Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————quindi lo schema seguente:∂ − ξi+2+ 4ξi− 3+ 1ξiξ∂xi≅2∆x[8.15c]è un’approssimazione forward per la derivata parziale prima di ξ con un errore dell’ordine di (∆x) 2 ,cioè O(∆x 2 ) e quindi è un’approssimazione del secondo ordine.Schemi centrali per le derivate parzialiGli schemi di approssimazione presentati risultano asimmetrici, visto che per rappresentare la derivataprima o seconda nel punto x i sono necessari i valori di ξ nel punto x i e nei punti successivi per glischemi forward o precedenti per gli schemi backward. Spesso la fisica del fenomeno può richiedereuna maggiore simmetria e quindi spingere a schemi più centrati nel punto che si sta analizzando.Consideriamo quindi i due sviluppi di Taylor seguenti:2 23 3∂ξ∆x∂ ξ ∆x∂ ξξ i+1 = ξ i + ∆x+ + + ....[8.16a]23∂x2 ∂x3! ∂xii2 23 3∂ξ∆x∂ ξ ∆x∂ ξξ i−1 = ξ i − ∆x+ − + ....[8.16b]23∂x2 ∂x3! ∂xiSe sottraiamo membro a membro le due serie precedenti otteniamo:iii∂ξ∂xiξ=( )2 2− ξi−1∆x∂ ξ+22∆x6 ∂xi+1+i.....[8.16c]quindi abbiamo ottenuto lo schema centrale di approssimazione della derivata parziale prima :∂ξ∂xiξ=i+1− ξi−12∆x[8.17]con un errore di approssimazione O(∆x 2 ), cioè del secondo ordine.Se, invece, sommiamo membro a membro le (8.16a e b) otteniamo lo schema di approssimazionedella derivata seconda, anch’esso con un errore di approssimazione del secondo ordine:∂∂2ξ ξi+ 1− 2ξ+ ξ=2xii i−1( ∆x) 2[8.18]Schemi per la discretizzazione della derivata parziale rispetto al tempoConsideriamo ora l’asse dei tempi t ed in particolare il semiasse positivo a partire da un istante inizialeche, senza perdita di generalità assumiamo pari a 0. Consideriamo istanti discreti t n , n = 1,2,…N t el’intervallo temporale tra il generico istante t n e t n+1 sia pari a ∆t. Se siamo interessati ad osservare ilfenomeno fino all’istante T = N t ⋅∆t e se consideriamo T come unità di misura del tempo, ∆t sarà—————————————————————————————————————- 280 -