno differenti da quelli indicati. Se, inparticolare, consideriamo un generico asse coordinato x ed un generico nodo i, a seconda del tipo deidue nodi adiacenti i-1 ed i+1 (nessuna frontiera, frontiera con λ = 0, frontiera con ∂λ∂x = 0) icoefficienti A, B, C assumeranno i valori proposti da Rodriguez e al. (1982) e da Chino (1992) eriassunti nella Tab.8.1.Condizione colnodo i-1A B C Condizione colnodo i+1Nessuna frontiera 1 2 1 Nessuna frontiera∂λ/∂x = 0 0 1 1 Nessuna frontieraNessuna frontiera 1 1 0 ∂λ/∂x = 0∂λ/∂x = 0 0 0 0 ∂λ/∂x = 0λ=0 0 4 4/3 Nessuna frontieraNessuna frontiera 4/3 4 0 λ=0λ=0 0 8/3 0 ∂λ/∂x = 0∂λ/∂x = 0 0 8/3 0 λ=0Tab. 8.1: valore dei coefficienti A, B e C per differenti condizioni al contorno.Lo schema numerico (8.57), applicato a tutti i nodi della griglia di calcolo con gli opportuni valori per A,B e C conduce ad un sistema di equazioni algebriche di grandi dimensioni che è necessario risolverenumericamente. Vari sono i metodi possibili, tuttavia uno dei più semplici e più impiegati è il metodochiamato SOR (Successive Overrelaxation). Per chiarire come opera tale metodo è opportuno (Presse al., 1992) considerare il seguente esempio bidimensionale (che molto assomiglia al nostro problema):—————————————————————————————————————- 298 -