Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...
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8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————8.1.3.4 L’equazione che contiene il termine di sorgenteSe si eliminano dalle due equazioni che rappresentano la conservazione della quantità di moto i terminiconvettivi ed avvettivi, si ottiene il seguente sistema che evidenzia il termine di sorgente dovutoall'accelerazione di Coriolis:∂u = fv∂t∂v= − fu∂t[8.33a][8.33b]La semplicità di questo sistema di equazioni ci indurrebbe ad adottare schemi risolutivi estremamentesemplici, che però si mostra essere completamente instabili. Seguendo Pielke (1984), uno schemastabile e semplice per risolvere tale sistema di equazioni è invece il seguente:uvn+1in+i− u∆t1− vi∆tnin= fvni= − fun+1i[8.34a][8.34b]In pratica, all’istante n+1 si opera nel modo seguente:• si calcola il nuovo campo di u impiegando i valori di u e v ottenuti al passo temporale n;• si calcola il nuovo campo di v, impiegando il campo di v ottenuto al passo temporale n ed il campodi u ottenuto a n+1.8.1.3.5 L’equazione del bilancio di massaL’importanza dell’equazione (8.5) sta nel fatto che è l’unica equazione da cui sia possibile ottenere lacomponente verticale media del vento. A tal proposito, consideriamo il fatto che dalla (8.5) è immediatoottenere:∂w⎡∂u∂v⎤= −⎢+∂⎥[8.35]z ⎣∂x∂y⎦Si consideri il solito dominio di calcolo in cui un generico nodo interno sia univocamente individuato dagliindici i (asse x), j (asse y) e k (asse z). Se impieghiamo uno schema forward per l’approssimazionedella derivata rispetto a z e uno schema centrato per le altre due derivate, alla fine otteniamo:wi,j,k + 1− w∆zi,j,k⎡u= −⎢⎢⎣i+1, j,k− u2∆xi−1,j,kv+i,j+1, k− v2∆yi,j−1,k⎤⎥⎥⎦[8.36]Se i nodi al suolo sono caratterizzati da k = 0, si ha per la no-slip condition che w 0 = 0 qualunquevalore assumano gli indici i e j. Alla luce di tutto ciò, se sono noti i campi u e v e i valori assunti da wai nodi di indice verticale k, il valore assunto da w ai nodi con indici k+1 sarà facilmente ottenutoimpiegando direttamente la (8.36).—————————————————————————————————————- 287 -
8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————8.1.3.6 L’operazione di splittingSe consideriamo l’equazione (8.4a) notiamo che in essa sono combinati tutti i tipi di equazionidifferenziali fin qui considerate singolarmente. Il problema che ci poniamo è se sia possibile in qualchemodo sfruttare quanto abbiamo fin qui sviluppato per risolvere numericamente questa equazione e lealtre che (ad eccezione dell’equazione del bilancio di massa) risultano formalmente identiche. Una dellerisposte possibili è l’operazione di time splitting. Per semplicità, consideriamo una generica equazionedifferenziale alle derivate parziali del tipo:∂u= Ψ∂t( u)[8.37]in cui Ψ sia un generico operatore differenziale, definito come la somma di operatori che agisconoadditivamente sulla variabile u nel modo seguente:( u) = Ψ ( u) + Ψ ( u ) + ⋅⋅ ⋅ + Ψ ( u)Ψ1 2m[8.38]Immaginiamo, inoltre, che per i vari operatori Ψ 1 , Ψ 2 , ..,Ψ m siano disponibili schemi di approssimazionestabili ed efficienti. In questo caso, si può dimostrare che la risoluzione della (8.37) può essere ottenutanel modo seguente.Si supponga di conoscere il campo di u all’istante n. Basandoci su tale campo si risolva(numericamente) l’equazione:∂u= Ψ 1∂t( u)[8.39a]da cui si ottiene un nuovo campo di u (che indichiamo come u (1) ) che però non sarà il campo volutoall’istante n+1.Usando u (1) come campo iniziale, se risolviamo l’equazione:∂u= Ψ∂t( 1())2 u[8.39b]otterremo un nuovo campo intermedio u (2) che terrà conto sia dell’azione dell’operatore Ψ 1 chedell’operatore Ψ 2 . Continuando questa metodologia fino all’esaurimento degli m operatori in cui è statopossibile scomporre l’operatore differenziale originario, alla fine si otterrà il campo u (m) che èeffettivamente il campo cercato per l’istante temporale n+1 (cioè u n+1 = u (m) ).Questo metodo rappresenta la soluzione ai nostri problemi. In effetti, se consideriamo ancora una voltala (8.4a), vediamo come la sequenza di operazioni richiesta dallo splitting sia la seguente:∂u∂u= −u∂t∂x∂u∂u= −v∂t∂y∂u∂u= −w∂t∂z[8.40a][8.40b][8.40c]—————————————————————————————————————- 288 -
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