Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————dell’ordine di 1÷3 chilometri). L’intero dominio di calcolo così definito, verrà inoltre suddiviso in celleregolari aventi dimensioni ∆x, ∆y e ∆z tali che x = L xN y = L y N ∆ z = L zN . In pratica,∆x∆ yzl’intero dominio di calcolo risulta suddiviso in un reticolo regolare avente N x +1 nodi nella direzione x,N y +1 nodi nella direzione y e N z +1 nodi nella direzione z e quindi avrà complessivamente(N x +1)⋅(N y +1)⋅(N z +1) nodi. Ad ogni nodo P di coordinate (X,Y,Z) rispetto ad un sistema di assicartesiani ortogonali collocato nello spigolo SW del reticolo, viene attribuita una terna di indici( i,j,k)tali che i = X / ∆x, j = Y / ∆y, k = Z / ∆z. E’ facile verificare che i = 0, 1,..,N x ,, j = 0, 1,..,N y e k = 0,1,..,N z . Se, come vedremo, è necessario indicare il centro di una generica cella, useremo degli indicifrazionari, come sarà immediatamente chiaro qui di seguito. Consideriamo in particolare una cellaelementare interna al dominio di calcolo rappresentata nella Fig.8.3.Seguendo Rodriguez e al. (1982), immaginiamo che sulle superfici della cella rivolta verso Sud e Nord equindi entrambe parallele al piano (x,z) siano definite le componenti v del vettore vento entranti euscenti dalla cella. Dato che collochiamo tali componenti al centro di queste facce, esse potrannoessere indicate nella maniera seguente: v i+ 1 2, j,k + 1 2 (faccia Sud) e v i+ 1 2, j+1, k+1 2 (faccia Nord).In modo analogo si opererà nell’indicare le componenti u e w del vento. La variabile λ sarà, invece,calcolata al centro di ogni cella e quindi, nel caso che stiamo considerando verrà indicata comeλ i+1/2,j+1/2,k+1/2 . Una volta definito il dominio di calcolo, il problema ora si concentra nella risoluzionedella equazione differenziale alle derivate parziali (8.48) che, come è noto, è la classica equazione diPoisson. Tale equazione, per essere risolta numericamente, deve essere trasformata in un’equazionealla differenze finite. A tale scopo si è adottato uno schema centrato per approssimare le derivateseconde presenti nella (8.48) ed uno schema forward per le derivate prime, ottenendo rispettivamentele approssimazioni seguenti:∂2λ λx−∆x− 2≈2∂x∂U∂xλ x + λx+∆x2∆x[8.55a]Ux+ ∆x− Ux≈∆x[8.55b]dove con U abbiamo indicato una delle tre componenti (u 0 , v 0 , w 0 ) del campo di vento interpolato.Applicando quanto fin qui detto alla cella elementare di Fig.8.3, è immediato verificare chel’approssimazione alle differenze finite dell’equazione di Poisson (8.48) per una cella all’interno deldominio di calcolo è data da:λ( i+3/ 2, j+1/ 2, k+1/ 2) ( i+1/ 2, j+1/ 2, k + 1/ 2) ( i−1/2, j+1/ 2, k+1/ 2)λα( i+1/ 2, j+3/ 2, k+1/ 2) ( i+1/ 2, j+1/ 2, k + 1/ 2) ( i+1/ 2, j−1/2, k+1/ 2)2λ− 2α( i+1/ 2, j+1/ 2, k + 3/ 2) ( i+1/ 2, j+1/ 2, k+1/ 2) ( i+1/ 2, j+1/ 2, k−1/2)21⎡u⎢⎢⎣0i+1− u∆x− 2λ0i∆x− 2λv+∆y− 2λ0j+12− v∆y0j2∆z2w++ λ0k++ λ1− w∆z+ λ0k⎤⎥⎥⎦++=[8.56]—————————————————————————————————————- 297 -