Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————⎡ ∂h∂h⎤w~ 1= ⋅ ⎢σu+ σv− w⎥[8.50]π ⎣ ∂x∂y⎦in cui compaiono termini dipendenti dall’orografia. Ripetendo l’approccio variazionale con questa nuovascelta di coordinate, le equazioni di Eulero-Lagrange in questo caso verranno espresse dalla relazioni:1u = u0+22α11v = v0+22αw = w011+π2⎛ ∂λ⎜⎝ ∂x⎛ ∂λ⎜⎝ ∂y⎪⎧ 1⋅ ⎨2α⎪⎩++23σπσπ∂h∂λ⋅ ⋅∂x∂σ∂h∂λ⋅ ⋅∂y∂σ+ σ2⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎡⎛∂h⎞⎢⎜⎟⎢⎣⎝ ∂x⎠2⎛ ∂h+ ⎜⎝ ∂y⎞⎟⎠⎤⎪⎫ ∂λ⎥⎬⋅⎥ ∂σ⎦⎪⎭σ ⎛ ∂h∂λ∂h∂λ⋅ ⎜ ⋅ + ⋅22α1 π ⎝ ∂x∂x∂y∂y2⎞⎟⎠+[8.51a][8.51b][8.51c]L’equazione di continuità nella forma incompressibile in questo caso diventerà:∂πu∂πv∂πw~ + + = 0∂x∂y∂σ[8.52]La differenziazione delle (8.51) e l’inserimento delle relazioni così ottenute nella (8.52) porta allacomplessa relazione seguente che è l’analogo della (8.48) in questo nuovo sistema di coordinate:∂ ⎡ ∂λ∂h∂λ⎤ ∂ ⎡ ∂λ∂h∂λ⎤⎢π+ σ ⎥ + ⎢π+ σ ⎥ +∂x⎣ ∂x∂x∂σ⎦ ∂y⎣ ∂y∂y∂σ⎦⎧∂ ⎪⎡⎨⎢α∂σ⎢ ⎪⎩ ⎣2+ σ2⎛⎜⎛∂h⎞⎜⎜ ⎟⎝⎝∂x⎠2⎛+ ⎜⎝2∂h⎞⎟∂y⎠⎞⎤⎟ 1 ∂λ⎥ ⋅⎟⎥π ∂σ⎠⎦= −2α21⎡∂πu⎢⎣ ∂x⎫⎡∂h∂λ∂h∂λ⎤⎪+ σ ⎢ + ⎥⎬⎣∂x∂x∂y∂y⎦⎪⎭0 ∂πv0∂πw~0 ⎤+ +∂y∂σ⎥⎦[8.53]Per integrare (analiticamente o, più realisticamente, in maniera numerica) la (8.48) se si consideranocoordinate cartesiane ortogonali o la (8.53) se si considerano coordinate terrain-following, ènecessario specificare le opportune condizioni al contorno. Se, per semplificare la trattazione e senzaperdita di generalità, si considera un dominio di calcolo costituito da un parallelepipedo con la superficieinferiore costituita da una superficie piana (cosa che sta a significare un suolo completamentepianeggiante), è immediato verificare che ci sono due tipi distinti di frontiere: tutte le superfici delparallelepipedo, ad esclusione della superficie di base, saranno frontiere aperte, mentre la superficie dibase costituisce una frontiera chiusa.Nel caso di una frontiera chiusa, è evidente che essa risulterà impenetrabile al flusso di quantità dimoto e quindi è necessario che in corrispondenza di essa sia imposta una condizione “no-flowthrough”(condizione di Neumann) che, detta n la direzione perpendicolare alla frontiera stessa,risulta espressa dalla relazione seguente:—————————————————————————————————————- 295 -