Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————Ciò premesso, cerchiamo ora di definire una situazione realistica che dovrà servirci a livello didatticoper descrivere in pratica come è articolato un modello di tipo prognostico. Per gli scopi di questo libro cisembra sufficiente cercare di sviluppare un caso relativamente semplice di modello prognostico di PBLnella maniera più didattica possibile, sperando che ciò consenta al lettore di orientarsi poi in riferimentibibliografici più sofisticati e più complessi. Per prima cosa, cerchiamo di limitare l’attenzione alproblema del PBL e quindi consideriamo un dominio di calcolo relativamente limitato, con un’estensioneorizzontale di qualche decina di chilometri e un’estensione verticale che non superi 1.5÷2 voltel’estensione verticale massima del PBL (z i ). In questo modo, sarà sufficiente considerare un sistema dicoordinate orizzontali di tipo cartesiano ortogonale, evitando l’impiego di coordinate differenti (latitudinee longitudine per esempio) che complicherebbero fortemente la scrittura delle equazioni differenziali delmodello. Per quel che riguarda la coordinata verticale, immaginiamo per semplicità che il suolo su cuistiamo ricostruendo numericamente il PBL (la superficie inferiore del dominio di calcolo) sia piana equindi che la normale coordinata z sia una scelta naturale ed immediata. Pertanto, sotto queste ipotesisemplificative, è possibile continuare a considerare il normale sistema di riferimento cartesianoortogonale normalmente impiegato in meteorologia. Nel Cap.2 è stato ampiamente presentato ilproblema del modello matematico del PBL e da lì dobbiamo trarre le relazioni matematiche daimpiegare nel modello numerico di tipo prognostico. Come si ricorderà, anche in questo caso la materiaè magmatica e disorientante e non è facile orizzontarsi tra differenti tipi di approssimazioni e differentitipi di chiusure. Dato che il nostro obiettivo è in questo caso puramente didattico, è sufficienteconsiderare la situazione idrostatica ed una chiusura di tipo K. Pertanto, seguendo Panofsky e Dutton(1983) e Bornstein e al. (1987), le equazioni prognostiche che verranno considerate, trascurando ilvapor d’acqua ed eventuali sostanze inquinanti, sono:• le equazioni del bilancio di quantità di moto:∂u∂u∂u∂u+ u + v + w = f∂t∂x∂y∂z∂v∂v∂v∂v+ u + v + w = f∂t∂x∂y∂z• l’equazione di bilancio di massa:( ) ∂ ⎛ ⎞⎜ ∂ ∂⎜∂2 2u u uv − v + ⎟ + +∂ ⎝ ∂ ⎠⎟ gKmKH 2 2z z ⎝ ∂x∂y⎠( ) ∂ ⎛ ⎞⎟ ⎞⎜ ⎛ ∂ ∂⎜∂2 2v v vug− u + Km⎟ + KH+2 2∂z⎝ ∂z⎠ ⎝ ∂x∂y⎠⎛⎞[8.4a][8.4b]∂u∂v∂w+ + = 0∂x∂y∂z[8.5]• l’equazione di bilancio del calore:∂θ∂t∂θ+ u∂x∂θ+ v∂y∂θ∂ ⎛+ w = ⎜ K∂z∂z⎝1ρCp∂R∂zh∂θ⎞⎟ + K∂z⎠H2⎛ ∂ θ⎜2⎝ ∂x2∂ θ ⎞+ ⎟ +2∂y⎠[8.6]Tutte le variabili presenti nelle relazioni precedenti sono tutte variabili medie ed i vari coefficienti didiffusione K presenti stanno ad indicare la semplice chiusura del primo ordine (chiusura di tipo K).Questi ultimi non costituiscono un problema pratico: una volta noti i parametri caratteristici del PBL (u * ,H 0 e z i ) la loro determinazione risulta semplice, applicando le diverse correlazioni semiempiriche—————————————————————————————————————- 275 -