Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————n+1ξiξ∆tni⎧ ξ⎪−u= ⎨⎪ ξ− u⎩ni+nin1− ξi∆xn− ξi−1∆xseu< 0se u ≥ 0[8.25]Si può dimostrare che anche questo schema è stabile con condizione, purché C ≤ 1. Inoltre anchequesto schema presenta una diffusione numerica del tutto artificiale, visto che equivale alladiscretizzazione dell’equazione (Pielke, 1984):∂ξ∂t∂ξ+ u∂x+1222∂ ξ 1 ∂ ξ∆t− u22∂t2 ∂x∆x= 0[8.26]ma che si dimostra essere più facilmente dominabile. Per quanto visto fin qui, risulta che lo schema upwindè il metodo alle differenze finite più promettente e per questo è stato frequentemente utilizzatonella realizzazione dei modelli numerici di PBL. Lo sforzo dei vari ricercatori si è quindi concentratonell’aumentarne la stabilità, nel garantirne la conservazione del flusso e nel diminuirne la diffusionenumerica artificiale.Fin qui abbiamo considerato nella (8.21), e quindi nei vari schemi di discretizzazione, la componente udel vento come se fosse stata una costante. Ciò ovviamente non è vero in generale. Per conservarequindi la massa, lo schema up-wind può essere riproposto nel modo seguente:n n tξ+1 ∆i= ξi− ( ueξe− uwξw)∆x[8.27a]dove, per esempio, si ha che:uuewn nui1 − ui= + 2[8.27b]n nui− ui−1=2[8.27c]e ξ e e ξ w sono definiti, a seconda del valore di u e e u w , nel modo seguente:⎧ξi se ue≥ 0ξe= ⎨⎩ξi+ 1se ue< 0[8.27d]⎧ξi−1se uw≥ 0ξw= ⎨⎩ξise uw< 0[8.27e]Questo schema è una rozza semplificazione del celebre schema noto come donor-cell descritto neidettagli da Bornstein e al. (1987).Tutti gli schemi proposti ed in particolare gli schemi up-wind (che come si è visto sono i piùpromettenti) sono schemi totalmente espliciti; in altre parole, per poter conoscere il valore dellavariabile ξ nel nodo i-esimo al tempo t n+1 è necessario solamente conoscere il campo di u e di ξ (se con—————————————————————————————————————- 284 -