Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————A questo punto siamo stati in grado di ottenere due schemi diversi di approssimazione della derivataparziale prima di ξ. Dedichiamoci ora alla ricerca di schemi approssimati per la derivata seconda.Consideriamo, a tal proposito, le due espansioni di Taylor seguenti:2 23 3∂ξ∆x∂ ξ ∆x∂ ξξ ( xi+ ∆x) = ξi+1 = ξi+ ∆x+ + + .... [8.12a]23∂x2 ∂x3! ∂xi2 23 3∂ξ4∆x∂ ξ 8∆x∂ ξξ ( xi+ 2∆x) = ξ i+2 = ξi+ 2∆x++ + .... [8.12b]23∂x2 ∂x3! ∂xSe sottraiamo alla (8.12b) la (8.12a) moltiplicata per 2 otteniamo:iiiii2∂ ξ ξi+2− 2ξi+=22∂xi( ∆x)1− ξi3∂ ξ− ∆x3∂xi− .......[8.12c]cioè abbiamo individuato uno schema forward per approssimare la derivata parziale seconda, pari a:∂ 2ξ ξi+ 2− 2ξi 1+ ξi≅2∂x( ∆x) +2 i[8.13]con un errore di approssimazione dell’ordine di ∆x, cioè O(∆x). Con ragionamenti del tutto analoghi sigiunge all’approssimazione backward per la derivata seconda:∂∂2ξ ξi− 2≅2xiξ+ ξi−1i−2( ∆x) 2[8.14]anch’essa caratterizzata da un errore O(∆x).Gli schemi forward e backward fin qui ottenuti presentano tutti (sia per le derivate prime che per lederivate seconde) un errore di approssimazione O(∆x) e quindi vengono indicati comeapprossimazioni del primo ordine, ovviamente in ∆x.Potremmo essere interessati anche a schemi di approssimazione di ordine maggiore, cioè caratterizzatida un termine di errore proporzionale a (∆x) 2 (secondo ordine), (∆x) 3 (terzo ordine) e così via,virtualmente più precisi. Ciò è ovviamente possibile, anche se la loro deduzione risulta un pocomacchinosa. Consideriamo per esempio, la (8.8a) da cui otteniamo:− ξ∆x∂ ξ i 1=+ i−∂xiξ22 3∆x∂ ξ ∆x∂ ξ− −232 ∂x3! ∂xii....[8.15a]e sostituiamo alla derivata seconda la (8.12c), ottenendo, dopo un po’ di algebra, la relazione seguente:− ξ+ 4ξi2∆x− 3ξ( )∂ 2 3ξi+2 1 ∆ ∂=+ i x ξ−+3∂xi3 ∂xi—————————————————————————————————————- 279 -....[8.15b]