Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————Quello che risulta è che all’intero dominio è sovrapposta una griglia di calcolo i cui nodi sonoidentificati univocamente con una terna di indici (i,j,k). L’indice i individua la coordinata x; la distanzatra il generico nodo i e il nodo i+1,sarà ∆x e l’indice i varia da 0 a N x , dove N x = L x /∆x. Analogamentecapiterà per l’indice j (relativo all’asse y) e per l’indice k (relativo all’asse z).In realtà, il dominio dovrebbe essere quadridimensionale, con la quarta dimensione costituita daltempo. La simulazione partirà al tempo 0 e terminerà dopo un periodo T. Possiamo, anche in questocaso, dividere l’intero tempo di simulazione in intervalli temporali ∆t è analogamente potremo definireun indice temporale n, dove n = 0,1,..,N t , con N t = T/∆t.Tutte le equazioni che costituiscono il modello sono equazioni differenziali alle derivate parziali enessuna di esse, in condizioni realistiche, ammette soluzioni di tipo analitico. Tra l’altro, se consideriamoper esempio la (8.4a), notiamo che non può essere classificata in una delle classi tipiche (ellittica,parabolica ed iperbolica) previste dalla teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Nonessendo possibile in generale una loro integrazione analitica, sarà pertanto indispensabile una loroapprossimazione numerica per far sì che sia possibile una loro risoluzione almeno numerica. Per unatrattazione più dettagliata dell’argomento si rimanda a Pielke (1984), Ferziger e Períc (1997) e aMitchell e Griffiths (1995). In questa sede si presenterà solo un’introduzione al problemadell’approssimazione numerica delle equazioni del modello di PBL con esclusivo interesse didattico(privilegiando la comprensione a scapito del rigore), anche se parecchie tecniche presentate sono staterealmente applicate in modelli reali. La chiave di volta della soluzione della (8.4a) e delle altre equazionidifferenziali costituenti il modello sta nell’individuare la loro parentela con equazioni differenziali piùsemplici e più facilmente trattabili, cosa che faremo immediatamente di seguito.8.1.3.1 L’approssimazione alle differenze finite delle equazioni differenzialiIl primo passo necessario alla risoluzione numerica di qualsiasi equazione differenziale alle derivateparziali è la loro approssimazione numerica. Prima di iniziare ad esplorare questo argomento, èimportante sottolineare la profonda differenza concettuale tra la risoluzione analitica di una equazionedifferenziale alle derivate parziali e la sua risoluzione numerica.Nel primo caso, una volta definito un dominio di calcolo continuo, si ricerca una funzione che sia lasoluzione di questa equazione nell’intero dominio. Se siamo stati in grado di ottenere la soluzione diquesta equazione differenziale, saremo sicuramente in grado di determinare il valore esatto dellasoluzione in qualsiasi punto del dominio di calcolo.Nel caso, invece, della risoluzione numerica di un’equazione differenziale, le cose non stanno così. Nonsi considera più un dominio di calcolo continuo, bensì si limiterà l’attenzione ad un dominio di calcolodiscreto, costituito da un numero discreto di punti e si cercherà il valore della soluzione solo incorrispondenza a questi punti. Per chiarire il concetto, consideriamo una generica equazionedifferenziale in cui sia presente una generica variabile ξ (per esempio la temperatura potenziale) ed undominio costituito da un insieme di punti equidistanti collocati sull’asse x. Il dominio di calcolo saràquindi costituito dagli N punti x i = x 0 +(i-1)⋅∆x, i = 1,2,…,N, dove ∆x è la spaziatura tra un punto el’altro, x 0 è l’estremo inferiore del dominio di calcolo e x 0 +(N-1)⋅∆x è il relativo estremo superiore. Lasoluzione analitica dell’equazione differenziale sarà la funzione ξ = ξ(x), mentre la soluzione numericasarà l’insieme di valori (numeri, quindi) ξ i in corrispondenza degli N punti (nodi) del dominio di calcolo(griglia). Poniamoci ora come obbiettivo l’approssimazione algebrica delle derivate parzialipresenti nelle equazioni differenziali alle derivate parziali (8.2), (8.3), (8.4). Consideriamo una genericavariabile ξ ed il dominio monodimensionale descritto in precedenza.—————————————————————————————————————- 277 -