Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————Se però si assume che ρ sia costante col tempo, la (8.45a) si riduce alla forma seguente (formaanelastica dell’equazione di continuità):( ρu) ∂( ρv) ∂( ρw)∂∂x+∂y+∂z= 0[8.45b]Spesso, tuttavia, per semplicità, si tende a non tener conto della variabilità spaziale della densità dell’ariae ciò comporta un’ulteriore semplificazione, ottenendo in definitiva la forma incompressibiledell’equazione di continuità, data da:∂u∂v∂w+ + = 0∂x∂y∂z[8.45c]cioè la divergenza del campo di vento risulta nulla nell’ipotesi che la densità non variapprezzabilmente nel tempo e nello spazio.Se restringiamo, per semplicità, il nostro interesse al caso in cui sia applicabile la conservazione dellamassa espressa dalla (8.45c) e se impieghiamo le normali coordinate cartesiane (rispetto alle quali sirealizzano sempre le misure sperimentali), il problema che ci si prospetta è la minimizzazione delfunzionale (8.44) soggetto al vincolo (8.45c). Questo è un noto problema dell’Analisi Variazionale,che fornisce a questo proposito due risultati importanti.Il primo risultato è che il problema formulato è del tutto equivalente al problema non vincolato seguente:E'2{[ ]22 22 2( u,y,z,λ ) α ( u − u ) + α ( v − v ) + α ( w − w )= ∫Ω10203+⎡∂u∂v∂w⎤⎫+ λ ⎢ + + ⎥⎬⋅dV⎣∂x∂y∂z⎦⎭0[8.46]dove λ = λ(x,y,z) è il moltiplicatore di Lagrange, ovviamente variabile da punto a punto entro il dominiodi calcolo.Il secondo risultato importante è che il campo (u,v,w) che minimizza la (8.46) può essere ottenuto dalleequazioni di Eulero-Lagrange seguenti:u = uv = v00w = w1+2α1+2α021221+2α23∂λ∂x∂λ∂y∂λ∂z[8.47]sempre rispettando la conservazione della massa espressa dalla relazione (8.45c). Assumiamo persemplicità che α 1 = α 2 ed poniamo α = α 1 /α 3 .Differenziando le (8.47) e sostituendo le relazioni così ottenute nella (8.45c) si ottiene la seguente—————————————————————————————————————- 293 -