Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————sicuramente un numero inferiore a 1.Il problema che ci accingiamo ad affrontare è l’individuazione di uno schema di approssimazionenumerica della derivata parziale di ξ rispetto al tempo. Consideriamo quindi la seguente espansione inserie di Taylor:ξn+1= ξn∂ξ+ ∆t∂tn+2n2( ∆t) ∂ ξ ( ∆t)3 3∂ ξ+232 ∂t6 ∂tn+ .........[8.19a]che descrive come varia, ad un generico modo della griglia spaziale, la variabile ξ da t n a t n+1 . Da essasi ottiene:∂ n n + 1ξ ξ∂t=− ξ∆tnn( ∆t)22 3∆t∂ ξ ∂ ξ− −232 ∂t6 ∂tn+ .........[8.19b]quindi abbiamo individuato lo schema avanti nel tempo (forward-in-time, FT) seguente:∂ξ∂tnξ≅n+1− ξ∆tn[8.19c]caratterizzato da un errore di approssimazione O(∆t). Consideriamo ora l’espansione di Taylorseguente:n2n2( ∆t) ∂ ξ ( ∆t)3 3n−1n ∂ξ∂ ξξ = ξ − ∆t+−+ .........[8.20a]23∂t2 ∂t6 ∂tSe sottraiamo l’equazione precedente alla (8.19a) otteniamo:n∂ξ∂tnξ=n+( ∆t)1 n−12 3− ξ ∂ ξ−32∆t6 ∂tn+ .........[8.20b]che dà luogo allo schema di approssimazione noto come schema della cavallina (leap-frog) seguente:∂ξ∂tnξ≅−2∆tn+1 n−1ξ[8.20c]che presenta un errore di approssimazione del secondo ordine O(∆t 2 ).OsservazioniA prima vista potrebbe sembrare che quanto fin qui detto possa essere già sufficiente per risolverenumericamente l’equazione differenziale (8.4a) e le altre equazioni del modello del PBL. Purtroppo nonè così! Per ragioni che saranno più chiare nel seguito, è più opportuno concentrare l’attenzione sualcune equazioni differenziali alle derivate parziali tipiche che altro non sono che forme semplificatedelle equazioni che stiamo studiando e svilupparne i dettagli risolutivi, cosa che ci accingiamo a fare neiprossimi paragrafi.—————————————————————————————————————- 281 -