Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————Schemi forward e backward delle derivate spazialiAnche se, a prima vista, l’approssimazione numerica di una derivata parziale può sembrare un giocofantasioso ed arbitrario, in realtà rispetta regole chiare e rigorose. Consideriamo un dominiomonodimensionale lungo l’asse x costituito dai punti x i = x 0 + (i-1)∆x. I suoi estremi sono x 0 (estremoinferiore) e x N (estremo superiore), x i = x 0 +(i-1)⋅∆x. Per comodità, immaginiamo di adottare come unitàdi misura la distanza (x N -x 0 ) e quindi ∆x sarà pari a (x N -x 0 )/(N-1), perciò sarà sicuramente un numeroinferiore a 1. Nelle applicazioni pratiche non si usa questa unità di misura, ma nelle considerazioniteoriche è di notevole aiuto per la stima degli errori di approssimazione.Consideriamo ora l’espansione in serie di Taylor di ξ(x i +∆x) = ξ i+1 :ξ∂ξ2∆x2∂ ξ3∆x3∂ ξ22∂x3!3∂x( x ∆x) = ξ = ξ + ∆x+ +....i + i+1 i+∂xiii[8.8a]Da questa equazione di infiniti termini si ottiene:∂ ξ ξi1− ξ=+ i−∂xi∆x22 3∆x∂ ξ ∆x∂ ξ− −232 ∂x3! ∂xii....[8.8b]In pratica la relazione precedente ci garantisce che la derivata parziale di ξ nel nodo x i sarà data dalrapporto incrementale tra i nodi x i e x i+1 a cui si sottraggono infiniti termini, il primo proporzionale a ∆x,il secondo proporzionale a (∆x) 2 e così via. Relativamente a ∆x, il primo termine proporzionale a ∆x edindicato come O(∆x), risulta superiore al secondo, proporzionale a (∆x) 2 ed il secondo sarà superiore alterzo e così via. Quindi, a parole, possiamo dire che dalla (8.8b) risulta che la derivata parziale di ξrisulta pari al rapporto incrementale tra i nodi x i e x i+1 più infiniti termini che, complessivamente,rappresentano un termine di errore proporzionale a ∆x, cioè un termine O(∆x).Abbiamo quindi individuato l’approssimazione forward per la derivata parziale prima di ξ:∂ ξ ξi−i≅ξ + 1[8.9]∂x∆xiche presenta un errore di approssimazione O(∆x). Consideriamo, ora, il seguente sviluppo in serie diTaylor:2 23 3∂ξ∆x∂ ξ ∆x∂ ξξ ( xi− ∆x) = ξ i−1 = ξ i − ∆x+ − + .... [8.10]23∂x2 ∂x3! ∂xiiE’ ovviamente immediato constatare che da questa equazione è possibile ottenere una nuovaapprossimazione per la derivata parziale di ξ nel punto x i ; ancora con un errore O(∆x). Taleapprossimazione, nota come approssimazione backward, risulta data dalla relazione seguente:i∂ξ∂xiξ≅i− ξ∆xi−1[8.11]—————————————————————————————————————- 278 -