Roberto Sozzi (ARPA Lazio) Teodoro Georgiadis (CNR-IBIMET ...

8. MODELLI NUMERICI DEL PBL—————————————————————⎯⎯——————————————risulta non nullo e positivo. E’ immediato, inoltre, verificare che:⎡ ∂ξ⎢⎡dξ⎤ ⎢ ∂x⎢ ⎥ ⎢ ∂η⎢dη⎥=⎢ ∂x⎢⎣dζ⎥⎦⎢ ∂ζ⎢⎢⎣∂x∂ξ∂y∂η∂y∂ζ∂y∂ξ⎤⎥∂z⎥ ⎡dx⎤∂η⎥ ⋅⎢ ⎥⎥ ⎢dy∂z⎥∂ζ⎥ ⎢⎣dz⎥⎦⎥∂z⎥⎦↔⎡ ∂x⎢⎡dx⎤⎢∂ξ⎢ ⎥ ⎢ ∂y⎢dy⎥=⎢∂ξ⎢⎣dz⎥⎦⎢ ∂z⎢⎢⎣∂ξ∂x∂η∂y∂η∂z∂η∂x⎤⎥∂ζ⎥ ⎡dξ⎤∂y⎥ ⋅⎢ ⎥⎥ ⎢dη∂ζ⎥∂z⎥ ⎢⎣dζ⎥⎦⎥∂ζ⎥⎦[8.2c]Queste relazioni consentono quindi di trasformare le derivate parziali originariamente scritte rispettoalle coordinate cartesiane (x,y,z) nel nuovo sistema di riferimento. Se, per esempio, consideriamo unagenerica derivata parziale rispetto a x, si ha che:∂ ∂ξ∂= ⋅∂x∂x∂ξ∂η∂ ∂ζ+ ⋅ +∂x∂η∂x∂⋅∂ζ[8.3a]e quindi risulta chiaro che l’introduzione del nuovo sistema di riferimento complica notevolmente lascrittura delle equazioni di bilancio. Se, per esempio, considerassimo la semplice relazione seguente:∂A∂B∂C∂D+ + + = E∂t∂x∂y∂z[8.3b]essa si trasformerebbe nella ben più complessa forma seguente:∂∂t( JA)∂ ⎛ ∂ξ∂ξ∂ξ⎞+ ⎜ J B + J C + J D⎟+∂ξ⎝ ∂x∂y∂z⎠∂ ⎛ ∂η∂η∂η⎞⎜ J B + J C + J D⎟+∂η⎝ ∂x∂y∂z⎠∂∂ζ⎛ ∂ζ∂ζ∂ζ⎞⎜ J B + J C + J D ⎟ = JE⎝ ∂x∂y∂z⎠[8.3c]Ulteriori dettagli su questo difficile argomento possono essere trovati in Pielke (1984) e Xue e al.(1995). Nel seguito, dato che il nostro obiettivo è esclusivamente didattico, trascureremo tale problemae considereremo sempre le equazioni prognostiche scritte in termini di coordinate cartesiane.Un altro problema da risolvere è la scelta della dimensionalità del modello. Anche se la logicavorrebbe che il modello fosse tridimensionale, il tempo di calcolo richiesto dall’integrazione delleequazioni differenziali del modello, più che proporzionale con la dimensionalità del problema, a volte puòconsigliare scelte diverse. Per esempio, se si sta studiando il PBL costiero, è ragionevole ritenere chesia presente in un tale problema un certo grado di omogeneità lungo la direzione parallela alla costa equindi può essere consigliabile riscrivere le equazioni del modello in modo tale da evidenziareesclusivamente la variabilità spaziale lungo la direzione perpendicolare alla linea di costa e lungo laverticale. Quando, invece, si sta considerando una regione pianeggiante e fortemente omogenea inorizzontale, può essere sufficiente ridursi ad un modello monodimensionale che evidenzi solo lavariabilità verticale del problema.—————————————————————————————————————- 274 -