Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————rispetto al tempo, possiamo adottare ancora una volta lo schema forward-in-time senza problemi. Perquanto riguarda, invece, la derivata spaziale seconda, potremmo utilizzare lo schema centrato (8.18).Se immaginiamo che la derivata spaziale seconda all’istante n+1 possa essere stimata sulla base deivalori assunti da ξ all’istante n, lo schema risolutivo che ne risulta è ancora una volta uno schemaFTCS del tipo:n+1− nn n nu⎡ − + ⎤iuiui−12uiui= ⋅ ⎢+ 1D2⎥[8.29]∆t⎣ ∆x⎦estremamente semplice perché totalmente esplicito, ma purtroppo instabile, come evidenziato peresempio in (Press e al., 1992). E’ necessario quindi trovare un modo per stabilizzarlo. Una possibilitàsarebbe quella di calcolare la derivata seconda spaziale impiegando i valori dello step temporale n+1 enon n e questo si dimostra che renderebbe notevoli benefici alla stabilità, ottenendo quindi la relazioneseguente:n+1 nn+1 n+1 n+1u − ⎡ − + ⎤iuiui−12uiui+1= D ⋅ ⎢2⎥[8.30]∆t⎣ ∆x⎦cosa che però complica di molto la soluzione del problema visto che la forma è completamenteimplicita e per risolvere il campo u al passo n+1 abbiamo bisogno di risolvere un sistema di equazionialgebriche lineari di grandi dimensioni che, anche se di forma semplice, richiede notevole spazio dimemoria sul computer.Una soluzione parziale a questo problema viene dal mediare lo schema esplicito (8.29) e lo schemaimplicito (8.30), producendo quello che è noto come schema di Crank-Nicholson. In effetti si ottienela relazione seguente:n+1 nn+1 n+1 n+1 n n nu − ⎡ − + + − + ⎤iuiD ( ui+12uiui−1) ( ui+12uiui−1)= ⎢2⎥ [8.31]∆t2 ⎣∆x⎦Se il coefficiente di diffusione D non è una costante, nella (8.31) verrà introdotto il valore di D richiestoal nodo i al tempo n+1. Questo schema, che è solo parzialmente implicito, presenta due proprietàinteressanti. La prima è che è uno schema incondizionatamente stabile e quindi sicuro nella suaapplicazione. La seconda proprietà deriva dalla sviluppo algebrico della (8.31). In effetti, sviluppando ivari termini si ha che:−n n( 1−a) u aun+1n+1 n+1 naui− 1+ ( 1+2a)ui− aui+1= aui+1+ 2i+i−1[8.32a]doveD∆ta = [8.32b]2∆xSe si immagina che i punti estremi del dominio in x abbiano come condizione al contorno la nullità delgradiente, allora è immediato accorgersi che il sistema di equazioni che si ottiene dalla (8.18a) applicataa tutti i nodi i è un sistema tridiagonale di rapida e semplice soluzione (Press e al.,1992).—————————————————————————————————————- 286 -