Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————8.1.3.2 L’avvezioneSe trascuriamo i termini diffusivi ed i termini di sorgente, le equazioni (8.4) e (8.6) contengono solotermini avvettivi che vengono bilanciati dal termine prognostico. Semplificando ulteriormente, seannulliamo per il momento tutte le componenti tranne la u, quello che resta è la forma più semplice deltrasporto (o avvezione):∂ξ∂t∂ξ= −u∂x[8.21]All’apparenza, questa equazione ci pare semplice e del tutto innocente. Nella realtà è sicuramente unadelle equazioni differenziali che più ha dato e dà problemi ai modellisti. Molto è stato scrittosull’argomento, con il risultato che si è di fronte ad un ribollire caotico di considerazioni tra cui èdifficile districarsi. La ragione di tutto ciò può essere illustrata rozzamente nel modo seguente.L’equazione del trasporto di indica che se ξ presenta una forma iniziale lungo l’asse x, per esempio unacampana abbastanza stretta localizzata attorno ad un punto x * , col trascorrere del tempo questacampana dovrà muoversi lungo l’asse delle x con una ben precisa velocità u senza deformarsi.Dovrebbe essere una traslazione del segnale nel tempo lungo il vento ed è proprio questo ciò che èdifficile riprodurre in maniera corretta.Iniziamo la nostra discussione approssimando la (8.21) nel modo più intuitivo possibile, con unaapprossimazione forward-in-time per la derivata temporale e con una approssimazione centered-inspaceper la derivata spaziale (lo schema lo si indica come FTCS):n n( ξ ξ )n+ 1 n u∆tξi− ξi= − ⋅i+1−i−1[8.22]2∆xRicordiamo che i è l’indice del nodo lungo l’asse x ed n è l’indice dell’istante temporale. Così facendoabbiamo cercato di assicurare un’accuratezza del primo ordine nel tempo e del secondo ordine nellospazio ed anche una certa simmetria all’approssimazione della derivata spaziale che ci pare la piùcritica. Lo schema FTCS è appropriato alle nostre esigenze?Per studiare con un certo dettaglio il comportamento dell’algoritmo FTCS è opportuno ricordare che unqualsiasi segnale può essere visto come la sovrapposizione di armoniche (Teorema di Fourier). Inparticolare, possiamo considerare una sola di queste armoniche ed immaginare che sia la soluzionevera della (8.21). Per evitare confusioni, con j indichiamo l’unità immaginaria, con i l’indice spaziale econ n l’indice temporale; la nostra soluzione armonica potrà quindi essere scritta nel modo seguente:{ j( kx ωt)}ξ = K ⋅ exp +[8.23a]che rappresenta un’armonica bidimensionale con frequenza k nello spazio ed ω nel tempo. Dato sial’asse dei tempi che quello delle x è discretizzato, la relazione precedente può essere riscritta nel modoseguente:{ j( k ⋅i⋅ ∆x+ ⋅ n ⋅ t )}ξ = K ⋅ exp ω[8.23b]Il metodo di indagine consiste nell’introdurre la (8.23b) nell’approssimazione FTCS dell’equazionedell’avvezione e nello studiarne il risultato. I dettagli di questa analisi sono riportati in Pielke (1984). Per—————————————————————————————————————- 282 -